EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית

2022-02-16T15:34:50Z

132.66.84.197:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בשבוע הקודם ראינו קיצר ניתן לפתור את משוואת לפלאס באמצעות הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות.

בשבוע הזה נראה כיצד נוכל לפתור את בעית לפלאס למערכת עם סימטרה אזימוטלית (גלילית).

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות גליליות ==
[[File:Pic0701.png|200px|thumb|left|איור 1]]
בקורדינטות גליליות, משוואת לפלס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}=0</math>נציב פתרון בהפרדת משתנים מהצורה:

<math display="block">\phi = R(r)F(\varphi)Z(z)</math>נציב ונקבל:

<math display="block">\nabla^2\phi = F\cdot Z\cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rR')+
\frac{1}{r^2}F'' RZ+FRZ''=0</math>נחלק ב FRZ:

<math display="block">\frac{1}{Rr} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r R')
+
\frac{1}{r^2}\cdot \frac{F''}{F} = - \underbrace{\frac{Z''}{Z}}
_{\equiv k_z^2} = k_z^2</math>נכפול ב <math>r^2</math>:

<math display="block">\underbrace{\frac{r}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')}_{\text{depends only on r}
- k_z^2 r^2} +
\underbrace{\frac{F''}{F}}_{\text{depends only on }\varphi} = 0</math>נגדיר:

<math display="block">\frac{F''}{F} \equiv -\nu^2</math>ולכן נקבל:

<math display="block">\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(rR') -
(\frac{\nu^2}{r^2} + k_z^2)R = 0</math>בסך הכל יש שני קבועי הפרדה בלתי תלויים: <math>\nu,k_z</math>.

'''הפיתרון הטריוויאלי''' <math>\nu=0,k_z=0</math>''':'''

<math display="block">\begin{cases}
F''=0 \Rightarrow F=A\varphi +B \\
Z''=0 \Rightarrow Z=Cz+D\\
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')= 0\Rightarrow
rR' = E \Rightarrow R'=\frac{E}{r} \Rightarrow R = E \ln(r)+F </math>'''פתרון כללי <math>\nu \neq 0,k_z=0 </math>:'''

<math display="block">\frac{F''}{F}=-\nu^2 \Rightarrow F''+\nu^2 F=0 </math>אם <math>\nu^2>0 </math>:

<math display="block">F(\varphi) = A\cos(\nu \varphi) + B \sin(\nu \varphi) </math>אם נציב חזרה במשוואה של r:

<math display="block">r^2 R''+rR'-\nu^2 R=0 \Rightarrow R=E r^\nu + F r^{-\nu} </math>אם <math>\nu^2<0 </math>:

<math display="block">\nu \equiv i \tilde \nu </math><math display="block">F'' - \tilde \nu^2 F = 0 \Rightarrow
F = A \sinh(\tilde \nu \varphi) + B \cosh(\tilde \nu \varphi) </math>נציב במשוואה ל- R:

<math display="block">R=\tilde E \cos(\tilde \nu \ln(r))+
\tilde F \sin(\tilde \nu \ln(r)) </math>

=== סיכום קצר ===
בכל הפתרונות <math>k_z=0 </math> התלות בכיוון z היא טריוויאלית.
{| class="wikitable"
|+
|<math>\phi = (A\varphi + B)(C \ln(r) + D)(Ez+F ) </math>
!<math>\nu=0 </math>
|-
|<math>\phi=[A \cos(\nu\varphi)+B\sin(\nu\varphi)] \cdot
[C r^\nu + D r^{-\nu}] \cdot [Ez+F] </math>
!<math>\nu^2>0 </math>
|-
|<math>\phi = [A\sinh(\tilde \nu \varphi)+B\cosh(\tilde \nu \varphi)]\cdot
[C\sin(\tilde \nu \ln(r))+D\cos(\tilde \nu \ln(r))]\cdot
[Ez+F] </math>
!<math>\nu^2<0 </math>
|}

=== דוגמא 1 (איור 2) ===
[[File:Pic0702.png|200px|thumb|left|איור 2]]
יש לחשב את <math>\phi </math> בין הלוחות הללו.

