EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-06-12T17:36:18Z

109.64.226.110: /* מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר <math>
\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E
</math> המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה (איור 1) ===
[[File:Pic1101.png|400px|thumb|center|איור 1]]
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי (איור 2) ===
[[File:Pic1102.png|200px|thumb|left|איור 2]]
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

<math display="block">r >
3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}</math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3) ===
[[File:Pic1103.png|450px|thumb|center|איור 3]]
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4) ===
[[File:Pic1104.png|450px|thumb|center|איור 4]]
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5) ===
[[File:Pic1105.png|200px|thumb|left|איור 5]]
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

[[File:Pic1106.png|300px|thumb|center|איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי]]

=== דוגמה - מערך סופי ===
[[File:Pic1107.png|500px|thumb|center|איור 7]]

=== מערכים תלת-מימדיים (איורים 8,9) ===
[[File:Pic1108.png|200px|thumb|left|איור 8]]
[[File:Pic1109.png|200px|thumb|left|איור 9]]
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> ?S(u,v) </math>
[[File:Pic1110.png|300px|thumb|left|איור 10]]
בעזרת סכום פואסון (איור 10):
<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>
[[File:Pic1111.png|400px|thumb|center|איור 11- שרטוט סכמטי של הפיתרון]]

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-06-12T17:35:49Z

109.64.226.110: /* ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר,<math>
\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E
</math>
המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה (איור 1) ===
[[File:Pic1101.png|400px|thumb|center|איור 1]]
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי (איור 2) ===
[[File:Pic1102.png|200px|thumb|left|איור 2]]
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

<math display="block">r >
3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}</math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3) ===
[[File:Pic1103.png|450px|thumb|center|איור 3]]
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4) ===
[[File:Pic1104.png|450px|thumb|center|איור 4]]
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5) ===
[[File:Pic1105.png|200px|thumb|left|איור 5]]
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

[[File:Pic1106.png|300px|thumb|center|איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי]]

=== דוגמה - מערך סופי ===
[[File:Pic1107.png|500px|thumb|center|איור 7]]

=== מערכים תלת-מימדיים (איורים 8,9) ===
[[File:Pic1108.png|200px|thumb|left|איור 8]]
[[File:Pic1109.png|200px|thumb|left|איור 9]]
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> ?S(u,v) </math>
[[File:Pic1110.png|300px|thumb|left|איור 10]]
בעזרת סכום פואסון (איור 10):
<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>
[[File:Pic1111.png|400px|thumb|center|איור 11- שרטוט סכמטי של הפיתרון]]

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-06-12T17:35:18Z

109.64.226.110: /* ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר,
<math>
\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E
</math>
המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה (איור 1) ===
[[File:Pic1101.png|400px|thumb|center|איור 1]]
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי (איור 2) ===
[[File:Pic1102.png|200px|thumb|left|איור 2]]
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

<math display="block">r >
3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}</math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3) ===
[[File:Pic1103.png|450px|thumb|center|איור 3]]
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4) ===
[[File:Pic1104.png|450px|thumb|center|איור 4]]
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5) ===
[[File:Pic1105.png|200px|thumb|left|איור 5]]
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

[[File:Pic1106.png|300px|thumb|center|איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי]]

=== דוגמה - מערך סופי ===
[[File:Pic1107.png|500px|thumb|center|איור 7]]

=== מערכים תלת-מימדיים (איורים 8,9) ===
[[File:Pic1108.png|200px|thumb|left|איור 8]]
[[File:Pic1109.png|200px|thumb|left|איור 9]]
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> ?S(u,v) </math>
[[File:Pic1110.png|300px|thumb|left|איור 10]]
בעזרת סכום פואסון (איור 10):
<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>
[[File:Pic1111.png|400px|thumb|center|איור 11- שרטוט סכמטי של הפיתרון]]