EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2025-06-24T10:08:09Z

79.177.130.219: /* דוגמא - קבל שכבות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרחשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החיצוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהם כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית.
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פולריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פולריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה.
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים.
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:
<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>
בהצבה בחוק גאוס נקבל:
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>
מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:
<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>
וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>
נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:
<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta</math>
נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו
<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0</math>
הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E</math> ולכן נוכל לרשום:
<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}</math>
כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>
מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:
<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z</math>
כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמא - קבל שכבות ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]
באיור 14 נתון קבל שבין לוחותיו מבנה דיאלקטרי שכבתי. כל שכה היא בעלת עובי <math>d_i</math> ומקדם דיאלקטרי <math>\epsilon_i</math>.
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math> מאחר והוא בכיוון z בלבד ועובר בין השכבות באופן רציף (אין צפיפות מטען חופשית).
נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:
<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>
ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>
בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:
<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>
המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:
<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>
נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2025-06-23T18:23:39Z

79.177.130.219: /* דוגמה - לוח בעל פולריזציה אחידה */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרחשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החיצוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהם כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית.
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פולריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פולריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה.
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים.
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:
<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>
בהצבה בחוק גאוס נקבל:
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>
מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:
<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>
וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>
נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:
<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta</math>
נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו
<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0</math>
הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E</math> ולכן נוכל לרשום:
<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}</math>
כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>
מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:
<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z</math>
כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמא - קבל שכבות ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]
באיור 14 נתון קבל שבין לוחותיו מבנה דיאלקטרי שכבתי. כל שכה היא בעלת עובי <math>d_i</math> ומקדפ דיאלקטרי <math>\epsilon_i</math>.
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math> מאחר והוא בכיוון z בלבד ועובר בין השכבות באופן רציף (אין צפיפות מטען חופשית).
נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:
<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>
ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>
בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:
<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>
המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:
<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>
נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>

פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית

2025-06-08T15:48:44Z

79.177.130.219: /* שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

בפרקים הקודמים ראינו כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות קרטזיות ואזימוטליות,

בפרק זה נראה כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות כדוריות.

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות כדוריות ==
[[File:Pic0801.png|200px|thumb|left|איור 1 - קורדינטות כדוריות ]]
היכולת לפתור את משוואת לפלס בקורדינטות כדוריות היא חשובה במיוחד - אלו למעשה הקורדינטות היחידות אותן אנחנו לומדים שבעזרתן אפשרי למדל מבנים סופיים במרחב. באיור 1 ניתן לראות את ההגדרם של הקורדינטות השונות - <math> r,\theta,\varphi </math> בקורדינטות כדוריות, משוואת לפלאס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}=0</math>

פתרון בהפרדת משתנים:

<math display="block">\phi=R(r)T(\theta)\Psi(\varphi)</math>

נציב:

<math display="block">\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R' T \Psi)
+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}
(\sin \theta R T' \varphi) +
\frac{1}{r^2 \sin \theta} \Psi''RT=0</math>

נכפול ב <math>\frac{r^2 \sin \theta}{RT\Psi}</math>:

<math display="block">\underbrace{
\frac{\sin^2 \theta}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) +
\frac{\sin \theta}{T} \frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)}_
{\text{Function of }\theta,r \text{ only}}
+
\underbrace{
\frac{\Psi''}{\Psi}}_{\text{function of }\varphi \text{ only } \equiv -\mu^2}
=0</math>

גם כאן, בדומה למה שעשינו בקורדינטות גליליות, נבצע את ההפרדה בשני שלבים. ראשית, נפתור את המשוואה עבור <math>\Psi</math>:

<math display="block">\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2
\Rightarrow \Psi'' + \mu^2 \Psi =0</math>אצלנו <math>\mu^2>0</math> ולכן:

<math display="block">\Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi)</math>

נציב חזרה את הקבוע <math>\mu^2</math> ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2)}
_{\text{depends only on }r}
+
\underbrace{\frac{1}{T\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (T'\sin\theta)
-
\frac{\mu^2}{\sin^2\theta}}
_{\text{depends only on }\theta}
=0</math>

כלומר נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) = l(l+1) \\
\frac{1}{T \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(T' \sin\theta)
-\frac{\mu^2}{\sin^2\theta} + l(l+1)=0
\end{cases}</math>