תנאי שפה: <math>\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=V_0 </math>

הבעיה מתאימה לפיתרון טריויאלי:

<math display="block">\phi = (A\varphi + B)\cdot (C+\underbrace{D \ln (r)}_{=0})\cdot (\underbrace{E z}_{=0} + F)=
A\varphi + B </math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=B=0,\phi(\varphi=\alpha)=A\cdot \alpha =V_0 \Rightarrow A=\frac{V_0}{\alpha} </math>לכן:

[[File:Pic0703.png|200px|thumb|left|איור 3 - השדה החשמלי בבעיה]]

<math display="block">\phi = \frac{V_0}{\alpha}\cdot \varphi </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{V_0}{\alpha r} \hat \varphi </math>

=== דוגמא 2 (איור 4) ===
[[File:Pic0704.png|40px|thumb|left|איור 4]]
תיל אינסופי טעון בצפיפות אחידה.

נבחר גם כאן בפתרון הטריוויאלי:

<math display="block">\phi = (\underbrace{A\varphi}_{=0} + B)\cdot
(\underbrace{Cz}_{=0}+D) \cdot
(E+F\ln(r))=
E+F\ln(r) </math>נבחר ייחוס לפוטנציאל ב- <math>r=R_0 </math>:

<math display="block">\phi= C_1 \ln(\frac{r}{R_0}) </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{C_2}{r} \hat r
\underbrace{=}_{\text{Gauss's theorem}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat r </math>

=== דוגמא 3 (איור 5) ===
[[File:Pic0705.png|200px|thumb|left|איור 5]]
גליל PEC, אינסופי בכיוון z.

צריך לחשב את השדה החשמלי בכל נקודה מחוץ לגליל.

מחוץ לגליל:<math display="block">\nabla^2\phi=0</math><math display="block">\begin{cases} \vec E(r\gg a) = E_0 \hat x \\ \phi(r=a)=C \end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\begin{cases} \phi(r\gg a) = -E_0 x = -E_0 r \cos \varphi \text{ (1)}\\
\phi(r=a)=0 \text{ (2)}\end{cases}</math>הפיתרון הכללי:

<math display="block">\phi = (A r^\nu +B r^{-\nu})\cdot (C \sin(\nu \varphi)+D\cos(\nu\varphi))</math>בבעיה שאנו פותרים בכל התחום <math>\varphi \in [0,2\pi]</math>:

[[File:Pic0706b.png|300px|thumb|left|איור 6 - קווים שווי פוטנציאל בדוגמא]]

<math display="block">\nu=n\in \N </math>מתנאי שפה (2) נבחר <math>\nu=n=1</math>:

<math display="block">\phi= (Ar+\frac{B}{r})\cdot (C \sin\varphi + D \cos\varphi)</math>מ (2):<math display="block">\phi(r=a)=0=(Aa+\frac{B}{a})\cdot (C\sin\varphi + D \cos\varphi)
\Rightarrow
Aa+\frac{B}{a}=0
\Rightarrow
B=-Aa^2 </math>
מ (1):
[[File:Pic0707.png|300px|thumb|left|איור 7 - קווי השדה בדוגמא]]
<math display="block">\phi(r\gg a) \approx Ar\cdot (C\sin\varphi+D\cos\varphi )=-E_0r \cos\varphi</math><math display="block">\Rightarrow
C=0,A\cdot D =-E_0
\Rightarrow
B\cdot D = a^2 \cdot A \cdot D</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (-E_0 r+\frac{E_0 a^2}{r}) \cos \varphi =
\underbrace{-E_0 r \cos \varphi}_{\text{Potential}}
+
\underbrace{\frac{E_0 a^2}{r}\cos\varphi}_{\text{Reaction}} </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = E_0 \hat x = -\frac{a^2}{r^2}\cdot
(-\cos\varphi \hat r - \sin\varphi \hat \varphi)\cdot E_0</math>'''מה פילוג המטענים על שפת הגליל?'''
<math display="block">\eta = \hat r \cdot (\epsilon_0 E - \epsilon_0 E_{\text{inside}})|_{r=a} =...=\epsilon_0 E_0 \cos\varphi </math>

=== דוגמא 4 (איור 8) ===
[[File:Pic0708.png|200px|thumb|left|איור 8]]
המבנה אינסופי בכיוון <math>\hat z</math>.

בתוך הגזרה הפוטנציאל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>.

