EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-18T23:55:58Z

5.29.16.191:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===

* Spin Magnetization
* Orbital Magnetization

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization ===
מנגנון התגובה ל-<math> \vec H </math> הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי ====
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים ====
נבנה את המודל באמצעות השוואה בין הפולרזיציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \rho_{mf} +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-J_{mf}\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_{mf} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a-\vec M = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 ===
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 ===
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_a = 0 \Rightarrow \vec H = -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
אם הקשר לינארי:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) = \mu_0(1+\chi_m)\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>
{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}
{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-18T23:53:59Z

5.29.16.191:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי) ===
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב) ===
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי) ===
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \vec p_{m,n,k}] </math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים:<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{e\epsilon_0V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2022-04-18T23:53:12Z

5.29.16.191:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== שדות חשמליים בחומר ==

=== חומרים מוליכים ===
בחומרים מוליכים בעלי פילוג מטען ρ וחלקיקים הנעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n \cdot q \cdot \vec v(r)</math>כאשר <math>n</math> היא צפיפות החלקיקים נושאי המטען ליח' נפח ו-<math>q</math> מטענו של כל חלקיק.

כאשר יש יותר מסוג אחד של חלקיקים:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n_1 \cdot q_1 \cdot \vec v_1 + n_2 \cdot q_2 \cdot \vec v_2</math>אם יש יותר מ-2 סוגים:<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>

=== מודל Drude ===
במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את החוק השני בצורה הבאה:<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי.

כשהמערכת מתייצבת, <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = [\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}] \vec E = \sigma \vec E</math>כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית.

=== פולריזציה ===
כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגל). המיקום הממוצע של האלקטרונים הנתון על ידי הביטוי:<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

יש חומרים (כמו מים) שלמולקולות שמרכיבות אותם יש מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני "מיישרת" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

==== מודל מקרוסקופי ====
נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec P_{atom}</math> ולכן סה"כ הדיפול של כל התיבה: <math>\vec P = N \cdot \vec P_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח. בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום

מאחר וסך הכל מטען הפולריזציה צריך להיות אפס:<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {da}</math><math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:<math display="block">\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P</math><math display="block">\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P</math>נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====

==== נוכל למצוא ביטוי לצפיפות המשטחית מחוק גאוס:<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta = \hat n (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>ומסך המטען:<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta_p = -\hat n (\vec P _2 - \vec P_1)</math>זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>:<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) = \frac{d\vec P}{dt} \cdot \delta \vec A = \vec J_p \cdot \delta \vec A</math>כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:<math display="block">\frac{d\eta_p}{dt} = -\hat n (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})</math>כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial(\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1])\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== דוגמה ===
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>על השפות:<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math><math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math><math display="block">Q_p = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>

==== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה <math>\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P</math>, צפיפות שטף חשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>נוכל לרשום:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בבעיה.

* מנגנונים ליצירת פולריזציה
* Pyroelectric materials
* Piezoelectric materials
* Ferroelectric materials
* Bi-anisotropic materials

=== הקשר בין <math>E</math> ל-<math>P,D</math> ===

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>כאשר מגדירים את הסוספטביליות <math>\chi_e </math>, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math>:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E</math>כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\mathbb{I} + \chi_e) \vec E = \epsilon_0\epsilon_r \vec E</math>לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===

==== תווך אינסופי ====
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math><math display="block">\vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \frac{\vec D}{\epsilon} \Rightarrow \vec E = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} \cdot \hat r</math>

==== כדור סופי ====
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. נקבל את תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>מכאן נובע:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>שדה ההעתקה:<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>והשדה החשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>תנאי שפה עבור <math>\vec E</math> בוואקום:<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}</math>נמצא את הפולריזציה:<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math><math display="block">\begin{cases}
\vec P = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r)(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
\vec P = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math><math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math><math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>וזהו בדיוק <math>-Q_p</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה ===
נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

=== דוגמה 2 ===
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-18T23:52:24Z

5.29.16.191: Created page with "== שדות מגנטיים בחומר == === מנגנוני מגנטיזציה === * Spin Magnetization * Orbital Magnetization === דיאמגנטים - Orbital Magnetization === מנגנון התגובה ל-<math> \vec H </math> הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני. === פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization === === וקטור מגנטיזציה -..."