עבור <math>r</math> נקבל את משוואת אוילר (בה נתקלנו גם בהפרדת משתנים בקורדינטות גליליות):

<math display="block">R'' r^2 + R'\cdot 2r - l(l+1) R=0</math><math display="block">R(r) = c r^l + D r^{-l-1}</math>

עבור <math>\theta</math> נשתמש בהצבה <math>u=\cos\theta</math> ונקבל את משוואת לג'נדר, שפתרונותיה הן ה-associated legendre functions <math>P,Q</math>:

<math display="block">\frac{\partial}{\partial u} ((1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u})
+
(l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2} )T=0</math><math display="block">\Rightarrow
T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta) </math>

נסכם את משוואות ההפרדה שקיבלנו:

<math display="block">\begin{cases}
\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2
\\
\frac{\partial}{\partial r} (r^2R') - l(l+1)R=0
\\
\frac{\partial}{\partial u}[(1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u}] +
[l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2}] T = 0 ,& u=cos\theta
\end{cases}</math>
=== פתרון טריוויאלי ===
<math display="block">\mu=l=0</math>

<math display="block">\begin{cases}
\Psi=0 \Rightarrow \Psi=A\varphi+B
\\
\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R') = 0 \Rightarrow
R'=\frac{\tilde c}{r^2} \Rightarrow R=\frac{c}{r}+D
\\
\frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)=0
\Rightarrow T'=\frac{\tilde E}{\sin\theta}
\Rightarrow T = E\cdot \ln(\tan(\theta/2))+F
\end{cases}</math>

=== פתרון כללי ===
<math display="block">\mu \neq 0,\mu^2>0</math>

כבר בשלב הפיתוח רשמנו את הפתרון הכללי:

<math display="block">\begin{cases} \Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi) \\
R(r) = c r^l + D r^{-l-1} \\
T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta)
\end{cases}</math>הערות:

* אם פותרים בכל התחום <math>\varphi\in[0,2\pi]</math> אז <math>\mu\in \Z</math>, ולכן נהוג לרשום <math>\mu=m</math> באופן דומה לקורדינטות גליליות.
* אם פותרים בכל התחום <math>\theta \in [0,\pi]</math> אז <math>l\in \Z</math>, וגם כל המקדמים של <math>Q</math> חייבים להתאפס מכיוון שפונקציות אלו סינגולריות על ציר <math>z</math> (מכילות את אותה סינגולריות שיש בפתרון הטריויאלי - <math>\ln[\tan(\theta/2)]</math>. ולכן, נשאר עם הפתרון: <math>T=p_l^m (\cos\theta)</math>
* בבעיות המקיימות סימטריה מלאה ב-<math>\varphi</math> ניתן לייצג את הפתרונות באמצעות פונקציות לז'נדר עם m=0 בלבד.

בין פונקציות לז'נדר (associated legendre functions) יש קשר רקורסיבי:

<math display="block">P_l^m (\cos\theta) = (1-u^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{d u^{|m|}} P_l(u)
\Rightarrow
|m|\leq l</math><math display="block">(l+1) P_{l+1}(u) = (2l+1) P_l(u) - l P_{l-1}(u)</math>

תרשים של מספר פונקציות מסדרת פונקציות זו ניתן לראות באיור 2.
[[File:Pic0802.png|800px|thumb|center|איור 2 - פונקציות לז'נדר]]

הפונקציות <math> Y^{m}_{\ell}(\varphi,\theta)</math> המוגדרות באיור 2 נקראות spherical harmonics והן למעשה מהוות בסיס דו-ממדי שלם לפריסת פונקציה כלשהי על שפתו של כדור.