* בעיה סטטית
* אין מטענים חופשיים

תנאי השפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=0,\phi(r=a)=V(\varphi), \varphi\in[0,\alpha]</math>הפיתרון הטריוויאלי לא יכול לקיים את תנאי השפה, לכן נבחר בפיתרון הכללי:

<math display="block">\phi = (Ar^\nu + B r^{-\nu})\cdot (C\sin(\nu\varphi)+D\cos(\nu\varphi))</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0) = (A r^\nu + B r^{-\nu})\cdot
D = 0 \Rightarrow D=0</math>נגדיר:

<math display="block">A \cdot C \equiv \tilde A, B\cdot C \equiv \tilde B </math>נציב:

<math display="block">\phi = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu\varphi)</math>נציב <math>\varphi = \alpha</math>:

<math display="block">\phi(\varphi=\alpha) = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu \alpha) = 0
\Rightarrow
\nu \alpha = \pi n
\Rightarrow
\nu = \frac{\pi n}{\alpha}, n\in \N </math>בפיתרון הכללי ביותר:
[[File:Pic0709.png|300px|thumb|left|איור 9]]

<math display="block">\phi = \sum_{n=1}^\infty (\tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }} + \tilde B_n r ^{-\frac{\pi n}{\alpha }})
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)</math>מתוך עיקרון המינימום / מקסימום <math>\tilde B_n = 0</math>:

<math display="block">\phi = \sum_{n=1}^\infty \tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }}
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)</math>מכאן מפתחים את המקדמים לפי:
[[File:Pic0710.png|300px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\phi(r=a)=V(\varphi)</math>ומקבלים ביטוי ל - <math>\tilde A_n</math>.

מה השדה?

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi = - \hat r
\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1}\cdot
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi) -
\hat \varphi\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1} \cdot
\cos(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi )</math>נשים לב, כי באיבר הראשון <math>n=1</math> החזקה של <math>r</math> יכולה להיות שלילית כאשר <math>\alpha>\pi</math>.
</div>

פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית

2022-02-16T10:30:50Z

132.66.84.197:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בשבוע הקודם ראינו קיצר ניתן לפתור את משוואת לפלאס באמצעות הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות.

בשבוע הזה נראה כיצד נוכל לפתור את בעית לפלאס למערכת עם סימטרה גלילית.

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות גליליות ==
[[File:Pic0701.png|200px|thumb|left|איור 1]]
בקורדינטות גליליות, משוואת לפלס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}=0</math>נציב פתרון בהפרדת משתנים מהצורה:

<math display="block">\phi = R(r)F(\varphi)Z(z)</math>נציב ונקבל:

<math display="block">\nabla^2\phi = F\cdot Z\cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rR')+
\frac{1}{r^2}F'' RZ+FRZ''=0</math>נחלק ב FRZ:

<math display="block">\frac{1}{Rr} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r R')
+
\frac{1}{r^2}\cdot \frac{F''}{F} = - \underbrace{\frac{Z''}{Z}}
_{\equiv k_z^2} = k_z^2</math>נכפול ב <math>r^2</math>:

<math display="block">\underbrace{\frac{r}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')}_{\text{depends only on r}
- k_z^2 r^2} +
\underbrace{\frac{F''}{F}}_{\text{depends only on }\varphi} = 0</math>נגדיר:

<math display="block">\frac{F''}{F} \equiv -\nu^2</math>ולכן נקבל:

<math display="block">\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(rR') -
(\frac{\nu^2}{r^2} + k_z^2)R = 0</math>בסך הכל יש שני קבועי הפרדה בלתי תלויים: <math>\nu,k_z</math>.

