EM Fields - TAU - User contributions [en]

File:Sigma drude.png

2025-07-09T12:33:47Z

132.66.199.25:

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2023-02-16T13:43:42Z

132.66.199.25: /* דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3) */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר <math>
\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E
</math> המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הסטה" של ענן אלקטרונים ביחס למרכז האטום / מולקולה. הסטה זו יוצרת מומנט דיפול אפקטיבי (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושה שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את התכונות ה"ממוצעות" של אותו אוסף מולקולות גם כן על ידי הגדרה של גודל שקול <math>\epsilon</math>.

בצורה דומה, ניתן לדמיין מערך של מולקולות "מלאכותיות", חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי <math>\alpha</math>. שאם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה.

באופן זה נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים ומבנה המערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
[[File:Pic1101.png|400px|thumb|center|איור 1]]
מאחר ואבני הבניין הבסיסיות הן החלקיקים, ראשית ננסה להבין את תגובתם להפעלת שדה חיצוני, המתוארת על ידי המטריצה <math>\underline{\underline{\alpha}}</math>. כאשר בחנו את התגובה של כדורים (מוליך מושלם, דיאלקטרי) להפעלת שדה חיצוני, תארנו את הקיטוביות <math>\alpha</math> כסקלר. דבר זה נובע מהסימטריה המלאה שיש לכדורים. באיור 1, מתואר חלקיק שצורתו אליפסואיד מאורך. במקרה זה, תגובתו להפעלת שדה בכיוונים שונים תהיה שונה. כאשר השדה החיצוני הוא בכיוון <math>\hat{y}</math>, הפרדת המטענים בתוך החלקיק קטנה, ולכן מומנט הדיפול שיווצר קטן. לעומת זאת, כאשר השדה החיצוני הוא בכיוון <math>\hat{x}</math>, המטענים נפרדים זה מזה מרחק רב יותר, ולכן מומנט הדיפול שנוצר הוא חזק יותר. מבנה זה, בו עוצמת התגובה (וגם כיוונה למעשה) תלויים בכיוון השדה החשמלי המופעיל, נקרא חלקיק '''אנאיזוטרופי'''. באופן כללי, חלקיקים אנאיזוטרופיים מתוארים על ידי קיטוביות מטריצית. דוגמא לכך
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>
כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:
<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>
כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> הוא וקטור יחידה המצביע מהדיפול לצופה, ומוגדר באופן הבא:
<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>
ניתן לרשום:<math display="block">\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}=\underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>
כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:
<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>
כאשר הגדרנו את המטריצות:
<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>
רישום זה יהיה נוח במיוחד כאשר נרצה לבחון מערכי חלקיקי.

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
[[File:Pic1102.png|200px|thumb|left|איור 2]]
כעת, ברצוננו להשתמש הפורמולציה שפיתחנו על מנת לחשב את תגובתו של מערך חלקיקים כלשהו להפעלה של שדה חיצוני. נניח כי יש לנו <math> N </math> חלקיקים הממוספרים על ידי האינדקס <math> i </math>. את מומנט הדיפול המתפתח בחלקיק ה-<math> i </math> ניתן לרשום על ידי <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec E = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L} </math>
כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

את השדה הלוקלי בכל נקודה <math> \vec r_i </math> שבה מונח חלקיק, נמצא כסכום של השדה החיצוני ותרומתם של שאר הדיפולים (הדיפולים המתפתחים בחלקיקים האחרים):
<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>
כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי למומנט הדיפול המתפתח בכל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>
ומכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל פורמולציה זו נותנת תוצאות מדויקות למדי כשמתקיים <math> \vec r_i>3d </math>, כאשר <math> d </math> הוא קוטר החלקיק.

=== דוגמה - מערך אינסופי בעירור אורכי ===
[[File:Pic1103.png|450px|thumb|center|איור 3]]
באיור 3 נתון מערך אינסופי של חלקיקים איזוטרופיים, בעלי קיטוביות <math> \alpha </math>. מפעילים בכל המרחב שדה בכיוון <math> \hat{x} </math>, ועלינו לחשב את מומנט הדיפול המתעורר בכל חלקיק.
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה. כלומר:
<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>
החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על החלקיק המונח בראשית. השדה הלוקלי הפועל עליו הוא
<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>
ואת הסכום המתקבל ניתן להעריך על ידי
<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>
ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>
כעת נוכל למצוא את מומנט הדיפול המתעורר בחלקיק בראשית:
<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>
קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4) ===
[[File:Pic1104.png|450px|thumb|center|איור 4]]
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5) ===
[[File:Pic1105.png|200px|thumb|left|איור 5]]
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

