EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)

2023-06-30T10:58:43Z

85.64.114.243: /* הקשר לשימור המטען */

{{DISPLAYTITLE:פרק 1}}
<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 1 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר מושגי יסוד, וננסח את החוקים הפיסיקליים המכתיבים את התנהגות השדה האלקטרומגנטי.
== כוח לורנץ ==
כל תופעות הטבע נגזרות מכוחות הפועלים על גופים. בהקשר שלנו, הכוח האלקטרומגנטי הפועל על חלקיק בעל מטען <math> q </math> ומהירות <math> \vec{v} </math> הוא כוח לורנץ, המתואר על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{F}=q\left( \vec{E}+\vec{v}\times\mu_0\vec{H} \right)
</math>
</div>
כאשר <math> \vec{E} </math> הוא השדה החשמלי ו-<math> \vec{H} </math> הוא השדה המגנטי. על מנת לדעת את הכוח שיפעל על כל חלקיק ולתאר את משוואות התנועה שלו, עלינו למצוא חוקים המתארים את הקשרים בין השדה החשמלי והשדה המגנטי למקורות היוצרים אותם. חוקים אלו מתוארים על ידי מערכת משוואות - משוואות מקסוול (על שם הפיסיקאי [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%92%27%D7%99%D7%99%D7%9E%D7%A1_%D7%A7%D7%9C%D7%A8%D7%A7_%D7%9E%D7%A7%D7%A1%D7%95%D7%95%D7%9C ג'יימס קלרק מקסוול]). בעזרת מערכת משוואות אלו נרצה לקבל טכניקה סדורה לפתרון השדות האלקטרומגנטיים בבעיה כללית מתוך ידיעת מקורות השדה, ותכונות הסביבה. מתוך משוואות מקסוול נוכל גם למצוא קשר בין השדות האלקטרומגנטיים לגדלים פיסיקליים נוספים כגון אנרגיה ותנע.
בקורס זה נלמד כיצד לפתור את משוואות מקסוול ממספר נקודות מבט שונות:
* נבצע הנחות מקלות המאפשרות רדוקציה של המשוואות הכלליות למשוואות פשוטות יותר, ברות פתרון אנליטי במקרים רבים.
* נחקור את התכונות המתמטיות של הפתרונות.
* נסווג משפחות שונות של פתרונות לשדות.
* נבנה באופן שיטתי מודלים המאפשרים לנו פתרון של שדות בסביבות שונות: בתוך חומרים או בקרבת גופים שונים.
== מושג השדה ==
שדה הוא סט של ערכים המוגדרים בכל נקודה בתחום מסוים של המרחב, ומשויכים לגודל פיסיקלי
=== שדה סקלרי ===
שדה סקלרי, <math> \phi:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R} </math>, הוא פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב סקלר (יכול להיות תלוי גם בזמן). באופן כללי הוא גם יכול לתת ערכים מרוכבים, אך בקורס זה נעסוק בעיקר בשדות המקבלים ערכים ממשיים. דוגמאות הן שדה לחץ, שדה טמפרטורה. באופן יותר ספציפי לקורס זה - צפיפות מטען נפחית <math>\rho(\vec{r},t) </math>, פוטנציאל <math> \phi(\vec{r}) </math>.
=== שדה וקטורי ===
שדה וקטורי <math> \vec{F}:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3 </math>, הוא פונקציה המתאימה לכל נקודה במרחב וקטור, כך שרכיביו של הוקטור הן פוקנציות של המיקום ואולי גם של הזמן <math> \vec{F}=F_x(\vec{r})\hat{x}+F_y(\vec{r})\hat{y}+F_z(\vec{r})\hat{z} </math>. דוגמאות - שדה מהירות / זרימה. בקורס שלנו השדה החשמלי <math> \vec{E} </math> והשדה המגנטי <math> \vec{H} </math> הם שדות וקטוריים.
== הנחות היסוד ==
על מנת לנסח את התורה האלקטרומגנטית עלינו להניח הנחות שיאפשרו לנו לבנות חוקים מתמטיים. משוואות מתמטיות אלו יאפשרו לנו לתאר את הקשר בין מקורות השדות והתפלגותם במרחב לשדות עצמם.
* '''קיים מטען חשמלי''' - הראשון שטיפל בצורה מסודרת במושג המטען החשמלי היה [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%92%27%D7%9E%D7%99%D7%9F_%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A7%D7%9C%D7%99%D7%9F בן פרנקלין], באמצע המאה ה-18. פרנקלין תאר תהליך בו שפשוף שני גופים זה כנגד זה מעביר "נוזל חשמלי" מהאחד לשני. כיום אנו מבינים שזו תכונה בסיסית של החומר, כמו מסה.
* ''' סך המטען במערכת סגורה נשמר ''' - זהו חוק שימור המטען. מטען חיובי יכול "להעלם" רק אם מטען שלילי "נעלם" מנגד.
* ''' על מטען חשמלי הנע בשדה חשמלי ומגנטי פועל כוח ''' - כוח זה הוא כוח לורנץ.
לשלושת ההנחות הבסיסיות האלו, נוסיף עוד שתי הנחות / עקרונות חשובים הנוגעים לאופן בו אנו ממדלים את השדות האלקטרומגנטיים, ואת האינטראקציה של שדות אלו עם הסביבה.
* החוקים הפיסיקליים המתארים את התנהגות השדות האלקטרומגנטיים בואקום (משוואות מקסוול) הם חוקים שנוסחו באופן אמפירי, ולכן אנו מניחים את נכונותם.
* ההשפעה של חומרים וגופים שונים על פילוג השדות האלקטרומגנטיים במרחב נובעת רק מהעובדה שבחומר יש מטענים שיכולים לזוז ממקום למקום בתגובה להפעלת שדות עליהם. מכאן - '''חומר הוא פילוג של מטענים בואקום''', וכל השפעתו של החומר על השדות הנוצרים במרחב, מגיעה דרך השדות היוצרים מטענים אלו. מטרתם של המודלים הפיסיקליים שנראה בהמשך, שנועדו להביא בחשבון נוכחות של גופים וחומרים שונים במרחב, היא לפתור את העובדה שבמקרים רבים אין לנו את האפשרות לדעת מראש כיצד יתפלגו המטענים בתוך החומר (אחרת היינו פשוט יכולים להניח מטענים אלו בואקום, ולחשב את השדות באופן ישיר).

== מקורות השדות ==
=== צפיפות מטען חשמלי ===
אנו יודעים ש'''לא''' קיימים בטבע חלקיקים / גופים שמטענם '''אינו''' כפולה שלמה של קבוע בסיסי, <math> e=1.602177\times 10^{-19} C </math>. יחידות הקבוע הן קולון (Coulomb, על שם [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%90%D7%A8%D7%9C-%D7%90%D7%95%D7%92%D7%95%D7%A1%D7%98%D7%9F_%D7%93%D7%94_%D7%A7%D7%95%D7%9C%D7%95%D7%9F שארל דה-קולון]). עם זאת, פיתוח משוואות האלקטרומגנטיות הרבה יותר ישיר ופשוט אם מתייחסים להתפלגויות רציפות של מטען ליח' נפח (או שטח, או אורך). אם נגדיר אלמנט נפח קטן <math> \delta V </math> שבו יש מטען <math> \delta Q </math> ניתן להגדיר את צפיפות המטען הנפחית על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
Q=\int\rho(\vec{r})dV \Longleftrightarrow \rho=\lim_{\delta V\rightarrow 0}\frac{\delta Q}{\delta V}
</math>
</div>
יחידות צפיפות המטען הנפחית הן <math> [C/m^3] </math>. באותו אופן כמובן ניתן להגדיר גם צפיפות מטען משטחית <math> \eta(\vec{r})[C/m^2] </math>, עבורה <math> Q=\int\eta(\vec{r})dS </math>, וגם צפיפות מטען אורכית <math> \lambda(\vec{r})[C/m] </math>, עבורה <math> Q=\int\lambda(\vec{r})d\ell </math>.
[[File:c1f1.png|left|thumbnail|תרשים 1: הגדרת צפיפות מטען רציפה על ידי "החלקה" של אוסף מטענים בדידים]]
בנוסף להתפלגויות הרציפות, שימושי להגדיר גם "מטען נקודתי" - אובייקט בעל גודל זניח הנושא כמות סופית של מטען. ניתן להגדיר את פונקציית צפיפות המטען הנפחית עבור אובייקט זה (וגם עבור <math> \eta(\vec{r}),\lambda(\vec{r}) </math>) על ידי שימוש בפונקציית דלתא של דיראק. אם נניח שבמרחב מפוזרים <math> n </math> מטענים נקודתיים, <math> \{ q_1,q_2,...,q_n \} </math> הממוקמים בנקודות <math> \{ \vec{r}_1,\vec{r}_2,...,\vec{r}_n \} </math>, ניתן לרשום את צפיפות המטען הנפחית ע"י
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\rho(\vec{r})=\sum_{k=1}^n q_k \delta(\vec{r}-\vec{r}_k)
</math>
</div>
ומכאן שסך המטען במרחב מקיים <math> \int_V \rho(\vec{r})dV=\sum q_k </math>.
=== זרם חשמלי ===
זרם חשמלי הוא תנועה סדורה של מטענים. הראשון שהבין את מהותו הפיסיקלית של הזרם הוא הפיסיקאי האיטלקי [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%9C%D7%A1%D7%A0%D7%93%D7%A8%D7%95_%D7%95%D7%95%D7%9C%D7%98%D7%94 אלסנדרו וולטה] שביצע ניסויים שונים בצפרדעים, והראה שהעברת זרם בגופן של הצפרדעים גורם לגפיים שלהם לנוע. אם נגדיר חתך כלשהו <math> S </math>, דרכו חולף סך מטען <math> \delta q </math> בפרק זמן <math> \delta t </math>, ניתן להגדיר את הזרם החולף דרך החתך על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
I=\frac{\delta q}{\delta t} [A]
</math>
</div>
כאשר כאן השתמשנו בפרמטרים המתאימים להתפלגויות הרציפות אותם הגדרנו (אחרת הזרם החולף דרך החתך אינו רציף, אלא מגיע בפולסים של מטענים נקודתיים וזו דינמיקה שאיננו מעוניינים להביא בחשבון). יחידות הזרם, המסומנות ב-<math> [A] </math> הן Ampere, על שם הפיסיקאי הצרפתי [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%A0%D7%93%D7%A8%D7%94-%D7%9E%D7%90%D7%A8%D7%99_%D7%90%D7%9E%D7%A4%D7%A8 אנדרה-מארי אמפר].
[[File:c1f2.jpg|thumbnail|left|תרשים 2: הגדרת חתך דרכו זורם זרם חשמלי]]
מכאן, ניתן להגדיר את צפיפות הזרם הנפחית על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{J}=\frac{\delta I}{\delta a_{\perp}}\hat{v}
</math>
</div>
כאשר <math> \hat{v} </math> הוא וקטור יחידה בכיוון הזרימה ו-<math> \delta a_{\perp} </math> הוא אלמנט שטח חתך הניצב ל-<math> \hat{v} </math> (אם אינו ניצב, אז יש להטיל אותו על הכיוון הניצב). יחידות צפיפות הזרם נפחית הן <math> [A/m^2] </math>.
אם נשתמש בהגדרות אלו, ונניח שהזרם נוצר על ידי תנועה של צפיפות מטען נפחית <math> \rho(\vec{r}) </math> במהירות <math> \vec{v}(\vec{r}) </math>, אז נוכל לרשום את צפיפות הזרם על ידי <math> \vec{J}=\rho\vec{v} </math>. באופן דומה, ניתן להגדיר צפיפות זרם משטחית <math> \vec{K} </math> (כאשר תנועת המטענים מוגבלת למשטח כלשהו, ראו תרשים 2, חלק תחתון). אם נגדיר עקום <math> \ell </math> דרכו חולף הזרם אז צפיפות הזרם וסך הזרם יוגדרו על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{K}=\frac{\delta I}{\delta \ell_{\perp}}\hat{v} \; \Longleftrightarrow \; I=\int_{\ell} \vec{K}\cdot\hat{n}_{\ell}d\ell
</math>
</div>
כאשר <math> d\ell_{\perp} </math> הוא אלמנט אורך קטן הניצב לכיוון הזרימה, <math> \hat{n}_{\ell} </math> הוא הנורמל לעקום במישור. ניתן גם להביע את סך הזרם על ידי <math> I=\int_{\ell} \vec{K}\cdot(\hat{n}\times\vec{d\ell}) </math> כאשר במקרה זה <math> \hat{n} </math> הוא הנורמל למשטח עצמו.
סה"כ, אם קיימים במרחב סוגים שונים של זרם החולפים דרך חתך מסוים, סך הזרם יינתן על ידי
[[File:c1f3.png|thumbnail|left|תרשים 3: התפלגות זרמים כללית]]
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
I=\int_S\vec{J}\cdot\hat{n}dS+\int_{\ell}\vec{K}\cdot\hat{n}_{\ell}d\ell+\sum I_k
</math>
</div>

=== שימור מטען ===
למיטב ידיעתנו, בכל התהליכים בטבע מתקיים שימור מטען - מטען לא יכול להעלם או להווצר מעצמו, והדרך היחידה לשנות את כמות המטען באיזור מסוים היא להעביר גופים טעונים פנימה או החוצה. מכאן, ניתן לרשום עבור נפח סגור כללי כלשהו, <math> V </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
I_{net}=-\frac{\partial}{\partial t}Q_{total}
</math>
</div>
כאשר <math> I_{net} </math> הוא הזרם '''נטו''' היוצא מהנפח <math> V </math>, כלומר מחברים את כל הזרמים כאשר זרם יוצא מחובר בסימן חיובי, וזרם נכנס בסימן שלילי. <math> Q_{total} </math> הוא סך המטען הכלא בתוך הנפח <math> V </math>. בניסוח אינטגרלי, אם נניח שכל צפיפויות המטען והזרם רציפות, נקבל

<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{S=\partial V} \vec{J}\cdot\hat{n}dS=-\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V \rho dV
</math>
</div>
גם כאן, אגף ימין מקבל סימן מינוס מאחר ואנו מחשבים את הזרם היוצא - מאחר ומדובר על נפח סגור הנורמל למשטח <math> S </math> התוחם את <math> V </math> מכוון החוצה מהנפח, ובאופן טבעי מסכם זרמים יוצאים בסימן חיובי ונכנסים בסימן שלילי.
== משוואות מקסוול בוואקום (ניסוח אינטגרלי) ==
=== המשוואות הסיבוביות (Rotational equations) ===
[[File:c1f4.jpg|thumbnail|left|תרשים 4]]
נגדיר משטח <math> A </math> התחום על ידי שפה <math> \ell </math> (תרשים 4 עליון).
==== חוק פאראדיי ====
חוק זה קרוי על שמו של מייקל פאראדיי.
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{\ell} \vec{E}\cdot\vec{d\ell}=-\frac{\partial}{\partial t}\iint_A \mu_0\vec{H}\cdot\vec{da}
</math>
</div>

==== חוק אמפר ====
חוק זה קרוי על שמו של אנדרה-מארי אמפר אותו כבר הזכרנו בפרק זה. לולאת האינטגרציה (השפה של המשטח המוגדר) נקראת במקרה זה "לולאה אמפרית".
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{\ell} \vec{H}\cdot\vec{d\ell}={\color{red}\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\iint_A \vec{E}\cdot\vec{da}}+\iint_A \vec{J}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
האיבר המסומן באדום נקרא תיקון מקסוול, הקרוי גם זרם העתקה. על אף שפעמים רבות יישום והסבר איבר התיקון נעשה באמצעות דוגמא של זרם ההעתקה בקבל, מקסוול הוסיף תיקון זה מאחר והוא ידע שקיימים למשוואות מקסוול פתרונות בעלי אופי גלי, עם גלים המתפשטים בואקום, ובהעדר קיומו של איבר זה פתרונות אלו יעמדו בסתירה לחוק שימור המטען.
=== חוקי גאוס ===
נגדיר נפח <math> V </math> התחום על ידי משטח <math> A </math>.
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\iint_{S=\partial V} \epsilon_0\vec{E}\cdot\vec{da}=\iiint_V \rho dV
</math>
</div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\iint_{S=\partial V} \mu_0\vec{H}\cdot\vec{da}=0
</math>
</div>
'''הערה חשובה''' - חוקים אלו מתארים קשרים גלובליים, בין אינטגרלים שונים על השדות ועל המקורות. כדי להשתמש בקשרים אלו על מנת לחשב את השדות עצמם בכל נקודה ונקודה במרחב, יש להניח סימטריה מסוימת של השדות.

=== דוגמאות ===
==== דוגמא לשימוש בחוק גאוס ====
נתון גליל שאורכו אינסופי ורדיוסו <math> a </math>. הגליל טעון במטען חשמלי שצפיפותו הנפחית אחידה <math> \rho_0 </math> (תרשים 5א). יש לחשב את השדה החשמלי בכל המרחב.
[[File:C1F5.jpg|thumbnail|300px|left|תרשים 5]].

מטעמי הסימטריה בבעיה, ניתן להניח שהשדה החשמלי יהיה מהצורה <math> \vec{E}=E(r)\hat{r} </math>. נגדיר מעטפת גלילית סגורה בגובה <math> h </math> וברדיוס <math> r </math>, ונציג בחוק גאוס עבור השדה החשמלי. נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>E(r)=\left\{ \begin{matrix} \rho_0\frac{r}{2\epsilon_0} & r<a \\ \rho_0\frac{a^2}{2r\epsilon_0} & r>a \end{matrix} \right.</math>
</div>
כאן ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/yjwlvxnild גרף] של פילוג השדות, בו ניתן גם "לשחק" עם הפרמטרים השונים.

==== דוגמא לשימוש בחוק אמפר ====
נתון גליל שאורכו אינסופי ורדיוסו <math> a </math>. בגליל זורם זרם חשמלי שצפיפותו הנפחית אחידה <math> \vec{J}=J_0\hat{z} </math> (תרשים 5ב). יש לחשב את השדה המגנטי בכל המרחב.

מטעמי סימטריה נניח שהשדה המגנטי הוא מהצורה <math> \vec{H}=H_{\varphi}(r)\hat{\varphi} </math>. נגדיר לולאה מעגלית שרדיוסה <math> r </math> ומרכזה נמצא על ציר הגליל. התוצאה המתקבלת לאחר הצבה בחוק אמפר
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>E(r)=\left\{ \begin{matrix} J_0\frac{r}{2} & r<a \\ J_0\frac{a^2}{2r} & r>a \end{matrix} \right.</math>
</div>
כפי שציינו קודם, המשוואות האינטגרליות מהוות כלי לחישוב השדות עצמם כאשר מדובר במערכת עם סימטריה גבוהה כלשהי, ממנה ניתן להשיג מבנה שדה פשוט. כדי לפתור בעיות מורכבות וכלליות יותר, נדרש לקבל קשרים נקודתיים בין השדות למקורות - כיצד מתנהג השדה בסביבה קטנה של נקודה מסוימת, כתלות בפילוג המקורות סביב אותה נקודה? כיצד יש לטפל באי-רציפות בשדה,בפילוג המקורות, או בתכונות המרחב? מבחינה מתמטית, הבעת קשרים אלו היא למעשה רישום המשוואות הדיפרנציאליות שמקיימים השדות והמקורות.

== משוואות מקסוול בוואקום (ניסוח דיפרנציאלי) ==
על מנת לקבל את משוואות מקסוול בצורתן הדיפרנציאלית, המייצגת קשרים נקודתיים בין השדות והמקורות, נבצע "לוקליזציה" של הייצוג האינטגרלי, באופן דומה מאוד לצורה שבה קשרנו בין המשפטים האינטגרליים להגדרות הדיברגנץ והרוטור ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי]].
=== חוק שימור המטען ===
בצורתו האינטגרלית, חוק שימור המטען נתון על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\iint_{S=\partial V} \vec{J}\cdot\hat{n}dS=-\frac{\partial}{\partial t}\iiint_V \rho dV
</math>
</div>
כאשר הגאומטריה מוגדרת בתרשים 4. אם נשאיף את הנפח לאפס, נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\iint_{S=\partial V} \vec{J}\cdot\hat{n}dS=-\frac{\partial}{\partial t}\rho dV\; \Longrightarrow\; \lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V} \vec{J}\cdot\hat{n}dS=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
</math>
</div>
מכאן, ניתן להשתמש ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], ולקבל את הניסוח הדיפרנציאלי לחוק שימור המטען
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
</math>
</div>
מאחר והאינטואיציה שלנו לאופרטור הדיברגנץ היא "מקורות השטף", קיבלנו שמקורות שטף לשדה הזרם חייבים לנבוע משינוי של צפיפות המטען בנק' המקור.
'''הערה''' - מחוק זה נובע גם KCL. אם ניקח צומת כלשהי בה נפגשים מספר חוטים שבהם זורם זרם, ונניח שבצומת לא יכול להצבר מטען, נקבל מיד מיישום של חוק שימור המטען על מעטפת קטנה המקיפה את הצומת <math> \sum I=0 </math>.
=== חוקי גאוס ===
באופן אנלוגי לחלוטין, ניתן לקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\iint_{S=\partial V} \epsilon_0\vec{E}\cdot\hat{n}dS=\iiint_V\rho dV\; \Longrightarrow\; \nabla\cdot\epsilon_0\vec{E}=\rho
</math>
</div>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\iint_{S=\partial V} \mu_0\vec{H}\cdot\hat{n}dS=0; \Longrightarrow\; \nabla\cdot\mu_0\vec{H}=0
</math>
</div>
=== המשוואות הסיבוביות ===
חוק פאראדיי בניסוח אינטגרלי,
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{\ell} \vec{E}\cdot\vec{d\ell}=-\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\iint_A \mu_0\vec{H}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
כמובן שהחוק תקף לכל לולאה, ולכן נבחר לולאה קטנה מאוד, ונקבל (בהנחה שלולאה מספיק קטנה כך שהשדה המגנטי כמעט ולא משתנה על פניה)
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{\ell} \vec{E}\cdot\vec{d\ell}=-\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\mu_0\vec{H}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
כמובן שהמשוואה נשארת נכונה בין אם אנו בוחרים את הנורמל ללולאה להיות בכיוון אחד כלשהו <math> \hat{u} </math>, ואז מקבלים את היטל הרוטור על <math> \hat{u} </math>, או בין אם אנחנו "סורקים" על כל כיווני הנורמל האפשריים עד שמקבלים את הערך הגדול ביותר מהאינטגרל עבור הלולאה, ואז למעשה מצאנו את כיוון הרוטור. בכל מקרה ניתן לראות שאנו מקבלים חזרה את [[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_rot|הגדרת הרוטור]].
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\oint_{\ell=\partial S, \hat{n}=\hat{u}}\vec{E}\cdot\vec{d\ell}=curl\left[\vec{E}\right]\cdot\hat{u}=\nabla\times\vec{E}\cdot\hat{u}
</math>
</div>
ומכאן ניתן מיד לקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\mu_0\vec{H}
</math>
</div>
באופן אנלוגי לחלוטין ניתן לטפל בחוק אמפר ולקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{\ell} \vec{H}\cdot\vec{d\ell}=\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\iint_A \vec{E}\cdot\vec{da}+\iint_A \vec{J}\cdot\vec{da} \Longrightarrow \nabla\times\vec{H}=\frac{\partial}{\partial t}\epsilon_0\vec{E}+\vec{J}
</math>
</div>
=== הקשר לשימור המטען ===
עבור כל שדה <math> \vec{F} </math> מתקיים
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{F}\right)=0
</math>
</div>
ובפרט עבור השדה המגנטי. אם נשתמש בחוק אמפר נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{H}\right)=0\;\Rightarrow\;\nabla\cdot\left(\frac{\partial}{\partial t}\epsilon_0\vec{E}+\vec{J}\right)=0
</math>
</div>
וכעת, אם נשתמש בחוק גאוס בנוסף,
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\epsilon_0\vec{E}\right)\;\Rightarrow\;\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}
</math>
</div>
וקיבלנו את חוק שימור המטען. נשים לב, שללא זרם ההעתקה, היינו מקבלים <math>\nabla\cdot\vec{J}=0 </math>, דבר שכמובן לא נכון באופן כללי, אלא רק כשהשינויים הזמניים במערכת זניחים (בהמשך נעסוק במושג זה בצורה מסודרת).
דוגמא נוספת לנחיצותו של זרם ההעתקה ניתן לראות במקרה המתואר בתרשים 6.
[[File:c1f6.jpg|thumbnail|300px|left|תרשים 6]]
נתון קבל שמהווה חלק ממערכת כלשהי, ונתונות שתי בחירות שונות עבור משטחי אינטגרציה, בעלי לולאה אמפרית '''זהה'''. מכאן, שעבור שתי הבחירות, האינטגרל <math> \oint\vec{H}\cdot\vec{d\ell} </math> יתן את אותה תוצאה, ולכן גם אגף ימין יתן את אותה תוצאה. עם זאת, ברור שהזרם החוצה את המשטח שונה בשני המקרים, (אפס בצד ימין, וזרם כלשהו בצד שמאל) ולכן חייב להיות באגף ימין איבר ש"מפצה" על שוני זה - זרם ההעתקה. עם זאת, כפי שהזכרנו קודם, הדבר ששכנע את מקסוול בנכונות ובנחיצות תיקון זה, הוא הידיעה שתיקון זה הכרחי על מנת לקבל פתרונות גליים למשוואות מקסוול. מאוחר יותר, כאשר התגלו הגלים האלקטרומגנטיים (בתחום המיקרוגל) על ידי הרץ, התואמים בדיוק את התכונות הצפויות להם ממשוואות מקסוול, כולם השתכנעו בנכונות ונחיצות התיקון שהכניס מקסוול.
{{DEFAULTSORT:פרק1}}
</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2023-06-24T10:42:39Z

85.64.114.243: /* דוגמה 2 (איור 9) */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצרת שדה מגנטי שמשתנה כשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה
<math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a =\mu_0(\vec H + \vec M) </math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 (איור 8) ===
[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 (איור 9) ===
[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z\mu_0 = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2023-06-24T09:21:19Z

85.64.114.243:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצרת שדה מגנטי שמשתנה כשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה
<math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a =\mu_0(\vec H + \vec M) </math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 (איור 8) ===
[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 (איור 9) ===
[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 9 - מגנטוסטטיקה

2023-06-23T19:19:22Z

85.64.114.243: /* השראות הדדית */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== מגנטוסטטיקה ==

=== משוואות השדה ===
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזיסטטית), השדה החשמלי והמגנטי נקבעים דרך המשוואות הבאות:

באלטרוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = 0 \\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}
</math>

במגנטוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec H = \vec J \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
\end{cases}
</math>

וניתן לראות שבין מערכות המשוואות ישנם הבדלים. במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי הוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את <math>\vec E</math>, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזיסטטיות, נשתמש באותה הדרך.

מאחר ובאופן כללי מתקיים:

<math display="block">
\nabla \times \vec H= \vec J \neq 0
</math>
לא ניתן להגדיר <math>H=-\nabla \phi</math>. עם זאת, השדה המגנטי הוא תמיד חסר מקורות (במובן של מטענים)

<math display="block">
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
</math>
ולכן נגדיר:

<math display="block">
\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times
\underbrace{\vec A}_{\text{magnetic vector potential}}
</math>
מאחר שבאופן זהותי מתקיים

<math display="block">\nabla \cdot (\nabla \times A)=0</math>

=== פוטנציאל וקטורי ===
הבחירה ב <math>\vec A</math> אינה חד ערכית.

אם מתקיים <math>\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H</math>, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי <math>\Psi</math>:

<math display="block">
\vec A' = \vec A + \nabla \Psi
</math>
ואז:
<math display="block">
\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) =
\mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H
</math>
נקבל את אותו השדה (למעשה משפט הלמולץ באחת מצורותיה אומרת שניתן להגדיר שדה כמלואו, באופן יחיד, כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div).

כאן ידוע לנו רק <math>\nabla \times \vec A = \vec H</math> ויש לנו חופש לבחור את Div לנוחיותינו.

=== משוואת לפלאס הוקטורית ===
ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>נשתמש בזהות ונקבל:

<math display="block">\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>על מנת לפשט את המשוואה, נהוג לבחור את כיול קולון (מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו):

<math display="block">\nabla \cdot \vec A = 0
\Rightarrow
\nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J </math>מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\
\nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\
\nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}</math>

=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
ראינו שכל רכיב מתנהג כמו משוואת פואסון, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:

<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:
<math display="block">\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>
כאשר:

* <math>\vec r'</math> - מערכת המקור.
* <math>\vec r</math> - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את <math>\vec A</math>.
נסיק, כי בהינתן שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את <math>\vec A</math> על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את <math>\vec H</math>:

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A</math>'''הערה חשובה:'''

נשים לב כי רכיב כלשהו של <math>\vec J</math> תורם רק לאותו רכיב של <math>\vec A</math>.