'''הפיתרון הטריוויאלי''' <math>\nu=0,k_z=0</math>''':'''

<math display="block">\begin{cases}
F''=0 \Rightarrow F=A\varphi +B \\
Z''=0 \Rightarrow Z=Cz+D\\
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')= 0\Rightarrow
rR' = E \Rightarrow R'=\frac{E}{r} \Rightarrow R = E \ln(r)+F </math>'''פתרון כללי <math>\nu \neq 0,k_z=0 </math>:'''

<math display="block">\frac{F''}{F}=-\nu^2 \Rightarrow F''+\nu^2 F=0 </math>אם <math>\nu^2>0 </math>:

<math display="block">F(\varphi) = A\cos(\nu \varphi) + B \sin(\nu \varphi) </math>אם נציב חזרה במשוואה של r:

<math display="block">r^2 R''+rR'-\nu^2 R=0 \Rightarrow R=E r^\nu + F r^{-\nu} </math>אם <math>\nu^2<0 </math>:

<math display="block">\nu \equiv i \tilde \nu </math><math display="block">F'' - \tilde \nu^2 F = 0 \Rightarrow
F = A \sinh(\tilde \nu \varphi) + B \cosh(\tilde \nu \varphi) </math>נציב במשוואה ל- R:

<math display="block">R=\tilde E \cos(\tilde \nu \ln(r))+
\tilde F \sin(\tilde \nu \ln(r)) </math>

=== סיכום קצר ===
בכל הפתרונות <math>k_z=0 </math> התלות בכיוון z היא טריוויאלית.
{| class="wikitable"
|+
|<math>\phi = (A\varphi + B)(C \ln(r) + D)(Ez+F ) </math>
!<math>\nu=0 </math>
|-
|<math>\phi=[A \cos(\nu\varphi)+B\sin(\nu\varphi)] \cdot
[C r^\nu + D r^{-\nu}] \cdot [Ez+F] </math>
!<math>\nu^2>0 </math>
|-
|<math>\phi = [A\sinh(\tilde \nu \varphi)+B\cosh(\tilde \nu \varphi)]\cdot
[C\sin(\tilde \nu \ln(r))+D\cos(\tilde \nu \ln(r))]\cdot
[Ez+F] </math>
!<math>\nu^2<0 </math>
|}

=== דוגמא 1 (איור 2) ===
[[File:Pic0702.png|200px|thumb|left|איור 2]]
יש לחשב את <math>\phi </math> בין הלוחות הללו.

תנאי שפה: <math>\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=V_0 </math>

הבעיה מתאימה לפיתרון טריויאלי:

<math display="block">\phi = (A\varphi + B)\cdot (C+\underbrace{D \ln (r)}_{=0})\cdot (\underbrace{E z}_{=0} + F)=
A\varphi + B </math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=B=0,\phi(\varphi=\alpha)=A\cdot \alpha =V_0 \Rightarrow A=\frac{V_0}{\alpha} </math>לכן:

[[File:Pic0703.png|200px|thumb|left|איור 3 - השדה החשמלי בבעיה]]

<math display="block">\phi = \frac{V_0}{\alpha}\cdot \varphi </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{V_0}{\alpha r} \hat \varphi </math>

=== דוגמא 2 (איור 4) ===
[[File:Pic0704.png|40px|thumb|left|איור 4]]
תיל אינסופי טעון בצפיפות אחידה.

נבחר גם כאן בפתרון הטריוויאלי:

<math display="block">\phi = (\underbrace{A\varphi}_{=0} + B)\cdot
(\underbrace{Cz}_{=0}+D) \cdot
(E+F\ln(r))=
E+F\ln(r) </math>נבחר ייחוס לפוטנציאל ב- <math>r=R_0 </math>:

<math display="block">\phi= C_1 \ln(\frac{r}{R_0}) </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{C_2}{r} \hat r
\underbrace{=}_{\text{Gauss's theorem}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat r </math>

=== דוגמא 3 (איור 5) ===
[[File:Pic0705.png|200px|thumb|left|איור 5]]
גליל PEC, אינסופי בכיוון z.

צריך לחשב את השדה החשמלי בכל נקודה מחוץ לגליל.

מחוץ לגליל:<math display="block">\nabla^2\phi=0</math><math display="block">\begin{cases} \vec E(r\gg a) = E_0 \hat x \\ \phi(r=a)=C \end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\begin{cases} \phi(r\gg a) = -E_0 x = -E_0 r \cos \varphi \text{ (1)}\\
\phi(r=a)=0 \text{ (2)}\end{cases}</math>הפיתרון הכללי:

<math display="block">\phi = (A r^\nu +B r^{-\nu})\cdot (C \sin(\nu \varphi)+D\cos(\nu\varphi))</math>בבעיה שאנו פותרים בכל התחום <math>\varphi \in [0,2\pi]</math>:

[[File:Pic0706b.png|300px|thumb|left|איור 6 - קווים שווי פוטנציאל בדוגמא]]

<math display="block">\nu=n\in \N </math>מתנאי שפה (2) נבחר <math>\nu=n=1</math>:

<math display="block">\phi= (Ar+\frac{B}{r})\cdot (C \sin\varphi + D \cos\varphi)</math>מ (2):<math display="block">\phi(r=a)=0=(Aa+\frac{B}{a})\cdot (C\sin\varphi + D \cos\varphi)
\Rightarrow
Aa+\frac{B}{a}=0
\Rightarrow
B=-Aa^2 </math>
מ (1):
[[File:Pic0707.png|300px|thumb|left|איור 7 - קווי השדה בדוגמא]]
<math display="block">\phi(r\gg a) \approx Ar\cdot (C\sin\varphi+D\cos\varphi )=-E_0r \cos\varphi</math><math display="block">\Rightarrow
C=0,A\cdot D =-E_0
\Rightarrow
B\cdot D = a^2 \cdot A \cdot D</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (-E_0 r+\frac{E_0 a^2}{r}) \cos \varphi =
\underbrace{-E_0 r \cos \varphi}_{\text{Potential}}
+
\underbrace{\frac{E_0 a^2}{r}\cos\varphi}_{\text{Reaction}} </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = E_0 \hat x = -\frac{a^2}{r^2}\cdot
(-\cos\varphi \hat r - \sin\varphi \hat \varphi)\cdot E_0</math>'''מה פילוג המטענים על שפת הגליל?'''
<math display="block">\eta = \hat r \cdot (\epsilon_0 E - \epsilon_0 E_{\text{inside}})|_{r=a} =...=\epsilon_0 E_0 \cos\varphi </math>

=== דוגמא 4 (איור 8) ===
[[File:Pic0708.png|200px|thumb|left|איור 8]]
המבנה אינסופי בכיוון <math>\hat z</math>.

בתוך הגזרה הפוטנציאל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>.

* בעיה סטטית
* אין מטענים חופשיים

תנאי השפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=0,\phi(r=a)=V(\varphi), \varphi\in[0,\alpha]</math>הפיתרון הטריוויאלי לא יכול לקיים את תנאי השפה, לכן נבחר בפיתרון הכללי:

<math display="block">\phi = (Ar^\nu + B r^{-\nu})\cdot (C\sin(\nu\varphi)+D\cos(\nu\varphi))</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0) = (A r^\nu + B r^{-\nu})\cdot
D = 0 \Rightarrow D=0</math>נגדיר:

<math display="block">A \cdot C \equiv \tilde A, B\cdot C \equiv \tilde B </math>נציב:

<math display="block">\phi = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu\varphi)</math>נציב <math>\varphi = \alpha</math>:

<math display="block">\phi(\varphi=\alpha) = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu \alpha) = 0
\Rightarrow
\nu \alpha = \pi n
\Rightarrow
\nu = \frac{\pi n}{\alpha}, n\in \N </math>בפיתרון הכללי ביותר:
[[File:Pic0709.png|300px|thumb|left|איור 9]]

<math display="block">\phi = \sum_{n=1}^\infty (\tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }} + \tilde B_n r ^{-\frac{\pi n}{\alpha }})
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)</math>מתוך עיקרון המינימום / מקסימום <math>\tilde B_n = 0</math>:

<math display="block">\phi = \sum_{n=1}^\infty \tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }}
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)</math>מכאן מפתחים את המקדמים לפי:
[[File:Pic0710.png|300px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\phi(r=a)=V(\varphi)</math>ומקבלים ביטוי ל - <math>\tilde A_n</math>.

מה השדה?

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi = - \hat r
\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1}\cdot
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi) -
\hat \varphi\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1} \cdot
\cos(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi )</math>נשים לב, כי באיבר הראשון <math>n=1</math> החזקה של <math>r</math> יכולה להיות שלילית כאשר <math>\alpha>\pi</math>.
</div>

שדות אלקטרומגנטיים

2022-02-16T09:03:57Z

132.66.84.197:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl" font-size:150%>
ברוכים הבאים וברוכות הבאות לדף הויקיפדיה של הקורס "שדות אלקטרומגנטיים" באוניברסיטת תל אביב.
== מבוא ==
מדוע אנו מתעניינים בשדות אלקטרומגנטיים?