[[File:Pic1106.png|300px|thumb|center|איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי]]

=== דוגמה - מערך סופי ===
[[File:Pic1107.png|500px|thumb|center|איור 7]]

=== מערכים תלת-מימדיים (איורים 8,9) ===
[[File:Pic1108.png|200px|thumb|left|איור 8]]
[[File:Pic1109.png|200px|thumb|left|איור 9]]
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> ?S(u,v) </math>
[[File:Pic1110.png|300px|thumb|left|איור 10]]
בעזרת סכום פואסון (איור 10):
<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>
[[File:Pic1111.png|400px|thumb|center|איור 11- שרטוט סכמטי של הפיתרון]]

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2023-02-13T09:05:20Z

132.66.199.25: /* מטען נקודה בתוך כדור דיאלקטרי סופי */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרגשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החינוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית.
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פוריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פוריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה.
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים.
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה (איור 12) ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמה 2 (איור 14) ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>במקור הגדרנו:
<math display="block">\vec p = \alpha \vec E</math>נגדיר מחדש:
<math display="block">\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>כאשר:
<math display="block">[\alpha]=m^3</math>
</div>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2023-02-13T07:34:03Z

132.66.199.25: /* כדור סופי (איור 11) */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרגשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החינוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית.
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פוריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פוריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה.
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים.
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודה בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. נקבל את תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>מכאן נובע:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>שדה ההעתקה:<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>והשדה החשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>תנאי שפה עבור <math>\vec E</math> בוואקום:<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}</math>נמצא את הפולריזציה:<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math><math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math><math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math><math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה (איור 12) ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמה 2 (איור 14) ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>במקור הגדרנו:
<math display="block">\vec p = \alpha \vec E</math>נגדיר מחדש:
<math display="block">\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>כאשר:
<math display="block">[\alpha]=m^3</math>
</div>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2023-01-24T11:36:33Z

132.66.199.25: /* פולריזציה */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרגשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החינוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====

נוכל למצוא ביטוי לצפיפות המשטחית של מטען הפולריזציה על ידי לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים סביב שפה. מחוק גאוס
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta = \hat n (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ומסך המטען:
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta_p = -\hat n (\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>:<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">\eta_p = -\hat n (\vec P_2 - \vec P_1)</math>
אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:<math display="block">\frac{d\eta_p}{dt} =
=-\hat n (\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t})
-\hat n (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})</math>כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial(\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1])\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה רציף בעזרת המודל המיקרוסקופי. אנחנו למעשה הגדרנו איזשהו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית הלאוזייס - מזוטי, על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופיץ צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה (איור 7) ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]

נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>על השפות:<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math><math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math><math display="block">Q_p = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

==== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה <math>\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P</math>, צפיפות שטף חשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Rightarrow \nabla \cdot \underbrace{(\epsilon_0 \vec E + \vec P)}_{\equiv \vec D \text{ - displacement vector}} = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>נוכל לרשום:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בבעיה.

'''מנגנונים ליצירת פולריזציה:'''

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית)
* Bi-anisotropic materials

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===

[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>כאשר מגדירים את הסוספטביליות <math>\chi_e </math>, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math>:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E</math>כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\mathbb{I} + \chi_e) \vec E = \epsilon_0\epsilon_r \vec E</math>לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

==== תווך אינסופי (איור 10) ====
[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]

<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math><math display="block">\vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \frac{\vec D}{\epsilon} \Rightarrow \vec E = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} \cdot \hat r</math>

==== כדור סופי (איור 11) ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. נקבל את תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>מכאן נובע:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>שדה ההעתקה:<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>והשדה החשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>תנאי שפה עבור <math>\vec E</math> בוואקום:<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}</math>נמצא את הפולריזציה:<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math><math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math><math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math><math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה (איור 12) ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמה 2 (איור 14) ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>במקור הגדרנו:
<math display="block">\vec p = \alpha \vec E</math>נגדיר מחדש:
<math display="block">\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>כאשר:
<math display="block">[\alpha]=m^3</math>
</div>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2023-01-23T11:27:54Z

132.66.199.25: /* חומרים מוליכים */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרגשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החינוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם <math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>.

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>.
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>.
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו בהרצאה הקודמת.