=== דוגמא 1 ===
[[File:c8ex1b.png|300px|thumb|left|איור 3]]
חרוט PEC אינסופי בעל זוית ראש <math>\alpha</math> נתון בפוטנציאל <math>V</math>. החרוט נמצא מעל מישור אינסופי PEC מוארק. עלינו לפתור את הפוטנציאל <math>\phi</math> בין החרוט למשטח.
בעיה זו מתאימה לפתרון בקורדינטות כדוריות מכייוון שתנאי השפה נתונים על משטחים שווי קורדינטה <math>\theta</math>. החרוט קרוב מאוד למשטח אך לא נוגע בו (עובדה זו צריכה לרמוז לנו שאנו צפויים לקבל שדות חזקים מאוד סמוך ל"שפיץ" של החרוט).
<math display="block">
\phi(\theta=\pi/2)=0\;,\;\phi(\theta=\alpha)=V
</math>

נבחר בפתרון הטריויאלי,

<math display="block">\phi = E \cdot \ln(\tan(\theta/2))+F</math>

ונציב תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(\theta = \pi/2) = E \cdot \ln(\tan(\pi/4))+F=F=0 \\
\phi(\theta=\alpha) = E \cdot \ln(\tan(\alpha/2))=V
\Rightarrow E= \frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))}
\end{cases}</math>נקבל:

<math display="block">\phi = V \cdot
\frac{\ln(\tan(\theta/2))}{\ln(\tan(\alpha/2))}</math>נמצא את השדה החשמלי:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi =
-\frac{1}{r} (\frac{\partial \phi}{\partial \theta}) \hat \theta =
-\frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))} \cdot \frac{1}{r} \frac{1}{\sin\theta} \hat \theta </math>

באיור 4 ניתן לראות את הפוטנציאל והשדה החשמלי בין החרוט למשטח.
[[File:Pic0804.png|600px|thumb|center|איור 4 - הפוטנציאל והשדה של דוגמא 1]]

=== דוגמא 2 ===
[[File:Pic0805.png|300px|thumb|left|איור 5]]
נתונה קליפה כדורית עשויה מוליך אידאלי שרדיוסה <math> a </math>. במרכז הקליפה מונח דיפול נקודתי בעל מומנט דיפול <math> \vec{p}=p\hat{z} </math>. הקליפה מחוברת לפוטנציאל <math> V </math>, כמוראה באיור 5.

מחוץ לכדור אין מטענים - לכן נפתור שם את משוואת לפלאס.

בתוך הכדור - יש פילוג מטען נתון (דיפול) ולכן נפתור את משוואת פואסון.

'''הפיתרון מחוץ לכדור:'''

תנאי שפה:

<math display="block">
\begin{cases} \phi_1(r=a)=V \\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=0\end{cases}
</math>
נבחר:

<math display="block">
\phi_1 = \frac{A}{r}+B</math><math display="block">\begin{cases} \phi_1(r=a)=V=\frac{A}{a}
\\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=B=0\end{cases}
</math>
ולכן נקבל:

<math display="block">
\phi_1 = V\cdot \frac{a}{r}
</math>

'''בתוך הכדור:'''

<math display="block">
\phi_2=\phi_p+\phi_h
</math>
הפתרון הפרטי הוא יהיה פיתרון של דיפול במרחב חופשי:

<math display="block">
\phi_p = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
</math>

תנאי השפה הוא:

<math display="block">
\phi_2(r=a)=\phi_p(r=a)+\phi_h(r=a)=V
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
V=\phi_h(r=a)+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
<math display="block">
\phi_h (r=a) = V-\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
נבחר פיתרון מהצורה:

<math display="block">
\phi_h = A + \underbrace{\frac{B}{r}}_{=0 \text{ min/max principle}} + (Cr + \underbrace{\frac{D}{r^2}}_{=0 \text{ min/max principle}})
\underbrace{\cos\theta}_{P_1^0 (\cos\theta)}
=
A+Cr \cos\theta
</math>
נציב את תנאי השפה:

<math display="block">
\phi(r=a) = A+Ca \cos\theta = V- \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
הביטוי צריך להיות נכון לכל <math> \theta </math>:

<math display="block">
A=V,C=-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 a^3}
</math>
נציב כדי לקבל את הפוטנציאל בפנים:

<math display="block">
\phi_2 = \phi_h + \phi_p =
\underbrace{\frac{p\cdot \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2 }}_{\text{Source} }

+\underbrace{V- \frac{p \cos\theta r}{4\pi\epsilon_0 a^3}}_{\text{Reaction}}
=V+\frac{p}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{r^2} - \frac{r}{a^3}) \cos\theta
</math>
[[File:Pic0806.png|600px|thumb|center|איור 6 - הפוטנציאל בכדור]]
[[File:Pic0807.png|600px|thumb|center|איור 7 -השדה החשמלי בכדור]]
גם כאן ניתן לראות שניתן לחלק את הפתרון ל"פוטנציאל מעורר" שנוצר על ידי המקור, ופוטנציאל תגובה. באיור 6 ו-7 ניתן לראות את הפוטנציאלים והשדות.