הם נמצאים בכל מקום מסביבנו!

'''בטבע''' - האור, פיזור האור מחומרים ואובייקטים שונים המאפשר לנו לראות אותם. תופעות שונות הקשורות להתנהגות השדות האלקטרומגנטיים באינטראקציה זו עם חומרים שונים קובעת את צבע השמיים, העננים, הקשת בענן.

'''בטכנולוגיה''' - שדות אלקטרומגנטיים נמצאים בתחומים רבים:
* חישה, RADAR.
* דימות רפואי: החל מ-CT ורנטגן המשתמשים בגלים בתחום ה-XRAY, ועד MRI המשתמש בשדות מגנטיים סטטיים בשילוב עם שדות בתדרי רדיו.
*לייזרים, סיבים אופטיים לתקשורת והולכת מידע, ומערכות אופטיות.
*חומרים מלאכותיים ואקזוטיים.
הבנה של תופעות אלו (ועוד) מחייבת תאור מסודר ומעמיק של השדות האלקטרומגנטיים, וכיצד הם מבצעים אינטראקציה עם הסביבה.

בקורס שלנו אנחנו נעסוק בעיקר בשדות סטטיים (כלומר שאינם משתנים בזמן), או "כמעט" סטטיים. האם בשל כך הוא רלוונטי רק כנדבך לקורסי ההמשך?

ממש לא! בחזית המחקר היום נמצא העיסוק במבנים קטנים מאוד - עד כדי ננומטרים ספורים. גם שדות בתדרים זמניים גבונים מאוד הם בעלי אורך גל ארוך משמעותית ממבנים אלו, ולכן מנקודת המבט של מערכות ננומטריות השדות מתנהגים כמעט כשדות סטטיים.

בתרשים הזרימה למטה מתוארים חלקי הקורס, והקשרים ביניהם.

[[File:flowchart-course.png|800px|left]]

[[פרק 0 - מבוא מתמטי]]

[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)]]<br />

[[פרק 2 - תנאי שפה]]

[[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 3ב - המשך לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 4 - עבודה ואנרגיה]]

[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה]]

[[פרק 6 - משוואת לפלאס]]

[[פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית]]<br />

</div>

פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית

2022-02-16T08:48:41Z

132.66.84.197:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בשבוע הקודם ראינו קיצר ניתן לפתור את משוואת לפלאס באמצעות הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות.

בשבוע הזה נראה כיצד נוכל לפתור את בעית לפלאס למערכת עם סימטרה גלילית.

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות גליליות ==
[[File:Pic0701.png|200px|thumb|left|איור 1]]
בקורדינטות גליליות, משוואת לפלס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}=0</math>נציב פתרון בהפרדת משתנים מהצורה:

<math display="block">\phi = R(r)F(\varphi)Z(z)</math>נציב ונקבל:

<math display="block">\nabla^2\phi = F\cdot Z\cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rR')+
\frac{1}{r^2}F'' RZ+FRZ''=0</math>נחלק ב FRZ:

<math display="block">\frac{1}{Rr} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r R')
+
\frac{1}{r^2}\cdot \frac{F''}{F} = - \underbrace{\frac{Z''}{Z}}
_{\equiv k_z^2} = k_z^2</math>נכפול ב <math>r^2</math>:

<math display="block">\underbrace{\frac{r}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')}_{\text{depends only on r}
- k_z^2 r^2} +
\underbrace{\frac{F''}{F}}_{\text{depends only on }\varphi} = 0</math>נגדיר:

<math display="block">\frac{F''}{F} \equiv -\nu^2</math>ולכן נקבל:

<math display="block">\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(rR') -
(\frac{\nu^2}{r^2} + k_z^2)R = 0</math>בסך הכל יש שני קבועי הפרדה בלתי תלויים: <math>\nu,k_z</math>.

