פרק 2 - תנאי שפה

2022-07-11T13:23:34Z

38.109.203.15: /* לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 2 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

== מבוא ==
בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:<math display="block">(\vec E,\vec H)=\hat D [((\vec E,\vec H)] + \vec {Sources}</math>כך ש <math>\hat D</math> הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו. קשרים דיפרנציאליים אלו ייאפשרו לנו לפתור את השדות במגוון רחב של בעיות, ללא צורך בהנחת סימטריה גבוהה.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי. תופעות אלו מתרחשות פעמים רבות באיזורים שמהווים "שפה" בין שני תחומים בעלי תכונות שונות, ונרצה לתאר את "תנאי השפה" עבור השדות, אותם נצרף למשוואות הדיפרנציאליות שקיבלנו.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מעל המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מתחת למשטח S קיים שדה חשמל <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס התחתון של הגליל (S1), הבסיס העליון שלו (S2), והמעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>.
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + G(\rho_1,\rho_2)\delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>.

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>dL</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
= \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוש למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} = \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
= \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math>

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec n \times \vec b) = (\vec a \cdot \vec c)\vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{2}) = 0</math>

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t}
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + I_{cylindrical\;shell} </math>

האיבר <math>I_{cylindrical\;shell}</math> מייצג את סך הזרם היוצא דרך מעטפת הגליל, ללא המכסים. איבר זה הוא פרופורציונלי ל-<math>\delta</math>, ומההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> ניתן להזניחו בגבול של מטעפת קטנה מאוד.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) =
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין. תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות. בדומה להגדרת הדיברגנץ התלת ממדי שראינו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], איבר זה הוא למעשה דיברגנץ משטחי - דיברגנץ המוגדר עבור שדה המוכל במשטח מסוים, ולכן ניתן לרשום את חוק שימור המטען על ידי

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D}\cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

== תנאי שפה - סיכום ==

'''שדה חשמלי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) = \eta</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0</math>

'''שדה מגנטי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_{1}) = 0</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \vec K</math>

'''חוק שימור המטען'''
<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\nabla_{2D} \cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר <math>\nabla_{2D}</math> הוא דיברגנץ דו - מימדי.

=== אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ===
באופן כללי, לא ניתן לרשום את אופרטור הדיברגנץ הדו-ממדי (או דיברגנץ משטחי) על ידי איפוס אחת הנגזרות באופרטור בדיברגנץ התלת ממדי ה"רגיל". דבר זה הוא אפשרי, רק אם היחס המטרי של הקורדינטה שאת הנגזרת לפיה אנו מאפסים הוא קבוע. במקרים פרטיים, אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D}=\hat x \frac{\partial}{\partial x} + \hat y \frac{\partial}{\partial y}</math>

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D} = \frac{1}{R^2 \sin \theta} \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left( R \sin \theta K_\theta\right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}(R K_\phi)\right)</math>

== דוגמאות ==
=== משטח טעון בצפיפות אחידה של מטען חשמלי ===
נתון משטח הטעון הצפיפות אחידה - <math>\eta_0</math>.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

<math display="block">\vec E = -\frac{\eta_{0}}{2 \epsilon_0}\cdot \sgn(z) \hat z</math>

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב <math>z=0</math>.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

<math display="block">\hat z (\epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} \hat z - \epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} (-\hat z))
=
\hat z \cdot \frac{2 \epsilon_0 \eta_0}{2 \epsilon_0}\hat z = \hat z \cdot \hat z \eta_0 = \eta_0</math>

אכן קיבלנו את <math>\eta_0</math> כצפוי.

=== משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה ===
נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה <math>\vec K = K_0 \hat y</math>.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<math display="block">\vec H = \frac{k_0}{2}\cdot \sgn(z) \hat x</math>

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \hat z \times (\frac{k_0}{2}\hat x -\frac{k_0}{2}(-\hat x)) =
\hat z \times (k_0 \hat x) = k_0 (\hat z \times \hat x) = k_0 \hat y = \vec K</math>

== כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? ==
נניח שקיים גוף כלשהו. בתוך הגוף יש מטענים, חלקם חופשיים לנוע, חלקם חופשיים רק להסתובב, וחלקם מקובעים למקומם. נכניס את הגוף לתוך איזור בו שורר שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.
כפי שציינו בהנחות היסוד ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|פרק 1]], בעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, וסידור חדש זה מתאר את כל ההשפעה שיש לגוף על השדה במרחב. השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

<math display="block">\vec E_{new} = \vec E_{external} + \vec E_{charge}</math>

== חומר מוליך בשדה חשמלי ==
<blockquote> הגדרה - חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר. </blockquote>

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענים הינו

<math display="block">\vec F = q \vec E</math>

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר <math>E = 0</math>.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך. השדה החשמלי בתוך המוליך, <math> \vec{E}_1=0 </math>, ומחוצה לו, <math> \vec{E}_2 </math>.ונשתמש בתנאי השפה עבור הרכיב המקביל של השדה החשמלי

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1})=0
\Longrightarrow
\hat n \times \vec E_2=0\Longrightarrow
\vec E_2 \text{ is perpendicular to the sphere}</math>

במצב יציב (מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך) מתקיים בתוך המוליך:

<math display="block">\vec E = 0</math>

נפעיל חוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=0
\Longrightarrow
\rho = 0</math>

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
כאשר החומר אינו מוליך אידאלי, המודל הפשוט ביותר המתאר את הקשר בין השדה השורר בתוך החומר לצפיפות הזרם הוא חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>. בהמשך הקורס, כאשר נדבר בהרחבה על שדות בתוך חומרים, נתאר את העקרונות הפיסיקליים המובילים לחוק אוהם.
עבור פיסת חומר בעלת גאומטריה מסוימת, סך הזרם החולף בחומר בתגובה להפעלה של מתח הוא

<math display="block">V=RI</math>

ומתוך חוק אוהם, ניתן לקבל את הקשר

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

גם במוליכים המקיימים את חוק אוהם, בסופו של דבר, במצב היציב, כל המטענים ייצברו על השפה משיקולים דומים. בתלות בתכונות החומר, תהליך זה לוקח זמן מסוים, וניתן לקבל הערכה לזמן זה. נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר אחיד במרחב, והשתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r,t) = e^{-t/\tau} \cdot \rho (\vec{r},t=0)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

ולכן נסיק כי במוליכים "טובים", עם מוליכות גבוהה, הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל הינו קטן ביותר. טבלת מוליכויות של חומרים שונים ניתן למצוא [https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistivity_and_conductivity כאן].

== מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor) ==
מוליך אידאלי הוא חומר שבו <math>\sigma \longrightarrow \infty</math>. לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי (מאחר וזמן הרלקסציה הוא אפסי, זה תמיד המצב בו), ולא מגנטי (הנימוק לכך אינו קלאסי, ונקרא אפקט Meisner). לפיכך, לא יהיה בו גם זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך), וגם לא צפיפות מטען נפחית.

=== השוואת התכונות של מוליך אידאלי ומוליך בעל מוליכות סופית ===
{| class="wikitable"
|+
!תכונות
!מוליך אידאלי
!מוליך רגיל
|-
|האם קיים <math>\vec K</math> על שפת המוליך?
|כן, יש זרם רק על השפה.
|לא, עבור השפה
<math>R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma}\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}
\underset{\delta \longrightarrow 0}{\longrightarrow}
\infty</math>
|-
|תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, ולכן:
<math>\eta=\epsilon_0 \cdot \hat n \vec E_{out side}</math>
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, לכן:
<math>\hat n \times \vec E_{out side} = 0</math>

כלומר, השדה ניצב לשפה
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - שימור מטען
|<math>\nabla_{2D} \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>- \hat n \cdot \vec J_{inside} = -\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>.
בבעיה סטטית, בה אין שינויים בזמן, נקבל <math>\hat{n}\cdot\vec{J}=0</math>,

ולכן הזרם חייב להיות מקביל לשפה.
|}

=== סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC) ===
<math display="block">\hat n \times \vec E = 0 </math>

<math display="block">\hat n \times \vec H = \vec K</math>

<math display="block">\hat n \cdot \epsilon_0 \vec E = \eta</math>

<math display="block">\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0</math>
</div>

EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 2 - תנאי שפה