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===

* Spin Magnetization
* Orbital Magnetization

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization ===
מנגנון התגובה ל-<math> \vec H </math> הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי ====
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים ====
נבנה את המודל באמצעות השוואה בין הפולרזיציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \rho_{mf} +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-J_{mf}\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_{mf} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a-\vec M = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 ===
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 ===
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \vec J_f + \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_a = 0 \Rightarrow \vec H = -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
אם הקשר לינארי:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) = \mu_0(1+\chi_m)\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>
{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}
{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-18T23:51:45Z

5.29.16.191: Created page with "== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים == === ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות === {| class="wikitable" |+ !פולריזציה !פולריזביליות ! |- |ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת |התגובה של חלקיק בודד |מה מתאר? |- |קיטוב |קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math> |מאפיין |} === ה..."

== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי) ===
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב) ===
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי) ===
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \vec p_{m,n,k}] </math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים:<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{e\epsilon_0V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2022-04-18T23:50:28Z

5.29.16.191: Created page with "== שדות חשמליים בחומר == === חומרים מוליכים === בחומרים מוליכים בעלי פילוג מטען ρ וחלקיקים הנעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n \cdot q \cdot \vec v(r)</math>כאשר <math>n</math> היא צפיפות החלקיקים נושאי המטען ליח' נפח ו-<math>q</math> מ..."

== שדות חשמליים בחומר ==

=== חומרים מוליכים ===
בחומרים מוליכים בעלי פילוג מטען ρ וחלקיקים הנעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n \cdot q \cdot \vec v(r)</math>כאשר <math>n</math> היא צפיפות החלקיקים נושאי המטען ליח' נפח ו-<math>q</math> מטענו של כל חלקיק.

כאשר יש יותר מסוג אחד של חלקיקים:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n_1 \cdot q_1 \cdot \vec v_1 + n_2 \cdot q_2 \cdot \vec v_2</math>אם יש יותר מ-2 סוגים:<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>

=== מודל Drude ===
במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את החוק השני בצורה הבאה:<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי.

כשהמערכת מתייצבת, <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = [\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}] \vec E = \sigma \vec E</math>כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית.

=== פולריזציה ===
כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגל). המיקום הממוצע של האלקטרונים הנתון על ידי הביטוי:<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

יש חומרים (כמו מים) שלמולקולות שמרכיבות אותם יש מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני "מיישרת" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

==== מודל מקרוסקופי ====
נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec P_{atom}</math> ולכן סה"כ הדיפול של כל התיבה: <math>\vec P = N \cdot \vec P_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח. בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום

מאחר וסך הכל מטען הפולריזציה צריך להיות אפס:<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {da}</math><math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:<math display="block">\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P</math><math display="block">\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P</math>נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====

==== נוכל למצוא ביטוי לצפיפות המשטחית מחוק גאוס:<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta = \hat n (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>ומסך המטען:<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta_p = -\hat n (\vec P _2 - \vec P_1)</math>זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>:<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) = \frac{d\vec P}{dt} \cdot \delta \vec A = \vec J_p \cdot \delta \vec A</math>כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:<math display="block">\frac{d\eta_p}{dt} = -\hat n (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})</math>כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial(\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1])\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== דוגמה ===
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>על השפות:<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math><math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math><math display="block">Q_p = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>

==== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה <math>\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P</math>, צפיפות שטף חשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>נוכל לרשום:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בבעיה.

* מנגנונים ליצירת פולריזציה
* Pyroelectric materials
* Piezoelectric materials
* Ferroelectric materials
* Bi-anisotropic materials

=== הקשר בין <math>E</math> ל-<math>P,D</math> ===

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>כאשר מגדירים את הסוספטביליות <math>\chi_e </math>, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math>:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E</math>כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\mathbb{I} + \chi_e) \vec E = \epsilon_0\epsilon_r \vec E</math>לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===

==== תווך אינסופי ====
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math><math display="block">\vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \frac{\vec D}{\epsilon} \Rightarrow \vec E = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} \cdot \hat r</math>