בניגוד ל <math>\nabla \times \vec H = \vec J</math> שבו כל רכיב של <math>\vec J</math> יכול לתרום לרכיבים שונים של <math>\vec H</math>.

=== דוגמא - טבעת זרם ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה <math>a</math> ,ונושאת זרם <math>I</math>. נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">
\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y,
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z
</math>
<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi'
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}

}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...
</math>
<math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')

}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
</math>
את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r}
\cdot
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי <math>m\equiv I_0 S</math>.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, השדות מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

=== חוק Biot - Savart ===
[[File:Pic0903.png|200px|thumb|left|איור 3]]

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}) dV' =
\frac{1}{4\pi} \int [
\nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
] dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> הוא פונקציה של קורדינטות המקור <math>\vec{r}'</math> בלבד.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int [
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'}_{\text{Volume charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dS'}_{\text{Surface charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec I \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
\vec{dl'}}_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.

== פתרון בעיית תנאי שפה עבור השדה המגנטי ==
=== תנאי שפה לשדה מגנטי בנוכחות מוליך אידאלי (PEC) ===
[[File:Pic0904.png|200px|thumb|left|איור 4]]
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה עבור מקורות סמוכים לגופים העשויים מוליך אידאלי,
נרשום את תנאי השפה עבור <math>\vec H</math> במקרה זה (איור 4). נזכור כי על פי הגדרה, מוליך אידאלי הוא חומר שבו השדות מתאפסים, כלומר <math>\vec{E}=0,\vec{H}=0</math>.

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow
\hat n \times \vec H = \vec K
\\
\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0
\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

=== ניסוח בעיית השדה המגנטי ===
בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
[[File:Pic0905.png|200px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">\begin{cases}

\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

<math display="block">
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי.
<math display="block">
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} =
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h =
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>
נשים לב ש <math>\vec H_h</math> - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">
\nabla\times\vec H_h=0 \Rightarrow \vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>
כאשר <math>\phi_m</math> הוא הפוטנציאל המגנטי '''הסקלרי'''/
נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\
\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר.
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים

<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
[[File:Pic0907.png|200px|thumb|left|איור 7]]
כדור שרדיוסו <math>a</math> עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד <math>H_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2})
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)} </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases}
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3 </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}}
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} } </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m
=
H_0 \hat z -
\frac{H_0 a^3}{2}\underbrace{\frac{1}{r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})} </math>
כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}}
\cdot
\underbrace{H_0}_{\text{Stimulated}} </math>

קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.
* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
[[File:Pic0908.png|200px|thumb|left|איור 8 - השדה בבעיה]]

בתוך הכדור <math>\vec H = 0 </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const} </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

=== דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד ===
[[File:Pic0909.png|200px|thumb|left|איור 9]]
נתון גליל שרדיוסו <math>a </math> ונמצא בשדה מגנטי חיצוני אחיד, כמוראה באיור 9. תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.עם זאת, נשים לב כי כעת אנחנו מחשבים את השדה בתחום שאינו פשוט קשר. ננסה לפתור, ולוודא בסוף שאכן קיבלנו שסך הזרמים בגליל מתאפסים.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

<math display="block">\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi </math><math display="block">\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext} </math>ולכן:

<math display="block">\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z </math>אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - לא הייתה בעיה בהגדרה של <math>\phi_m </math>.

נשווה מקדמים:<math display="block">\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2
\Rightarrow
P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2) </math><math display="block">\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S </math><math display="block">\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r +
\cos\varphi \hat \varphi] </math><math display="block">H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi) </math>

=== שיקופים ===

בדומה לבעיות שדה חשמלי, גם במקרה של שדה מגנטי ניתן לפתור באמצעות שיקופים עבור בעיות של מקורות בסמוך למשטחים אינסופיים עשויים מוליך אידאלי. באיור 10 מוצג סיכום של פתרון שיקוף עבור דיפולים חשמליים ומגנטיים.

[[File:c9-images.png|700px|thumb|center|איור 10]]

== כא"מ והשראות ==
[[File:Pic0911.png|600px|thumb|center|איור 11]]
נסתכל על הדוגמא הנתונה באיור 11, וספציפית נסתכל על המעגל המסומן בצבע שחור. אם היינו מניחים שמתקיים במעגל השחור חוק קירכהוף עבור המתחים, היינו מקבלים ש-<math>V_{R1}=V_{R2} </math>.
כעת, נשתמש בחוק פאראדיי במקום להניח שניתן להשתמש בחוקי קירכהוף,
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t}
=
-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) </math>
במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.
ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

<math display="block">
i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2}
</math>

לא סתם שמתקיים <math>V_{R1}\neq V_{R2} </math>, בנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים. הסיבה לסתירה שקיבלנו לחוק המתחים היא שחוקי קירכהוף הם חוקים קוואזיסטטיים, וחוק המתחים בפרט נכון כל עוד ניתן להזניח את שינוי השטף המגנטי דרך שטח המעגל. כאשר זה לא קורה, נוצר כא"מ מושרה במעגל, שגורם לאינטגרל הסגור על השדה המגנטי להיות שונה מאפס (למעשה במקרה שהשינוי בשטף משמעותי, השדה המגנטי חדל מלהיות שדה משמר).

=== תיקונים לשדה הקוואזיסטטי ===
[[File:Pic0912.png|400px|thumb|center|איור 12]]
כעת נסתכל על איור 12. במעגל מחובר מד מתח אידאלי, והגודל הנמדד על-ידו הוא
<math display="block">V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl} </math>
כאשר במעגל יהיו שינויים זמניים, וכאשר שינויי השטף המגנטי דרכו אינם זניחים, יווצר כא"מ כתוצאה מחוק פאראדיי. אם נסתכל על הבעיה במונחים קוואזי-סטטים, נשים לב כי השדה החשמלי היוצר את הכא"מ המושרה הוא '''תיקון מסדר 1''' לשדה הסטטי מאחר והוא נובע מנגזרות זמניות של השדה המגנטוסטטי.
<math display="block">\oint \vec E^{(1)} \cdot \vec{dl} =-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H^{(0)} \cdot \vec{dS}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}</math>
והוא אינו שדה משמר. מכאן, שמדידת המתח תהיה תלויה במסלול האינטגרציה, ולכן יש חשיבות לנקודות ביניהם מחובר מד המתח ול"מסלול החוטים" שלו.

כעת, נציב בחוק פאראדיי, כאשר מסלול האינטגרציה עובר סמוך מאוד לחוטים ובמשיק להם, ונפרק את המסלול לחלקים

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = - \frac{\partial \psi}{\partial t}
\;\;\Longrightarrow\;\;
\int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}=
-V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
=-\frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

ואם נארגן את הביטוי נקבל

<math display="block">
V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

<u>מקרה 1:</u>

אם <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:
[[File:Pic0913.png|300px|thumb|left|איור 13]]
<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} </math>
וזה בדיוק KVL. אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (13) ועשויים מחומר שמוליכותו הסגולית <math> \sigma </math> נקבל,

<math display="block">\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma}
\Rightarrow
V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l =
\underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I </math>

<u>מקרה 2:</u>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

<math display="block">V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0}
+ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} </math>

מאחר ומתקיים:

<math display="block">\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS </math>

וגם מדובר בבעיה לינארית שבה

<math display="block">\vec H \propto I </math>

מתקיים:

<math display="block">
\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I </math>
קבוע הפרופורציה <math>L </math> נקרא ההשראות (Inductance) של המעגל. רכיבים כגון סלילים בנויים כך ששינויי השטף דרכם יהיו משמעותיים ובעזרתם ניתן לשלב תכונות השראותיות במערכות. אם נציב בחוק פאראדיי נקבל
<math display="block">\Rightarrow
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} =
\underbrace{{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial I}}}}_{=L}
\cdot
{\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21} </math>
וזהו הביטוי המוכר למפל המתח על משרן.

=== השראות הדדית ===

[[File:Pic0914.png|300px|thumb|left|איור 14]]

נביט במעגל המשורטט באיור 14. כאשר יש לנו מעגלים סמוכים בעלי תכונות השראותיות, השדות המגנטיים הנוצרים בעקבות זרמים באחד המעגלים ישפיעו על השטף החולף דרך רכיבי המעגל השני. אפקט זה מתווסף להשפעה העצמית שאותה כבר ניתחנו. כעת, שכבר מובן לנו שאנו עוסקים בבעיות שבהן השדה המגנטי לינארי לזרמים הנוצרים, ניתן לרשום באופן כללי את השטף דרך כל משרן באופן הבא:

<math display="block">\begin{cases}
\psi_1 = L_{\text{1,1}} \cdot I_1 + L_{1,2} \cdot I_2 \\
\psi_2 = L_{2,1} \cdot I_1 + L_{2,2} \cdot I_2
\end{cases} </math>

או בצורה מטריצית
<math display="block">\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} =
\underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{L}}}
\cdot
\begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix} </math>
איברי האלכסון הן ההשראויות העצמיות עליהן כבר דיברנו. האיברים מחוץ לאלכסון <math> L_{i,j} </math> מציינים השראויות הדדיות - כיצד זרם שזורם במשרן ה-<math> j </math> תורם לשטף המגנטי דרך המשרן ה-<math> i </math>. המטריצה <math> \underline{\underline{L}} </math> חייבת להיות סימטרית, והאיברים מחוץ לאלכסון יכולים להיות גם שליליים, וסימנם לוי בכיוון השדה המגנטי שיוצר רכיב <math> i </math> על רכיב <math> j </math>.

=== דוגמא ===
[[File:Pic0915.png|200px|thumb|left|איור 15]]
באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2 </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור

מה ההשראות ההדדית?

מאחר והטבעת הפנימית קטנה מאוד, נניח כי השדה היוצרת עליה הטבעת החיצונית אחיד בקירוב, ושווה לשדה במרכזה. נקבל:
<math display="block">\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 =
\underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}}
\cdot I </math>

נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה בפשוטה הרבה יותר.
</div>

פרק 9 - מגנטוסטטיקה

2023-06-23T19:09:07Z

85.64.114.243: /* תיקונים לשדה הקוואזיסטטי */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== מגנטוסטטיקה ==

=== משוואות השדה ===
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזיסטטית), השדה החשמלי והמגנטי נקבעים דרך המשוואות הבאות:

באלטרוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = 0 \\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}
</math>

במגנטוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec H = \vec J \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
\end{cases}
</math>

וניתן לראות שבין מערכות המשוואות ישנם הבדלים. במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי הוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את <math>\vec E</math>, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזיסטטיות, נשתמש באותה הדרך.

מאחר ובאופן כללי מתקיים:

<math display="block">
\nabla \times \vec H= \vec J \neq 0
</math>
לא ניתן להגדיר <math>H=-\nabla \phi</math>. עם זאת, השדה המגנטי הוא תמיד חסר מקורות (במובן של מטענים)

<math display="block">
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
</math>
ולכן נגדיר:

<math display="block">
\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times
\underbrace{\vec A}_{\text{magnetic vector potential}}
</math>
מאחר שבאופן זהותי מתקיים

<math display="block">\nabla \cdot (\nabla \times A)=0</math>

=== פוטנציאל וקטורי ===
הבחירה ב <math>\vec A</math> אינה חד ערכית.

אם מתקיים <math>\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H</math>, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי <math>\Psi</math>:

<math display="block">
\vec A' = \vec A + \nabla \Psi
</math>
ואז:
<math display="block">
\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) =
\mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H
</math>
נקבל את אותו השדה (למעשה משפט הלמולץ באחת מצורותיה אומרת שניתן להגדיר שדה כמלואו, באופן יחיד, כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div).

כאן ידוע לנו רק <math>\nabla \times \vec A = \vec H</math> ויש לנו חופש לבחור את Div לנוחיותינו.

=== משוואת לפלאס הוקטורית ===
ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>נשתמש בזהות ונקבל:

<math display="block">\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>על מנת לפשט את המשוואה, נהוג לבחור את כיול קולון (מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו):

<math display="block">\nabla \cdot \vec A = 0
\Rightarrow
\nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J </math>מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\
\nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\
\nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}</math>

=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
ראינו שכל רכיב מתנהג כמו משוואת פואסון, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:

<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:
<math display="block">\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>
כאשר:

* <math>\vec r'</math> - מערכת המקור.
* <math>\vec r</math> - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את <math>\vec A</math>.
נסיק, כי בהינתן שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את <math>\vec A</math> על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את <math>\vec H</math>:

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A</math>'''הערה חשובה:'''

נשים לב כי רכיב כלשהו של <math>\vec J</math> תורם רק לאותו רכיב של <math>\vec A</math>.

בניגוד ל <math>\nabla \times \vec H = \vec J</math> שבו כל רכיב של <math>\vec J</math> יכול לתרום לרכיבים שונים של <math>\vec H</math>.

=== דוגמא - טבעת זרם ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה <math>a</math> ,ונושאת זרם <math>I</math>. נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">
\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y,
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z
</math>
<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi'
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}

}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...
</math>
<math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')

}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
</math>
את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r}
\cdot
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי <math>m\equiv I_0 S</math>.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, השדות מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

=== חוק Biot - Savart ===
[[File:Pic0903.png|200px|thumb|left|איור 3]]

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}) dV' =
\frac{1}{4\pi} \int [
\nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
] dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> הוא פונקציה של קורדינטות המקור <math>\vec{r}'</math> בלבד.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int [
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'}_{\text{Volume charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dS'}_{\text{Surface charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec I \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
\vec{dl'}}_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.

== פתרון בעיית תנאי שפה עבור השדה המגנטי ==
=== תנאי שפה לשדה מגנטי בנוכחות מוליך אידאלי (PEC) ===
[[File:Pic0904.png|200px|thumb|left|איור 4]]
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה עבור מקורות סמוכים לגופים העשויים מוליך אידאלי,
נרשום את תנאי השפה עבור <math>\vec H</math> במקרה זה (איור 4). נזכור כי על פי הגדרה, מוליך אידאלי הוא חומר שבו השדות מתאפסים, כלומר <math>\vec{E}=0,\vec{H}=0</math>.

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow
\hat n \times \vec H = \vec K
\\
\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0
\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

=== ניסוח בעיית השדה המגנטי ===
בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
[[File:Pic0905.png|200px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">\begin{cases}

\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

<math display="block">
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי.
<math display="block">
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} =
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h =
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>
נשים לב ש <math>\vec H_h</math> - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">
\nabla\times\vec H_h=0 \Rightarrow \vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>
כאשר <math>\phi_m</math> הוא הפוטנציאל המגנטי '''הסקלרי'''/
נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\
\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר.
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים

<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
[[File:Pic0907.png|200px|thumb|left|איור 7]]
כדור שרדיוסו <math>a</math> עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד <math>H_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2})
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)} </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases}
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3 </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}}
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} } </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m
=
H_0 \hat z -
\frac{H_0 a^3}{2}\underbrace{\frac{1}{r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})} </math>
כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}}
\cdot
\underbrace{H_0}_{\text{Stimulated}} </math>

קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.
* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
[[File:Pic0908.png|200px|thumb|left|איור 8 - השדה בבעיה]]

בתוך הכדור <math>\vec H = 0 </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const} </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

=== דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד ===
[[File:Pic0909.png|200px|thumb|left|איור 9]]
נתון גליל שרדיוסו <math>a </math> ונמצא בשדה מגנטי חיצוני אחיד, כמוראה באיור 9. תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.עם זאת, נשים לב כי כעת אנחנו מחשבים את השדה בתחום שאינו פשוט קשר. ננסה לפתור, ולוודא בסוף שאכן קיבלנו שסך הזרמים בגליל מתאפסים.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

<math display="block">\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi </math><math display="block">\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext} </math>ולכן:

<math display="block">\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z </math>אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - לא הייתה בעיה בהגדרה של <math>\phi_m </math>.

נשווה מקדמים:<math display="block">\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2
\Rightarrow
P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2) </math><math display="block">\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S </math><math display="block">\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r +
\cos\varphi \hat \varphi] </math><math display="block">H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi) </math>

=== שיקופים ===

בדומה לבעיות שדה חשמלי, גם במקרה של שדה מגנטי ניתן לפתור באמצעות שיקופים עבור בעיות של מקורות בסמוך למשטחים אינסופיים עשויים מוליך אידאלי. באיור 10 מוצג סיכום של פתרון שיקוף עבור דיפולים חשמליים ומגנטיים.

[[File:c9-images.png|700px|thumb|center|איור 10]]

== כא"מ והשראות ==
[[File:Pic0911.png|600px|thumb|center|איור 11]]
נסתכל על הדוגמא הנתונה באיור 11, וספציפית נסתכל על המעגל המסומן בצבע שחור. אם היינו מניחים שמתקיים במעגל השחור חוק קירכהוף עבור המתחים, היינו מקבלים ש-<math>V_{R1}=V_{R2} </math>.
כעת, נשתמש בחוק פאראדיי במקום להניח שניתן להשתמש בחוקי קירכהוף,
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t}
=
-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) </math>
במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.
ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

<math display="block">
i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2}
</math>

לא סתם שמתקיים <math>V_{R1}\neq V_{R2} </math>, בנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים. הסיבה לסתירה שקיבלנו לחוק המתחים היא שחוקי קירכהוף הם חוקים קוואזיסטטיים, וחוק המתחים בפרט נכון כל עוד ניתן להזניח את שינוי השטף המגנטי דרך שטח המעגל. כאשר זה לא קורה, נוצר כא"מ מושרה במעגל, שגורם לאינטגרל הסגור על השדה המגנטי להיות שונה מאפס (למעשה במקרה שהשינוי בשטף משמעותי, השדה המגנטי חדל מלהיות שדה משמר).

=== תיקונים לשדה הקוואזיסטטי ===
[[File:Pic0912.png|400px|thumb|center|איור 12]]
כעת נסתכל על איור 12. במעגל מחובר מד מתח אידאלי, והגודל הנמדד על-ידו הוא
<math display="block">V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl} </math>
כאשר במעגל יהיו שינויים זמניים, וכאשר שינויי השטף המגנטי דרכו אינם זניחים, יווצר כא"מ כתוצאה מחוק פאראדיי. אם נסתכל על הבעיה במונחים קוואזי-סטטים, נשים לב כי השדה החשמלי היוצר את הכא"מ המושרה הוא '''תיקון מסדר 1''' לשדה הסטטי מאחר והוא נובע מנגזרות זמניות של השדה המגנטוסטטי.
<math display="block">\oint \vec E^{(1)} \cdot \vec{dl} =-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H^{(0)} \cdot \vec{dS}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}</math>
והוא אינו שדה משמר. מכאן, שמדידת המתח תהיה תלויה במסלול האינטגרציה, ולכן יש חשיבות לנקודות ביניהם מחובר מד המתח ול"מסלול החוטים" שלו.

כעת, נציב בחוק פאראדיי, כאשר מסלול האינטגרציה עובר סמוך מאוד לחוטים ובמשיק להם, ונפרק את המסלול לחלקים

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = - \frac{\partial \psi}{\partial t}
\;\;\Longrightarrow\;\;
\int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}=
-V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
=-\frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

ואם נארגן את הביטוי נקבל

<math display="block">
V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

<u>מקרה 1:</u>

אם <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:
[[File:Pic0913.png|300px|thumb|left|איור 13]]
<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} </math>
וזה בדיוק KVL. אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (13) ועשויים מחומר שמוליכותו הסגולית <math> \sigma </math> נקבל,

<math display="block">\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma}
\Rightarrow
V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l =
\underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I </math>

<u>מקרה 2:</u>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

<math display="block">V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0}
+ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} </math>

מאחר ומתקיים:

<math display="block">\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS </math>

וגם מדובר בבעיה לינארית שבה

<math display="block">\vec H \propto I </math>

מתקיים:

<math display="block">
\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I </math>
קבוע הפרופורציה <math>L </math> נקרא ההשראות (Inductance) של המעגל. רכיבים כגון סלילים בנויים כך ששינויי השטף דרכם יהיו משמעותיים ובעזרתם ניתן לשלב תכונות השראותיות במערכות. אם נציב בחוק פאראדיי נקבל
<math display="block">\Rightarrow
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} =
\underbrace{{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial I}}}}_{=L}
\cdot
{\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21} </math>
וזהו הביטוי המוכר למפל המתח על משרן.

=== השראות הדדית ===

[[File:Pic0914.png|300px|thumb|left|איור 14]]

נביט במעגל המשורטט באיור 14. כאשר יש לנו מעגלים סמוכים בעלי תכונות השראותיות, השדות המגנטיים הנוצרים בעקבות זרמים באחד המעגלים ישפיעו על השטף החולף דרך רכיבי המעגל השני. אפקט זה מתווסף להשפעה העצמית שאותה כבר ניתחנו. כעת, שכבר מובן לנו שאנו עוסקים בבעיות שבהן השדה המגנטי לינארי לזרמים הנוצרים, ניתן לרשום באופן כללי את השטף דרך כל משרן באופן הבא:

<math display="block">\begin{cases}
\psi_1 = L_{\text{1,1}} \cdot I_1 + L_{1,2} \cdot I_2 \\
\psi_2 = L_{2,1} \cdot I_1 + L_{2,2} \cdot I_2
\end{cases} </math>

או בצורה מטריצית
<math display="block">\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} =
\underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{L}}}
\cdot
\begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix} </math>
איברי האלכסון הן ההשראויות העצמיות עליהן כבר שיברנו. האיברים מחוץ לאלכסון <math> L_{i,j} </math> מציינים השראויות הדדיות - כיצד זרם שזורם במשרן ה-<math> j </math> תורם לשטף המגנטי דרך המשרן ה-<math> i </math>. המטריצה <math> \underline{\underline{L}} </math> חייבת להיות סימטרית, והאיברים מחוץ לאלכסון יכולים להיות גם שליליים, וסימנם לוי בכיוון השדה המגנטי שיוצר רכיב <math> i </math> על רכיב <math> j </math>.

=== דוגמא ===
[[File:Pic0915.png|200px|thumb|left|איור 15]]
באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2 </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור

מה ההשראות ההדדית?

מאחר והטבעת הפנימית קטנה מאוד, נניח כי השדה היוצרת עליה הטבעת החיצונית אחיד בקירוב, ושווה לשדה במרכזה. נקבל:
<math display="block">\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 =
\underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}}
\cdot I </math>

נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה בפשוטה הרבה יותר.
</div>

פרק 9 - מגנטוסטטיקה

2023-06-23T19:08:04Z

85.64.114.243: /* תיקונים לשדה הקוואזיסטטי */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== מגנטוסטטיקה ==

=== משוואות השדה ===
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזיסטטית), השדה החשמלי והמגנטי נקבעים דרך המשוואות הבאות:

באלטרוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = 0 \\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}
</math>

במגנטוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec H = \vec J \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
\end{cases}
</math>

וניתן לראות שבין מערכות המשוואות ישנם הבדלים. במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי הוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את <math>\vec E</math>, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזיסטטיות, נשתמש באותה הדרך.

מאחר ובאופן כללי מתקיים:

<math display="block">
\nabla \times \vec H= \vec J \neq 0
</math>
לא ניתן להגדיר <math>H=-\nabla \phi</math>. עם זאת, השדה המגנטי הוא תמיד חסר מקורות (במובן של מטענים)

<math display="block">
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
</math>
ולכן נגדיר:

<math display="block">
\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times
\underbrace{\vec A}_{\text{magnetic vector potential}}
</math>
מאחר שבאופן זהותי מתקיים

<math display="block">\nabla \cdot (\nabla \times A)=0</math>

=== פוטנציאל וקטורי ===
הבחירה ב <math>\vec A</math> אינה חד ערכית.

אם מתקיים <math>\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H</math>, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי <math>\Psi</math>:

<math display="block">
\vec A' = \vec A + \nabla \Psi
</math>
ואז:
<math display="block">
\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) =
\mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H
</math>
נקבל את אותו השדה (למעשה משפט הלמולץ באחת מצורותיה אומרת שניתן להגדיר שדה כמלואו, באופן יחיד, כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div).

כאן ידוע לנו רק <math>\nabla \times \vec A = \vec H</math> ויש לנו חופש לבחור את Div לנוחיותינו.

=== משוואת לפלאס הוקטורית ===
ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>נשתמש בזהות ונקבל:

<math display="block">\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>על מנת לפשט את המשוואה, נהוג לבחור את כיול קולון (מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו):

<math display="block">\nabla \cdot \vec A = 0
\Rightarrow
\nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J </math>מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\
\nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\
\nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}</math>

=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
ראינו שכל רכיב מתנהג כמו משוואת פואסון, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:

<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:
<math display="block">\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>
כאשר:

* <math>\vec r'</math> - מערכת המקור.
* <math>\vec r</math> - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את <math>\vec A</math>.
נסיק, כי בהינתן שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את <math>\vec A</math> על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את <math>\vec H</math>:

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A</math>'''הערה חשובה:'''

נשים לב כי רכיב כלשהו של <math>\vec J</math> תורם רק לאותו רכיב של <math>\vec A</math>.

בניגוד ל <math>\nabla \times \vec H = \vec J</math> שבו כל רכיב של <math>\vec J</math> יכול לתרום לרכיבים שונים של <math>\vec H</math>.

=== דוגמא - טבעת זרם ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה <math>a</math> ,ונושאת זרם <math>I</math>. נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">
\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y,
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z
</math>
<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi'
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}

}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...
</math>
<math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')

}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
</math>
את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r}
\cdot
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי <math>m\equiv I_0 S</math>.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, השדות מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

=== חוק Biot - Savart ===
[[File:Pic0903.png|200px|thumb|left|איור 3]]

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}) dV' =
\frac{1}{4\pi} \int [
\nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
] dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> הוא פונקציה של קורדינטות המקור <math>\vec{r}'</math> בלבד.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int [
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'}_{\text{Volume charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dS'}_{\text{Surface charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec I \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
\vec{dl'}}_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.

== פתרון בעיית תנאי שפה עבור השדה המגנטי ==
=== תנאי שפה לשדה מגנטי בנוכחות מוליך אידאלי (PEC) ===
[[File:Pic0904.png|200px|thumb|left|איור 4]]
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה עבור מקורות סמוכים לגופים העשויים מוליך אידאלי,
נרשום את תנאי השפה עבור <math>\vec H</math> במקרה זה (איור 4). נזכור כי על פי הגדרה, מוליך אידאלי הוא חומר שבו השדות מתאפסים, כלומר <math>\vec{E}=0,\vec{H}=0</math>.

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow
\hat n \times \vec H = \vec K
\\
\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0
\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

=== ניסוח בעיית השדה המגנטי ===
בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
[[File:Pic0905.png|200px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">\begin{cases}

\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

<math display="block">
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי.
<math display="block">
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} =
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h =
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>
נשים לב ש <math>\vec H_h</math> - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">
\nabla\times\vec H_h=0 \Rightarrow \vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>
כאשר <math>\phi_m</math> הוא הפוטנציאל המגנטי '''הסקלרי'''/
נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\
\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר.
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים

<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
[[File:Pic0907.png|200px|thumb|left|איור 7]]
כדור שרדיוסו <math>a</math> עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד <math>H_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2})
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)} </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases}
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3 </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}}
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} } </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m
=
H_0 \hat z -
\frac{H_0 a^3}{2}\underbrace{\frac{1}{r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})} </math>
כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}}
\cdot
\underbrace{H_0}_{\text{Stimulated}} </math>

קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.
* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
[[File:Pic0908.png|200px|thumb|left|איור 8 - השדה בבעיה]]

בתוך הכדור <math>\vec H = 0 </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const} </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

=== דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד ===
[[File:Pic0909.png|200px|thumb|left|איור 9]]
נתון גליל שרדיוסו <math>a </math> ונמצא בשדה מגנטי חיצוני אחיד, כמוראה באיור 9. תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.עם זאת, נשים לב כי כעת אנחנו מחשבים את השדה בתחום שאינו פשוט קשר. ננסה לפתור, ולוודא בסוף שאכן קיבלנו שסך הזרמים בגליל מתאפסים.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

<math display="block">\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi </math><math display="block">\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext} </math>ולכן:

<math display="block">\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z </math>אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - לא הייתה בעיה בהגדרה של <math>\phi_m </math>.