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]

מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית Ψ שמתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב העולם.
כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגל). ולכן המיקום הממוצע של האלקטרונים הנתון על ידי הביטוי:<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

יש חומרים (כמו מים) (איור 5) שלמולקולות שמרכיבות אותם יש מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני "מיישרת" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

==== מודל מקרוסקופי (איור 6) ====
[[File:Pic1006.png|200px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים מיקרוסקופיים ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

מבחינתנו, התגובה של חומר (או כל מערכת אחרת) להפעלה של שדה חשמלי עליה יכולה להיות מתוארת על ידי הווצרות של פילוג מטען בתגובה להפעלת השדה החיצוני.

מהרגע שהבנו מהו פילוג המטען ש"הושרה" בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני, אפשר לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים.

נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec P_{atom}</math> ולכן סה"כ הדיפול של כל התיבה: <math>\vec P = N \cdot \vec P_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">\vec p = \vec P \cdot \delta v =
(\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l</math>את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\partial Q = \vec p \cdot \partial \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\partial \vec l </math>.

עבור איזושהי חתיכה של חומר:

<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {da}</math>מאחר וסך הכל מטען הפולריזציה צריך להיות אפס:<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:<math display="block">\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P</math><math display="block">\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P</math>נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====

==== נוכל למצוא ביטוי לצפיפות המשטחית מחוק גאוס: ====
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta = \hat n (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ומסך המטען:
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta_p = -\hat n (\vec P _2 - \vec P_1)</math>
==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>:<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">\eta_p = -\hat n (\vec P_2 - \vec P_1)</math>
אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:<math display="block">\frac{d\eta_p}{dt} =
=-\hat n (\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t})
-\hat n (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})</math>כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial(\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1])\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה רציף בעזרת המודל המיקרוסקופי. אנחנו למעשה הגדרנו איזשהו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית הלאוזייס - מזוטי, על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופיץ צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה (איור 7) ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]

נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>על השפות:<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math><math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math><math display="block">Q_p = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

==== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה <math>\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P</math>, צפיפות שטף חשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Rightarrow \nabla \cdot \underbrace{(\epsilon_0 \vec E + \vec P)}_{\equiv \vec D \text{ - displacement vector}} = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>נוכל לרשום:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בבעיה.

'''מנגנונים ליצירת פולריזציה:'''

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית)
* Bi-anisotropic materials

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===

[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>כאשר מגדירים את הסוספטביליות <math>\chi_e </math>, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math>:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E</math>כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\mathbb{I} + \chi_e) \vec E = \epsilon_0\epsilon_r \vec E</math>לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

==== תווך אינסופי (איור 10) ====
[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]

<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math><math display="block">\vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \frac{\vec D}{\epsilon} \Rightarrow \vec E = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} \cdot \hat r</math>

==== כדור סופי (איור 11) ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. נקבל את תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>מכאן נובע:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>שדה ההעתקה:<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>והשדה החשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>תנאי שפה עבור <math>\vec E</math> בוואקום:<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}</math>נמצא את הפולריזציה:<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math><math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math><math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math><math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה (איור 12) ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמה 2 (איור 14) ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>במקור הגדרנו:
<math display="block">\vec p = \alpha \vec E</math>נגדיר מחדש:
<math display="block">\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>כאשר:
<math display="block">[\alpha]=m^3</math>
</div>

File:C7f3b.png

2022-11-24T11:32:07Z

132.66.199.25:

פרק 2 - תנאי שפה

2021-12-15T07:46:05Z

132.66.199.25: /* כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 2 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

== מבוא ==
בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:<math display="block">(\vec E,\vec H)=\hat D [((\vec E,\vec H)] + \vec {Sources}</math>כך ש <math>\hat D</math> הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו. קשרים דיפרנציאליים אלו ייאפשרו לנו לפתור את השדות במגוון רחב של בעיות, ללא צורך בהנחת סימטריה גבוהה.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי. תופעות אלו מתרחשות פעמים רבות באיזורים שמהווים "שפה" בין שני תחומים בעלי תכונות שונות, ונרצה לתאר את "תנאי השפה" עבור השדות, אותם נצרף למשוואות הדיפרנציאליות שקיבלנו.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מעל המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מתחת למשטח S קיים שדה חשמל <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס התחתון של הגליל (S1), הבסיס העליון שלו (S2), והמעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>.
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + G(\rho_1,\rho_2)\delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>.