'''מה צפיפות המטען על שפת הכדור?'''

<math display="block">
\eta = \hat r \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon_0 \vec E_{inside}\right)
=
\left[\epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial r} - (-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial r})\right]
|_{r=a}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow \eta = \epsilon_0 \left[\frac{V}{a} - 3 \frac{p}{4\pi\epsilon_0} \cos\theta \right]
</math>
למעשה, האיבר בצפיפות המטען שפרופורציונלי ל-<math> \cos\theta </math> נותן מומנט דיפולי ש"מקזז" את <math> p </math> מחוץ למבנה.

'''כיצד הפתרון שלנו היה משתנה אם הדיפול לא היה בכיוון <math> \hat{z} </math> אלא בכיוון כללי כלשהו?'''

במקרה זה, הפתרון הפרטי היה
<math display="block">
\phi_p = \frac{\vec p\cdot \hat r}{4\pi\epsilon_0 r^2 }
=\frac{
\overbrace{p_x \sin\theta \cos\varphi + p_y \sin\theta \sin\varphi}^{P_1^1(\cos\theta)}
+ \overbrace{p_z \cos\theta }^{\text{We'v'e already solved}}}
{4\pi\epsilon_0 r^2 }
</math>
ולכן נוסיף לפתרון המלא תרומה של פונקציות לז'נדר <math> P^1_1 </math>.

=== דוגמא 3 - כדור מוליך אידאלי בשדה אחיד ===
[[File:Pic0808.png|300px|thumb|left|איור 8]]
נתון כדור עשוי מוליך אידאלי שרדיוסו <math> a </math>. הכדור נמצא באיזור בו שוטט שדה חשמלי אחיד <math> \vec{E}=-E_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 8. עלינו לפתור את הפוטנציאל והשדה בכל המרחב.

תנאי שפה:

<math display="block">
\begin{cases} \phi(r=a)=C=0 \\ \phi(r \gg a) = E_0 z + C_2
=
E_0 r \cos\theta +C_2 = E_0 r \cos\theta
\end{cases}
</math>
נבחר פיתרון מהצורה:

<math display="block">\phi = \underbrace{(Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta}_
{\text{ General solution with }l=1,m=0}</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(r=a) = (Aa + \frac{B}{a^2}) \cos\theta = 0\\
\phi(r \gg a)\approx Ar\cos\theta = E_0 r \cos\theta
\Rightarrow A=E_0
\end{cases}</math>
נציב ונקבל:

<math display="block">B=-E_0 a^3</math>
הפיתרון יהיה:

<math display="block">
\phi = \underbrace{E_0 r \cos\theta}_{\phi_{\text{ext}} }
- \underbrace{E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta}_{\phi_{\text{reaction}}} =
E_0(r-\frac{a^3}{r^2}) \cos\theta
</math>
גם כאן ניתן לחלק את הפוטנציאל במרחב לפוטנציאל המעורר (הפוטנציאל הנובע מהשדה האחיד) ופוטנציאל תגובה. פוטנציאל התגובה נראה בדיוק כמו פוטנציאל של דיפול בראשית, מכוון בכיוון <math>\hat z</math>.

השדה יהיה
<math display="block">\vec E = -E_0 \hat z - E_0 \frac{a^3}{r^3} \cdot (2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
וניתן לראות תרשים של הפוטנציאל והשדה באיור 9.

'''איך נראה פילוג המטען על שפת הכדור?'''

<math display="block">\eta = \hat r (\epsilon_0 \vec E_{out} - \underbrace{\epsilon_0 \vec E_{in}}_{=0} )
= - 3 E_0 \epsilon_0 \cos\theta</math>
וגם פילוג המטען נראה כפילוג שנותן דיפול אפקטיבי (פרופורציונלי ל-<math> \cos\theta </math>)

[[File:Pic0809.png|300px|thumb|center|איור 9 - הפוטנציאל והשדה של דוגמא 3]]