נשווה מקדמים:<math display="block">\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2
\Rightarrow
P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2) </math><math display="block">\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S </math><math display="block">\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r +
\cos\varphi \hat \varphi] </math><math display="block">H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi) </math>

=== שיקופים ===

בדומה לבעיות שדה חשמלי, גם במקרה של שדה מגנטי ניתן לפתור באמצעות שיקופים עבור בעיות של מקורות בסמוך למשטחים אינסופיים עשויים מוליך אידאלי. באיור 10 מוצג סיכום של פתרון שיקוף עבור דיפולים חשמליים ומגנטיים.

[[File:c9-images.png|700px|thumb|center|איור 10]]

== כא"מ והשראות ==
[[File:Pic0911.png|600px|thumb|center|איור 11]]
נסתכל על הדוגמא הנתונה באיור 11, וספציפית נסתכל על המעגל המסומן בצבע שחור. אם היינו מניחים שמתקיים במעגל השחור חוק קירכהוף עבור המתחים, היינו מקבלים ש-<math>V_{R1}=V_{R2} </math>.
כעת, נשתמש בחוק פאראדיי במקום להניח שניתן להשתמש בחוקי קירכהוף,
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t}
=
-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) </math>
במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.
ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

<math display="block">
i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2}
</math>

לא סתם שמתקיים <math>V_{R1}\neq V_{R2} </math>, בנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים. הסיבה לסתירה שקיבלנו לחוק המתחים היא שחוקי קירכהוף הם חוקים קוואזיסטטיים, וחוק המתחים בפרט נכון כל עוד ניתן להזניח את שינוי השטף המגנטי דרך שטח המעגל. כאשר זה לא קורה, נוצר כא"מ מושרה במעגל, שגורם לאינטגרל הסגור על השדה המגנטי להיות שונה מאפס (למעשה במקרה שהשינוי בשטף משמעותי, השדה המגנטי חדל מלהיות שדה משמר).

=== תיקונים לשדה הקוואזיסטטי ===
[[File:Pic0912.png|400px|thumb|center|איור 12]]
כעת נסתכל על איור 12. במעגל מחובר מד מתח אידאלי, והגודל הנמדד על-ידו הוא
<math display="block">V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl} </math>
כאשר במעגל יהיו שינויים זמניים, וכאשר שינויי השטף המגנטי דרכו אינם זניחים, יווצר כא"מ כתוצאה מחוק פאראדיי. אם נסתכל על הבעיה במונחים קוואזי-סטטים, נשים לב כי השדה החשמלי היוצר את הכא"מ המושרה הוא '''תיקון מסדר 1''' לשדה הסטטי מאחר והוא נובע מנגזרות זמניות של השדה המגנטוסטטי.
<math display="block">\oint \vec E^{(1)} \cdot \vec{dl} =-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H^{(0)} \cdot \vec{dS}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}</math>
והוא אינו שדה משמר. מכאן, שמדידת המתח תהיה תלויה במסלול האינטגרציה, ולכן יש חשיבות לנקודות ביניהם מחובר מד המתח ול"מסלול החוטים" שלו.

כעת, נציב בחוק פאראדיי, כאשר משלול האינטגרציה עובר סמוך מאוד לחוטים ובמשיק להם, ונפרק את המסלול לחלקים

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = - \frac{\partial \psi}{\partial t}
\;\;\Longrightarrow\;\;
\int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}=
-V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
=-\frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

ואם נארגן את הביטוי נקבל

<math display="block">
V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

<u>מקרה 1:</u>

אם <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:
[[File:Pic0913.png|300px|thumb|left|איור 13]]
<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} </math>
וזה בדיוק KVL. אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (13) ועשויים מחומר שמוליכותו הסגולית <math> \sigma </math> נקבל,

<math display="block">\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma}
\Rightarrow
V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l =
\underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I </math>

<u>מקרה 2:</u>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

<math display="block">V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0}
+ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} </math>

מאחר ומתקיים:

<math display="block">\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS </math>

וגם מדובר בבעיה לינארית שבה

<math display="block">\vec H \propto I </math>

מתקיים:

<math display="block">
\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I </math>
קבוע הפרופורציה <math>L </math> נקרא ההשראות (Inductance) של המעגל. רכיבים כגון סלילים בנויים כך ששינויי השטף דרכם יהיו משמעותיים ובעזרתם ניתן לשלב תכונות השראותיות במערכות. אם נציב בחוק פאראדיי נקבל
<math display="block">\Rightarrow
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} =
\underbrace{{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial I}}}}_{=L}
\cdot
{\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21} </math>
וזהו הביטוי המוכר למפל המתח על משרן.

=== השראות הדדית ===

[[File:Pic0914.png|300px|thumb|left|איור 14]]

נביט במעגל המשורטט באיור 14. כאשר יש לנו מעגלים סמוכים בעלי תכונות השראותיות, השדות המגנטיים הנוצרים בעקבות זרמים באחד המעגלים ישפיעו על השטף החולף דרך רכיבי המעגל השני. אפקט זה מתווסף להשפעה העצמית שאותה כבר ניתחנו. כעת, שכבר מובן לנו שאנו עוסקים בבעיות שבהן השדה המגנטי לינארי לזרמים הנוצרים, ניתן לרשום באופן כללי את השטף דרך כל משרן באופן הבא:

<math display="block">\begin{cases}
\psi_1 = L_{\text{1,1}} \cdot I_1 + L_{1,2} \cdot I_2 \\
\psi_2 = L_{2,1} \cdot I_1 + L_{2,2} \cdot I_2
\end{cases} </math>

או בצורה מטריצית
<math display="block">\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} =
\underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{L}}}
\cdot
\begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix} </math>
איברי האלכסון הן ההשראויות העצמיות עליהן כבר שיברנו. האיברים מחוץ לאלכסון <math> L_{i,j} </math> מציינים השראויות הדדיות - כיצד זרם שזורם במשרן ה-<math> j </math> תורם לשטף המגנטי דרך המשרן ה-<math> i </math>. המטריצה <math> \underline{\underline{L}} </math> חייבת להיות סימטרית, והאיברים מחוץ לאלכסון יכולים להיות גם שליליים, וסימנם לוי בכיוון השדה המגנטי שיוצר רכיב <math> i </math> על רכיב <math> j </math>.

=== דוגמא ===
[[File:Pic0915.png|200px|thumb|left|איור 15]]
באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2 </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור

מה ההשראות ההדדית?

מאחר והטבעת הפנימית קטנה מאוד, נניח כי השדה היוצרת עליה הטבעת החיצונית אחיד בקירוב, ושווה לשדה במרכזה. נקבל:
<math display="block">\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 =
\underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}}
\cdot I </math>

נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה בפשוטה הרבה יותר.
</div>

פרק 9 - מגנטוסטטיקה

2023-06-23T19:04:41Z

85.64.114.243: /* כא"מ והשראות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== מגנטוסטטיקה ==

=== משוואות השדה ===
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזיסטטית), השדה החשמלי והמגנטי נקבעים דרך המשוואות הבאות:

באלטרוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec E = 0 \\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}
</math>

במגנטוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases}
\nabla \times \vec H = \vec J \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
\end{cases}
</math>

וניתן לראות שבין מערכות המשוואות ישנם הבדלים. במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי הוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את <math>\vec E</math>, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזיסטטיות, נשתמש באותה הדרך.

מאחר ובאופן כללי מתקיים:

<math display="block">
\nabla \times \vec H= \vec J \neq 0
</math>
לא ניתן להגדיר <math>H=-\nabla \phi</math>. עם זאת, השדה המגנטי הוא תמיד חסר מקורות (במובן של מטענים)

<math display="block">
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
</math>
ולכן נגדיר:

<math display="block">
\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times
\underbrace{\vec A}_{\text{magnetic vector potential}}
</math>
מאחר שבאופן זהותי מתקיים

<math display="block">\nabla \cdot (\nabla \times A)=0</math>

=== פוטנציאל וקטורי ===
הבחירה ב <math>\vec A</math> אינה חד ערכית.

אם מתקיים <math>\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H</math>, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי <math>\Psi</math>:

<math display="block">
\vec A' = \vec A + \nabla \Psi
</math>
ואז:
<math display="block">
\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) =
\mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H
</math>
נקבל את אותו השדה (למעשה משפט הלמולץ באחת מצורותיה אומרת שניתן להגדיר שדה כמלואו, באופן יחיד, כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div).

כאן ידוע לנו רק <math>\nabla \times \vec A = \vec H</math> ויש לנו חופש לבחור את Div לנוחיותינו.

=== משוואת לפלאס הוקטורית ===
ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>נשתמש בזהות ונקבל:

<math display="block">\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>על מנת לפשט את המשוואה, נהוג לבחור את כיול קולון (מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו):

<math display="block">\nabla \cdot \vec A = 0
\Rightarrow
\nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J </math>מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\
\nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\
\nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}</math>

=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
ראינו שכל רכיב מתנהג כמו משוואת פואסון, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:

<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:
<math display="block">\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>
כאשר:

* <math>\vec r'</math> - מערכת המקור.
* <math>\vec r</math> - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את <math>\vec A</math>.
נסיק, כי בהינתן שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את <math>\vec A</math> על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את <math>\vec H</math>:

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A</math>'''הערה חשובה:'''

נשים לב כי רכיב כלשהו של <math>\vec J</math> תורם רק לאותו רכיב של <math>\vec A</math>.

בניגוד ל <math>\nabla \times \vec H = \vec J</math> שבו כל רכיב של <math>\vec J</math> יכול לתרום לרכיבים שונים של <math>\vec H</math>.

=== דוגמא - טבעת זרם ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה <math>a</math> ,ונושאת זרם <math>I</math>. נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">
\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y,
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z
</math>
<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi'
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}

}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...
</math>
<math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')

}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
</math>
את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r}
\cdot
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי <math>m\equiv I_0 S</math>.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, השדות מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

=== חוק Biot - Savart ===
[[File:Pic0903.png|200px|thumb|left|איור 3]]

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}) dV' =
\frac{1}{4\pi} \int [
\nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
] dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> הוא פונקציה של קורדינטות המקור <math>\vec{r}'</math> בלבד.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int [
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'}_{\text{Volume charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dS'}_{\text{Surface charges}} +
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec I \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
\vec{dl'}}_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.

== פתרון בעיית תנאי שפה עבור השדה המגנטי ==
=== תנאי שפה לשדה מגנטי בנוכחות מוליך אידאלי (PEC) ===
[[File:Pic0904.png|200px|thumb|left|איור 4]]
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה עבור מקורות סמוכים לגופים העשויים מוליך אידאלי,
נרשום את תנאי השפה עבור <math>\vec H</math> במקרה זה (איור 4). נזכור כי על פי הגדרה, מוליך אידאלי הוא חומר שבו השדות מתאפסים, כלומר <math>\vec{E}=0,\vec{H}=0</math>.

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow
\hat n \times \vec H = \vec K
\\
\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0
\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

=== ניסוח בעיית השדה המגנטי ===
בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
[[File:Pic0905.png|200px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">\begin{cases}

\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
dV'</math>

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

<math display="block">
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי.
<math display="block">
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} =
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h =
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>
נשים לב ש <math>\vec H_h</math> - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">
\nabla\times\vec H_h=0 \Rightarrow \vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>
כאשר <math>\phi_m</math> הוא הפוטנציאל המגנטי '''הסקלרי'''/
נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\
\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס.

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר.
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים

<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
[[File:Pic0907.png|200px|thumb|left|איור 7]]
כדור שרדיוסו <math>a</math> עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד <math>H_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases}
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2})
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)} </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases}
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3 </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}}
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} } </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m
=
H_0 \hat z -
\frac{H_0 a^3}{2}\underbrace{\frac{1}{r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})} </math>
כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}}
\cdot
\underbrace{H_0}_{\text{Stimulated}} </math>

קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.
* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
[[File:Pic0908.png|200px|thumb|left|איור 8 - השדה בבעיה]]

בתוך הכדור <math>\vec H = 0 </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const} </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

=== דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד ===
[[File:Pic0909.png|200px|thumb|left|איור 9]]
נתון גליל שרדיוסו <math>a </math> ונמצא בשדה מגנטי חיצוני אחיד, כמוראה באיור 9. תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.עם זאת, נשים לב כי כעת אנחנו מחשבים את השדה בתחום שאינו פשוט קשר. ננסה לפתור, ולוודא בסוף שאכן קיבלנו שסך הזרמים בגליל מתאפסים.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

<math display="block">\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi </math><math display="block">\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext} </math>ולכן:

<math display="block">\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z </math>אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - לא הייתה בעיה בהגדרה של <math>\phi_m </math>.

נשווה מקדמים:<math display="block">\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2
\Rightarrow
P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2) </math><math display="block">\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S </math><math display="block">\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r +
\cos\varphi \hat \varphi] </math><math display="block">H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi) </math>

=== שיקופים ===

בדומה לבעיות שדה חשמלי, גם במקרה של שדה מגנטי ניתן לפתור באמצעות שיקופים עבור בעיות של מקורות בסמוך למשטחים אינסופיים עשויים מוליך אידאלי. באיור 10 מוצג סיכום של פתרון שיקוף עבור דיפולים חשמליים ומגנטיים.

[[File:c9-images.png|700px|thumb|center|איור 10]]

== כא"מ והשראות ==
[[File:Pic0911.png|600px|thumb|center|איור 11]]
נסתכל על הדוגמא הנתונה באיור 11, וספציפית נסתכל על המעגל המסומן בצבע שחור. אם היינו מניחים שמתקיים במעגל השחור חוק קירכהוף עבור המתחים, היינו מקבלים ש-<math>V_{R1}=V_{R2} </math>.
כעת, נשתמש בחוק פאראדיי במקום להניח שניתן להשתמש בחוקי קירכהוף,
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t}
=
-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2) </math>
במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.
ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

<math display="block">
i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2}
</math>

לא סתם שמתקיים <math>V_{R1}\neq V_{R2} </math>, בנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים. הסיבה לסתירה שקיבלנו לחוק המתחים היא שחוקי קירכהוף הם חוקים קוואזיסטטיים, וחוק המתחים בפרט נכון כל עוד ניתן להזניח את שינוי השטף המגנטי דרך שטח המעגל. כאשר זה לא קורה, נוצר כא"מ מושרה במעגל, שגורם לאינטגרל הסגור על השדה המגנטי להיות שונה מאפס (למעשה במקרה שהשינוי בשטף משמעותי, השדה המגנטי חדל מלהיות שדה משמר).

=== תיקונים לשדה הקוואזיסטטי ===
[[File:Pic0912.png|400px|thumb|center|איור 12]]
כעת נסתכל על איור 12. במעגל מחובר מד מתח אידאלי, והגודל הנמדד על-ידו הוא
<math display="block">V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl} </math>
כאשר במעגל יהיו שינויים זמניים, וכאשר שינויי השטף המגנטי דרכו אינם זניחים, יווצר כא"מ כתוצאה מחוק פאראדיי. אם נסתכל על הבעיה במונחים קוואזי-סטטים, נשים לב כי השדה החשמלי היוצר את הכא"מ במושרה הוא '''תיקון מסדר 1''' לשדה הסטטי מאחר והוא נובע מנגזרות זמניות של השדה המגנטוסטטי.
<math display="block">\oint \vec E^{(1)} \cdot \vec{dl} =-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H^{(0)} \cdot \vec{dS}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}</math>
והוא אינו שדה משמר. מכאן, שמדידת המתח תהיה תלויה במסלול האינטגרציה, ולכן יש חשיבות לנקודות ביניהם מחובר מד המתח ול"מסלול החוטים" שלו.

כעת, נציב בחוק פאראדיי, כאשר משלול האינטגרציה עובר סמוך מאוד לחוטים ובמשיק להם, ונפרק את המסלול לחלקים

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = - \frac{\partial \psi}{\partial t}
\;\;\Longrightarrow\;\;
\int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}=
-V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
=-\frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

ואם נארגן את הביטוי נקבל

<math display="block">
V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

<u>מקרה 1:</u>

אם <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:
[[File:Pic0913.png|300px|thumb|left|איור 13]]
<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} </math>
וזה בדיוק KVL. אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (13) ועשויים מחומר שמוליכותו הסגולית <math> \sigma </math> נקבל,

<math display="block">\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma}
\Rightarrow
V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l =
\underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I </math>

<u>מקרה 2:</u>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial t} </math> לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

<math display="block">V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0}
+ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} </math>

מאחר ומתקיים:

<math display="block">\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS </math>

וגם מדובר בבעיה לינארית שבה

<math display="block">\vec H \propto I </math>

מתקיים:

<math display="block">
\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I </math>
קבוע הפרופורציה <math>L </math> נקרא ההשראות (Inductance) של המעגל. רכיבים כגון סלילים בנויים כך ששינויי השטף דרכם יהיו משמעותיים ובעזרתם ניתן לשלב תכונות השראותיות במערכות. אם נציב בחוק פאראדיי נקבל
<math display="block">\Rightarrow
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} =
\underbrace{{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial I}}}}_{=L}
\cdot
{\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21} </math>
וזהו הביטוי המוכר למפל המתח על משרן.

=== השראות הדדית ===

[[File:Pic0914.png|300px|thumb|left|איור 14]]

נביט במעגל המשורטט באיור 14. כאשר יש לנו מעגלים סמוכים בעלי תכונות השראותיות, השדות המגנטיים הנוצרים בעקבות זרמים באחד המעגלים ישפיעו על השטף החולף דרך רכיבי המעגל השני. אפקט זה מתווסף להשפעה העצמית שאותה כבר ניתחנו. כעת, שכבר מובן לנו שאנו עוסקים בבעיות שבהן השדה המגנטי לינארי לזרמים הנוצרים, ניתן לרשום באופן כללי את השטף דרך כל משרן באופן הבא:

<math display="block">\begin{cases}
\psi_1 = L_{\text{1,1}} \cdot I_1 + L_{1,2} \cdot I_2 \\
\psi_2 = L_{2,1} \cdot I_1 + L_{2,2} \cdot I_2
\end{cases} </math>

או בצורה מטריצית
<math display="block">\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} =
\underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22} \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{L}}}
\cdot
\begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix} </math>
איברי האלכסון הן ההשראויות העצמיות עליהן כבר שיברנו. האיברים מחוץ לאלכסון <math> L_{i,j} </math> מציינים השראויות הדדיות - כיצד זרם שזורם במשרן ה-<math> j </math> תורם לשטף המגנטי דרך המשרן ה-<math> i </math>. המטריצה <math> \underline{\underline{L}} </math> חייבת להיות סימטרית, והאיברים מחוץ לאלכסון יכולים להיות גם שליליים, וסימנם לוי בכיוון השדה המגנטי שיוצר רכיב <math> i </math> על רכיב <math> j </math>.

=== דוגמא ===
[[File:Pic0915.png|200px|thumb|left|איור 15]]
באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2 </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור

מה ההשראות ההדדית?

מאחר והטבעת הפנימית קטנה מאוד, נניח כי השדה היוצרת עליה הטבעת החיצונית אחיד בקירוב, ושווה לשדה במרכזה. נקבל:
<math display="block">\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 =
\underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}}
\cdot I </math>

נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה בפשוטה הרבה יותר.
</div>

פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית

2023-06-23T15:15:03Z

85.64.114.243: /* פתרון כללי */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

בפרקים הקודמים ראינו כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות קרטזיות ואזימוטליות,

בפרק זה נראה כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות כדוריות.

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות כדוריות ==
[[File:Pic0801.png|200px|thumb|left|איור 1 - קורדינטות כדוריות ]]
היכולת לפתור את משוואת לפלס בקורדינטות כדוריות היא חשובה במיוחד - אלו למעשה הקורדינטות היחידות אותן אנחנו לומדים שבעזרתן אפשרי למדל מבנים סופיים במרחב. באיור 1 ניתן לראות את ההגדרם של הקורדינטות השונות - <math> r,\theta,\varphi </math> בקורדינטות כדוריות, משוואת לפלאס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}=0</math>

פתרון בהפרדת משתנים:

<math display="block">\phi=R(r)T(\theta)\Psi(\varphi)</math>

נציב:

<math display="block">\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R' T \Psi)
+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}
(\sin \theta R T' \varphi) +
\frac{1}{r^2 \sin \theta} \Psi''RT=0</math>

נכפול ב <math>\frac{r^2 \sin \theta}{RT\Psi}</math>:

<math display="block">\underbrace{
\frac{\sin^2 \theta}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) +
\frac{\sin \theta}{T} \frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)}_
{\text{Function of }\theta,r \text{ only}}
+
\underbrace{
\frac{\Psi''}{\Psi}}_{\text{function of }\varphi \text{ only } \equiv -\mu^2}
=0</math>

גם כאן, בדומה למה שעשינו בקורדינטות גליליות, נבצע את ההפרדה בשני שלבים. ראשית, נפתור את המשוואה עבור <math>\Psi</math>:

<math display="block">\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2
\Rightarrow \Psi'' + \mu^2 \Psi =0</math>אצלנו <math>\mu^2>0</math> ולכן:

<math display="block">\Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi)</math>

נציב חזרה את הקבוע <math>\mu^2</math> ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2)}
_{\text{depends only on }r}
+
\underbrace{\frac{1}{T\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (T'\sin\theta)
-
\frac{\mu^2}{\sin^2\theta}}
_{\text{depends only on }\theta}
=0</math>

כלומר נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) = l(l+1) \\
\frac{1}{T \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(T' \sin\theta)
-\frac{\mu^2}{\sin^2\theta} + l(l+1)=0
\end{cases}</math>

עבור <math>r</math> נקבל את משוואת אוילר (בה נתקלנו גם בהפרדת משתנים בקורדינטות גליליות):

<math display="block">R'' r^2 + R'\cdot 2r - l(l+1) R=0</math><math display="block">R(r) = c r^l + D r^{-l-1}</math>

עבור <math>\theta</math> נשתמש בהצבה <math>u=\cos\theta</math> ונקבל את משוואת לג'נדר, שפתרונותיה הן ה-associated legendre functions <math>P,Q</math>:

<math display="block">\frac{\partial}{\partial u} ((1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u})
+
(l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2} )T=0</math><math display="block">\Rightarrow
T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta) </math>

נסכם את משוואות ההפרדה שקיבלנו:

<math display="block">\begin{cases}
\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2
\\
\frac{\partial}{\partial r} (r^2R') - l(l+1)R=0
\\
\frac{\partial}{\partial u}[(1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u}] +
[l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2}] T = 0 ,& u=cos\theta
\end{cases}</math>
=== פתרון טריוויאלי ===
<math display="block">\mu=l=0</math>

<math display="block">\begin{cases}
\Psi=0 \Rightarrow \Psi=A\varphi+B
\\
\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R') = 0 \Rightarrow
R'=\frac{\tilde c}{r^2} \Rightarrow R=\frac{c}{r}+D
\\
\frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)=0
\Rightarrow T'=\frac{\tilde E}{\sin\theta}
\Rightarrow T = E\cdot \ln(\tan(\theta/2))+F
\end{cases}</math>

=== פתרון כללי ===
<math display="block">\mu \neq 0,\mu^2>0</math>

כבר בשלב הפיתוח רשמנו את הפתרון הכללי:

<math display="block">\begin{cases} \Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi) \\
R(r) = c r^l + D r^{-l-1} \\
T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta)
\end{cases}</math>הערות:

* אם פותרים בכל התחום <math>\varphi\in[0,2\pi]</math> אז <math>\mu\in \Z</math>, ולכן נהוג לרשום <math>\mu=m</math> באופן דומה לקורדינטות גליליות.
* אם פותרים בכל התחום <math>\theta \in [0,\pi]</math> אז <math>l\in \Z</math>, וגם כל המקדמים של <math>Q</math> חייבים להתאפס מכיוון שפונקציות אלו סינגולריות על ציר <math>z</math> (מכילות את אותה סינגולריות שיש בפתרון הטריויאלי - <math>\ln[\tan(\theta/2)]</math>. ולכן, נשאר עם הפתרון: <math>T=p_l^m (\cos\theta)</math>
* בבעיות המקיימות סימטריה מלאה ב-<math>\varphi</math> ניתן לייצג את הפתרונות באמצעות פונקציות לז'נדר עם m=0 בלבד.

בין פונקציות לז'נדר (associated legendre functions) יש קשר רקורסיבי:

<math display="block">P_l^m (\cos\theta) = (1-u^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{d u^{|m|}} P_l(u)
\Rightarrow
|m|\leq l</math><math display="block">(l+1) P_{l+1}(u) = (2l+1) P_l(u) - l P_{l-1}(u)</math>

תרשים של מספר פונקציות מסדרת פונקציות זו ניתן לראות באיור 2.
[[File:Pic0802.png|800px|thumb|center|איור 2 - פונקציות לז'נדר]]

הפונקציות <math> Y^{m}_{\ell}(\varphi,\theta)</math> המוגדרות באיור 2 נקראות spherical harmonics והן למעשה מהוות בסיס דו-ממדי שלם לפריסת פונקציה כלשהי על שפתו של כדור.

=== דוגמא 1 ===
[[File:c8ex1b.png|300px|thumb|left|איור 3]]
חרוט PEC אינסופי בעל זוית ראש <math>\alpha</math> נתון בפוטנציאל <math>V</math>. החרוט נמצא מעל מישור אינסופי PEC מוארק. עלינו לפתור את הפוטנציאל <math>\phi</math> בין החרוט למשטח.
בעיה זו מתאימה לפתרון בקורדינטות כדוריות מכייוון שתנאי השפה נתונים על משטחים שווי קורדינטה <math>\theta</math>. החרוט קרוב מאוד למשטח אך לא נוגע בו (עובדה זו צריכה לרמוז לנו שאנו צפויים לקבל שדות חזקים מאוד סמוך ל"שפיץ" של החרוט).
<math display="block">
\phi(\theta=\pi/2)=0\;,\;\phi(\theta=\alpha)=V
</math>

נבחר בפתרון הטריויאלי,

<math display="block">\phi = E \cdot \ln(\tan(\theta/2))+F</math>

ונציב תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(\theta = \pi/2) = E \cdot \ln(\tan(\pi/4))+F=F=0 \\
\phi(\theta=\alpha) = E \cdot \ln(\tan(\alpha/2))=V
\Rightarrow E= \frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))}
\end{cases}</math>נקבל:

<math display="block">\phi = V \cdot
\frac{\ln(\tan(\theta/2))}{\ln(\tan(\alpha/2))}</math>נמצא את השדה החשמלי:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi =
-\frac{1}{r} (\frac{\partial \phi}{\partial \theta}) \hat \theta =
-\frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))} \cdot \frac{1}{r} \frac{1}{\sin\theta} \hat \theta </math>

באיור 4 ניתן לראות את הפוטנציאל והשדה החשמלי בין החרוט למשטח.
[[File:Pic0804.png|600px|thumb|center|איור 4 - הפוטנציאל והשדה של דוגמא 1]]

=== דוגמא 2 ===
[[File:Pic0805.png|300px|thumb|left|איור 5]]
נתונה קליפה כדורית עשויה מוליך אידאלי שרדיוסה <math> a </math>. במרכז הקליפה מונח דיפול נקודתי בעל מומנט דיפול <math> \vec{p}=p\hat{z} </math>. הקליפה מחוברת לפוטנציאל <math> V </math>, כמוראה באיור 5.

מחוץ לכדור אין מטענים - לכן נפתור שם את משוואת לפלאס.

בתוך הכדור - יש פילוג מטען נתון (דיפול) ולכן נפתור את משוואת פואסון.