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = -\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>-\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>dL</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
= \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוש למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} = \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
= \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math>

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec n \times \vec b) = (\vec a \cdot \vec c)\vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{2}) = 0</math>

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t}
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + I_{cylindrical\;shell} </math>

האיבר <math>I_{cylindrical\;shell}</math> מייצג את סך הזרם היוצא דרך מעטפת הגליל, ללא המכסים. איבר זה הוא פרופורציונלי ל-<math>\delta</math>, ומההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> ניתן להזניחו בגבול של מטעפת קטנה מאוד.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) =
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין. תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות. בדומה להגדרת הדיברגנץ התלת ממדי שראינו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], איבר זה הוא למעשה דיברגנץ משטחי - דיברגנץ המוגדר עבור שדה המוכל במשטח מסוים, ולכן ניתן לרשום את חוק שימור המטען על ידי

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D}\cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

== תנאי שפה - סיכום ==

'''שדה חשמלי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) = \eta</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0</math>

'''שדה מגנטי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_{1}) = 0</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \vec K</math>

'''חוק שימור המטען'''
<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\nabla_{2D} \cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר <math>\nabla_{2D}</math> הוא דיברגנץ דו - מימדי.

=== אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ===
באופן כללי, לא ניתן לרשום את אופרטור הדיברגנץ הדו-ממדי (או דיברגנץ משטחי) על ידי איפוס אחת הנגזרות באופרטור בדיברגנץ התלת ממדי ה"רגיל". דבר זה הוא אפשרי, רק אם היחס המטרי של הקורדינטה שאת הנגזרת לפיה אנו מאפסים הוא קבוע. במקרים פרטיים, אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D}=\hat x \frac{\partial}{\partial x} + \hat y \frac{\partial}{\partial y}</math>

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D} = \frac{1}{R^2 \sin \theta} \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left( R \sin \theta K_\theta\right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}(R K_\phi)\right)</math>

== דוגמאות ==
=== משטח טעון בצפיפות אחידה של מטען חשמלי ===
נתון משטח הטעון הצפיפות אחידה - <math>\eta_0</math>.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

<math display="block">\vec \epsilon = -\frac{\eta_{0}}{2 \epsilon_0}\cdot \sgn(z) \hat z</math>

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב <math>z=0</math>.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

<math display="block">\hat z (\epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} \hat z - \epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} (-\hat z))
=
\hat z \cdot \frac{2 \epsilon_0 \eta_0}{2 \epsilon_0}\hat z = \hat z \cdot \hat z \eta_0 = \eta_0</math>

אכן קיבלנו את <math>\eta_0</math> כצפוי.

=== משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה ===
נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה <math>\vec K = K_0 \hat y</math>.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<math display="block">\vec H = \frac{k_0}{2}\cdot \sgn(z) \hat x</math>

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \hat z \times (\frac{k_0}{2}\hat x -\frac{k_0}{2}(-\hat x)) =
\hat z \times (k_0 \hat x) = k_0 (\hat z \times \hat x) = k_0 \hat y = \vec K</math>

== כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? ==
נניח שקיים גוף כלשהו. בתוך הגוף יש מטענים, חלקם חופשיים לנוע, חלקם חופשיים רק להסתובב, וחלקם מקובעים למקומם. נכניס את הגוף לתוך איזור בו שורר שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.
כפי שציינו בהנחות היסוד ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|פרק 1]], בעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, וסידור חדש זה מתאר את כל ההשפעה שיש לגוף על השדה במרחב. השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

<math display="block">\vec E_{new} = \vec E_{external} + \vec E_{charge}</math>

<math display="proof">\vec E_{new} = \vec E_{external} + \vec E_{charge}</math>

== חומר מוליך בשדה חשמלי ==
<blockquote> הגדרה - חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר. </blockquote>

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענים הינו

<math display="block">\vec F = q \vec E</math>

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר <math>E = 0</math>.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך. השדה החשמלי בתוך המוליך, <math> \vec{E}_1=0 </math>, ומחוצה לו, <math> \vec{E}_2 </math>.ונשתמש בתנאי השפה עבור הרכיב המקביל של השדה החשמלי

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1})=0
\Longrightarrow
\hat n \times \vec E_2=0\Longrightarrow
\vec E_2 \text{ is perpendicular to the sphere}</math>

במצב יציב (מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך) מתקיים בתוך המוליך:

<math display="block">\vec E = 0</math>

נפעיל חוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=0
\Longrightarrow
\rho = 0</math>