'''הפיתרון הטריוויאלי''' <math>\nu=0,k_z=0</math>''':'''

<math display="block">\begin{cases}
F''=0 \Rightarrow F=A\varphi +B \\
Z''=0 \Rightarrow Z=Cz+D\\
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')= 0\Rightarrow
rR' = E \Rightarrow R'=\frac{E}{r} \Rightarrow R = E \ln(r)+F </math>'''פתרון כללי <math>\nu \neq 0,k_z=0 </math>:'''

<math display="block">\frac{F''}{F}=-\nu^2 \Rightarrow F''+\nu^2 F=0 </math>אם <math>\nu^2>0 </math>:

<math display="block">F(\varphi) = A\cos(\nu \varphi) + B \sin(\nu \varphi) </math>אם נציב חזרה במשוואה של r:

<math display="block">r^2 R''+rR'-\nu^2 R=0 \Rightarrow R=E r^\nu + F r^{-\nu} </math>אם <math>\nu^2<0 </math>:

<math display="block">\nu = i \tilde \nu </math><math display="block">F'' - \tilde \nu^2 F = 0 \Rightarrow
F = A \sinh(\tilde \nu \varphi) + B \cosh(\tilde \nu \varphi) </math>נציב במשוואה ל- R:

<math display="block">R=\tilde E \cos(\tilde \nu \ln(r))+
\tilde F \sin(\tilde \nu \ln(r)) </math>

=== סיכום קצר ===
בכל הפתרונות <math>k_z=0 </math> התלות בכיוון z היא טריוויאלית.
{| class="wikitable"
|+
|<math>\phi = (A\varphi + B)(C \ln(r) + D)(Ez+F ) </math>
!<math>\nu=0 </math>
|-
|<math>\phi=[A \cos(\nu\varphi)+B\sin(\nu\varphi)] \cdot
[C r^\nu + D r^{-\nu}] \cdot [Ez+F] </math>
!<math>\nu^2>0 </math>
|-
|<math>\phi = [A\sinh(\tilde \nu \varphi)+B\cosh(\tilde \nu \varphi)]\cdot
[C\sin(\tilde \nu \ln(r))+D\cos(\tilde \nu \ln(r))]\cdot
[Ez+F] </math>
!<math>\nu^2<0 </math>
|}

=== דוגמא 1 (איור 2) ===
[[File:Pic0702.png|200px|thumb|left|איור 2]]
יש לחשב את <math>\phi </math> בין הלוחות הללו.

תנאי שפה: <math>\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=V_0 </math>

הבעיה מתאימה לפיתרון טריויאלי:

<math display="block">\phi = (A\varphi + B)\cdot (C+\underbrace{D \ln (r)}_{=0})\cdot (\underbrace{E z}_{=0} + F)=
A\varphi + B </math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=B=0,\phi(\varphi=\alpha)=A\cdot \alpha =V_0 \Rightarrow A=\frac{V_0}{\alpha} </math>לכן:

[[File:Pic0703.png|200px|thumb|left|איור 3 - השדה החשמלי בבעיה]]

<math display="block">\phi = \frac{V_0}{\alpha}\cdot \varphi </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{V_0}{\alpha r} \hat \varphi </math>

=== דוגמא 2 (איור 4) ===
[[File:Pic0704.png|40px|thumb|left|איור 4]]
תיל אינסופי טעון בצפיפות אחידה.

נבחר גם כאן בפתרון הטריוויאלי:

<math display="block">\phi = (\underbrace{A\varphi}_{=0} + B)\cdot
(\underbrace{Cz}_{=0}+D) \cdot
(E+F\ln(r))=
E+F\ln(r) </math>נבחר ייחוס לפוטנציאל ב- <math>r=R_0 </math>:

<math display="block">\phi= C_1 \ln(\frac{r}{R_0}) </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{C_2}{r} \hat r
\underbrace{=}_{\text{Gauss's theorem}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat r </math>

=== דוגמא 3 (איור 5) ===
[[File:Pic0705.png|200px|thumb|left|איור 5]]
גליל PEC, אינסופי בכיוון z.

צריך לחשב את השדה החשמלי בכל נקודה מחוץ לגליל.