'''הפיתרון מחוץ לכדור:'''

תנאי שפה:

<math display="block">
\begin{cases} \phi_1(r=a)=V \\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=0\end{cases}
</math>
נבחר:

<math display="block">
\phi_1 = \frac{A}{r}+B</math><math display="block">\begin{cases} \phi_1(r=a)=V=\frac{A}{a}
\\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=B=0\end{cases}
</math>
ולכן נקבל:

<math display="block">
\phi_1 = V\cdot \frac{a}{r}
</math>

'''בתוך הכדור:'''

<math display="block">
\phi_2=\phi_p+\phi_h
</math>
הפתרון הפרטי הוא יהיה פיתרון של דיפול במרחב חופשי:

<math display="block">
\phi_p = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
</math>

תנאי השפה הוא:

<math display="block">
\phi_2(r=a)=\phi_p(r=a)+\phi_h(r=a)=V
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
V=\phi_h(r=a)+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
<math display="block">
\phi_h (r=a) = V-\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
נבחר פיתרון מהצורה:

<math display="block">
\phi_h = A + \underbrace{\frac{B}{r}}_{=0 \text{ min/max principle}} + (Cr + \underbrace{\frac{D}{r^2}}_{=0 \text{ min/max principle}})
\underbrace{\cos\theta}_{P_1^0 (\cos\theta)}
=
A+Cr \cos\theta
</math>
נציב את תנאי השפה:

<math display="block">
\phi(r=a) = A+Ca \cos\theta = V- \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
הביטוי צריך להיות נכון לכל <math> \theta </math>:

<math display="block">
A=V,C=-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 a^3}
</math>
נציב כדי לקבל את הפוטנציאל בפנים:

<math display="block">
\phi_2 = \phi_h + \phi_p =
\underbrace{\frac{p\cdot \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2 }}_{\text{Source} }

+\underbrace{V- \frac{p \cos\theta r}{4\pi\epsilon_0 a^3}}_{\text{Reaction}}
=V+\frac{p}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{r^2} - \frac{r}{a^3}) \cos\theta
</math>
[[File:Pic0806.png|600px|thumb|center|איור 6 - הפוטנציאל בכדור]]
[[File:Pic0807.png|600px|thumb|center|איור 7 -השדה החשמלי בכדור]]
גם כאן ניתן לראות שניתן לחלק את הפתרון ל"פוטנציאל מעורר" שנוצר על ידי המקור, ופוטנציאל תגובה. באיור 6 ו-7 ניתן לראות את הפוטנציאלים והשדות.

'''מה צפיפות המטען על שפת הכדור?'''

<math display="block">
\eta = \hat r \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon_0 \vec E_{inside}\right)
=
\left[\epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial r} - (-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial r})\right]
|_{r=a}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow \eta = \epsilon_0 \left[\frac{V}{a} - 3 \frac{p}{4\pi\epsilon_0} \cos\theta \right]
</math>
למעשה, האיבר בצפיפות המטען שפרופורציונלי ל-<math> \cos\theta </math> נותן מומנט דיפולי ש"מקזז" את <math> p </math> מחוץ למבנה.

'''כיצד הפתרון שלנו היה משתנה אם הדיפול לא היה בכיוון <math> \hat{z} </math> אלא בכיוון כללי כלשהו?'''

במקרה זה, הפתרון הפרטי היה
<math display="block">
\phi_p = \frac{\vec p\cdot \hat r}{4\pi\epsilon_0 r^2 }
=\frac{
\overbrace{p_x \sin\theta \cos\varphi + p_y \sin\theta \sin\varphi}^{P_1^1(\cos\theta)}
+ \overbrace{p_z \cos\theta }^{\text{We'v'e already solved}}}
{4\pi\epsilon_0 r^2 }
</math>
ולכן נוסיף לפתרון המלא תרומה של פונקציות לז'נדר <math> P^1_1 </math>.

=== דוגמא 3 - כדור מוליך אידאלי בשדה אחיד ===
[[File:Pic0808.png|300px|thumb|left|איור 8]]
נתון כדור עשוי מוליך אידאלי שרדיוסו <math> a </math>. הכדור נמצא באיזור בו שוטט שדה חשמלי אחיד <math> \vec{E}=-E_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 8. עלינו לפתור את הפוטנציאל והשדה בכל המרחב.

תנאי שפה:

<math display="block">
\begin{cases} \phi(r=a)=C=0 \\ \phi(r \gg a) = E_0 z + C_2
=
E_0 r \cos\theta +C_2 = E_0 r \cos\theta
\end{cases}
</math>
נבחר פיתרון מהצורה:

<math display="block">\phi = \underbrace{(Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta}_
{\text{ General solution with }l=1,m=0}</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(r=a) = (Aa + \frac{B}{a^2}) \cos\theta = 0\\
\phi(r \gg a)\approx Ar\cos\theta = E_0 r \cos\theta
\Rightarrow A=E_0
\end{cases}</math>
נציב ונקבל:

<math display="block">B=-E_0 a^3</math>
הפיתרון יהיה:

<math display="block">
\phi = \underbrace{E_0 r \cos\theta}_{\phi_{\text{ext}} }
- \underbrace{E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta}_{\phi_{\text{reaction}}} =
E_0(r-\frac{a^3}{r^2}) \cos\theta
</math>
גם כאן ניתן לחלק את הפוטנציאל במרחב לפוטנציאל המעורר (הפוטנציאל הנובע מהשדה האחיד) ופוטנציאל תגובה. פוטנציאל התגובה נראה בדיוק כמו פוטנציאל של דיפול בראשית, מכוון בכיוון <math>\hat z</math>.

השדה יהיה
<math display="block">\vec E = -E_0 \hat z - E_0 \frac{a^3}{r^3} \cdot (2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
וניתן לראות תרשים של הפוטנציאל והשדה באיור 9.

'''איך נראה פילוג המטען על שפת הכדור?'''

<math display="block">\eta = \hat r (\epsilon_0 \vec E_{out} - \underbrace{\epsilon_0 \vec E_{in}}_{=0} )
= - 3 E_0 \epsilon_0 \cos\theta</math>
וגם פילוג המטען נראה כפילוג שנותן דיפול אפקטיבי (פרופורציונלי ל-<math> \cos\theta </math>)

[[File:Pic0809.png|300px|thumb|center|איור 9 - הפוטנציאל והשדה של דוגמא 3]]

== מושג הקיטוביות (Polarizability) ==
בעצם, בדוגמא הקודמת קיבלנו תוצאה שניתן לפרשה באופן הבא: הכדור הוכנס לאיזור שבו שורר שדה חיצוני כלשהו. השדה החיצוני "השרה" מומנט דיפול בכדור על ידי סידור מחדש של המטענים בו.
מה מומנט הדיפול השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">
\phi_{\text{response}} = E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta\;\;,\;\;\phi_{\text{dip}} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
</math>
נשווה מקדמים:

<math display="block">E_0 a^3 = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}
\Rightarrow
p = 4\pi\epsilon_0 a^3 E_0 = 4\pi\epsilon_0 a^3
\underbrace{(E_0)}_{\text{exciting field}} =
\epsilon_0 \cdot 3\underbrace{V}_{\text{Volume}} \cdot (E_0)
</math>
מאחר וקיבלנו שמומנט הדיפול <math> p </math> פרופורציונלי לשדה המעורר <math> E_0 </math>, ניתן מכאן ניתן להגדיר את הקיטוביות <math> \alpha </math> כמקדם הפרופורציה בין השניים
<math display="block">\alpha \equiv \epsilon_0 4\pi a^3 = \epsilon_0 \cdot 3V</math>

הקיטוביות <math> \alpha </math> היא גודל שתלוי בתכונות החלקיק והסביבה שבה הוא נמצא. במקרה כאן <math> \alpha </math> היא סקלר, אבל היא יכולה להיות גם מטריצה שמייצגת תגובה שונה לשדה בכיוונים שונים.

'''מה קורה אם הכדור מוכנס לאיזור שבו השדה אינו אחיד?'''

באופן כללי זו בעיה מסובכת.

אבל, אם השדה בסביבת הנקודה שבה אנו ממקמים את הכדור אחיד בקירוב (משתנה על פני סקלת מרחק גדולה משמעותית מרדיוס הכדור), עדיין לשדה יהיה את המבנה:

<math display="block">
\vec E_{full} =
\vec E_{ext} + \vec E_{dip} </math>
<math display="block">
\vec p = \alpha \vec E_{ext} = \alpha \vec E^{local}</math>
במשוואה האחרונה החלפנו את סימון השדה החיצוני <math> E_{ext} </math> ב-<math> E^{local} </math>. בבעיה אותה פתרנו, הכדור היה מונח במרחב חופשי. עם זאת, הקיטוביות פותחת בפנינו את האפשרות לחשב את התגובה של מבנים מורכבים, בהם השדה שיפעל על כל חלקיק לא יהיה רק השדה החיצוני, אלא יושפע גם ממבנים שכנים. השדה הלוקאלי <math> E^{local} </math> למעשה מגדיר את השדה שמעורר את החלקיק. זהו השדה הכולל בנקודה שבה מונח החלקיק, למעט השדה שנוצר ישירות על ידי החלקיק עצמו (אבל כולל התרומה של כל הגופים השכנים). נראה דוגמאות לעניין זה בהמשך, כשנדון במערכי חלקיקים.

== שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית ==
בואקום, קיבלנו את משוואת לפלס על ידי השיקולים הבאים:

<math display="block">\begin{cases}
1, & \nabla \times \vec E =0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi \\
2, & \nabla \cdot \epsilon_0 \vec E = \rho = 0
\end{cases}</math>
ולאחר הצבה של (1) ב (2) נקבל:

<math display="block">\nabla^2 \phi=0</math>
כאשר יש לנו חומר מוליך, המקיים את [[פרק 2 - תנאי שפה#המודל לחומר מוליך - חוק אוהם|חוק אוהם]] <math> \vec{J}=\sigma\vec{E}</math> שיכולים לזרום בו זרמים, לא ברור מידית שאנחנו יכולים להניח את הנחה מספר 2 - שאין מטענים חופשיים במוליך, מאחר ויכולים לזרום בו זרמים. במקום זאת, אנו יכולים להשתמש בעובדה שמאחר ומדובר בבעיה סטטית מתקיים

<math display="block">
\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}=0
</math>
וכעת, אם נציב את חוק אוהם נקבל
<math display="block">
\nabla\cdot\vec{J}=\nabla\cdot{\sigma\vec{E}}=\sigma\nabla\cdot{E}=0 \rightarrow \nabla\cdot\vec{E}=0
</math>
ומכאן ניתן, בצירוף הנחה 1, לקבל שוב את משוואת לפלס. חשוב לשים לב שבמעבר האחרון הסתמכנו על כך שהמוליכות אחידה.
במקרה והמוליכות אינה אחידה מתקיים

<math display="block">
\nabla \cdot (\sigma(\vec{r}) \vec E)=0\;\;, \;\;
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=\rho
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{J}=0\;\Rightarrow\;\nabla \cdot (\sigma(\vec{r}) \vec E)=\sigma (\nabla \cdot \vec E)+(\nabla \sigma(\vec{r}))\cdot \vec E=0\\
\frac{\rho}{\epsilon_0}\underbrace{=}_{\text{Gauss}}\nabla \cdot \vec E
=-\frac{1}{\sigma}(\nabla \sigma ) \cdot \vec E
\end{cases}
</math>
כלומר במצב סטטי בתוך איזור שמוליכותו לא אחידה חייב להצבר פילוג מטען חופשי, בכל מקום בו המוליכות משתנה (בין אם מדובר בשינוי רציףף ואז נחשב את צפיפות המטען על ידי הפיתוח שניתן כאן, ובין אם מדובר בשינוי דיסקרטי, כלומר קפיצה במוליכות, כמו שנראה בדוגמא הבאה. במקרה זה חישוב פילוג המטען באיזור אי הרציפות יתבצע באמצעות שימוש בתנאי השפה).
=== דוגמא ===
[[File:Pic0810.png|300px|thumb|left|איור 10]]
נתון מבנה גלילי שרדיוסו <math> a </math>. חלקו העליון בגובה <math> h_1 </math> ובמוליכות <math> \sigma_1 </math>. חלקו התחתון בגובה <math> h_2 </math> ובמוליכות <math> \sigma_2 </math>, כמוראה באיור 10. את שפתו העלונה של המבנה מצפים בחומר מוליך ומחברים לפוטנציאל <math> V </math>. את שפתו התחתונה גם כל מצפים בחומר מוליך ומאריקים. יש לחשב את השדות והזרמים במבנה.
המשוואה שעלינו לפתור בתוך האזורים בהם המוליכות לא משתנה היא משוואת לפלס.
תנאי שפה לחוק שימור המטען:

<math display="block">
\hat n \cdot (\vec J_a - \vec J_b) + \nabla_S \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math><math display="block">
\begin{cases}
at\; r=a;\;\;\hat r \cdot \vec J = 0\\
at\; z=h_2;\;\;\hat z \cdot (\vec{J}_1 - \vec{J}_2)=0 \\
\end{cases}
</math>
תנאי שפה לפוטנציאל
<math display="block">
\begin{cases}
\phi_{z=0}=0 \\
\phi_{z=h_1+h_2} = V \\
\phi_1 (z=h_2) = \phi_2 (z=h_2)
\end{cases}
</math>

נבחר בפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">\begin{cases}
\phi_1 = A_1 z+B_1 \\
\phi_2 = A_2 z + B_2 \end{cases}</math>ב <math>z=0</math>:

<math display="block">\phi_2(z=0)=B_2=0
\Rightarrow
\phi_2=A_2 z</math>
לאחר הצבת תנאי שפה נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
\phi_1 = \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2} } \cdot (\frac{\sigma_1}{\sigma_2}-1) h_2 +
\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} z
\\
\phi_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot z
\end{cases}</math>
תרשים של הפוטנציאל עבור מקרים שונים ניתן לראות באיור 11, ובנוסף, ניתן "לשחק" עם הפרמטרים ב[https://www.desmos.com/calculator/q3hwl0eqhw קישור] .

מה סך הזרם?

<math display="block">\vec E_2 = -\nabla \phi_2 = -\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot \frac{\sigma_1}{\sigma_2}
\hat z </math><math display="block">\vec J_2 = \sigma_2 \vec E_2</math><math display="block">I = \frac{\sigma_1 V}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\cdot \pi a^2 = \frac{V}{R_{eq}}</math><math display="block">\Rightarrow
R_{eq}^{-1} = \frac{\sigma_1}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\pi a^2
\Rightarrow
R_{eq} =
\underbrace{\frac{h_1}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_1}}_
{\text{Resistance of the top part} }
+
\underbrace{\frac{h_2}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_2}}_
{\text{Resistance of the bottom part}}</math>

[[File:Pic0811.png|600px|thumb|center|איור 11 - הפוטנציאל בדוגמא]]

</div>

פרק 5 - אלקטרוסטטיקה

2023-06-23T12:55:04Z

85.64.114.243: /* מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

כפי שראינו כאשר דיברנו על קוואזיסטטיקה, הפתרון הסטטי מהווה את היסוד לטור הקוואזיסטטי, ולכן מתוכו ניתן לבנות פתרון לבעיה בה יש תלות כלשהי בזמן. מכאן ניתן להבין שיש חשיבות רבה לבניית הפתרון הסטטי

== סופרפוזיציה ==
[[File:Pic501.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עקרון הסופרפוזיציה תקף לגבי כל מערכת המוגדרת ע"י אופרטור לינארי.

משוואות מקסוול הן לינאריות, ולכן, בהינתן פיתרון לבעיה 1:

<math display="block">\vec J_1,\rho_1\Rightarrow \vec E_1, \vec H_1</math>

ופיתרון לבעיה 2:

<math display="block">\vec J_2,\rho_2\Rightarrow \vec E_2, \vec H_2</math>

הפיתרון לבעיה המשותפת (כלומר כאשר המקור הוא סכום המקורות של הבעיות הקודמות) של בעיה 1 ו- 2, הינה:

<math display="block">\vec J_1+J_2,\rho_1+\rho_2\Rightarrow \vec E_1+\vec E_2, \vec H_1 + \vec H_2</math>

זה למעשה עקרון הסופרפוזיציה התקף בכל מערכת לינארית (ומשוואות מקסוול, ובפרט משוואות הסטטיקה, הן משוואות לינאריות).

נניח פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec{r})</math> במרחב (איור 1). נבחר מתוכו אלמנט מטען קטן <math>dq</math>, ואת מיקום אלמנט המטען נסמן ב-<math>\vec{r}'</math>. את הנקודה בה רוצים לחשב את השדה נסמן ב-<math>\vec{r}</math>.

לכן, אלמנט דיפרנציאלי של השדה החשמלי הינו:

<math display="block">d\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot
\frac{dq}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}</math>

ולכן, מתוך עקרון הסופרפוזיציה, השדה החשמלי הכולל יהיה:

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} =
\iiint \frac{\rho(\vec r' )dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}
</math>

כמובן שצפיפות המטען לא חייבת להיות צפיפות נפחית. יכולים להיות מטענים בנתונים על ידי צפיפות משטחית, אורכית, או אפילו מטענים נקודתיים. במקרה זה, עלינו רק להגדיר היטב את אלמנט המטען, ולבצע סופרפוזיציה באותו אופן.

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} +
E_{\text{point charge (if exists)}}
</math>

כאשר אלמנט המטען הוא:

<math display="block">dq = \begin{cases}
\rho(\vec{r}') dV', & \text{volume charge density } \\
\eta(\vec{r}') dS', & \text{surface charge density } \\
\lambda dl', & \text{ linear charge density} \end{cases}
</math>

באופן הכללי ביותר:
<math display="block">\vec E =\iiint \frac{\rho(r)dV'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\iint \frac{\eta dS'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\int \frac{\lambda dl'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\sum_k \frac{q_n}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot i_{r',r}</math>

'''הערות:'''

* על מנת לחשב את השדה האלקטרוסטטי באמצעות סופרפוזיציה צריך לדעת במפורש את פילוג המטענים בבעייה.
* הסכימה היא סכימה וקטורית כך שנצטרך לבצע אינטגרל על <math>\hat i_{\vec r', \vec r}</math>.
* נשים לב שניתן לכתוב את השדה החשמלי בתור קונבולוציה:

<math display="block">\vec E = \rho \circledast
\underbrace{\frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}}_{\text{Green's function}}</math>

כאשר <math>\rho</math> הוא אות הכניסה, ו-

<math display="block">
G = \frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}</math>

היא ה"תגובה להלם" של המערכת - כלומר במקרה שלנו השדה שיוצר הלם מרחבי של מטען (מטען נקודתי). בבעיות מסוג זה התגובה להלם נקראת פונקציית גרין. מתי ייצוג כזה של פתרון (באמצעות קונבולוציה עם התגובה להלם אפשרי)? בבעיות תלויות בזמן ייצוג זה דורש שהמערכת היא LTI, כלומר לינארית, וסימטרית להזזה בזמן (לא משתנה בזמן - Time invariant). בבעיה שלנו, לינאריות מתקיימת כמובן, כי כבר ציינו שמשוואות מקסוול הן משוואות לינאריות. הסימטריה להזזה בזמן מתורגמת במקרה זה לסימטריה להזזה במרחב (space invariant). אצלנו סימטריה זו מתקיימת מאחר ואנו, בשלב זה, מחשבים את השדות במרחב חופשי, שאכן מקיים סימטריה זו.
מתי סימטריה זו לא תתקיים? לדוגמא כאשר פותרים את השדות באיזור בו יש שפה, או גופים נוספים. עדיין ניתן לבצע סופרפוזיציה במקרה זה, אך אינטגרל הסופרפוזיציה לא יהיה בעל צורה של אינטגרל קונבולוציה באופן כללי.

=== דוגמא - משטח אינסופי טעון בצפיפות אחידה ===

[[File:Pic502.png|200px|thumb|left|איור 2]]

נתון משטח אינסופי הטעון בצפיפות אחידה <math>\eta</math> (איור 2), היוצר שדה.

ניתן לפתור את הבעיה באמצעות חוק גאוס:

<math display="block">\vec E = \hat z \begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>

ובאמצעות סופרפוזיציה:

<math display="block">\vec r = z \hat z , \vec r' = x' \hat x + y' \hat y, dq = \eta dS'=\eta dx' dy'</math><math display="block">\hat i_{r',r} = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r' |} =
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}</math><math display="block">\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{-\infty}^\infty
\frac{\eta dx' dy'}{(x'^2+y'^2+z'^2)} \cdot
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}
</math>נעבור לקורדינטות פולריות:

<math display="block">x'=\rho' \cos \varphi',y'=\rho' \sin \varphi', dx'dy' = \rho'd\rho' d\varphi'
</math><math display="block">\vec E = -z \hat z \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\rho'^2+z^2]|^{\rho'=\infty}_{\rho'=0}=
\frac{\eta}{2\epsilon_0} \cdot \text{sign} (z) \hat z
</math>אכן קיבלנו אותה תוצאה בשתי השיטות!

== פוטנציאל חשמלי סקלרי ==
שיטת הסופרפוזיציה מצריכה שנדע בדיוק את פילוג המטענים בכל מקום במרחב.
על מנת להקל על מציאת פיתרון כללי לבעיה אלקטרומגנטית בכלל, ואלקטרוסטטית בפרט, נהוג לבצע "סקלריזציה" של הבעיה
כלומר, למצוא דרך לפתור בעיה סקלרית שקולה, שפתרונה יוביל לפתרון הבעיה הוקטורית.

מתוך חוק פאראדיי:

<math display="block">\nabla \times \vec E = -\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}
\underbrace{=}_{\text{static}} 0\Leftrightarrow
\oint \vec E \cdot \vec {dl}= -\mu_0\frac{\partial}{\partial t}
\iint \hat H \cdot \hat n dS = 0
</math>ולכן השדה החשמלי הוא שדה משמר:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi
</math>כאשר <math>\phi
</math> הוא הפוטנציאל החשמלי.

<math display="block">\int_{r_1}^{r_2}\vec E \cdot \vec{dl} =
\int_{r_1}^{r_2} -\nabla \phi \cdot \vec{dl} = -[\phi(r_2)-\phi(r_1)]
</math>אינטגרציה אינה תלויה בצורת המסלול, אלא רק בערכי הפוטנציאל בנק' הקצה

משמעות האינטגרציה היא - מה העבודה שיש להשקיע על מנת להביא מטען מ r1 ל r2.

=== פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי ===
נקודה חשובה נוספת - הפוטנציאל מוגדר עד כדי קבוע:

<math display="block">\vec E_1 = -\nabla \phi
</math><math display="block">\vec E_2 = -\nabla (\phi+C)= -\nabla \phi =\vec E_1
</math>מכאן - יש חשיבות פיזיקאלית רק להפרשי הפוטנציאל בין נקודות, ולא לערך עצמו, ויש לנו חופש בבחירת ערך הייחוס.

נגדיר לפי כך את נקודת הייחוס של הפוטנציאל באינסוף (הגדרה זו טובה ושימושית עבור כל מערכת בעלת גודל סופי):

<math display="block">\phi(r) = -\int_{r_1\rightarrow\infty}^r \vec E \cdot \vec{dl}
</math>
לדוגמא, אם ניקח שדה של מטען נקודתי בראשית:

<math display="block">\vec E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r
</math><math display="block">\phi(r_s)= -\int_\infty^{r_s} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r_s}
</math>

=== סופרפוזיציה ===
ניתן לבצע סופרפוזיציה גם לפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">\phi = \int \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} =
\iiint \frac{\rho(r') dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} + \phi_{\text{point potential}}
</math>גם כאן, בבעיות שהן space inveriant, נקבל שהסופרפוזיציה מקבלת צורה של אינטגרל קונבולוציה:

<math display="block">\phi = \rho \circledast \frac{1}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}</math>אם המטען הוא מטען נקודתי:

<math display="block">\rho = Q\cdot \delta(\vec r - \vec r')</math>

גם כאן, אנו חייבים לדעת מפורשות את פילוג המקורות בכל המרחב על מנת לחשב את הפוטנציאל, כך שאם המקורות נוצרים כתגובה להפעלת שדה חיצוני, זוהי שיטה לא שימושית לחישוב הפוטנציאל.

=== דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן ===
באיור (3) נתון מבנה של דיפול חשמלי. שני מטענים נקודתיים בעלי גודל זהה וסימנים מנוגדים, ממוקמים במרחק <math>d</math> זה מזה.
[[File:Pic503.png|200px|thumb|left|איור 3]]
[[File:Pic504.png|200px|thumb|left|איור 4]]

# חשבו את הפוטנציאל
# מה התוצאה בגבול <math>\vec d \rightarrow 0</math>, אבל <math>q |\vec d|</math> קבוע ידוע.

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec r^+|} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot
\frac{1}{|\vec r^-|}</math>נגדיר:

<math display="block">\text{The place of the positive charge: } \vec r'^+ \equiv \vec r' + \vec d/2</math><math display="block">\text{The place of the negative charge: } \vec r'^- \equiv \vec r' - \vec d/2</math>לכן:

<math display="block">
\vec r ^+ = \vec r - \vec r'^+ = \vec r - (\vec r' + \vec d/2)
</math>
<math display="block">
\vec r ^- = \vec r - \vec r'^- = \vec r - (\vec r' - \vec d/2)
</math>
<math display="block">
|\vec r^+ | =
\sqrt{[\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]\cdot [\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{[(\vec r - \vec r') - \vec d/2] \cdot [(\vec r - \vec r') - \vec d/2]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{|\vec r - \vec r'|^2 - 2 (\vec r - \vec r') \cdot \frac{\vec d}{2} + \left|\frac{\vec d}{2}\right|^2} =...
</math>
<math display="block">
... \underbrace{=}_{|\vec d| << |\vec r - \vec r'|}
|\vec r - \vec r'| \sqrt{(1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
+\underbrace{1/4 \frac{|\vec d|^2}{|\vec r - \vec r'|^2 }}_{
\text{second order in: } \frac{|\vec d|}{|\vec r - \vec r'| }
})}
</math>
לבסוף:
[[File:Pic505.png|300px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">|\vec r ^+| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d }</math>כאשר השתמשנו בקירוב טיילור:

<math display="block">(1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x</math>באופן דומה:

<math display="block">|\vec r ^-| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \vec d }</math>
נציב לביטוי של הפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">
\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
[ \frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \underbrace{\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }}
_{\ll 1}
\cdot \vec d}}
-
\frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d}}
]
=...
</math>
<math display="block">
...=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} \cdot
[1 + 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
-
(1 - 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d)
] =
</math>
<math display="block">
=\frac{q \vec d \cdot (\vec r - \vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
נהוג להגדיר <math>\vec p \equiv q \vec d </math> מומנט הדיפול, ולקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot (\vec r - \vec r' ) }{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
כאשר עבור דיפול בראשית מתקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot \hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}
</math>
באיור (5) ניתן לראות בצבע אדום את האיזורים בהם הפוטנציאל חיובי (קרובים יותר למטען החיובי) ובכחול את האיזורים בהם הפוטנציאל שלילי.

נשים לב שהפוטנציאל בראשית (ועל כל המישור העובר במרכז הדיפול ומאונך ל-<math>\vec p</math>) הוא אפס, וזאת משום שמומנט הדיפול מאונך ל <math>\vec r</math> על מישור זה, כך שהמכפלה הסקלארית ביניהם מתאפסת.

השדה המתקבל:

<math display="block">\vec E = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3 }[2 \cos \theta \hat r + \sin \theta \hat \theta]</math>

=== דוגמא 2 - דיסקה טעונה בצפיפות אחידה ===
[[File:Pic506.png|170px|thumb|right|איור 6]]

באיור 6 נתונה דיסקה טעונה בצפיפות מטען משטחי אחידה <math> \eta </math>, ורדיוסה <math> R </math>. חשבו את הפוטנציאל הנוצר על ציר <math> z </math>.

<math display="block">
\vec r' = x' \hat x + y' \hat y = r' \cos \varphi' \hat x + r' \sin \varphi' \hat y,
\vec r = z \hat z,
dq = \eta dS' = \eta r' dr' d\varphi'
</math>
<math display="block">
\phi = \iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta dS'}{|\vec r - \vec r'|} =
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 \cos^2 \varphi'
+ r'^2 \sin^2 \varphi' + z^2
}} =
</math>
<math display="block">
=\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\underbrace{2\pi}_{\int_0^{2\pi} d\varphi'}
\int \frac{\eta r'}{4\pi \epsilon_0 \cdot \sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2}- |z|)

</math>

ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/wu0yj0bmjh/ תרשים של הפונקציה] באיור (7).

* מקרה 1 - <math>|z| \gg R</math> (איור 8)
עבור מקרה זה נרשום:

<math display="block">\phi = \frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2+z^2} - |z|) =
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| (\sqrt{1+ \frac{R^2}{z^2}} - 1)
\approx
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| \cdot (1 + 1/2 \frac{R^2}{|z|^2} - 1) =
\frac{\eta R^2 }{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} =
\frac{\overbrace{\eta (\pi R^2)}^{Q_{disk}}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} =
\frac{Q_{disk}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|}</math>
רחוק מאוד מהדיסקה, היא נראית כמטען נקודתי, ולכן גם הפוטנציאל נראה כך. הפוטנציאל של מטען נקודתי נתון על ידי הקו השחור באיור 8.