== מושג הקיטוביות (Polarizability) ==
בעצם, בדוגמא הקודמת קיבלנו תוצאה שניתן לפרשה באופן הבא: הכדור הוכנס לאיזור שבו שורר שדה חיצוני כלשהו. השדה החיצוני "השרה" מומנט דיפול בכדור על ידי סידור מחדש של המטענים בו.
מה מומנט הדיפול השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">
\phi_{\text{response}} = E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta\;\;,\;\;\phi_{\text{dip}} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
</math>
נשווה מקדמים:

<math display="block">E_0 a^3 = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}
\Rightarrow
p = 4\pi\epsilon_0 a^3 E_0 = 4\pi\epsilon_0 a^3
\underbrace{(E_0)}_{\text{exciting field}} =
\epsilon_0 \cdot 3\underbrace{V}_{\text{Volume}} \cdot (E_0)
</math>
מאחר וקיבלנו שמומנט הדיפול <math> p </math> פרופורציונלי לשדה המעורר <math> E_0 </math>, ניתן מכאן ניתן להגדיר את הקיטוביות <math> \alpha </math> כמקדם הפרופורציה בין השניים
<math display="block">\alpha \equiv \epsilon_0 4\pi a^3 = \epsilon_0 \cdot 3V</math>

הקיטוביות <math> \alpha </math> היא גודל שתלוי בתכונות החלקיק והסביבה שבה הוא נמצא. במקרה כאן <math> \alpha </math> היא סקלר, אבל היא יכולה להיות גם מטריצה שמייצגת תגובה שונה לשדה בכיוונים שונים.

'''מה קורה אם הכדור מוכנס לאיזור שבו השדה אינו אחיד?'''

באופן כללי זו בעיה מסובכת.

אבל, אם השדה בסביבת הנקודה שבה אנו ממקמים את הכדור אחיד בקירוב (משתנה על פני סקלת מרחק גדולה משמעותית מרדיוס הכדור), עדיין לשדה יהיה את המבנה:

<math display="block">
\vec E_{full} =
\vec E_{ext} + \vec E_{dip} </math>
<math display="block">
\vec p = \alpha \vec E_{ext} = \alpha \vec E^{local}</math>
במשוואה האחרונה החלפנו את סימון השדה החיצוני <math> E_{ext} </math> ב-<math> E^{local} </math>. בבעיה אותה פתרנו, הכדור היה מונח במרחב חופשי. עם זאת, הקיטוביות פותחת בפנינו את האפשרות לחשב את התגובה של מבנים מורכבים, בהם השדה שיפעל על כל חלקיק לא יהיה רק השדה החיצוני, אלא יושפע גם ממבנים שכנים. השדה הלוקאלי <math> E^{local} </math> למעשה מגדיר את השדה שמעורר את החלקיק. זהו השדה הכולל בנקודה שבה מונח החלקיק, למעט השדה שנוצר ישירות על ידי החלקיק עצמו (אבל כולל התרומה של כל הגופים השכנים). נראה דוגמאות לעניין זה בהמשך, כשנדון במערכי חלקיקים.

== שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית ==
בואקום, קיבלנו את משוואת לפלס על ידי השיקולים הבאים:

<math display="block">\begin{cases}
1, & \nabla \times \vec E =0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi \\
2, & \nabla \cdot \epsilon_0 \vec E = \rho = 0
\end{cases}</math>
ולאחר הצבה של (1) ב (2) נקבל:

<math display="block">\nabla^2 \phi=0</math>
כאשר יש לנו חומר מוליך, המקיים את [[פרק 2 - תנאי שפה#המודל לחומר מוליך - חוק אוהם|חוק אוהם]] <math> \vec{J}=\sigma\vec{E}</math> שיכולים לזרום בו זרמים, לא ברור מידית שאנחנו יכולים להניח את הנחה מספר 2 - שאין מטענים חופשיים במוליך, מאחר ויכולים לזרום בו זרמים. במקום זאת, אנו יכולים להשתמש בעובדה שמאחר ומדובר בבעיה סטטית מתקיים

<math display="block">
\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}=0
</math>
וכעת, אם נציב את חוק אוהם נקבל
<math display="block">
\nabla\cdot\vec{J}=\nabla\cdot{\sigma\vec{E}}=\sigma\nabla\cdot{E}=0 \rightarrow \nabla\cdot\vec{E}=0
</math>
ומכאן ניתן, בצירוף הנחה 1, לקבל שוב את משוואת לפלס. חשוב לשים לב שבמעבר האחרון הסתמכנו על כך שהמוליכות אחידה.
במקרה והמוליכות אינה אחידה מתקיים