==== כדור סופי ====
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. נקבל את תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>מכאן נובע:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>שדה ההעתקה:<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>והשדה החשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>תנאי שפה עבור <math>\vec E</math> בוואקום:<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}</math>נמצא את הפולריזציה:<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math><math display="block">\begin{cases}
\vec P = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r)(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
\vec P = 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math><math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math><math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>וזהו בדיוק <math>-Q_p</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה ===
נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

=== דוגמה 2 ===
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>

שדות אלקטרומגנטיים

2022-04-18T23:45:17Z

5.29.16.191: /* מבוא */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl" font-size:150%>
ברוכים הבאים וברוכות הבאות לדף הויקיפדיה של הקורס "שדות אלקטרומגנטיים" באוניברסיטת תל אביב.
== מבוא ==
מדוע אנו מתעניינים בשדות אלקטרומגנטיים?

הם נמצאים בכל מקום מסביבנו!

'''בטבע''' - האור, פיזור האור מחומרים ואובייקטים שונים המאפשר לנו לראות אותם. תופעות שונות הקשורות להתנהגות השדות האלקטרומגנטיים באינטראקציה זו עם חומרים שונים קובעת את צבע השמיים, העננים, הקשת בענן.

'''בטכנולוגיה''' - שדות אלקטרומגנטיים נמצאים בתחומים רבים:
* חישה, RADAR.
* דימות רפואי: החל מ-CT ורנטגן המשתמשים בגלים בתחום ה-XRAY, ועד MRI המשתמש בשדות מגנטיים סטטיים בשילוב עם שדות בתדרי רדיו.
*לייזרים, סיבים אופטיים לתקשורת והולכת מידע, ומערכות אופטיות.
*חומרים מלאכותיים ואקזוטיים.
הבנה של תופעות אלו (ועוד) מחייבת תאור מסודר ומעמיק של השדות האלקטרומגנטיים, וכיצד הם מבצעים אינטראקציה עם הסביבה.

בקורס שלנו אנחנו נעסוק בעיקר בשדות סטטיים (כלומר שאינם משתנים בזמן), או "כמעט" סטטיים. האם בשל כך הוא רלוונטי רק כנדבך לקורסי ההמשך?

ממש לא! בחזית המחקר היום נמצא העיסוק במבנים קטנים מאוד - עד כדי ננומטרים ספורים. גם שדות בתדרים זמניים גבונים מאוד הם בעלי אורך גל ארוך משמעותית ממבנים אלו, ולכן מנקודת המבט של מערכות ננומטריות השדות מתנהגים כמעט כשדות סטטיים.

בתרשים הזרימה למטה מתוארים חלקי הקורס, והקשרים ביניהם.

[[File:flowchart-course.png|800px|left]]

[[פרק 0 - מבוא מתמטי]]

[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)]]<br />

[[פרק 2 - תנאי שפה]]

[[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 3ב - המשך לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 4 - עבודה ואנרגיה]]

[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה]]

[[פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות]]

[[פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית]]

[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית]]

[[פרק 9 - מגנטוסטטיקה]]

[[פרק 10 - שדות חשמליים בחומר]]

[[פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים]]

[[פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר]]

[[פרק 13 - אנרגיה]]

</div>

שדות אלקטרומגנטיים

2022-04-18T23:44:18Z

5.29.16.191: /* מבוא */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl" font-size:150%>
ברוכים הבאים וברוכות הבאות לדף הויקיפדיה של הקורס "שדות אלקטרומגנטיים" באוניברסיטת תל אביב.
== מבוא ==
מדוע אנו מתעניינים בשדות אלקטרומגנטיים?

הם נמצאים בכל מקום מסביבנו!

'''בטבע''' - האור, פיזור האור מחומרים ואובייקטים שונים המאפשר לנו לראות אותם. תופעות שונות הקשורות להתנהגות השדות האלקטרומגנטיים באינטראקציה זו עם חומרים שונים קובעת את צבע השמיים, העננים, הקשת בענן.

'''בטכנולוגיה''' - שדות אלקטרומגנטיים נמצאים בתחומים רבים:
* חישה, RADAR.
* דימות רפואי: החל מ-CT ורנטגן המשתמשים בגלים בתחום ה-XRAY, ועד MRI המשתמש בשדות מגנטיים סטטיים בשילוב עם שדות בתדרי רדיו.
*לייזרים, סיבים אופטיים לתקשורת והולכת מידע, ומערכות אופטיות.
*חומרים מלאכותיים ואקזוטיים.
הבנה של תופעות אלו (ועוד) מחייבת תאור מסודר ומעמיק של השדות האלקטרומגנטיים, וכיצד הם מבצעים אינטראקציה עם הסביבה.