* מקרה 2 - <math>|z| \ll R</math> (איור 9)
<math display="block">\eta = \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2+z^2} - |z|] \approx
\frac{\eta R}{2\epsilon_0} [\sqrt{1+(\frac{z}{R} } )^2 - \frac{|z|}{R}]
\approx \frac{\eta R}{2\epsilon_0} [1+1/2 \frac{z^2}{R^2} - \frac{|z|}{R}] \approx
\underbrace{\frac{\eta R}{2\epsilon_0}}_{Constant} -
\frac{\eta |z|}{2\epsilon_0}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi= \begin{cases} -\frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ \frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}
\Rightarrow
E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} =
\begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>
קרוב מאוד לדיסקה (ביחס לרדיוסה), הדיסקה נראית כמשטח אינסופי, ולכן מתקבל פוטנציאל שמשתנה לינארית בקירוב, השתנות המתאימה לשדה האחיד שיוצר לוח אינסופי.
<gallery widths=300px heights=200px mode="packed">
File:Pic507.png|איור 7
File:Pic508.png|איור 8
File:Pic509.png|איור 9
</gallery>

== פוטנציאל חשמלי - המשוואה הדיפרנציאלית ==

עד כה, הדרך שהראנו לחישוב הפוטנציאל הייתה סופרפוזיציה. אבל בדרך כלל לא ידוע לנו כל פילוג המטענים בבעיה, אלא נתון שילוב כלשהו של מקורות + תנאי שפה.

בסופרפוזיציה לא הבאנו כלל בחשבון את קיומם של תנאי שפה.

לצורך כך, כדאי לחזור למשוואת הדיפרנציאלית המתארת את <math> \phi </math>:

<math display="block">\nabla \times E = 0 \Rightarrow
\vec E = - \vec \nabla \phi</math><math display="block">\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \Rightarrow
\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 (-\nabla \phi)) = \rho </math>ונקבל את משוואת פואסון:

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}</math>

=== אופרטור הלפלאסיאן ===
קרטזיות:

<math display="block">\nabla^2 \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}</math>צילינדריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial \phi \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 \phi \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 \phi \over \partial z^2 }</math>כדוריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial \phi \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial \phi \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 \phi \over \partial \varphi^2}</math>

=== פתרון פרטי ופתרון הומוגני ===
[[File:Pic510.png|200px|thumb|left|איור 10]]

נגדיר תחום <math> \mathcal {D} </math> בו אנו מחשבים את הפוטנציאל (איור 10). את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים:

<math display="block">\phi = \underbrace{\phi_p}_{\text{private solution}} +
\underbrace{{\phi}_h}_{\text{homogenous solution}}</math>

* פיתרון פרטי <math> \phi_p </math> - נובע מפילוג המטען <math> \rho </math>, אבל לא חייב לקיים לקיים תנאי שפה.
* פתרון הומוגני <math> \phi_h </math> - מקיים את המשוואה חסרת המקורות (המשוואה ההומוגנית) ו"עוזר" לפתרון הפרטי לקיים את תנאי השפה
<math display="block">
\nabla^2(\phi_p + \phi_h) = - \frac{\rho}{\epsilon_0 }=
\underbrace{\nabla^2 \phi_p}_{-\frac{\rho}{\epsilon_0 }}
+
\nabla^2 \phi_h
</math>

<math display="block">
\phi(\partial D) = \phi_p (\partial D) + \phi_h (\partial D) = \phi_B
</math>
כשמגיעים לפתור את הפיתרון ההומוגני, כבר יודעים פתרון פרטי (סופרפוזיציה, ניחוש, ואולי נתון).
מתוך ת.ש. לפוטנציאל הכולל, נקבל תנאי שפה ל- <math>\phi_h</math> (פתרון הומוגני):

<math display="block">\phi_h (\partial D) = \phi_B - \phi_p (\partial D)</math>

פיצלנו את הבעיה ל-2 בעיות שלרוב הן פשוטות יותר:

את הפיתרון הפרטי נמצא באמצעות סופרפוזיציה ללא התחשבות בתנאי השפה.

את הפיתרון ההומוגני נקבל על ידי תפירת תנאי שפה.

=== תנאי שפה של הפוטנציאל ===

* '''צפיפות מטען משטחית'''

<math display="block">\hat n\cdot \left(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 \right) = \eta
\Rightarrow
\hat n\cdot \left(\epsilon_0 (-\nabla \phi_2) - \epsilon_0 (-\nabla \phi_1)\right) = \eta
\Rightarrow
-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial n} - (- \epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial n})=\eta </math>

* '''רציפות הפוטנציאל'''

<math display="block">
\phi_2 |_{\text{boundry}} = \phi_1 |_{\text{boundry}}</math><math display="block">\triangle \phi = -\int_{\text{very short path}} \vec E \cdot \vec {dl} \approx
\vec E \cdot \triangle \vec L
</math>
מאחר ו-<math> \Delta\vec{L} </math> הוא בעל אורך קטן מאוד, בבעיות בהן השדה לא סינגולרי, אין בעיה והפוטנציאל חייב להיות רציף.

* '''גבול בין חומר מוליך לואקום'''
נשתמש בשימור מטען על השפה:
[[File:Pic511.png|200px|thumb|left|איור 11]]
<math display="block">\hat n \cdot (\underbrace{\vec J_2}
_{\text{the second area is vacuum }\rightarrow =0}
- \vec J_1) + \underbrace{\vec \nabla_S \vec K}_{=0} = -
\underbrace{\frac{\partial \eta}{\partial t } }_{=0}</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \vec J_1 = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot (\sigma \vec E_1) = 0
\Rightarrow
\hat n \cdot \sigma (-\vec \nabla \phi_2) = 0
\Rightarrow
\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = 0</math>

==== שפה של PEC ====
מאחר ובתוך מוליך אידאלי השדה החשמלי מתאפס (איור 11), מתקיים:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_{out} - \underbrace{\vec E_{in}}_{=0}) = 0
\Rightarrow
\hat n \times \vec E_{out}=0</math>ולכן השדה החשמלי המשיק לפני המוליך האידאלי מתאפס, ולכן השדה החשמלי בעל רכיב ניצב לפני המוליך בלבד.

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\int
\underbrace{\vec E \cdot \vec{dl}}_{\text{E and dl are prependicular to each other}}=0</math>השפה של מוליך אידאלי ← משטח שווה פוטנציאל <math>\phi</math>.

== שיטת השיקופים ==
[[File:Pic512.png|400px|thumb|left|איור 12]]

נסתכל על בעיה שבה צריך לחשב את <math>\phi</math> בכל המרחב, עבור איור (12). באופן כללי זו בעיה מורכבת לפתרון, מכיוון שאיננו יודעים איך בסופו של דבר יתפלגו המטענים על המוליך הנתון. ולכן, ננסה להתמודד עם גרסא פשוטה יותר של בעיה זו, ולהדגים כיצד ניתן לקבל את הפוטנציאל והשדה.

=== מטען נקודתי בסמוך למישור PEC אינסופי ===
[[File:Pic513.png|200px|thumb|left|איור 13]]
במקרים פשוטים יותר, כמו באיור (13) נחלק ל- 2 תחומים: <math>x<0,x>0</math>.

עבור <math>x<0</math> הפוטנציאל <math>\phi=0</math> מקיים את כל תנאי הבעיה.

את הפיתרון ב <math>x>0</math> נחלק לפיתרון פרטי והומגני.

הפיתרון הפרטי יהיה:

<math display="block">
\phi_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec r - d\hat x\right|}
</math>
כעת, דרוש לנו הפתרון ההומוגני, יחד איתו נוכל לקיים את תנאי השפה.

<math display="block">
\phi_{plane} = 0 \Rightarrow
\phi_p |_{plane} + \phi_h |_{plane}=0
\Rightarrow
\phi_h |_{plane} = - \phi_p |_{plane}
</math>
<math display="block">
\phi_h |_{plane} = \underbrace{-}_{\text{looks like negative particle}}
\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{\left|y \hat y + z \hat z - d \hat x\right|}
=
-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{y^2+z^2+d^2}}
</math>
מאחר ו"ניחשנו" פתרון (סופרפוזיציה של מטען חיובי ושלילי ש"הוספנו") שמקיים את אותה משוואת פואסון, עם אותם תנאי השפה, זהו הפיתרון לבעיה המקורית!

<math display="block">
\phi =
\begin{cases} 0 & x<0 \\
\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[ \frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x - d \hat x\right|}-\frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x + d \hat x\right|} \right]
& x>0 \end{cases}
</math>
ניתן לכתוב את הפוטנציאל המתקבל כך:

<math display="block">
\phi= \begin{cases} 0 & x<0 \\
\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot
[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from q in }(d,0,0) }
-
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x+ d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from -q in }(-d,0,0)}
]
& x>0 \end{cases}</math>

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל במקרה הנ"ל באיור (14).
<gallery widths=500px heights=300px class="center">
File:Pic514.png|איור 14
</gallery>

*'''מה פילוג המטען ה"אמיתי" בבעיה?'''
<math display="block">
\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0 \\ \hat n \cdot
(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta \end{cases}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\vec E |_{edge} = \vec E_q + \vec E_{-q}
</math>
באמצעות תנאי השפה אפשר לרשום את פילוג המטען האמיתי <math>\eta(x,y)</math>:

<math display="block">
\begin{cases} \hat n \cdot (\vec E-0)_{\text{boundry}}=\eta \\
\hat z \cdot (-\nabla \phi)_{\text{boundry}} = \frac{\eta}{\epsilon_0}
\end{cases}
</math>
<br>
<math display="block">
\eta = -\frac{q}{4\pi} \frac{\partial}{\partial z} [\left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-1/2} - \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-1/2}]=...
</math>
<br>
<math display="block">
=\left\{-\frac{q}{4\pi} \left[-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-3/2} \cdot 2(z-d)
-(-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-3/2}\right]\cdot 2(z+d)\right\}_{z=0}=
</math>
<br>
<math display="block">
=-\frac{q}{4\pi} \cdot 2 (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}d
</math>

כמה מטען יש בסך הכל על המשטח?

<math display="block">Q = \int \eta dS = {\iint}^\infty_\infty \frac{-qd}{4\pi} \cdot 2 \cdot (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}dxdy=
-\frac{qd}{2\pi} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^\infty \frac{1}{(r^2+d^2)^{3/2}} \cdot r dr d\varphi=
-qd \int_{r=0}^\infty \frac{r}{(r^2+d^2)^{3/2}} = ... </math><math display="block">...=
q \frac{1}{\sqrt{r^2+d^2}}|^\infty_0 = qd(0-1/d)=-q </math>

=== שיקוף של דיפול ===
[[File:Pic515b.png|200px|thumb|left|איור 15]]
כשנשקף דיפול, נהפוך את מטענו, נשקף אותו במראה, ונזיז את קודינטה X שלו ל X-, כמתואר באיור (15).

=== מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC ===
[[File:Pic516.png|600px|thumb|center|איור 16]]
משפחה נוספת של בעיות המאפשרות פתרון באמצעות שיטת השיקופים, אלו בעיות בהן נתון פילוג מטען כלשהו בסמוך לכדור מוליך אידאלי. נסתכל על בעיה בה מטען נקודתי נמצא סמוך לכדור (איור 16) וננסה למצוא פתרון מהצורה המוצעת - את הפוטנציאל בחוץ נרשום כסופרפוזיציה של המטען המקורי, ומטען שיקוף <math> Q </math> הנמצא במרחק <math> D </math> ממרכז הכדור.
* נחפש <math> Q,D </math> כך שעל שפת הכדור מתקיים תנאי השפה <math>\phi = 0</math>.
* מטען הדמות <math> Q </math> משמש אותנו לחישוב השדה מחוץ לכדור.

בתחום בו אנו פותרים את הבעיה (מחוץ לכדור), משוואת פואסון

<math display="block">
\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
מתקיימת עם אותו פילוג המטען כמו בבעיה המקורית (מטען הדמות שהוספנו נמצא מחוץ לתחום בו פותרים). ולכן נותר רק לקיים תנאי שפה.

<math display="block">
\phi |_{\text{spherical boundary}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r_q} + \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r_Q} = 0
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\frac{Q}{R_Q} = -\frac{q}{r_q} (*)
</math>
אנו מחפשים <math> Q,D </math> כך שנוכל לקיים ת.ש. על כדור.

נגדיר את הגדלים הבאים (איור 17):
[[File:Pic517.png|200px|thumb|left|איור 17]]

<math display="block">
r_T\equiv \sqrt{y^2+z^2},r_q \equiv \sqrt{(x-d)^2+r_T^2},r_Q \equiv \sqrt{(x-D)^2+r_T^2}
</math>
על שפת הכדור מתקיים
<math display="block">
r_T^2+x^2=R^2</math>
נציב ביחס (*) ונקבל:

<math display="block">
Q=-q \frac{R}{d}, D=\frac{R^2}{d}=R\cdot\frac{R}{d}
</math>
<br>
ולכן ברגע שיודעים את מטען השיקוף <math> Q </math>, הפוטנציאל בחוץ בכל מקום הוא סופרפוזיציה של <math> q </math> ו- <math> Q </math>.

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל באיור (18)
[[File:Pic518.png|400px|thumb|left|איור 18]]

* '''מה קורה כאשר הפוטנציאל על הכדור הוא לא אפס (למשל <math>V_0</math>) (איור 19)?'''
[[File:Pic519.png|200px|thumb|left|איור 19]]
נמצא את <math> Q,D </math> כרגיל מפיתרון הבעיה המוארקת, ואז נוסיף מטען חדש <math> Q' </math> במרכז המעגל שידאג לכך שהפוטנציאל על שפת הכדור יהיה <math>V_0</math>.

איך נמצא את <math> Q' </math>? מהדרישה שהפוטנציאל על שפת הכדור יתן את הערך הנקוב בבעיה.

<math display="block">\frac{Q'}{4\pi\epsilon_0 R}=V_0 \Rightarrow Q' = 4\pi\epsilon_0 R V_0</math>

תרשים של הפוטנציאל, עם אפשרות למשחק בפרמטרים ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/1gb6fudjpp כאן].

* '''המקרה ההפוך - המטען בתוך הכדור (איור 20) '''
[[File:Pic520.png|200px|thumb|left|איור 20]]
לפיכך מטען הדמות יהיה מחוץ לכדור:

<math display="block">\begin{cases} Q_{in} = -q_{out} \cdot \frac{R}{d} \\ D_{in}=\frac{R^2}{d_{out}} \end{cases}</math>כל צמד מטענים שיקיים את היחסים לעיל, יקיים ש <math>\phi</math> על שפת הכדור הוא אפס.
</div>

פרק 5 - אלקטרוסטטיקה

2023-06-23T12:05:15Z

85.64.114.243: /* מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

כפי שראינו כאשר דיברנו על קוואזיסטטיקה, הפתרון הסטטי מהווה את היסוד לטור הקוואזיסטטי, ולכן מתוכו ניתן לבנות פתרון לבעיה בה יש תלות כלשהי בזמן. מכאן ניתן להבין שיש חשיבות רבה לבניית הפתרון הסטטי

== סופרפוזיציה ==
[[File:Pic501.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עקרון הסופרפוזיציה תקף לגבי כל מערכת המוגדרת ע"י אופרטור לינארי.

משוואות מקסוול הן לינאריות, ולכן, בהינתן פיתרון לבעיה 1:

<math display="block">\vec J_1,\rho_1\Rightarrow \vec E_1, \vec H_1</math>

ופיתרון לבעיה 2:

<math display="block">\vec J_2,\rho_2\Rightarrow \vec E_2, \vec H_2</math>

הפיתרון לבעיה המשותפת (כלומר כאשר המקור הוא סכום המקורות של הבעיות הקודמות) של בעיה 1 ו- 2, הינה:

<math display="block">\vec J_1+J_2,\rho_1+\rho_2\Rightarrow \vec E_1+\vec E_2, \vec H_1 + \vec H_2</math>

זה למעשה עקרון הסופרפוזיציה התקף בכל מערכת לינארית (ומשוואות מקסוול, ובפרט משוואות הסטטיקה, הן משוואות לינאריות).

נניח פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec{r})</math> במרחב (איור 1). נבחר מתוכו אלמנט מטען קטן <math>dq</math>, ואת מיקום אלמנט המטען נסמן ב-<math>\vec{r}'</math>. את הנקודה בה רוצים לחשב את השדה נסמן ב-<math>\vec{r}</math>.

לכן, אלמנט דיפרנציאלי של השדה החשמלי הינו:

<math display="block">d\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot
\frac{dq}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}</math>

ולכן, מתוך עקרון הסופרפוזיציה, השדה החשמלי הכולל יהיה:

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} =
\iiint \frac{\rho(\vec r' )dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}
</math>

כמובן שצפיפות המטען לא חייבת להיות צפיפות נפחית. יכולים להיות מטענים בנתונים על ידי צפיפות משטחית, אורכית, או אפילו מטענים נקודתיים. במקרה זה, עלינו רק להגדיר היטב את אלמנט המטען, ולבצע סופרפוזיציה באותו אופן.

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} +
E_{\text{point charge (if exists)}}
</math>

כאשר אלמנט המטען הוא:

<math display="block">dq = \begin{cases}
\rho(\vec{r}') dV', & \text{volume charge density } \\
\eta(\vec{r}') dS', & \text{surface charge density } \\
\lambda dl', & \text{ linear charge density} \end{cases}
</math>

באופן הכללי ביותר:
<math display="block">\vec E =\iiint \frac{\rho(r)dV'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\iint \frac{\eta dS'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\int \frac{\lambda dl'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\sum_k \frac{q_n}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot i_{r',r}</math>

'''הערות:'''

* על מנת לחשב את השדה האלקטרוסטטי באמצעות סופרפוזיציה צריך לדעת במפורש את פילוג המטענים בבעייה.
* הסכימה היא סכימה וקטורית כך שנצטרך לבצע אינטגרל על <math>\hat i_{\vec r', \vec r}</math>.
* נשים לב שניתן לכתוב את השדה החשמלי בתור קונבולוציה:

<math display="block">\vec E = \rho \circledast
\underbrace{\frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}}_{\text{Green's function}}</math>

כאשר <math>\rho</math> הוא אות הכניסה, ו-

<math display="block">
G = \frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}</math>

היא ה"תגובה להלם" של המערכת - כלומר במקרה שלנו השדה שיוצר הלם מרחבי של מטען (מטען נקודתי). בבעיות מסוג זה התגובה להלם נקראת פונקציית גרין. מתי ייצוג כזה של פתרון (באמצעות קונבולוציה עם התגובה להלם אפשרי)? בבעיות תלויות בזמן ייצוג זה דורש שהמערכת היא LTI, כלומר לינארית, וסימטרית להזזה בזמן (לא משתנה בזמן - Time invariant). בבעיה שלנו, לינאריות מתקיימת כמובן, כי כבר ציינו שמשוואות מקסוול הן משוואות לינאריות. הסימטריה להזזה בזמן מתורגמת במקרה זה לסימטריה להזזה במרחב (space invariant). אצלנו סימטריה זו מתקיימת מאחר ואנו, בשלב זה, מחשבים את השדות במרחב חופשי, שאכן מקיים סימטריה זו.
מתי סימטריה זו לא תתקיים? לדוגמא כאשר פותרים את השדות באיזור בו יש שפה, או גופים נוספים. עדיין ניתן לבצע סופרפוזיציה במקרה זה, אך אינטגרל הסופרפוזיציה לא יהיה בעל צורה של אינטגרל קונבולוציה באופן כללי.

=== דוגמא - משטח אינסופי טעון בצפיפות אחידה ===

[[File:Pic502.png|200px|thumb|left|איור 2]]

נתון משטח אינסופי הטעון בצפיפות אחידה <math>\eta</math> (איור 2), היוצר שדה.

ניתן לפתור את הבעיה באמצעות חוק גאוס:

<math display="block">\vec E = \hat z \begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>

ובאמצעות סופרפוזיציה:

<math display="block">\vec r = z \hat z , \vec r' = x' \hat x + y' \hat y, dq = \eta dS'=\eta dx' dy'</math><math display="block">\hat i_{r',r} = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r' |} =
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}</math><math display="block">\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{-\infty}^\infty
\frac{\eta dx' dy'}{(x'^2+y'^2+z'^2)} \cdot
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}
</math>נעבור לקורדינטות פולריות:

<math display="block">x'=\rho' \cos \varphi',y'=\rho' \sin \varphi', dx'dy' = \rho'd\rho' d\varphi'
</math><math display="block">\vec E = -z \hat z \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\rho'^2+z^2]|^{\rho'=\infty}_{\rho'=0}=
\frac{\eta}{2\epsilon_0} \cdot \text{sign} (z) \hat z
</math>אכן קיבלנו אותה תוצאה בשתי השיטות!

== פוטנציאל חשמלי סקלרי ==
שיטת הסופרפוזיציה מצריכה שנדע בדיוק את פילוג המטענים בכל מקום במרחב.
על מנת להקל על מציאת פיתרון כללי לבעיה אלקטרומגנטית בכלל, ואלקטרוסטטית בפרט, נהוג לבצע "סקלריזציה" של הבעיה
כלומר, למצוא דרך לפתור בעיה סקלרית שקולה, שפתרונה יוביל לפתרון הבעיה הוקטורית.

מתוך חוק פאראדיי:

<math display="block">\nabla \times \vec E = -\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}
\underbrace{=}_{\text{static}} 0\Leftrightarrow
\oint \vec E \cdot \vec {dl}= -\mu_0\frac{\partial}{\partial t}
\iint \hat H \cdot \hat n dS = 0
</math>ולכן השדה החשמלי הוא שדה משמר:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi
</math>כאשר <math>\phi
</math> הוא הפוטנציאל החשמלי.

<math display="block">\int_{r_1}^{r_2}\vec E \cdot \vec{dl} =
\int_{r_1}^{r_2} -\nabla \phi \cdot \vec{dl} = -[\phi(r_2)-\phi(r_1)]
</math>אינטגרציה אינה תלויה בצורת המסלול, אלא רק בערכי הפוטנציאל בנק' הקצה

משמעות האינטגרציה היא - מה העבודה שיש להשקיע על מנת להביא מטען מ r1 ל r2.

=== פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי ===
נקודה חשובה נוספת - הפוטנציאל מוגדר עד כדי קבוע:

<math display="block">\vec E_1 = -\nabla \phi
</math><math display="block">\vec E_2 = -\nabla (\phi+C)= -\nabla \phi =\vec E_1
</math>מכאן - יש חשיבות פיזיקאלית רק להפרשי הפוטנציאל בין נקודות, ולא לערך עצמו, ויש לנו חופש בבחירת ערך הייחוס.

נגדיר לפי כך את נקודת הייחוס של הפוטנציאל באינסוף (הגדרה זו טובה ושימושית עבור כל מערכת בעלת גודל סופי):

<math display="block">\phi(r) = -\int_{r_1\rightarrow\infty}^r \vec E \cdot \vec{dl}
</math>
לדוגמא, אם ניקח שדה של מטען נקודתי בראשית:

<math display="block">\vec E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r
</math><math display="block">\phi(r_s)= -\int_\infty^{r_s} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r_s}
</math>

=== סופרפוזיציה ===
ניתן לבצע סופרפוזיציה גם לפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">\phi = \int \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} =
\iiint \frac{\rho(r') dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} + \phi_{\text{point potential}}
</math>גם כאן, בבעיות שהן space inveriant, נקבל שהסופרפוזיציה מקבלת צורה של אינטגרל קונבולוציה:

<math display="block">\phi = \rho \circledast \frac{1}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}</math>אם המטען הוא מטען נקודתי:

<math display="block">\rho = Q\cdot \delta(\vec r - \vec r')</math>

גם כאן, אנו חייבים לדעת מפורשות את פילוג המקורות בכל המרחב על מנת לחשב את הפוטנציאל, כך שאם המקורות נוצרים כתגובה להפעלת שדה חיצוני, זוהי שיטה לא שימושית לחישוב הפוטנציאל.

=== דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן ===
באיור (3) נתון מבנה של דיפול חשמלי. שני מטענים נקודתיים בעלי גודל זהה וסימנים מנוגדים, ממוקמים במרחק <math>d</math> זה מזה.
[[File:Pic503.png|200px|thumb|left|איור 3]]
[[File:Pic504.png|200px|thumb|left|איור 4]]

# חשבו את הפוטנציאל
# מה התוצאה בגבול <math>\vec d \rightarrow 0</math>, אבל <math>q |\vec d|</math> קבוע ידוע.

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec r^+|} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot
\frac{1}{|\vec r^-|}</math>נגדיר:

<math display="block">\text{The place of the positive charge: } \vec r'^+ \equiv \vec r' + \vec d/2</math><math display="block">\text{The place of the negative charge: } \vec r'^- \equiv \vec r' - \vec d/2</math>לכן:

<math display="block">
\vec r ^+ = \vec r - \vec r'^+ = \vec r - (\vec r' + \vec d/2)
</math>
<math display="block">
\vec r ^- = \vec r - \vec r'^- = \vec r - (\vec r' - \vec d/2)
</math>
<math display="block">
|\vec r^+ | =
\sqrt{[\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]\cdot [\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{[(\vec r - \vec r') - \vec d/2] \cdot [(\vec r - \vec r') - \vec d/2]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{|\vec r - \vec r'|^2 - 2 (\vec r - \vec r') \cdot \frac{\vec d}{2} + \left|\frac{\vec d}{2}\right|^2} =...
</math>
<math display="block">
... \underbrace{=}_{|\vec d| << |\vec r - \vec r'|}
|\vec r - \vec r'| \sqrt{(1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
+\underbrace{1/4 \frac{|\vec d|^2}{|\vec r - \vec r'|^2 }}_{
\text{second order in: } \frac{|\vec d|}{|\vec r - \vec r'| }
})}
</math>
לבסוף:
[[File:Pic505.png|300px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">|\vec r ^+| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d }</math>כאשר השתמשנו בקירוב טיילור:

<math display="block">(1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x</math>באופן דומה:

<math display="block">|\vec r ^-| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \vec d }</math>
נציב לביטוי של הפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">
\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
[ \frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \underbrace{\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }}
_{\ll 1}
\cdot \vec d}}
-
\frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d}}
]
=...
</math>
<math display="block">
...=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} \cdot
[1 + 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
-
(1 - 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d)
] =
</math>
<math display="block">
=\frac{q \vec d \cdot (\vec r - \vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
נהוג להגדיר <math>\vec p \equiv q \vec d </math> מומנט הדיפול, ולקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot (\vec r - \vec r' ) }{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
כאשר עבור דיפול בראשית מתקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot \hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}
</math>
באיור (5) ניתן לראות בצבע אדום את האיזורים בהם הפוטנציאל חיובי (קרובים יותר למטען החיובי) ובכחול את האיזורים בהם הפוטנציאל שלילי.

נשים לב שהפוטנציאל בראשית (ועל כל המישור העובר במרכז הדיפול ומאונך ל-<math>\vec p</math>) הוא אפס, וזאת משום שמומנט הדיפול מאונך ל <math>\vec r</math> על מישור זה, כך שהמכפלה הסקלארית ביניהם מתאפסת.

השדה המתקבל:

<math display="block">\vec E = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3 }[2 \cos \theta \hat r + \sin \theta \hat \theta]</math>

=== דוגמא 2 - דיסקה טעונה בצפיפות אחידה ===
[[File:Pic506.png|170px|thumb|right|איור 6]]

באיור 6 נתונה דיסקה טעונה בצפיפות מטען משטחי אחידה <math> \eta </math>, ורדיוסה <math> R </math>. חשבו את הפוטנציאל הנוצר על ציר <math> z </math>.

<math display="block">
\vec r' = x' \hat x + y' \hat y = r' \cos \varphi' \hat x + r' \sin \varphi' \hat y,
\vec r = z \hat z,
dq = \eta dS' = \eta r' dr' d\varphi'
</math>
<math display="block">
\phi = \iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta dS'}{|\vec r - \vec r'|} =
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 \cos^2 \varphi'
+ r'^2 \sin^2 \varphi' + z^2
}} =
</math>
<math display="block">
=\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\underbrace{2\pi}_{\int_0^{2\pi} d\varphi'}
\int \frac{\eta r'}{4\pi \epsilon_0 \cdot \sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2}- |z|)

</math>

ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/wu0yj0bmjh/ תרשים של הפונקציה] באיור (7).

