EM Fields - TAU - User contributions [en]

שדות אלקטרומגנטיים

2025-05-05T12:48:53Z

2.54.144.100: /* מבוא */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl" font-size:150%>
ברוכים הבאים וברוכות הבאות לדף הויקיפדיה של הקורס "שדות אלקטרומגנטיים" באוניברסיטת תל אביב.

הדף נערך ונבנה על ידי ירדן מזור (מרצה) ורונאל מלניצקי. לשאלות והצעות ניתן לפנות לירדן מזור, פרטים ב-https://www.wavetheory-group.sites.tau.ac.il/
== מבוא ==
מדוע אנו מתעניינים בשדות אלקטרומגנטיים?

הם נמצאים בכל מקום מסביבנו!

'''בטבע''' - האור, פיזור האור מחומרים ואובייקטים שונים המאפשר לנו לראות אותם. תופעות שונות הקשורות להתנהגות השדות האלקטרומגנטיים באינטראקציה זו עם חומרים שונים קובעת את צבע השמיים, העננים, הקשת בענן.

'''בטכנולוגיה''' - שדות אלקטרומגנטיים נמצאים בתחומים רבים:
* חישה, RADAR.
* דימות רפואי: החל מ-CT ורנטגן המשתמשים בגלים בתחום ה-XRAY, ועד MRI המשתמש בשדות מגנטיים סטטיים בשילוב עם שדות בתדרי רדיו.
*לייזרים, סיבים אופטיים לתקשורת והולכת מידע, ומערכות אופטיות.
*חומרים מלאכותיים ואקזוטיים.
הבנה של תופעות אלו (ועוד) מחייבת תאור מסודר ומעמיק של השדות האלקטרומגנטיים, וכיצד הם מבצעים אינטראקציה עם הסביבה.

בקורס שלנו אנחנו נעסוק בעיקר בשדות סטטיים (כלומר שאינם משתנים בזמן), או "כמעט" סטטיים. האם בשל כך הוא רלוונטי רק כנדבך לקורסי ההמשך?

ממש לא! בחזית המחקר היום נמצא העיסוק במבנים קטנים מאוד - עד כדי ננומטרים ספורים. גם שדות בתדרים זמניים גבונים מאוד הם בעלי אורך גל ארוך משמעותית ממבנים אלו, ולכן מנקודת המבט של מערכות ננומטריות השדות מתנהגים כמעט כשדות סטטיים.

בתרשים הזרימה למטה מתוארים חלקי הקורס, והקשרים ביניהם.

[[File:flowchart-course.png|800px|left]]

[[פרק 0 - מבוא מתמטי]]

[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)]]<br />

[[פרק 2 - תנאי שפה]]

[[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 3ב - קוואזיסטטיקה]]

[[פרק 4 - עבודה ואנרגיה]]

[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה]]

[[פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות]]

[[פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית]]

[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית]]

[[פרק 9 - מגנטוסטטיקה]]

[[פרק 10 - שדות חשמליים בחומר]]

[[פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים]]

[[פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר]]

[[פרק 13 - אנרגיה]]

</div>

שדות אלקטרומגנטיים

2025-05-05T12:48:22Z

2.54.144.100: /* מבוא */

פרק 13 - אנרגיה

2025-05-05T12:47:38Z

2.54.144.100:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== אנרגיה בחומר ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>
כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
לצורך כך, נביט על:
<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>
כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:
<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>
נשתמש בהגדרות המוכרות:
<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>
נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:
<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>
נסתכל על כל רכיבי המשוואה:
<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{\partial_t W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{\partial_t W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>
כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>\partial_t W_H=\partial_t \left(\frac{1}{2}\epsilon_0|\vec{E}|^2\right)</math>
|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>\partial_t W_E=\partial_t \left(\frac{1}{2}\mu_0|\vec{H}|^2\right)</math>
|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה החשמלית האגורה בשדה החשמלי E
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות (איור 1) ===
[[File:Pic1301.png|300px|thumb|left|איור 1]]

במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה (איור 2) ===
[[File:Pic1302.png|500px|thumb|center|איור 2]]
אם נסתכל על מקרה של חומר פסיבי, המתואר בצד שמאל של איור 2, ונחשב את העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה מ-0 עד לערך מסוים, ע"י
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>
נקבל ערך חיובי. אם כעת נחזור חזרה למצב ללא פולריזציה נקבל <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.
לעומת זאת, בחומר המאופיין על ידי לולאת היסטרזיס, כפי שמתואר בצד ימין של איור 2, העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה לא "מוחזרת" במלואה כאשר הפולריזציה יורדת חזרה. מאחר והאינטגרציה בשני הכיוונים מתבצעת על קווים שונים בתרשים (כתום וכחול, או צהוב וכחול, כתלות במצב ההתחלתי).

במקרה מחזורי
<math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>,
ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה
<math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>
אם
<math>\chi_E </math>
לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2 </math>
ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.
<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material} </math>

=== הספק מגנטי ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את ההספק המגנטי:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:
<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו
<math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math>

אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:

<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2\right) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math>

כלומר, בחומר לינארי ניתן להגדיר מחדש את הביטויים לאנרגיה האגורה כך שיכללו את תכונות החומר, הבאות לידי ביטוי בערכי הפרמיטיביות <math>\epsilon </math> והפרמאביליות <math>\mu </math>.
</div>