בקורס שלנו אנחנו נעסוק בעיקר בשדות סטטיים (כלומר שאינם משתנים בזמן), או "כמעט" סטטיים. האם בשל כך הוא רלוונטי רק כנדבך לקורסי ההמשך?

ממש לא! בחזית המחקר היום נמצא העיסוק במבנים קטנים מאוד - עד כדי ננומטרים ספורים. גם שדות בתדרים זמניים גבונים מאוד הם בעלי אורך גל ארוך משמעותית ממבנים אלו, ולכן מנקודת המבט של מערכות ננומטריות השדות מתנהגים כמעט כשדות סטטיים.

בתרשים הזרימה למטה מתוארים חלקי הקורס, והקשרים ביניהם.

[[File:flowchart-course.png|800px|left]]

[[פרק 0 - מבוא מתמטי]]

[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)]]<br />

[[פרק 2 - תנאי שפה]]

[[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 3ב - המשך לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 4 - עבודה ואנרגיה]]

[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה]]

[[פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות]]

[[פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית]]

[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית]]

[[פרק 9 - מגנטוסטטיקה]]
[[פרק 10 - שדות חשמליים בחומר]]

[[פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים]]

[[פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר]]

[[פרק 13 - אנרגיה]]

</div>

שדות אלקטרומגנטיים

2022-04-18T23:42:32Z

5.29.16.191:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl" font-size:150%>
ברוכים הבאים וברוכות הבאות לדף הויקיפדיה של הקורס "שדות אלקטרומגנטיים" באוניברסיטת תל אביב.
== מבוא ==
מדוע אנו מתעניינים בשדות אלקטרומגנטיים?

הם נמצאים בכל מקום מסביבנו!

'''בטבע''' - האור, פיזור האור מחומרים ואובייקטים שונים המאפשר לנו לראות אותם. תופעות שונות הקשורות להתנהגות השדות האלקטרומגנטיים באינטראקציה זו עם חומרים שונים קובעת את צבע השמיים, העננים, הקשת בענן.

'''בטכנולוגיה''' - שדות אלקטרומגנטיים נמצאים בתחומים רבים:
* חישה, RADAR.
* דימות רפואי: החל מ-CT ורנטגן המשתמשים בגלים בתחום ה-XRAY, ועד MRI המשתמש בשדות מגנטיים סטטיים בשילוב עם שדות בתדרי רדיו.
*לייזרים, סיבים אופטיים לתקשורת והולכת מידע, ומערכות אופטיות.
*חומרים מלאכותיים ואקזוטיים.
הבנה של תופעות אלו (ועוד) מחייבת תאור מסודר ומעמיק של השדות האלקטרומגנטיים, וכיצד הם מבצעים אינטראקציה עם הסביבה.

בקורס שלנו אנחנו נעסוק בעיקר בשדות סטטיים (כלומר שאינם משתנים בזמן), או "כמעט" סטטיים. האם בשל כך הוא רלוונטי רק כנדבך לקורסי ההמשך?

ממש לא! בחזית המחקר היום נמצא העיסוק במבנים קטנים מאוד - עד כדי ננומטרים ספורים. גם שדות בתדרים זמניים גבונים מאוד הם בעלי אורך גל ארוך משמעותית ממבנים אלו, ולכן מנקודת המבט של מערכות ננומטריות השדות מתנהגים כמעט כשדות סטטיים.

בתרשים הזרימה למטה מתוארים חלקי הקורס, והקשרים ביניהם.

[[File:flowchart-course.png|800px|left]]

[[פרק 0 - מבוא מתמטי]]

[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)]]<br />

[[פרק 2 - תנאי שפה]]

[[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 3ב - המשך לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 4 - עבודה ואנרגיה]]

[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה]]

[[פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות]]

[[פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית]]

[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית]]

[[פרק 9 - מגנטוסטטיקה]]<br />פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

פרק 13 - אנרגיה

</div>