* מקרה 1 - <math>|z| \gg R</math> (איור 8)
עבור מקרה זה נרשום:

<math display="block">\phi = \frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2+z^2} - |z|) =
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| (\sqrt{1+ \frac{R^2}{z^2}} - 1)
\approx
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| \cdot (1 + 1/2 \frac{R^2}{|z|^2} - 1) =
\frac{\eta R^2 }{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} =
\frac{\overbrace{\eta (\pi R^2)}^{Q_{disk}}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} =
\frac{Q_{disk}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|}</math>
רחוק מאוד מהדיסקה, היא נראית כמטען נקודתי, ולכן גם הפוטנציאל נראה כך. הפוטנציאל של מטען נקודתי נתון על ידי הקו השחור באיור 8.

* מקרה 2 - <math>|z| \ll R</math> (איור 9)
<math display="block">\eta = \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2+z^2} - |z|] \approx
\frac{\eta R}{2\epsilon_0} [\sqrt{1+(\frac{z}{R} } )^2 - \frac{|z|}{R}]
\approx \frac{\eta R}{2\epsilon_0} [1+1/2 \frac{z^2}{R^2} - \frac{|z|}{R}] \approx
\underbrace{\frac{\eta R}{2\epsilon_0}}_{Constant} -
\frac{\eta |z|}{2\epsilon_0}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi= \begin{cases} -\frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ \frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}
\Rightarrow
E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} =
\begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>
קרוב מאוד לדיסקה (ביחס לרדיוסה), הדיסקה נראית כמשטח אינסופי, ולכן מתקבל פוטנציאל שמשתנה לינארית בקירוב, השתנות המתאימה לשדה האחיד שיוצר לוח אינסופי.
<gallery widths=300px heights=200px mode="packed">
File:Pic507.png|איור 7
File:Pic508.png|איור 8
File:Pic509.png|איור 9
</gallery>

== פוטנציאל חשמלי - המשוואה הדיפרנציאלית ==

עד כה, הדרך שהראנו לחישוב הפוטנציאל הייתה סופרפוזיציה. אבל בדרך כלל לא ידוע לנו כל פילוג המטענים בבעיה, אלא נתון שילוב כלשהו של מקורות + תנאי שפה.

בסופרפוזיציה לא הבאנו כלל בחשבון את קיומם של תנאי שפה.

לצורך כך, כדאי לחזור למשוואת הדיפרנציאלית המתארת את <math> \phi </math>:

<math display="block">\nabla \times E = 0 \Rightarrow
\vec E = - \vec \nabla \phi</math><math display="block">\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \Rightarrow
\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 (-\nabla \phi)) = \rho </math>ונקבל את משוואת פואסון:

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}</math>

=== אופרטור הלפלאסיאן ===
קרטזיות:

<math display="block">\nabla^2 \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}</math>צילינדריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial \phi \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 \phi \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 \phi \over \partial z^2 }</math>כדוריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial \phi \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial \phi \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 \phi \over \partial \varphi^2}</math>

=== פתרון פרטי ופתרון הומוגני ===
[[File:Pic510.png|200px|thumb|left|איור 10]]

נגדיר תחום <math> \mathcal {D} </math> בו אנו מחשבים את הפוטנציאל (איור 10). את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים:

<math display="block">\phi = \underbrace{\phi_p}_{\text{private solution}} +
\underbrace{{\phi}_h}_{\text{homogenous solution}}</math>

* פיתרון פרטי <math> \phi_p </math> - נובע מפילוג המטען <math> \rho </math>, אבל לא חייב לקיים לקיים תנאי שפה.
* פתרון הומוגני <math> \phi_h </math> - מקיים את המשוואה חסרת המקורות (המשוואה ההומוגנית) ו"עוזר" לפתרון הפרטי לקיים את תנאי השפה
<math display="block">
\nabla^2(\phi_p + \phi_h) = - \frac{\rho}{\epsilon_0 }=
\underbrace{\nabla^2 \phi_p}_{-\frac{\rho}{\epsilon_0 }}
+
\nabla^2 \phi_h
</math>

<math display="block">
\phi(\partial D) = \phi_p (\partial D) + \phi_h (\partial D) = \phi_B
</math>
כשמגיעים לפתור את הפיתרון ההומוגני, כבר יודעים פתרון פרטי (סופרפוזיציה, ניחוש, ואולי נתון).
מתוך ת.ש. לפוטנציאל הכולל, נקבל תנאי שפה ל- <math>\phi_h</math> (פתרון הומוגני):

<math display="block">\phi_h (\partial D) = \phi_B - \phi_p (\partial D)</math>

פיצלנו את הבעיה ל-2 בעיות שלרוב הן פשוטות יותר:

את הפיתרון הפרטי נמצא באמצעות סופרפוזיציה ללא התחשבות בתנאי השפה.

את הפיתרון ההומוגני נקבל על ידי תפירת תנאי שפה.

=== תנאי שפה של הפוטנציאל ===

* '''צפיפות מטען משטחית'''

<math display="block">\hat n\cdot \left(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 \right) = \eta
\Rightarrow
\hat n\cdot \left(\epsilon_0 (-\nabla \phi_2) - \epsilon_0 (-\nabla \phi_1)\right) = \eta
\Rightarrow
-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial n} - (- \epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial n})=\eta </math>

* '''רציפות הפוטנציאל'''

<math display="block">
\phi_2 |_{\text{boundry}} = \phi_1 |_{\text{boundry}}</math><math display="block">\triangle \phi = -\int_{\text{very short path}} \vec E \cdot \vec {dl} \approx
\vec E \cdot \triangle \vec L
</math>
מאחר ו-<math> \Delta\vec{L} </math> הוא בעל אורך קטן מאוד, בבעיות בהן השדה לא סינגולרי, אין בעיה והפוטנציאל חייב להיות רציף.

* '''גבול בין חומר מוליך לואקום'''
נשתמש בשימור מטען על השפה:
[[File:Pic511.png|200px|thumb|left|איור 11]]
<math display="block">\hat n \cdot (\underbrace{\vec J_2}
_{\text{the second area is vacuum }\rightarrow =0}
- \vec J_1) + \underbrace{\vec \nabla_S \vec K}_{=0} = -
\underbrace{\frac{\partial \eta}{\partial t } }_{=0}</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \vec J_1 = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot (\sigma \vec E_1) = 0
\Rightarrow
\hat n \cdot \sigma (-\vec \nabla \phi_2) = 0
\Rightarrow
\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = 0</math>

==== שפה של PEC ====
מאחר ובתוך מוליך אידאלי השדה החשמלי מתאפס (איור 11), מתקיים:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_{out} - \underbrace{\vec E_{in}}_{=0}) = 0
\Rightarrow
\hat n \times \vec E_{out}=0</math>ולכן השדה החשמלי המשיק לפני המוליך האידאלי מתאפס, ולכן השדה החשמלי בעל רכיב ניצב לפני המוליך בלבד.

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\int
\underbrace{\vec E \cdot \vec{dl}}_{\text{E and dl are prependicular to each other}}=0</math>השפה של מוליך אידאלי ← משטח שווה פוטנציאל <math>\phi</math>.

== שיטת השיקופים ==
[[File:Pic512.png|400px|thumb|left|איור 12]]

נסתכל על בעיה שבה צריך לחשב את <math>\phi</math> בכל המרחב, עבור איור (12). באופן כללי זו בעיה מורכבת לפתרון, מכיוון שאיננו יודעים איך בסופו של דבר יתפלגו המטענים על המוליך הנתון. ולכן, ננסה להתמודד עם גרסא פשוטה יותר של בעיה זו, ולהדגים כיצד ניתן לקבל את הפוטנציאל והשדה.

=== מטען נקודתי בסמוך למישור PEC אינסופי ===
[[File:Pic513.png|200px|thumb|left|איור 13]]
במקרים פשוטים יותר, כמו באיור (13) נחלק ל- 2 תחומים: <math>x<0,x>0</math>.

עבור <math>x<0</math> הפוטנציאל <math>\phi=0</math> מקיים את כל תנאי הבעיה.

את הפיתרון ב <math>x>0</math> נחלק לפיתרון פרטי והומגני.

הפיתרון הפרטי יהיה:

<math display="block">
\phi_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec r - d\hat x\right|}
</math>
כעת, דרוש לנו הפתרון ההומוגני, יחד איתו נוכל לקיים את תנאי השפה.

<math display="block">
\phi_{plane} = 0 \Rightarrow
\phi_p |_{plane} + \phi_h |_{plane}=0
\Rightarrow
\phi_h |_{plane} = - \phi_p |_{plane}
</math>
<math display="block">
\phi_h |_{plane} = \underbrace{-}_{\text{looks like negative particle}}
\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{\left|y \hat y + z \hat z - d \hat x\right|}
=
-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{y^2+z^2+d^2}}
</math>
מאחר ו"ניחשנו" פתרון (סופרפוזיציה של מטען חיובי ושלילי ש"הוספנו") שמקיים את אותה משוואת פואסון, עם אותם תנאי השפה, זהו הפיתרון לבעיה המקורית!

<math display="block">
\phi =
\begin{cases} 0 & x<0 \\
\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[ \frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x - d \hat x\right|}-\frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x + d \hat x\right|} \right]
& x>0 \end{cases}
</math>
ניתן לכתוב את הפוטנציאל המתקבל כך:

<math display="block">
\phi= \begin{cases} 0 & x<0 \\
\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot
[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from q in }(d,0,0) }
-
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x+ d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from -q in }(-d,0,0)}
]
& x>0 \end{cases}</math>

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל במקרה הנ"ל באיור (14).
<gallery widths=500px heights=300px class="center">
File:Pic514.png|איור 14
</gallery>

*'''מה פילוג המטען ה"אמיתי" בבעיה?'''
<math display="block">
\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0 \\ \hat n \cdot
(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta \end{cases}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\vec E |_{edge} = \vec E_q + \vec E_{-q}
</math>
באמצעות תנאי השפה אפשר לרשום את פילוג המטען האמיתי <math>\eta(x,y)</math>:

<math display="block">
\begin{cases} \hat n \cdot (\vec E-0)_{\text{boundry}}=\eta \\
\hat z \cdot (-\nabla \phi)_{\text{boundry}} = \frac{\eta}{\epsilon_0}
\end{cases}
</math>
<br>
<math display="block">
\eta = -\frac{q}{4\pi} \frac{\partial}{\partial z} [\left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-1/2} - \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-1/2}]=...
</math>
<br>
<math display="block">
=\left\{-\frac{q}{4\pi} \left[-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-3/2} \cdot 2(z-d)
-(-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-3/2}\right]\cdot 2(z+d)\right\}_{z=0}=
</math>
<br>
<math display="block">
=-\frac{q}{4\pi} \cdot 2 (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}d
</math>

כמה מטען יש בסך הכל על המשטח?

<math display="block">Q = \int \eta dS = {\iint}^\infty_\infty \frac{-qd}{4\pi} \cdot 2 \cdot (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}dxdy=
-\frac{qd}{2\pi} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^\infty \frac{1}{(r^2+d^2)^{3/2}} \cdot r dr d\varphi=
-qd \int_{r=0}^\infty \frac{r}{(r^2+d^2)^{3/2}} = ... </math><math display="block">...=
q \frac{1}{\sqrt{r^2+d^2}}|^\infty_0 = qd(0-1/d)=-q </math>

=== שיקוף של דיפול ===
[[File:Pic515b.png|200px|thumb|left|איור 15]]
כשנשקף דיפול, נהפוך את מטענו, נשקף אותו במראה, ונזיז את קודינטה X שלו ל X-, כמתואר באיור (15).

=== מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC ===
[[File:Pic516.png|600px|thumb|center|איור 16]]
משפחה נוספת של בעיות המאפשרות פתרון באמצעות שיטת השיקופים, אלו בעיות בהן נתון פילוג מטען כלשהו בסמוך לכדור מוליך אידאלי. נסתכל על בעיה בה מטען נקודתי נמצא סמוך לכדור (איור 16) וננסה למצוא פתרון מהצורה המוצעת - את הפוטנציאל בחוץ נרשום כסופרפוזיציה של המטען המקורי, ומטען שיקוף <math> Q </math> הנמצא במרחק <math> D </math> ממרכז הכדור.
* נחפש <math> Q,D </math> כך שעל שפת הכדור מתקיים תנאי השפה <math>\phi = 0</math>.
* מטען הדמות <math> Q </math> משמש אותנו לחישוב השדה מחוץ לכדור.

בתחום בו אנו פותרים את הבעיה (מחוץ לכדור), משוואת פואסון

<math display="block">
\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
מתקיימת עם אותו פילוג המטען כמו בבעיה המקורית (מטען הדמות שהוספנו נמצא מחוץ לתחום בו פותרים). ולכן נותר רק לקיים תנאי שפה.

<math display="block">
\phi |_{\text{spherical boundary}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r_q} + \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r_Q} = 0
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\frac{Q}{R_Q} = -\frac{q}{r_q} (*)
</math>
אנו מחפשים <math> Q,D </math> כך שנוכל לקיים ת.ש. על כדור.

נגדיר את הגדלים הבאים (איור 17):
[[File:Pic517.png|200px|thumb|left|איור 17]]

<math display="block">
r_T\equiv \sqrt{y^2+z^2},r_q \equiv \sqrt{(x-d)^2+r_T^2},r_Q \equiv \sqrt{(x-D)^2+r_T^2}
</math>
על שפת הכדור מתקיים
<math display="block">
r_T^2+x^2=R^2</math>
נציב ביחס (*) ונקבל:

<math display="block">
Q=-q \frac{R}{d}, D=\frac{R^2}{d}=R\cdot\frac{R}{d}
</math>
<br>
ולכן ברגע שיודעים את מטען השיקוף <math> Q </math>, הפוטנציאל בחוץ בכל מקום הוא סופרפוזיציה של <math> q </math> ו- <math> Q </math>.

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל באיור (18)
[[File:Pic518.png|400px|thumb|left|איור 18]]

* '''מה קורה כאשר הפוטנציאל על הכדור הוא לא אפס (למשל <math>V_0</math>) (איור 19)?'''
[[File:Pic519.png|200px|thumb|left|איור 19]]
נמצא את <math> Q,D </math> כרגיל מפיתרון הבעיה המוארקת, ואז נוסיף מטען חדש <math> Q' </math> במרכז המעגל שידאג לכך שהפוטנציאל על שפת הכדור יהיה <math>V_0</math>.

איך נמצא את <math> Q' </math>? מהדרישה שהפוטנציאל על שפת הכדור יתן את הערך הנקוב בבעיה.

<math display="block">\frac{Q'}{r\pi\epsilon_0}=V_0 \Rightarrow Q' = 4\pi\epsilon_0 R V_0</math>

תרשים של הפוטנציאל, עם אפשרות למשחק בפרמטרים ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/1gb6fudjpp כאן].

* '''המקרה ההפוך - המטען בתוך הכדור (איור 20) '''
[[File:Pic520.png|200px|thumb|left|איור 20]]
לפיכך מטען הדמות יהיה מחוץ לכדור:

<math display="block">\begin{cases} Q_{in} = -q_{out} \cdot \frac{R}{d} \\ D_{in}=\frac{R^2}{d_{out}} \end{cases}</math>כל צמד מטענים שיקיים את היחסים לעיל, יקיים ש <math>\phi</math> על שפת הכדור הוא אפס.
</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2023-06-19T21:00:15Z

85.64.114.243: /* משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה
<math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a =\mu_0(\vec H + \vec M) </math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 (איור 8) ===
[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 (איור 9) ===
[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2023-06-19T20:43:29Z

85.64.114.243: /* 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה
<math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 (איור 8) ===
[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 (איור 9) ===
[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2023-06-10T19:53:55Z

85.64.114.243: /* שדות חשמליים בחומר */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרגשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החיצוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית.
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פוריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פוריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה.
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים.
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:
<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>
בהצבה בחוק גאוס נקבל:
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>
מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:
<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>
וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>
נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:
<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta</math>
נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו
<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0</math>
הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E</math> ולכן נוכל לרשום:
<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}</math>
כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>
מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:
<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z</math>
כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמא - קבל שכבות ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]
באיור 14 נתון קבל שבין לוחותיו מבנה דיאלקטרי שכבתי. כל שכה היא בעלת עובי <math>d_i</math> ומקדפ דיאלקטרי <math>\epsilon_i</math>.
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math> מאחר והוא בכיוון z בלבד ועובר בין השכבות באופן רציף (אין צפיפות מטען חופשית).
נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:
<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>
ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>
בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:
<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>
המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:
<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>
נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>

פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית

2023-05-21T21:27:38Z

85.64.114.243: /* פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות כדוריות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

בפרקים הקודמים ראינו כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות קרטזיות ואזימוטליות,

בפרק זה נראה כיצד ניתן לפתור את משוואת לפלאס בקורדינטות כדוריות.

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות כדוריות ==
[[File:Pic0801.png|200px|thumb|left|איור 1 - קורדינטות כדוריות ]]
היכולת לפתור את משוואת לפלס בקורדינטות כדוריות היא חשובה במיוחד - אלו למעשה הקורדינטות היחידות אותן אנחנו לומדים שבעזרתן אפשרי למדל מבנים סופיים במרחב. באיור 1 ניתן לראות את ההגדרם של הקורדינטות השונות - <math> r,\theta,\varphi </math> בקורדינטות כדוריות, משוואת לפלאס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}=0</math>

פתרון בהפרדת משתנים:

<math display="block">\phi=R(r)T(\theta)\Psi(\varphi)</math>

נציב:

<math display="block">\nabla^2 \phi = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R' T \Psi)
+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}
(\sin \theta R T' \varphi) +
\frac{1}{r^2 \sin \theta} \Psi''RT=0</math>

נכפול ב <math>\frac{r^2 \sin \theta}{RT\Psi}</math>:

<math display="block">\underbrace{
\frac{\sin^2 \theta}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) +
\frac{\sin \theta}{T} \frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)}_
{\text{Function of }\theta,r \text{ only}}
+
\underbrace{
\frac{\Psi''}{\Psi}}_{\text{function of }\varphi \text{ only } \equiv -\mu^2}
=0</math>

גם כאן, בדומה למה שעשינו בקורדינטות גליליות, נבצע את ההפרדה בשני שלבים. ראשית, נפתור את המשוואה עבור <math>\Psi</math>:

<math display="block">\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2
\Rightarrow \Psi'' + \mu^2 \Psi =0</math>אצלנו <math>\mu^2>0</math> ולכן:

<math display="block">\Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi)</math>

נציב חזרה את הקבוע <math>\mu^2</math> ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2)}
_{\text{depends only on }r}
+
\underbrace{\frac{1}{T\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (T'\sin\theta)
-
\frac{\mu^2}{\sin^2\theta}}
_{\text{depends only on }\theta}
=0</math>

כלומר נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (R' r^2) = l(l+1) \\
\frac{1}{T \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(T' \sin\theta)
-\frac{\mu^2}{\sin^2\theta} + l(l+1)=0
\end{cases}</math>

עבור <math>r</math> נקבל את משוואת אוילר (בה נתקלנו גם בהפרדת משתנים בקורדינטות גליליות):

<math display="block">R'' r^2 + R'\cdot 2r - l(l+1) R=0</math><math display="block">R(r) = c r^l + D r^{-l-1}</math>

עבור <math>\theta</math> נשתמש בהצבה <math>u=\cos\theta</math> ונקבל את משוואת לג'נדר, שפתרונותיה הן ה-associated legendre functions <math>P,Q</math>:

<math display="block">\frac{\partial}{\partial u} ((1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u})
+
(l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2} )T=0</math><math display="block">\Rightarrow
T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta) </math>

נסכם את משוואות ההפרדה שקיבלנו:

<math display="block">\begin{cases}
\frac{\Psi''}{\Psi}=-\mu^2
\\
\frac{\partial}{\partial r} (r^2R') - l(l+1)R=0
\\
\frac{\partial}{\partial u}[(1-u^2) \frac{\partial T}{\partial u}] +
[l(l+1) - \frac{\mu^2}{1-u^2}] T = 0 ,& u=cos\theta
\end{cases}</math>
=== פתרון טריוויאלי ===
<math display="block">\mu=l=0</math>

<math display="block">\begin{cases}
\Psi=0 \Rightarrow \Psi=A\varphi+B
\\
\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 R') = 0 \Rightarrow
R'=\frac{\tilde c}{r^2} \Rightarrow R=\frac{c}{r}+D
\\
\frac{\partial}{\partial \theta} (T' \sin\theta)=0
\Rightarrow T'=\frac{\tilde E}{\sin\theta}
\Rightarrow T = E\cdot \ln(\tan(\theta/2))+F
\end{cases}</math>

=== פתרון כללי ===
<math display="block">\mu \neq 0,\mu^2>0</math>

כבר בשלב הפיתוח רשמנו את הפתרון הכללי:

<math display="block">\begin{cases} \Psi = A \sin(\mu \varphi) + B \cos(\mu \varphi) \\
R(r) = c r^l + D r^{-l-1} \\
T(\theta) = A P_l^\mu (\cos\theta) + B Q_l^\mu (\cos\theta)
\end{cases}</math>הערות:

* אם פותרים בכל התחום <math>\varphi\in[0,2\pi]</math> אז <math>\mu\in \Z</math>, ולכן נהוג לרשום <math>\mu=m</math> באופן דומה לקודינטות גליליות.
* אם פותרים בכל התחום <math>\theta \in [0,\pi]</math> אז <math>l\in \Z</math>, וגם כל המקדמים של <math>Q</math> חייבים להתאפס מכיוון שפונקציות אלו סינגולריות על ציר <math>z</math> (מכילות את אותה סינגולריות שיש בפתרון הטריויאלי - <math>\ln[\tan(\theta/2)]</math>. ולכן, נשאר עם הפתרון: <math>T=p_l^m (\cos\theta)</math>
* בבעיות המקיימות סימטריה מלאה ב-<math>\varphi</math> ניתן לייצג את הפתרונות באמצעות פונקציות לז'נדר עם m=0 בלבד.

בין פונקציות לז'נדר (associated legendre functions) יש קשר רקורסיבי:

<math display="block">P_l^m (\cos\theta) = (1-u^2)^{\frac{|m|}{2}} \frac{d^{|m|}}{d u^{|m|}} P_l(u)
\Rightarrow
|m|\leq l</math><math display="block">(l+1) P_{l+1}(u) = (2l+1) P_l(u) - l P_{l-1}(u)</math>

תרשים של מספר פונקציות מסדרת פונקציות זו ניתן לראות באיור 2.
[[File:Pic0802.png|800px|thumb|center|איור 2 - פונקציות לז'נדר]]

הפונקציות <math> Y^{m}_{\ell}(\varphi,\theta)</math> המוגדרות באיור 2 נקראות spherical harmonics והן למעשה מהוות בסיס דו-ממדי שלם לפריסת פונקציה כלשהי על שפתו של כדור.

=== דוגמא 1 ===
[[File:c8ex1b.png|300px|thumb|left|איור 3]]
חרוט PEC אינסופי בעל זוית ראש <math>\alpha</math> נתון בפוטנציאל <math>V</math>. החרוט נמצא מעל מישור אינסופי PEC מוארק. עלינו לפתור את הפוטנציאל <math>\phi</math> בין החרוט למשטח.
בעיה זו מתאימה לפתרון בקורדינטות כדוריות מכייוון שתנאי השפה נתונים על משטחים שווי קורדינטה <math>\theta</math>. החרוט קרוב מאוד למשטח אך לא נוגע בו (עובדה זו צריכה לרמוז לנו שאנו צפויים לקבל שדות חזקים מאוד סמוך ל"שפיץ" של החרוט).
<math display="block">
\phi(\theta=\pi/2)=0\;,\;\phi(\theta=\alpha)=V
</math>

נבחר בפתרון הטריויאלי,

<math display="block">\phi = E \cdot \ln(\tan(\theta/2))+F</math>

ונציב תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(\theta = \pi/2) = E \cdot \ln(\tan(\pi/4))+F=F=0 \\
\phi(\theta=\alpha) = E \cdot \ln(\tan(\alpha/2))=V
\Rightarrow E= \frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))}
\end{cases}</math>נקבל:

<math display="block">\phi = V \cdot
\frac{\ln(\tan(\theta/2))}{\ln(\tan(\alpha/2))}</math>נמצא את השדה החשמלי:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi =
-\frac{1}{r} (\frac{\partial \phi}{\partial \theta}) \hat \theta =
-\frac{V}{\ln(\tan(\alpha/2))} \cdot \frac{1}{r} \frac{1}{\sin\theta} \hat \theta </math>

באיור 4 ניתן לראות את הפוטנציאל והשדה החשמלי בין החרוט למשטח.
[[File:Pic0804.png|600px|thumb|center|איור 4 - הפוטנציאל והשדה של דוגמא 1]]

=== דוגמא 2 ===
[[File:Pic0805.png|300px|thumb|left|איור 5]]
נתונה קליפה כדורית עשויה מוליך אידאלי שרדיוסה <math> a </math>. במרכז הקליפה מונח דיפול נקודתי בעל מומנט דיפול <math> \vec{p}=p\hat{z} </math>. הקליפה מחוברת לפוטנציאל <math> V </math>, כמוראה באיור 5.

מחוץ לכדור אין מטענים - לכן נפתור שם את משוואת לפלאס.

בתוך הכדור - יש פילוג מטען נתון (דיפול) ולכן נפתור את משוואת פואסון.

'''הפיתרון מחוץ לכדור:'''

תנאי שפה:

<math display="block">
\begin{cases} \phi_1(r=a)=V \\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=0\end{cases}
</math>
נבחר:

<math display="block">
\phi_1 = \frac{A}{r}+B</math><math display="block">\begin{cases} \phi_1(r=a)=V=\frac{A}{a}
\\ \phi_1(r\rightarrow \infty)=B=0\end{cases}
</math>
ולכן נקבל:

<math display="block">
\phi_1 = V\cdot \frac{a}{r}
</math>

'''בתוך הכדור:'''

<math display="block">
\phi_2=\phi_p+\phi_h
</math>
הפתרון הפרטי הוא יהיה פיתרון של דיפול במרחב חופשי:

<math display="block">
\phi_p = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
</math>

תנאי השפה הוא:

<math display="block">
\phi_2(r=a)=\phi_p(r=a)+\phi_h(r=a)=V
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
V=\phi_h(r=a)+\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
<math display="block">
\phi_h (r=a) = V-\frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
נבחר פיתרון מהצורה:

<math display="block">
\phi_h = A + \underbrace{\frac{B}{r}}_{=0 \text{ min/max principle}} + (Cr + \underbrace{\frac{D}{r^2}}_{=0 \text{ min/max principle}})
\underbrace{\cos\theta}_{P_1^0 (\cos\theta)}
=
A+Cr \cos\theta
</math>
נציב את תנאי השפה:

<math display="block">
\phi(r=a) = A+Ca \cos\theta = V- \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 a^2}
</math>
הביטוי צריך להיות נכון לכל <math> \theta </math>:

<math display="block">
A=V,C=-\frac{p}{4\pi\epsilon_0 a^3}
</math>
נציב כדי לקבל את הפוטנציאל בפנים:

<math display="block">
\phi_2 = \phi_h + \phi_p =
\underbrace{\frac{p\cdot \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2 }}_{\text{Source} }

+\underbrace{V- \frac{p \cos\theta r}{4\pi\epsilon_0 a^3}}_{\text{Reaction}}
=V+\frac{p}{4\pi\epsilon_0} (\frac{1}{r^2} - \frac{r}{a^3}) \cos\theta
</math>
[[File:Pic0806.png|600px|thumb|center|איור 6 - הפוטנציאל בכדור]]
[[File:Pic0807.png|600px|thumb|center|איור 7 -השדה החשמלי בכדור]]
גם כאן ניתן לראות שניתן לחלק את הפתרון ל"פוטנציאל מעורר" שנוצר על ידי המקור, ופוטנציאל תגובה. באיור 6 ו-7 ניתן לראות את הפוטנציאלים והשדות.

'''מה צפיפות המטען על שפת הכדור?'''

<math display="block">
\eta = \hat r \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon_0 \vec E_{inside}\right)
=
\left[\epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial r} - (-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial r})\right]
|_{r=a}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow \eta = \epsilon_0 \left[\frac{V}{a} - 3 \frac{p}{4\pi\epsilon_0} \cos\theta \right]
</math>
למעשה, האיבר בצפיפות המטען שפרופורציונלי ל-<math> \cos\theta </math> נותן מומנט דיפולי ש"מקזז" את <math> p </math> מחוץ למבנה.