מחוץ לגליל:<math display="block">\nabla^2\phi=0</math><math display="block">\begin{cases} \vec E(r\gg a) = E_0 \hat x \\ \phi(r=a)=C \end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\begin{cases} \phi(r\gg a) = -E_0 x = -E_0 r \cos \varphi \text{ (1)}\\
\phi(r=a)=0 \text{ (2)}\end{cases}</math>הפיתרון הכללי:

<math display="block">\phi = (A r^\nu +B r^{-\nu})\cdot (C \sin(\nu \varphi)+D\cos(\nu\varphi))</math>בבעיה שאנו פותרים בכל התחום <math>\varphi \in [0,2\pi]</math>:

[[File:Pic0706b.png|300px|thumb|left|איור 6 - קווים שווי פוטנציאל בדוגמא]]

<math display="block">\nu=n\in \N </math>מתנאי שפה (2) נבחר <math>\nu=n=1</math>:

<math display="block">\phi= (Ar+\frac{B}{r})\cdot (C \sin\varphi + D \cos\varphi)</math>מ (2):<math display="block">\phi(r=a)=0=(Aa+\frac{B}{a})\cdot (C\sin\varphi + D \cos\varphi)
\Rightarrow
Aa+\frac{B}{a}=0
\Rightarrow
B=-Aa^2 </math>
מ (1):
[[File:Pic0707.png|300px|thumb|left|איור 7 - קווי השדה בדוגמא]]
<math display="block">\phi(r\gg a) \approx Ar\cdot (C\sin\varphi+D\cos\varphi )=-E_0r \cos\varphi</math><math display="block">\Rightarrow
C=0,A\cdot D =-E_0
\Rightarrow
B\cdot D = a^2 \cdot A \cdot D</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (-E_0 r+\frac{E_0 a^2}{r}) \cos \varphi =
\underbrace{-E_0 r \cos \varphi}_{\text{Potential}}
+
\underbrace{\frac{E_0 a^2}{r}\cos\varphi}_{\text{Reaction}} </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = E_0 \hat x = -\frac{a^2}{r^2}\cdot
(-\cos\varphi \hat r - \sin\varphi \hat \varphi)\cdot E_0</math>'''מה פילוג המטענים על שפת הגליל?'''
<math display="block">\eta = \hat r \cdot (\epsilon_0 E - \epsilon_0 E_{\text{inside}})|_{r=a} =...=\epsilon_0 E_0 \cos\varphi </math>

=== דוגמא 4 (איור 8) ===
[[File:Pic0708.png|200px|thumb|left|איור 8]]
המבנה אינסופי בכיוון <math>\hat z</math>.

בתוך הגזרה הפוטנציאל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>.

* בעיה סטטית
* אין מטענים חופשיים

תנאי השפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=0,\phi(r=a)=V(\varphi), \varphi\in[0,\alpha]</math>הפיתרון הטריוויאלי לא יכול לקיים את תנאי השפה, לכן נבחר בפיתרון הכללי:

<math display="block">\phi = (Ar^\nu + B r^{-\nu})\cdot (C\sin(\nu\varphi)+D\cos(\nu\varphi))</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0) = (A r^\nu + B r^{-\nu})\cdot
D = 0 \Rightarrow D=0</math>נגדיר:

<math display="block">A \cdot C \equiv \tilde A, B\cdot C \equiv \tilde B </math>נציב:

<math display="block">\phi = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu\varphi)</math>נציב <math>\varphi = \alpha</math>:

<math display="block">\phi(\varphi=\alpha) = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu \alpha) = 0
\Rightarrow
\nu \alpha = \pi n
\Rightarrow
\nu = \frac{\pi n}{\alpha}, n\in \N </math>בפיתרון הכללי ביותר:
[[File:Pic0709.png|300px|thumb|left|איור 9]]

<math display="block">\phi = \sum_{n=1}^\infty (\tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }} + \tilde B_n r ^{-\frac{\pi n}{\alpha }})
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)</math>מתוך עיקרון המינימום / מקסימום <math>\tilde B_n = 0</math>:

<math display="block">\phi = \sum_{n=1}^\infty \tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }}
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\cdot \varphi)</math>מכאן מפתחים את המקדמים לפי:
[[File:Pic0710.png|300px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\phi(r=a)=V(\varphi)</math>ומקבלים ביטוי ל - <math>\tilde A_n</math>.

מה השדה?

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi = - \hat r
\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1}\cdot
\sin(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi) -
\hat \varphi\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1} \cdot
\cos(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi )</math>נשים לב, כי באיבר הראשון <math>n=1</math> החזקה של <math>r</math> יכולה להיות שלילית כאשר <math>\alpha>\pi</math>.
</div>