<math display="block">
\nabla \cdot (\sigma(\vec{r}) \vec E)=0\;\;, \;\;
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=\rho
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{J}=0\;\Rightarrow\;\nabla \cdot (\sigma(\vec{r}) \vec E)=\sigma (\nabla \cdot \vec E)+(\nabla \sigma(\vec{r}))\cdot \vec E=0\\
\frac{\rho}{\epsilon_0}\underbrace{=}_{\text{Gauss}}\nabla \cdot \vec E
=-\frac{1}{\sigma}(\nabla \sigma ) \cdot \vec E
\end{cases}
</math>
כלומר במצב סטטי בתוך איזור שמוליכותו לא אחידה חייב להצבר פילוג מטען חופשי, בכל מקום בו המוליכות משתנה (בין אם מדובר בשינוי רציף ואז נחשב את צפיפות המטען על ידי הפיתוח שניתן כאן, ובין אם מדובר בשינוי דיסקרטי, כלומר קפיצה במוליכות, כמו שנראה בדוגמא הבאה. במקרה זה חישוב פילוג המטען באיזור אי הרציפות יתבצע באמצעות שימוש בתנאי השפה).
=== דוגמא ===
[[File:Pic0810.png|300px|thumb|left|איור 10]]
נתון מבנה גלילי שרדיוסו <math> a </math>. חלקו העליון בגובה <math> h_1 </math> ובמוליכות <math> \sigma_1 </math>. חלקו התחתון בגובה <math> h_2 </math> ובמוליכות <math> \sigma_2 </math>, כמוראה באיור 10. את שפתו העלונה של המבנה מצפים בחומר מוליך ומחברים לפוטנציאל <math> V </math>. את שפתו התחתונה גם כל מצפים בחומר מוליך ומאריקים. יש לחשב את השדות והזרמים במבנה.
המשוואה שעלינו לפתור בתוך האזורים בהם המוליכות לא משתנה היא משוואת לפלס.
תנאי שפה לחוק שימור המטען:

<math display="block">
\hat n \cdot (\vec J_a - \vec J_b) + \nabla_S \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math><math display="block">
\begin{cases}
at\; r=a;\;\;\hat r \cdot \vec J = 0\\
at\; z=h_2;\;\;\hat z \cdot (\vec{J}_1 - \vec{J}_2)=0 \\
\end{cases}
</math>
תנאי שפה לפוטנציאל
<math display="block">
\begin{cases}
\phi_{z=0}=0 \\
\phi_{z=h_1+h_2} = V \\
\phi_1 (z=h_2) = \phi_2 (z=h_2)
\end{cases}
</math>

נבחר בפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">\begin{cases}
\phi_1 = A_1 z+B_1 \\
\phi_2 = A_2 z + B_2 \end{cases}</math>ב <math>z=0</math>:

<math display="block">\phi_2(z=0)=B_2=0
\Rightarrow
\phi_2=A_2 z</math>
לאחר הצבת תנאי שפה נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
\phi_1 = \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2} } \cdot (\frac{\sigma_1}{\sigma_2}-1) h_2 +
\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} z
\\
\phi_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot z
\end{cases}</math>
תרשים של הפוטנציאל עבור מקרים שונים ניתן לראות באיור 11, ובנוסף, ניתן "לשחק" עם הפרמטרים ב[https://www.desmos.com/calculator/q3hwl0eqhw קישור] .

מה סך הזרם?

<math display="block">\vec E_2 = -\nabla \phi_2 = -\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot \frac{\sigma_1}{\sigma_2}
\hat z </math><math display="block">\vec J_2 = \sigma_2 \vec E_2</math><math display="block">I = \frac{\sigma_1 V}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\cdot \pi a^2 = \frac{V}{R_{eq}}</math><math display="block">\Rightarrow
R_{eq}^{-1} = \frac{\sigma_1}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\pi a^2
\Rightarrow
R_{eq} =
\underbrace{\frac{h_1}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_1}}_
{\text{Resistance of the top part} }
+
\underbrace{\frac{h_2}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_2}}_
{\text{Resistance of the bottom part}}</math>

[[File:Pic0811.png|600px|thumb|center|איור 11 - הפוטנציאל בדוגמא]]

</div>