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
כאשר החומר אינו מוליך אידאלי, המודל הפשוט ביותר המתאר את הקשר בין השדה השורר בתוך החומר לצפיפות הזרם הוא חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>. בהמשך הקורס, כאשר נדבר בהרחבה על שדות בתוך חומרים, נתאר את העקרונות הפיסיקליים המובילים לחוק אוהם.
עבור פיסת חומר בעלת גאומטריה מסוימת, סך הזרם החולף בחומר בתגובה להפעלה של מתח הוא

<<math display="block">V=RI</math>

ומתוך חוק אוהם, ניתן לקבל את הקשר

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

גם במוליכים המקיימים את חוק אוהם, בסופו של דבר, במצב היציב, כל המטענים ייצברו על השפה משיקולים דומים. בתלות בתכונות החומר, תהליך זה לוקח זמן מסוים, וניתן לקבל הערכה לזמן זה. נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר אחיד במרחב, והשתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r,t) = e^{-t/\tau} \cdot \rho (\vec{r},t=0)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

ולכן נסיק כי במוליכים "טובים", עם מוליכות גבוהה, הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל הינו קטן ביותר.

== מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor) ==
מוליך אידאלי הוא חומר שבו <math>\sigma \longrightarrow \infty</math>. לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי (מאחר וזמן הרלקסציה הוא אפסי, זה תמיד המצב בו), ולא מגנטי (הנימוק לכך אינו קלאסי, ונקרא אפקט Meisner). לפיכך, לא יהיה בו גם זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך), וגם לא צפיפות מטען נפחית.

=== השוואת התכונות של מוליך אידאלי ומוליך בעל מוליכות סופית ===
{| class="wikitable"
|+
!תכונות
!מוליך אידאלי
!מוליך רגיל
|-
|האם קיים <math>\vec K</math> על שפת המוליך?
|כן, יש זרם רק על השפה.
|לא, עבור השפה
<math>R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma}\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}
\underset{\delta \longrightarrow 0}{\longrightarrow}
\infty</math>
|-
|תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, ולכן:
<math>\eta=\epsilon_0 \cdot \hat n \vec E_{out side}</math>
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, לכן:
<math>\hat n \times \vec E_{out side} = 0</math>

כלומר, השדה ניצב לשפה
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - שימור מטען
|<math>\nabla_{2D} \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>- \hat n \cdot \vec J_{inside} = -\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>.
בבעיה סטטית, בה אין שינויים בזמן, נקבל <math>\hat{n}\cdot\vec{J}=0</math>,

ולכן הזרם חייב להיות מקביל לשפה.
|}

=== סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC) ===
<math display="block">\hat n \times \vec E = 0 </math>

<math display="block">\hat n \times \vec H = \vec K</math>

<math display="block">\hat n \cdot \epsilon_0 \vec E = \eta</math>

<math display="block">\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0</math>
</div>

פרק 2 - תנאי שפה

2021-12-12T14:32:52Z

132.66.199.25: /* אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי \nabla_{2D} */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 2 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

== מבוא ==
בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:<math display="block">(\vec E,\vec H)=\hat D [((\vec E,\vec H)] + \vec {Sources}</math>כך ש <math>\hat D</math> הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו. קשרים דיפרנציאליים אלו ייאפשרו לנו לפתור את השדות במגוון רחב של בעיות, ללא צורך בהנחת סימטריה גבוהה.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי. תופעות אלו מתרחשות פעמים רבות באיזורים שמהווים "שפה" בין שני תחומים בעלי תכונות שונות, ונרצה לתאר את "תנאי השפה" עבור השדות, אותם נצרף למשוואות הדיפרנציאליות שקיבלנו.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מעל המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מתחת למשטח S קיים שדה חשמל <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס התחתון של הגליל (S1), הבסיס העליון שלו (S2), והמעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>.
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + (G(\rho_1) + G(\rho_2)) \delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>.

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = -\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>-\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>dL</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
= \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוש למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} = \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
= \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math>

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec n \times \vec b) = (\vec a \cdot \vec c)\vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{2}) = 0</math>

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t}
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + \delta ()
=
\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da</math>

כאשר הזנחנו את האיבר הפרופורציוני ל <math>\delta</math> מההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) =
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין:

תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות.

== תנאי שפה - סיכום ==

'''שדה חשמלי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) = \eta</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0</math>

'''שדה מגנטי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_{1}) = 0</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \vec K</math>

'''חוק שימור המטען'''
<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\nabla_{2D} \cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר <math>\nabla_{2D}</math> הוא דיברגנץ דו - מימדי.

=== אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ===
באופן כללי, לא ניתן לרשום את אופרטור הדיברגנץ הדו-ממדי (או דיברגנץ משטחי) על ידי איפוס אחת הנגזרות באופרטור בדיברגנץ התלת ממדי ה"רגיל". דבר זה הוא אפשרי, רק אם היחס המטרי של הקורדינטה שאת הנגזרת לפיה אנו מאפסים הוא קבוע. במקרים פרטיים, אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D}=\hat x \frac{\partial}{\partial x} + \hat y \frac{\partial}{\partial y}</math>

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D} = \frac{1}{R^2 \sin \theta} (\frac{\partial}{\partial \theta}( R \sin \theta K_\theta)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}(R K_\phi))</math>

=== דוגמא 1 ===
נתון משטח הטעון הצפיפות אחידה - <math>\eta_0</math>.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

<math display="block">\vec \epsilon = -\frac{\eta_{0}}{2 \epsilon_0}\cdot \sgn(z) \hat z</math>

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב <math>z=0</math>.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

<math display="block">\hat z (\epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} \hat z - \epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} (-\hat z))
=
\hat z \cdot \frac{2 \epsilon_0 \eta_0}{2 \epsilon_0}\hat z = \hat z \cdot \hat z \eta_0 = \eta_0</math>

אכן קיבלנו את <math>\eta_0</math> כצפוי.

==== דוגמא 2 ====
נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה <math>\vec K = K_0 \hat y</math>.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<<math display="block">\vec H = \frac{k_0}{2}\cdot \sgn(z) \hat x</math>

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \hat z \times (\frac{k_0}{2}\hat x -\frac{k_0}{2}(-\hat x)) =
\hat z \times (k_0 \hat x) = k_0 (\hat z \times \hat x) = k_0 \hat y = \vec K</math>

== כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? ==
נניח שקיים גוף כלשהו בעל מטענים.

נכניס את הגוף לתוך שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.

נניח שבעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, ולכן השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

<math display="block">\vec \epsilon_{new} = \vec \epsilon_{external} + \vec \epsilon_{charge}</math>

לפיכך:

חומר = פילוג המטענים בגוף + ואקום

== חומר מוליך בשדה חשמלי ==
הגדרה:

חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר.

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענין הינו:

<math display="block">\vec F = q \vec E</math>

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר <math>E = 0</math>.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1})=0
\Longrightarrow
\hat n \times \vec E_2=0\Longrightarrow
\vec E_2 \text{ is perpendicular to the sphere}</math>

הגדרה:

מצב יציב - מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך.

אם במצב היציב מתקיים בתוך המוליך:

<math display="block">\vec E = 0</math>

נפעיל חוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=0
\Longrightarrow
\rho = 0</math>

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
חוק אוהם קובע כי:

<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>.

לחילופין, ניתן לכתוב:

<<math display="block">V=RI</math>

מתוך חוק אוהם, ניתן לקבל:

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

==== דוגמא לשימוש במודל: ====
נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר (כלומר, אינו משתנה במרחב).

במעבר השני השתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r) = e^{-t/\tau} \cdot \rho_0 (t)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

לכן נבין, כי הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל, הינו קטן ביותר.

== מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor) ==
הגדרה:

מוליך אידאלי הוא חומר שבו <math>\sigma \longrightarrow \infty</math>

לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי ולא מגנטי, ולפיכך גם לא זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך).

=== סיכום: ===
{| class="wikitable"
|+
!תכונות
!מוליך אידאלי
!מוליך רגיל
|-
|האם קיים <math>\vec K</math> על שפת המוליך?
|כן, יש זרם רק על השפה.
|לא, עבור השפה
<math>R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma}\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}
\underset{\delta \longrightarrow 0}{\longrightarrow}
\infty</math>
|-
|תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, ולכן:
<math>\eta=\epsilon_0 \cdot \hat n \vec E_{out side}</math>
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, לכן:
<math>\hat n \times \vec E_{out side} = 0</math>

כלומר, השדה ניצב לשפה
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - שימור מטען
|<math>\nabla_{2D} \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>- \hat n \cdot \vec J_{inside} = -\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|}

=== סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC): ===
<math display="block">\hat n \times \vec E = 0 </math>

<math display="block">\hat n \times \vec H = \vec K</math>

<math display="block">\hat n \cdot \epsilon_0 \vec E = \eta</math>

<math display="block">\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0</math>
</div>