'''כיצד הפתרון שלנו היה משתנה אם הדיפול לא היה בכיוון <math> \hat{z} </math> אלא בכיוון כללי כלשהו?'''

במקרה זה, הפתרון הפרטי היה
<math display="block">
\phi_p = \frac{\vec p\cdot \hat r}{4\pi\epsilon_0 r^2 }
=\frac{
\overbrace{p_x \sin\theta \cos\varphi + p_y \sin\theta \sin\varphi}^{P_1^1(\cos\theta)}
+ \overbrace{p_z \cos\theta }^{\text{We'v'e already solved}}}
{4\pi\epsilon_0 r^2 }
</math>
ולכן נוסיף לפתרון המלא תרומה של פונקציות לז'נדר <math> P^1_1 </math>.

=== דוגמא 3 - כדור מוליך אידאלי בשדה אחיד ===
[[File:Pic0808.png|300px|thumb|left|איור 8]]
נתון כדור עשוי מוליך אידאלי שרדיוסו <math> a </math>. הכדור נמצא באיזור בו שוטט שדה חשמלי אחיד <math> \vec{E}=-E_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 8. עלינו לפתור את הפוטנציאל והשדה בכל המרחב.

תנאי שפה:

<math display="block">
\begin{cases} \phi(r=a)=C=0 \\ \phi(r \gg a) = E_0 z + C_2
=
E_0 r \cos\theta +C_2 = E_0 r \cos\theta
\end{cases}
</math>
נבחר פיתרון מהצורה:

<math display="block">\phi = \underbrace{(Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta}_
{\text{ General solution with }l=1,m=0}</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(r=a) = (Aa + \frac{B}{a^2}) \cos\theta = 0\\
\phi(r \gg a)\approx Ar\cos\theta = E_0 r \cos\theta
\Rightarrow A=E_0
\end{cases}</math>
נציב ונקבל:

<math display="block">B=-E_0 a^3</math>
הפיתרון יהיה:

<math display="block">
\phi = \underbrace{E_0 r \cos\theta}_{\phi_{\text{ext}} }
- \underbrace{E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta}_{\phi_{\text{reaction}}} =
E_0(r-\frac{a^3}{r^2}) \cos\theta
</math>
גם כאן ניתן לחלק את הפוטנציאל במרחב לפוטנציאל המעורר (הפוטנציאל הנובע מהשדה האחיד) ופוטנציאל תגובה. פוטנציאל התגובה נראה בדיוק כמו פוטנציאל של דיפול בראשית, מכוון בכיוון <math>\hat z</math>.

השדה יהיה
<math display="block">\vec E = -E_0 \hat z - E_0 \frac{a^3}{r^3} \cdot (2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
וניתן לראות תרשים של הפוטנציאל והשדה באיור 9.

'''איך נראה פילוג המטען על שפת הכדור?'''

<math display="block">\eta = \hat r (\epsilon_0 \vec E_{out} - \underbrace{\epsilon_0 \vec E_{in}}_{=0} )
= - 3 E_0 \epsilon_0 \cos\theta</math>
וגם פילוג המטען נראה כפילוג שנותן דיפול אפקטיבי (פרופורציונלי ל-<math> \cos\theta </math>)

[[File:Pic0809.png|300px|thumb|center|איור 9 - הפוטנציאל והשדה של דוגמא 3]]

== מושג הקיטוביות (Polarizability) ==
בעצם, בדוגמא הקודמת קיבלנו תוצאה שניתן לפרשה באופן הבא: הכדור הוכנס לאיזור שבו שורר שדה חיצוני כלשהו. השדה החיצוני "השרה" מומנט דיפול בכדור על ידי סידור מחדש של המטענים בו.
מה מומנט הדיפול השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">
\phi_{\text{response}} = E_0 \frac{a^3}{r^2} \cos\theta\;\;,\;\;\phi_{\text{dip}} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}
</math>
נשווה מקדמים:

<math display="block">E_0 a^3 = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}
\Rightarrow
p = 4\pi\epsilon_0 a^3 E_0 = 4\pi\epsilon_0 a^3
\underbrace{(E_0)}_{\text{exciting field}} =
\epsilon_0 \cdot 3\underbrace{V}_{\text{Volume}} \cdot (E_0)
</math>
מאחר וקיבלנו שמומנט הדיפול <math> p </math> פרופורציונלי לשדה המעורר <math> E_0 </math>, ניתן מכאן ניתן להגדיר את הקיטוביות <math> \alpha </math> כמקדם הפרופורציה בין השניים
<math display="block">\alpha \equiv \epsilon_0 4\pi a^3 = \epsilon_0 \cdot 3V</math>

הקיטוביות <math> \alpha </math> היא גודל שתלוי בתכונות החלקיק והסביבה שבה הוא נמצא. במקרה כאן <math> \alpha </math> היא סקלר, אבל היא יכולה להיות גם מטריצה שמייצגת תגובה שונה לשדה בכיוונים שונים.

'''מה קורה אם הכדור מוכנס לאיזור שבו השדה אינו אחיד?'''

באופן כללי זו בעיה מסובכת.

אבל, אם השדה בסביבת הנקודה שבה אנו ממקמים את הכדור אחיד בקירוב (משתנה על פני סקלת מרחק גדולה משמעותית מרדיוס הכדור), עדיין לשדה יהיה את המבנה:

<math display="block">
\vec E_{full} =
\vec E_{ext} + \vec E_{dip} </math>
<math display="block">
\vec p = \alpha \vec E_{ext} = \alpha \vec E^{local}</math>
במשוואה האחרונה החלפנו את סימון השדה החיצוני <math> E_{ext} </math> ב-<math> E^{local} </math>. בבעיה אותה פתרנו, הכדור היה מונח במרחב חופשי. עם זאת, הקיטוביות פותחת בפנינו את האפשרות לחשב את התגובה של מבנים מורכבים, בהם השדה שיפעל על כל חלקיק לא יהיה רק השדה החיצוני, אלא יושפע גם ממבנים שכנים. השדה הלוקאלי <math> E^{local} </math> למעשה מגדיר את השדה שמעורר את החלקיק. זהו השדה הכולל בנקודה שבה מונח החלקיק, למעט השדה שנוצר ישירות על ידי החלקיק עצמו (אבל כולל התרומה של כל הגופים השכנים). נראה דוגמאות לעניין זה בהמשך, כשנדון במערכי חלקיקים.

== שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית ==
בואקום, קיבלנו את משוואת לפלס על ידי השיקולים הבאים:

<math display="block">\begin{cases}
1, & \nabla \times \vec E =0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi \\
2, & \nabla \cdot \epsilon_0 \vec E = \rho = 0
\end{cases}</math>
ולאחר הצבה של (1) ב (2) נקבל:

<math display="block">\nabla^2 \phi=0</math>
כאשר יש לנו חומר מוליך, המקיים את [[פרק 2 - תנאי שפה#המודל לחומר מוליך - חוק אוהם|חוק אוהם]] <math> \vec{J}=\sigma\vec{E}</math> שיכולים לזרום בו זרמים, לא ברור מידית שאנחנו יכולים להניח את הנחה מספר 2 - שאין מטענים חופשיים במוליך, מאחר ויכולים לזרום בו זרמים. במקום זאת, אנו יכולים להשתמש בעובדה שמאחר ומדובר בבעיה סטטית מתקיים

<math display="block">
\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}=0
</math>
וכעת, אם נציב את חוק אוהם נקבל
<math display="block">
\nabla\cdot\vec{J}=\nabla\cdot{\sigma\vec{E}}=\sigma\nabla\cdot{E}=0 \rightarrow \nabla\cdot\vec{E}=0
</math>
ומכאן ניתן, בצירוף הנחה 1, לקבל שוב את משוואת לפלס. חשוב לשים לב שבמעבר האחרון הסתמכנו על כך שהמוליכות אחידה.
במקרה והמוליכות אינה אחידה מתקיים

<math display="block">
\nabla \cdot (\sigma(\vec{r}) \vec E)=0\;\;, \;\;
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=\rho
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla\cdot\vec{J}=0\;\Rightarrow\;\nabla \cdot (\sigma(\vec{r}) \vec E)=\sigma (\nabla \cdot \vec E)+(\nabla \sigma(\vec{r}))\cdot \vec E=0\\
\frac{\rho}{\epsilon_0}\underbrace{=}_{\text{Gauss}}\nabla \cdot \vec E
=-\frac{1}{\sigma}(\nabla \sigma ) \cdot \vec E
\end{cases}
</math>
כלומר במצב סטטי בתוך איזור שמוליכותו לא אחידה חייב להצבר פילוג מטען חופשי, בכל מקום בו המוליכות משתנה (בין אם מדובר בשינוי רציףף ואז נחשב את צפיפות המטען על ידי הפיתוח שניתן כאן, ובין אם מדובר בשינוי דיסקרטי, כלומר קפיצה במוליכות, כמו שנראה בדוגמא הבאה. במקרה זה חישוב פילוג המטען באיזור אי הרציפות יתבצע באמצעות שימוש בתנאי השפה).
=== דוגמא ===
[[File:Pic0810.png|300px|thumb|left|איור 10]]
נתון מבנה גלילי שרדיוסו <math> a </math>. חלקו העליון בגובה <math> h_1 </math> ובמוליכות <math> \sigma_1 </math>. חלקו התחתון בגובה <math> h_2 </math> ובמוליכות <math> \sigma_2 </math>, כמוראה באיור 10. את שפתו העלונה של המבנה מצפים בחומר מוליך ומחברים לפוטנציאל <math> V </math>. את שפתו התחתונה גם כל מצפים בחומר מוליך ומאריקים. יש לחשב את השדות והזרמים במבנה.
המשוואה שעלינו לפתור בתוך האזורים בהם המוליכות לא משתנה היא משוואת לפלס.
תנאי שפה לחוק שימור המטען:

<math display="block">
\hat n \cdot (\vec J_a - \vec J_b) + \nabla_S \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math><math display="block">
\begin{cases}
at\; r=a;\;\;\hat r \cdot \vec J = 0\\
at\; z=h_2;\;\;\hat z \cdot (\vec{J}_1 - \vec{J}_2)=0 \\
\end{cases}
</math>
תנאי שפה לפוטנציאל
<math display="block">
\begin{cases}
\phi_{z=0}=0 \\
\phi_{z=h_1+h_2} = V \\
\phi_1 (z=h_2) = \phi_2 (z=h_2)
\end{cases}
</math>

נבחר בפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">\begin{cases}
\phi_1 = A_1 z+B_1 \\
\phi_2 = A_2 z + B_2 \end{cases}</math>ב <math>z=0</math>:

<math display="block">\phi_2(z=0)=B_2=0
\Rightarrow
\phi_2=A_2 z</math>
לאחר הצבת תנאי שפה נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
\phi_1 = \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2} } \cdot (\frac{\sigma_1}{\sigma_2}-1) h_2 +
\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} z
\\
\phi_2 = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} \frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot z
\end{cases}</math>
תרשים של הפוטנציאל עבור מקרים שונים ניתן לראות באיור 11, ובנוסף, ניתן "לשחק" עם הפרמטרים ב[https://www.desmos.com/calculator/q3hwl0eqhw קישור] .

מה סך הזרם?

<math display="block">\vec E_2 = -\nabla \phi_2 = -\frac{V}{h_1+h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}} \cdot \frac{\sigma_1}{\sigma_2}
\hat z </math><math display="block">\vec J_2 = \sigma_2 \vec E_2</math><math display="block">I = \frac{\sigma_1 V}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\cdot \pi a^2 = \frac{V}{R_{eq}}</math><math display="block">\Rightarrow
R_{eq}^{-1} = \frac{\sigma_1}{h_1 + h_2 \frac{\sigma_1}{\sigma_2}}\pi a^2
\Rightarrow
R_{eq} =
\underbrace{\frac{h_1}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_1}}_
{\text{Resistance of the top part} }
+
\underbrace{\frac{h_2}{\pi a^2 }\cdot\frac{1}{\sigma_2}}_
{\text{Resistance of the bottom part}}</math>

[[File:Pic0811.png|600px|thumb|center|איור 11 - הפוטנציאל בדוגמא]]

</div>

פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות

2023-05-13T11:20:08Z

85.64.114.243: /* יחידות הפתרון (פואסון) */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

== הגדרת הבעיה ==
[[File:Pic601.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב. נביט בתחום כלשהו <math>\mathcal{D}</math>, בו קיימים מטענים שצפיפותם <math>\rho</math> (איור 1). תנאי השפה יכולים להיות להיות באופן כללי נתונים כתנאי שפה דיריכלה על חלק מהשפה, ותנאי שפה נוימן על החלק האחר, ובלבד שמוגדרים על פני כל השפה. ולכן, התאור המלא של הבעיה נתון על ידי משוואות פואסון, ותנאי השפה שהיא צריכה לקיים. באופן כללי, תנאי השפה יכול להיות כזה שעל חלק מהשפה (נכנה את הנקודות האלו <math> r_{B,1} </math>, קו שחור באיור 1) נתון תנאי שפה דיריכלה, ועל חלקה (נכנה אותן <math> r_{B,2} </math>, קו צהוב באיור 1) תנאי נוימן.
<math display="block">
\nabla ^2 \phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
<br>
<math display="block">
\phi(r_{B,1})=f(r_{B,1})
</math>
<br>
<math display="block">
\frac{\partial\phi}{\partial n}_{r=r_{B,2}}=g(r_{B,2})
</math>

כפי שכבר ראינו (לדוגמא בשיטת השיקופים), את הפתרון ניתן לפרק לסכום של פתרון פרטי (הנובע מפילוג המטען הנתון, אך לאו דווקא מקיים את תנאי השפה הדרושים) אותו ניתן לקבל באמצעות סופרפוזיציה, ופתרון הומוגני (פתרון ללא מקורות).
<math display="block">
\phi=\phi_p+\phi_h
</math>
<br>
כאשר הפתרון ההומוגני מקיים את המשוואה ללא המקורות - משוואת לפלאס <math> \nabla ^2 \phi_h=0 </math>.

== תכונות הפתרון ==
=== עקרון המינימום / מקסימום ===
עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת '''לפלאס''' אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} =
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>
<br>
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

=== יחידות הפתרון (פואסון) ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>
ולכן:

<math display="block">
\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 =
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0
</math>
מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">
\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,1}) - \phi_1(r_{B,1}) = 0
\\
\left.\frac{\partial \phi_3}{\partial n}\right|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}
</math>
המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת נוכל להסיק ש-<math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום.
האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

<math display="block">u_E = \iiint_D \frac{\epsilon_0}{2}|\vec E_3|^2 dV</math>

נרצה לקשר את הביטוי ל <math>u_E</math> לערכי <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:
<math display="block">
\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F
</math>
ונקבל:

<math display="block">
\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) =\phi_3 \underbrace{ (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0}
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}
</math>
כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה
<math display="block">\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\frac{\epsilon_0}{2} \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS
</math>
בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">
\Rightarrow
\int \frac{\epsilon_0}{2} |E_3|^2 dV=0 \;\Rightarrow\;
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0
</math>
ומכאן הוכחנו את יחידות הפתרון: בהנתן תנאי שפה, הפתרון הוא פתרון יחיד.

בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח <math> \mathcal{D} </math> אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \frac{\epsilon_0}{2}|E|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} -\frac{\epsilon_0}{2}
\underbrace{\oint_{\partial \mathcal{D}} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as } V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{1}{2} \iiint \rho dV
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math>
<br>
<math display="block">\Rightarrow\;u_E = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\iiint\iiint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>

=== משפט הערך הממוצע ===
משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).
[[File:Pic602.png|200px|thumb|left|איור 2]]
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י
<math display="block">
\phi(r')=\phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right)
</math>
כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו.
כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

<math display="block">
\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' =
</math>
<math display="block">
=\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}}\left[ \phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right) \right]dS'=
</math>
נחליף את סדר האינטגרציה
<math display="block">=
\phi(r) - \int_r^{r'}dR\left[\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E \cdot \hat{R} dS'}_{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}\right]
= \phi(r)</math>

=== ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס ===
משוואת לפלס בקורדינטות קרטזיות היא
<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0
</math>
אם נסתכל על נקודה ספציפית <math> (x,y,z) </math>, נוכל לרשום את ערכי הפוטנציאל בסביבתה ע"י פיתוח של הפוטנציאל לטור טיילור
<br>
<math display="block">
\begin{cases}
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x-\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x,y+\Delta y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y-\Delta y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y,z+\Delta z)=\phi(x,y,z)+ \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... \\
\phi(x,y,z-\Delta z)=\phi(x,y,z)- \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +...
\end{cases}
</math>
נניח ש <math>\Delta x = \Delta y = \Delta z \equiv \Delta</math>. בנוסף נניח ש <math>\Delta</math> הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.
נסכום את כל המשוואות:

<math display="block">
\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta) =
6 \phi(x,y,z) + \Delta^2 \underbrace{\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)}_{=0}
</math>
נחלק ב - 6 ונקבל
<math display="block">\phi(x,y,z) = \frac{1}{6} [\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta)]
</math>
כלומר,
<math>\phi
</math> בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

== פתרון בהפרדת משתנים ==
הפרדת משתנים היא טכניקת לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כאשר פותרים בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה. אפשרויות שונות לצורת התחום במערכות קורדינטות שונות ניתן לראות באיור 3.
<gallery widths=800px heights=350px class="center">
File:Pic603.png|איור 3 - פתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות שונות
</gallery>
== הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות ==
משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy}+\phi_{zz}=0</math>
פתרון בהפרדת משתנים הוא פתרון המורכב ממכפלה של פונקציות, שכל אחת מהן תלויה במשתנה אחד בלבד, מהצורה

<math display="block">
\Phi = X(x) Y(y) Z(z)
</math>
נציב בלפלאס:
<math display="block">X''YZ+XY''Z+XYZ''=0</math>
נחלק ב <math> XYZ </math>, ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{X''}{X}}_{=-k_x^2 \text{ depends only on x}} +
\underbrace{\frac{Y''}{Y}}_{=-k_y^2 \text{ depends only on y}} +
\underbrace{\frac{Z''}{Z}}_{=-k_z^2 \text{ depends only on z}} =0</math>
מאחר וכל אחד מהמחוברים תלוי במשתנה יחיד, ושונה מהמחוברים האחרים, נובע שכל אחד משלושת המחוברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות. הקבועים חייבים לקיים את הקשר
<math display="block">\Rightarrow
k_x^2 + k_y^2 + k_z^2=0</math>
מכאן, הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

<math display="block">(1) \frac{X''}{X}=-k_x^2,\;\;(2) \frac{Y''}{Y}=-k_y^2\;\;(3) \frac{Z''}{Z}=-k_z^2</math>

* הפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">k_x=k_y=k_z=0
\Rightarrow
X''=0,Y''=0,Z''=0</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)</math>

* במקרה הכללי:

<math display="block">\frac{X''}{X}=-k_x^2 \Rightarrow X''+k_x^2 X=0</math>נחלק לשני מקרים:
{| class="wikitable"
|+
!<math>k_x^2>0</math>
!<math>k_x^2<0</math>
|-
|<math>X=A\sin(k_x x)+B\cos(k_x x)</math>
|<math>X=A\cdot e^{\tilde k_x x} + B\cdot e^{-\tilde k_x x}</math>
|}
כאשר <math>k_x \equiv i \tilde k_x</math>.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

<math display="block">
\phi = (A\cos(k_x x)+B\sin(k_x x))\cdot (C\cos(k_y y)+D\sin(k_y y))
\cdot (E\cos(k_z z)+F\sin(k_z z))
</math>
מכיוון ש <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> , חלק מהקבועים חייבים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתרונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

<math display="block">\underbrace{\sum_m k_m^2}_{\text{Trigonometric}} =
\underbrace{\sum_n \tilde k_n^2}_{\text{Exponential}}</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1 ====
[[File:Pic604.png|200px|thumb|left|איור 4]]
באיור 4 נתון קבל לוחות. מתקיים -
* הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>
* התחום ספירבילי
* תנאי שפה: <math>\phi(z=0)=0,\phi(z=d)=V</math>

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

<math display="block">\phi=(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(z=0)=F=0,\phi(z=d)=Ed= V </math><math display="block">\Rightarrow \phi=\frac{V}{d}\cdot z \Rightarrow\vec E = -\nabla \phi =-\frac{V}{d} \hat z</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====
[[File:Pic605.png|200px|thumb|left|איור 5]]

באיור 5 נתון המבנה הבא - חריץ דו-ממדי (אינסופי בכיוון הניצב לדף), ומעליו קובעים את הפוטנציאל על השפה העליונה, <math> \phi(y=a)=V(x) </math>.
נרצה לחשב את הפוטנציאל בתוך החריץ.

מאחר והבעיה דו-ממדית, נצפה שהפוטנציאל כלל לא יהיה תלוי בקורדינטה <math> z </math>, ולכן <math> k_z=0 </math>.
המשוואה שהפוטנציאל מקיים בתוך החריץ היא משוואת לפלאס, ולכן אנו יכולים לבחור את הפתרון מתוך "קטלוג" הפתרונות שפיתחנו לבעיות קרטזיות.

<math display="block">\begin{cases}
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>

תנאי שפה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\
\phi(y=a)=V(x)
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>
כאשר האינטואיציה לבחירת צורה זו נובעת מהעובדה שהפוטנציאל בבעיה זו מתאפס בשתי קורדינטות <math> X </math> שונות, ולכן בכיוון זה חייב להיות פתרון טריגונומטרי. נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}
</math>
עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">
\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x)
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>
ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>
הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא <math> 2d </math>. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא <math> 2d </math>.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>. מאחר ומדובר בפיתוח לטור סינוסים נרחיב את הפונקציה <math> V(x) </math> הנתונה הרחבה אי-זוגית כדי לקבל את <math> \tilde{V}(x) </math>, למחזור של <math> 2d </math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>
נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx</math>מאורתוגונליות:

<math display="block">\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>נקבל:

<math display="block">\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin\left(mx \cdot \frac{\pi}{d}\right) dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m =
\frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot
\frac{1}{\sinh\left[\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1)\right]}\cdot
\sin\left(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d}\right)\cdot
\sinh\left[\frac{(2n-1)\pi}{d}y\right]
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi =
\sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}\left[
\cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \sinh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat x +
\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \cosh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat y
\right]
</math>
<gallery widths=900px heights=450px class="center">
File:Pic607.png| איור 7 - תרשים שדה (אדום) וקווים שווי פוטנציאל (שחור)
</gallery>

באיור 7 ניתן לראות בהגדלה את הפוטנציאל המתקבל בפינות. נשים לב כי אין לנו אפשרות מעשית לסכום אינסוף איברים בטור, ולכן עלינו לקחת מספר סופי של איברים. דבר זה גורם לכך שבאיזורים שבהם בפוטנציאל משתנה ב"חדות" (ובמקרה זה ממש בקפיצה) נוצרות תנודות בגלל סכום סופי זה, ושגיאה מסוימת ביחס לערך הפוטנציאל האמיתי שאמור להתקבל (תופעת גיבס).

'''מה הקיבול?'''

[[File:Pic608b.png|200px|thumb|left|איור 8]]

כדי לחשב את הקיבול, עלינו לחשב את סך המטען על האלקטרודה. עם זאת, צפיפות המטען המשטחית תהיה תלויה גם בשדה בחוץ, אותו כלל לא חישבנו. ניתן להניח שתרומת השדה בחוץ לסך המטען היא זניחה, או לחילופין ניתן להסתכל על המבנה הנתון באיור (8). פתרון השדה בחלק העליון יהיה סימטרי לפתרון בחלק התחתון אותו כבר חישבנו, ולכן נחשב את המטען על האלקטרודה באופן הבא

<math display="block">
\eta = \hat y \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down}\right)=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 \left(-\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)|_{y=a} = ...</math>
<math display="block">...=
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
\cdot \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d}\right)</math>

נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx =
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
</math>

אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל ב"פינות".

בבעיה אמיתית ניתן להניח שקיים רווח קטן, בגודל <math> \delta </math> בין האלקטרודה למעטפת המוליך האידאלי. איננו יודעים כיצד הפוטנציאל משתנה ברווח זה, אך על מנת להעריך את הקיבול ניתן להניח לדוגמא שהפוטנציאל משתנה לינארית בקירוב במרווח. באיור (9) אנו מציגים גרף מקורב של הקיבול כתלות במרווח עבור מימדים שונים של המבנה.

[[File:Pic609.png|400px|thumb|left|איור 9 - גרף מקורב לקיבול]]

פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות

2023-05-13T11:19:25Z

85.64.114.243: /* הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

== הגדרת הבעיה ==
[[File:Pic601.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב. נביט בתחום כלשהו <math>\mathcal{D}</math>, בו קיימים מטענים שצפיפותם <math>\rho</math> (איור 1). תנאי השפה יכולים להיות להיות באופן כללי נתונים כתנאי שפה דיריכלה על חלק מהשפה, ותנאי שפה נוימן על החלק האחר, ובלבד שמוגדרים על פני כל השפה. ולכן, התאור המלא של הבעיה נתון על ידי משוואות פואסון, ותנאי השפה שהיא צריכה לקיים. באופן כללי, תנאי השפה יכול להיות כזה שעל חלק מהשפה (נכנה את הנקודות האלו <math> r_{B,1} </math>, קו שחור באיור 1) נתון תנאי שפה דיריכלה, ועל חלקה (נכנה אותן <math> r_{B,2} </math>, קו צהוב באיור 1) תנאי נוימן.
<math display="block">
\nabla ^2 \phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
<br>
<math display="block">
\phi(r_{B,1})=f(r_{B,1})
</math>
<br>
<math display="block">
\frac{\partial\phi}{\partial n}_{r=r_{B,2}}=g(r_{B,2})
</math>

כפי שכבר ראינו (לדוגמא בשיטת השיקופים), את הפתרון ניתן לפרק לסכום של פתרון פרטי (הנובע מפילוג המטען הנתון, אך לאו דווקא מקיים את תנאי השפה הדרושים) אותו ניתן לקבל באמצעות סופרפוזיציה, ופתרון הומוגני (פתרון ללא מקורות).
<math display="block">
\phi=\phi_p+\phi_h
</math>
<br>
כאשר הפתרון ההומוגני מקיים את המשוואה ללא המקורות - משוואת לפלאס <math> \nabla ^2 \phi_h=0 </math>.

== תכונות הפתרון ==
=== עקרון המינימום / מקסימום ===
עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת '''לפלאס''' אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} =
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>
<br>
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

=== יחידות הפתרון (פואסון) ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>
ולכן:

<math display="block">
\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 =
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0
</math>
מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">
\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,1}) - \phi_1(r_{B,1}) = 0
\\
\left.\frac{\partial \phi_3}{\partial n}\right|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}
</math>
המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת נוכל להסיק ש-<math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום.
האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

<math display="block">u_E = \iiint_D \frac{\epsilon_0}{2}|\vec E_3|^2 dV</math>

נרצה לקשר את הביטוי ל <math>u_E</math> לערכי <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:
<math display="block">
\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F
</math>
ונקבל:

<math display="block">
\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) =\phi_3 \underbrace{ (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0}
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}
</math>
כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה
<math display="block">\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\frac{\epsilon_0}{2} \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS
</math>
בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">
\Rightarrow
\int \frac{\epsilon_0}{2} |E_3|^2 dV=0 \;\Rightarrow\;
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0
</math>
ומכאן הוכנו את יחידות הפתרון: בהנתן תנאי שפה, הפתרון הוא פתרון יחיד.

בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח <math> \mathcal{D} </math> אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \frac{\epsilon_0}{2}|E|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} -\frac{\epsilon_0}{2}
\underbrace{\oint_{\partial \mathcal{D}} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as } V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{1}{2} \iiint \rho dV
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math>
<br>
<math display="block">\Rightarrow\;u_E = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\iiint\iiint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>

=== משפט הערך הממוצע ===
משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).
[[File:Pic602.png|200px|thumb|left|איור 2]]
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י
<math display="block">
\phi(r')=\phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right)
</math>
כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו.
כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

<math display="block">
\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' =
</math>
<math display="block">
=\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}}\left[ \phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right) \right]dS'=
</math>
נחליף את סדר האינטגרציה
<math display="block">=
\phi(r) - \int_r^{r'}dR\left[\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E \cdot \hat{R} dS'}_{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}\right]
= \phi(r)</math>

=== ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס ===
משוואת לפלס בקורדינטות קרטזיות היא
<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0
</math>
אם נסתכל על נקודה ספציפית <math> (x,y,z) </math>, נוכל לרשום את ערכי הפוטנציאל בסביבתה ע"י פיתוח של הפוטנציאל לטור טיילור
<br>
<math display="block">
\begin{cases}
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x-\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x,y+\Delta y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y-\Delta y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y,z+\Delta z)=\phi(x,y,z)+ \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... \\
\phi(x,y,z-\Delta z)=\phi(x,y,z)- \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +...
\end{cases}
</math>
נניח ש <math>\Delta x = \Delta y = \Delta z \equiv \Delta</math>. בנוסף נניח ש <math>\Delta</math> הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.
נסכום את כל המשוואות:

<math display="block">
\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta) =
6 \phi(x,y,z) + \Delta^2 \underbrace{\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)}_{=0}
</math>
נחלק ב - 6 ונקבל
<math display="block">\phi(x,y,z) = \frac{1}{6} [\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta)]
</math>
כלומר,
<math>\phi
</math> בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

== פתרון בהפרדת משתנים ==
הפרדת משתנים היא טכניקת לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כאשר פותרים בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה. אפשרויות שונות לצורת התחום במערכות קורדינטות שונות ניתן לראות באיור 3.
<gallery widths=800px heights=350px class="center">
File:Pic603.png|איור 3 - פתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות שונות
</gallery>
== הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות ==
משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy}+\phi_{zz}=0</math>
פתרון בהפרדת משתנים הוא פתרון המורכב ממכפלה של פונקציות, שכל אחת מהן תלויה במשתנה אחד בלבד, מהצורה

<math display="block">
\Phi = X(x) Y(y) Z(z)
</math>
נציב בלפלאס:
<math display="block">X''YZ+XY''Z+XYZ''=0</math>
נחלק ב <math> XYZ </math>, ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{X''}{X}}_{=-k_x^2 \text{ depends only on x}} +
\underbrace{\frac{Y''}{Y}}_{=-k_y^2 \text{ depends only on y}} +
\underbrace{\frac{Z''}{Z}}_{=-k_z^2 \text{ depends only on z}} =0</math>
מאחר וכל אחד מהמחוברים תלוי במשתנה יחיד, ושונה מהמחוברים האחרים, נובע שכל אחד משלושת המחוברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות. הקבועים חייבים לקיים את הקשר
<math display="block">\Rightarrow
k_x^2 + k_y^2 + k_z^2=0</math>
מכאן, הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

<math display="block">(1) \frac{X''}{X}=-k_x^2,\;\;(2) \frac{Y''}{Y}=-k_y^2\;\;(3) \frac{Z''}{Z}=-k_z^2</math>

* הפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">k_x=k_y=k_z=0
\Rightarrow
X''=0,Y''=0,Z''=0</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)</math>

* במקרה הכללי:

<math display="block">\frac{X''}{X}=-k_x^2 \Rightarrow X''+k_x^2 X=0</math>נחלק לשני מקרים:
{| class="wikitable"
|+
!<math>k_x^2>0</math>
!<math>k_x^2<0</math>
|-
|<math>X=A\sin(k_x x)+B\cos(k_x x)</math>
|<math>X=A\cdot e^{\tilde k_x x} + B\cdot e^{-\tilde k_x x}</math>
|}
כאשר <math>k_x \equiv i \tilde k_x</math>.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

<math display="block">
\phi = (A\cos(k_x x)+B\sin(k_x x))\cdot (C\cos(k_y y)+D\sin(k_y y))
\cdot (E\cos(k_z z)+F\sin(k_z z))
</math>
מכיוון ש <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> , חלק מהקבועים חייבים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתרונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

<math display="block">\underbrace{\sum_m k_m^2}_{\text{Trigonometric}} =
\underbrace{\sum_n \tilde k_n^2}_{\text{Exponential}}</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1 ====
[[File:Pic604.png|200px|thumb|left|איור 4]]
באיור 4 נתון קבל לוחות. מתקיים -
* הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>
* התחום ספירבילי
* תנאי שפה: <math>\phi(z=0)=0,\phi(z=d)=V</math>

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

<math display="block">\phi=(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(z=0)=F=0,\phi(z=d)=Ed= V </math><math display="block">\Rightarrow \phi=\frac{V}{d}\cdot z \Rightarrow\vec E = -\nabla \phi =-\frac{V}{d} \hat z</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====
[[File:Pic605.png|200px|thumb|left|איור 5]]

באיור 5 נתון המבנה הבא - חריץ דו-ממדי (אינסופי בכיוון הניצב לדף), ומעליו קובעים את הפוטנציאל על השפה העליונה, <math> \phi(y=a)=V(x) </math>.
נרצה לחשב את הפוטנציאל בתוך החריץ.

מאחר והבעיה דו-ממדית, נצפה שהפוטנציאל כלל לא יהיה תלוי בקורדינטה <math> z </math>, ולכן <math> k_z=0 </math>.
המשוואה שהפוטנציאל מקיים בתוך החריץ היא משוואת לפלאס, ולכן אנו יכולים לבחור את הפתרון מתוך "קטלוג" הפתרונות שפיתחנו לבעיות קרטזיות.

<math display="block">\begin{cases}
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>

תנאי שפה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\
\phi(y=a)=V(x)
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>
כאשר האינטואיציה לבחירת צורה זו נובעת מהעובדה שהפוטנציאל בבעיה זו מתאפס בשתי קורדינטות <math> X </math> שונות, ולכן בכיוון זה חייב להיות פתרון טריגונומטרי. נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}
</math>
עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">
\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x)
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>
ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>
הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא <math> 2d </math>. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא <math> 2d </math>.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>. מאחר ומדובר בפיתוח לטור סינוסים נרחיב את הפונקציה <math> V(x) </math> הנתונה הרחבה אי-זוגית כדי לקבל את <math> \tilde{V}(x) </math>, למחזור של <math> 2d </math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>
נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx</math>מאורתוגונליות:

<math display="block">\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>נקבל:

<math display="block">\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin\left(mx \cdot \frac{\pi}{d}\right) dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m =
\frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot
\frac{1}{\sinh\left[\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1)\right]}\cdot
\sin\left(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d}\right)\cdot
\sinh\left[\frac{(2n-1)\pi}{d}y\right]
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi =
\sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}\left[
\cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \sinh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat x +
\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \cosh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat y
\right]
</math>
<gallery widths=900px heights=450px class="center">
File:Pic607.png| איור 7 - תרשים שדה (אדום) וקווים שווי פוטנציאל (שחור)
</gallery>

באיור 7 ניתן לראות בהגדלה את הפוטנציאל המתקבל בפינות. נשים לב כי אין לנו אפשרות מעשית לסכום אינסוף איברים בטור, ולכן עלינו לקחת מספר סופי של איברים. דבר זה גורם לכך שבאיזורים שבהם בפוטנציאל משתנה ב"חדות" (ובמקרה זה ממש בקפיצה) נוצרות תנודות בגלל סכום סופי זה, ושגיאה מסוימת ביחס לערך הפוטנציאל האמיתי שאמור להתקבל (תופעת גיבס).

'''מה הקיבול?'''

[[File:Pic608b.png|200px|thumb|left|איור 8]]

כדי לחשב את הקיבול, עלינו לחשב את סך המטען על האלקטרודה. עם זאת, צפיפות המטען המשטחית תהיה תלויה גם בשדה בחוץ, אותו כלל לא חישבנו. ניתן להניח שתרומת השדה בחוץ לסך המטען היא זניחה, או לחילופין ניתן להסתכל על המבנה הנתון באיור (8). פתרון השדה בחלק העליון יהיה סימטרי לפתרון בחלק התחתון אותו כבר חישבנו, ולכן נחשב את המטען על האלקטרודה באופן הבא

<math display="block">
\eta = \hat y \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down}\right)=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 \left(-\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)|_{y=a} = ...</math>
<math display="block">...=
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
\cdot \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d}\right)</math>

נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx =
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
</math>

אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל ב"פינות".

בבעיה אמיתית ניתן להניח שקיים רווח קטן, בגודל <math> \delta </math> בין האלקטרודה למעטפת המוליך האידאלי. איננו יודעים כיצד הפוטנציאל משתנה ברווח זה, אך על מנת להעריך את הקיבול ניתן להניח לדוגמא שהפוטנציאל משתנה לינארית בקירוב במרווח. באיור (9) אנו מציגים גרף מקורב של הקיבול כתלות במרווח עבור מימדים שונים של המבנה.

[[File:Pic609.png|400px|thumb|left|איור 9 - גרף מקורב לקיבול]]

פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות

2023-05-13T11:19:03Z

85.64.114.243: /* הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

== הגדרת הבעיה ==
[[File:Pic601.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב. נביט בתחום כלשהו <math>\mathcal{D}</math>, בו קיימים מטענים שצפיפותם <math>\rho</math> (איור 1). תנאי השפה יכולים להיות להיות באופן כללי נתונים כתנאי שפה דיריכלה על חלק מהשפה, ותנאי שפה נוימן על החלק האחר, ובלבד שמוגדרים על פני כל השפה. ולכן, התאור המלא של הבעיה נתון על ידי משוואות פואסון, ותנאי השפה שהיא צריכה לקיים. באופן כללי, תנאי השפה יכול להיות כזה שעל חלק מהשפה (נכנה את הנקודות האלו <math> r_{B,1} </math>, קו שחור באיור 1) נתון תנאי שפה דיריכלה, ועל חלקה (נכנה אותן <math> r_{B,2} </math>, קו צהוב באיור 1) תנאי נוימן.
<math display="block">
\nabla ^2 \phi=-\frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
<br>
<math display="block">
\phi(r_{B,1})=f(r_{B,1})
</math>
<br>
<math display="block">
\frac{\partial\phi}{\partial n}_{r=r_{B,2}}=g(r_{B,2})
</math>

כפי שכבר ראינו (לדוגמא בשיטת השיקופים), את הפתרון ניתן לפרק לסכום של פתרון פרטי (הנובע מפילוג המטען הנתון, אך לאו דווקא מקיים את תנאי השפה הדרושים) אותו ניתן לקבל באמצעות סופרפוזיציה, ופתרון הומוגני (פתרון ללא מקורות).
<math display="block">
\phi=\phi_p+\phi_h
</math>
<br>
כאשר הפתרון ההומוגני מקיים את המשוואה ללא המקורות - משוואת לפלאס <math> \nabla ^2 \phi_h=0 </math>.

== תכונות הפתרון ==
=== עקרון המינימום / מקסימום ===
עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת '''לפלאס''' אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} =
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>
<br>
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

=== יחידות הפתרון (פואסון) ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>
ולכן:

<math display="block">
\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 =
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0
</math>
מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">
\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,1}) - \phi_1(r_{B,1}) = 0
\\
\left.\frac{\partial \phi_3}{\partial n}\right|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}
</math>
המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת נוכל להסיק ש-<math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום.
האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

<math display="block">u_E = \iiint_D \frac{\epsilon_0}{2}|\vec E_3|^2 dV</math>

נרצה לקשר את הביטוי ל <math>u_E</math> לערכי <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:
<math display="block">
\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F
</math>
ונקבל:

<math display="block">
\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) =\phi_3 \underbrace{ (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0}
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}
</math>
כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה
<math display="block">\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\frac{\epsilon_0}{2} \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS
</math>
בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">
\Rightarrow
\int \frac{\epsilon_0}{2} |E_3|^2 dV=0 \;\Rightarrow\;
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0
</math>
ומכאן הוכנו את יחידות הפתרון: בהנתן תנאי שפה, הפתרון הוא פתרון יחיד.

בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח <math> \mathcal{D} </math> אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \frac{\epsilon_0}{2}|E|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} -\frac{\epsilon_0}{2}
\underbrace{\oint_{\partial \mathcal{D}} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as } V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{1}{2} \iiint \rho dV
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math>
<br>
<math display="block">\Rightarrow\;u_E = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}
\iiint\iiint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>

=== משפט הערך הממוצע ===
משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).
[[File:Pic602.png|200px|thumb|left|איור 2]]
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י
<math display="block">
\phi(r')=\phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right)
</math>
כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו.
כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

<math display="block">
\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' =
</math>
<math display="block">
=\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}}\left[ \phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right) \right]dS'=
</math>
נחליף את סדר האינטגרציה
<math display="block">=
\phi(r) - \int_r^{r'}dR\left[\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E \cdot \hat{R} dS'}_{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}\right]
= \phi(r)</math>

=== ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס ===
משוואת לפלס בקורדינטות קרטזיות היא
<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0
</math>
אם נסתכל על נקודה ספציפית <math> (x,y,z) </math>, נוכל לרשום את ערכי הפוטנציאל בסביבתה ע"י פיתוח של הפוטנציאל לטור טיילור
<br>
<math display="block">
\begin{cases}
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x-\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x,y+\Delta y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y-\Delta y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y,z+\Delta z)=\phi(x,y,z)+ \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... \\
\phi(x,y,z-\Delta z)=\phi(x,y,z)- \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +...
\end{cases}
</math>
נניח ש <math>\Delta x = \Delta y = \Delta z \equiv \Delta</math>. בנוסף נניח ש <math>\Delta</math> הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.
נסכום את כל המשוואות:

<math display="block">
\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta) =
6 \phi(x,y,z) + \Delta^2 \underbrace{\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)}_{=0}
</math>
נחלק ב - 6 ונקבל
<math display="block">\phi(x,y,z) = \frac{1}{6} [\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta)]
</math>
כלומר,
<math>\phi
</math> בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

== פתרון בהפרדת משתנים ==
הפרדת משתנים היא טכניקת לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות כאשר פותרים בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה. אפשרויות שונות לצורת התחום במערכות קורדינטות שונות ניתן לראות באיור 3.
<gallery widths=800px heights=350px class="center">
File:Pic603.png|איור 3 - פתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות שונות
</gallery>
== הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות ==
משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy}+\phi_{zz}=0</math>
פתרון בהפרדת משתנים הוא פתרון המורכב ממכפלה של פונקציות, שכל אחת מהן תלויה במשתנה אחד בלבד, מהצורה

<math display="block">
\Phi = X(x) Y(y) Z(z)
</math>
נציב בלפלאס:
<math display="block">X''YZ+XY''Z+XYZ''=0</math>
נחלק ב <math> XYZ </math>, ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{X''}{X}}_{=-k_x^2 \text{ depends only on x}} +
\underbrace{\frac{Y''}{Y}}_{=-k_y^2 \text{ depends only on y}} +
\underbrace{\frac{Z''}{Z}}_{=-k_z^2 \text{ depends only on z}} =0</math>
מאחר וכל אחד מהמחוברים תלוי במשתנה יחיד, ושונה מהמחוברים האחרים, נובע שכל אחד משלושת המחברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות. הקבועים חייבים לקיים את הקשר
<math display="block">\Rightarrow
k_x^2 + k_y^2 + k_z^2=0</math>
מכאן, הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

<math display="block">(1) \frac{X''}{X}=-k_x^2,\;\;(2) \frac{Y''}{Y}=-k_y^2\;\;(3) \frac{Z''}{Z}=-k_z^2</math>

* הפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">k_x=k_y=k_z=0
\Rightarrow
X''=0,Y''=0,Z''=0</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)</math>

* במקרה הכללי:

<math display="block">\frac{X''}{X}=-k_x^2 \Rightarrow X''+k_x^2 X=0</math>נחלק לשני מקרים:
{| class="wikitable"
|+
!<math>k_x^2>0</math>
!<math>k_x^2<0</math>
|-
|<math>X=A\sin(k_x x)+B\cos(k_x x)</math>
|<math>X=A\cdot e^{\tilde k_x x} + B\cdot e^{-\tilde k_x x}</math>
|}
כאשר <math>k_x \equiv i \tilde k_x</math>.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

<math display="block">
\phi = (A\cos(k_x x)+B\sin(k_x x))\cdot (C\cos(k_y y)+D\sin(k_y y))
\cdot (E\cos(k_z z)+F\sin(k_z z))
</math>
מכיוון ש <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> , חלק מהקבועים חייבים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתרונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

<math display="block">\underbrace{\sum_m k_m^2}_{\text{Trigonometric}} =
\underbrace{\sum_n \tilde k_n^2}_{\text{Exponential}}</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1 ====
[[File:Pic604.png|200px|thumb|left|איור 4]]
באיור 4 נתון קבל לוחות. מתקיים -
* הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>
* התחום ספירבילי
* תנאי שפה: <math>\phi(z=0)=0,\phi(z=d)=V</math>

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

<math display="block">\phi=(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(z=0)=F=0,\phi(z=d)=Ed= V </math><math display="block">\Rightarrow \phi=\frac{V}{d}\cdot z \Rightarrow\vec E = -\nabla \phi =-\frac{V}{d} \hat z</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====
[[File:Pic605.png|200px|thumb|left|איור 5]]

באיור 5 נתון המבנה הבא - חריץ דו-ממדי (אינסופי בכיוון הניצב לדף), ומעליו קובעים את הפוטנציאל על השפה העליונה, <math> \phi(y=a)=V(x) </math>.
נרצה לחשב את הפוטנציאל בתוך החריץ.

מאחר והבעיה דו-ממדית, נצפה שהפוטנציאל כלל לא יהיה תלוי בקורדינטה <math> z </math>, ולכן <math> k_z=0 </math>.
המשוואה שהפוטנציאל מקיים בתוך החריץ היא משוואת לפלאס, ולכן אנו יכולים לבחור את הפתרון מתוך "קטלוג" הפתרונות שפיתחנו לבעיות קרטזיות.

<math display="block">\begin{cases}
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>

תנאי שפה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\
\phi(y=a)=V(x)
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>
כאשר האינטואיציה לבחירת צורה זו נובעת מהעובדה שהפוטנציאל בבעיה זו מתאפס בשתי קורדינטות <math> X </math> שונות, ולכן בכיוון זה חייב להיות פתרון טריגונומטרי. נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases}
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}
</math>
עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">
\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x)
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>
ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>
הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא <math> 2d </math>. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא <math> 2d </math>.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>. מאחר ומדובר בפיתוח לטור סינוסים נרחיב את הפונקציה <math> V(x) </math> הנתונה הרחבה אי-זוגית כדי לקבל את <math> \tilde{V}(x) </math>, למחזור של <math> 2d </math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>
נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx</math>מאורתוגונליות:

<math display="block">\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>נקבל:

<math display="block">\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin\left(mx \cdot \frac{\pi}{d}\right) dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m =
\frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot
\frac{1}{\sinh\left[\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1)\right]}\cdot
\sin\left(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d}\right)\cdot
\sinh\left[\frac{(2n-1)\pi}{d}y\right]
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi =
\sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}\left[
\cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \sinh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat x +
\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \cosh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat y
\right]
</math>
<gallery widths=900px heights=450px class="center">
File:Pic607.png| איור 7 - תרשים שדה (אדום) וקווים שווי פוטנציאל (שחור)
</gallery>

באיור 7 ניתן לראות בהגדלה את הפוטנציאל המתקבל בפינות. נשים לב כי אין לנו אפשרות מעשית לסכום אינסוף איברים בטור, ולכן עלינו לקחת מספר סופי של איברים. דבר זה גורם לכך שבאיזורים שבהם בפוטנציאל משתנה ב"חדות" (ובמקרה זה ממש בקפיצה) נוצרות תנודות בגלל סכום סופי זה, ושגיאה מסוימת ביחס לערך הפוטנציאל האמיתי שאמור להתקבל (תופעת גיבס).

'''מה הקיבול?'''

[[File:Pic608b.png|200px|thumb|left|איור 8]]

כדי לחשב את הקיבול, עלינו לחשב את סך המטען על האלקטרודה. עם זאת, צפיפות המטען המשטחית תהיה תלויה גם בשדה בחוץ, אותו כלל לא חישבנו. ניתן להניח שתרומת השדה בחוץ לסך המטען היא זניחה, או לחילופין ניתן להסתכל על המבנה הנתון באיור (8). פתרון השדה בחלק העליון יהיה סימטרי לפתרון בחלק התחתון אותו כבר חישבנו, ולכן נחשב את המטען על האלקטרודה באופן הבא

<math display="block">
\eta = \hat y \cdot \left(\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down}\right)=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 \left(-\frac{\partial \phi}{\partial y}\right)|_{y=a} = ...</math>
<math display="block">...=
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
\cdot \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d}\right)</math>

נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx =
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth\left(\frac{(2n-1)\pi a}{d}\right)
</math>

אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל ב"פינות".

בבעיה אמיתית ניתן להניח שקיים רווח קטן, בגודל <math> \delta </math> בין האלקטרודה למעטפת המוליך האידאלי. איננו יודעים כיצד הפוטנציאל משתנה ברווח זה, אך על מנת להעריך את הקיבול ניתן להניח לדוגמא שהפוטנציאל משתנה לינארית בקירוב במרווח. באיור (9) אנו מציגים גרף מקורב של הקיבול כתלות במרווח עבור מימדים שונים של המבנה.

[[File:Pic609.png|400px|thumb|left|איור 9 - גרף מקורב לקיבול]]

פרק 0 - מבוא מתמטי

2023-03-13T18:51:19Z

85.64.114.243: /* הגדרת הדיברגנץ */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 0 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

== מערכת קורדינטות אורתוגונלית ==
נגדיר 3 פונקציות
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
u_1(x,y,z),\;u_2(x,y,z),\;u_3(x,y,z)
</math>
</div>
אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות <math> u_i(x,y,z)=u_{i,0} </math>) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים <math> \hat{u_i} </math> מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה <math> u_i </math> כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.
[[File:C0f1.png|left|thumb|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]

=== יחסים מטריים ===
אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}
</math>
</div>
שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> \vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_1}\right|du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}\right| \Longrightarrow h_1=\left[ \left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)^2 \right]^{1/2}
</math>
</div>
את היחסים המטריים <math> h_2,h_3 </math> ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}+h_2du_2\widehat{u_2}+h_3du_3\widehat{u_3}
</math>
</div>
וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות באמצעות קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dS=h_2du_2h_3du_3=d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>
כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות <math> d\ell_2,d\ell_3 </math> (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dV=h_1du_1h_2du_2h_3du_3=d\ell_1d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>

=== דוגמא - קורדינטות גליליות ===
קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\ z=z \end{matrix} \right.</math>
</div>
נחשב את היחסים המטריים ונקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\begin{matrix}
h_r=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial r} \right)^2 \right]^{1/2}=1\;\Rightarrow\;d\ell_r=dr \\
h_{\varphi}=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi} \right)^2 \right]^{1/2}=r\;\Rightarrow\;d\ell_{\varphi}=rd\varphi \\
h_z=1\;\Rightarrow\;d\ell_z=dz
\end{matrix}
</math>
</div>

== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==

=== הגדרת הדיברגנץ ===
[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
<math>
\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שטף השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left. div(\vec{F})\right|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות <math> u_1,u_1+du_1 </math> בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left.\vec{F}(u_1)\cdot(-\widehat{u_1})d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1}+\left.\vec{F}(u_1+du_1)\cdot\widehat{u_1}d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1+du_1}
</math>
</div>
בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא <math> dV=d\ell_1d\ell_2d\ell_3 </math>, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\frac{1}{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)
</math>
</div>
ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
div\left(\vec{F}\right)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2\vec{F}\cdot\widehat{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

=== הגדרת הרוטור (Curl) ===
נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da
</math>
</div>
נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין '''ההיטל''' של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\hat{n}\cdot curl(\vec{F})da
</math>
</div>
כיצד לבחור את <math> \hat{n} </math> בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר <math> \hat{n} </math> הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
curl(\vec{F})=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\hat{n}\left[\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}\right]_{max}
</math>
</div>
אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, <math> u_1,u_2,u_3 </math> אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי <math> \widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3} </math>. לדוגמא, עבור הרכיב <math> \widehat{u_1} </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\left[ \int_{AB}+\int_{CD} \right]+\left[ \int_{BC}+\int_{DA} \right]...=\frac{1}{h_2h_3}\left[-\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_2F_{u_2}\right) +\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3F_{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.

== דיברגנץ משטחי ==
נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדים ע"י:

<math display="block">\begin{cases}
S+dS_u = [X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]
\\
S+dS_v = [X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow

\begin{cases}
dS_u = [X(u+du,v) - X(u,v),Y(u+du,v) - Y(u,v),Z(u+du,v) - Z(u,v)]

\\
dS_v = [X(u,v+dv) - X(u,v),Y(u,v+dv) - Y(u,v),Z(u,v+dv) - Z(u,v)]
\end{cases}</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
dS_u = [\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}] du
\\
dS_v = [\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}] dv
\end{cases}
</math>כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

<math display="block">\begin{cases}
||dS_u||=h_u du
\\
||dS_v||=h_v dv
\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}
h_u = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial u})^2 }
\\
h_v = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial v})^2 }

\end{cases}

</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>
[[File:Wiki0New.png|500px|thumb|center|תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv]]
כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv +
F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du - F_v - F_v(u,v)h_u(u,v)du</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\psi = \oint_l F\cdot \hat n_l dl =
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) dudv +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v) dudv =</math><math display="block">=
\underbrace{
\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסתכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla_s \cdot F =
\frac{1}{h_u h_v}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)]
\\
\nabla \cdot F = \frac{1}{h_u h_v h_w}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v h_w F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_w F_v)
+ \frac{\partial}{\partial w}(h_u h_v F_w)]
\end{cases}</math>כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">h_w=const</math>תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.
</div>

פרק 0 - מבוא מתמטי

2023-03-12T20:14:00Z

85.64.114.243: /* יחסים מטריים */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 0 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

== מערכת קורדינטות אורתוגונלית ==
נגדיר 3 פונקציות
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
u_1(x,y,z),\;u_2(x,y,z),\;u_3(x,y,z)
</math>
</div>
אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות <math> u_i(x,y,z)=u_{i,0} </math>) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים <math> \hat{u_i} </math> מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה <math> u_i </math> כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.
[[File:C0f1.png|left|thumb|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]

=== יחסים מטריים ===
אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}
</math>
</div>
שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> \vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_1}\right|du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}\right| \Longrightarrow h_1=\left[ \left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)^2 \right]^{1/2}
</math>
</div>
את היחסים המטריים <math> h_2,h_3 </math> ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}+h_2du_2\widehat{u_2}+h_3du_3\widehat{u_3}
</math>
</div>
וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות באמצעות קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dS=h_2du_2h_3du_3=d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>
כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות <math> d\ell_2,d\ell_3 </math> (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dV=h_1du_1h_2du_2h_3du_3=d\ell_1d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>

=== דוגמא - קורדינטות גליליות ===
קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\ z=z \end{matrix} \right.</math>
</div>
נחשב את היחסים המטריים ונקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\begin{matrix}
h_r=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial r} \right)^2 \right]^{1/2}=1\;\Rightarrow\;d\ell_r=dr \\
h_{\varphi}=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi} \right)^2 \right]^{1/2}=r\;\Rightarrow\;d\ell_{\varphi}=rd\varphi \\
h_z=1\;\Rightarrow\;d\ell_z=dz
\end{matrix}
</math>
</div>

== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==

=== הגדרת הדיברגנץ ===
[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
<math>
\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שדה השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left. div(\vec{F})\right|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות <math> u_1,u_1+du_1 </math> בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left.\vec{F}(u_1)\cdot(-\widehat{u_1})d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1}+\left.\vec{F}(u_1+du_1)\cdot\widehat{u_1}d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1+du_1}
</math>
</div>
בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא <math> dV=d\ell_1d\ell_2d\ell_3 </math>, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\frac{1}{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)
</math>
</div>
ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
div\left(\vec{F}\right)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2\vec{F}\cdot\widehat{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

=== הגדרת הרוטור (Curl) ===
נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da
</math>
</div>
נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין '''ההיטל''' של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\hat{n}\cdot curl(\vec{F})da
</math>
</div>
כיצד לבחור את <math> \hat{n} </math> בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר <math> \hat{n} </math> הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
curl(\vec{F})=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\hat{n}\left[\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}\right]_{max}
</math>
</div>
אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, <math> u_1,u_2,u_3 </math> אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי <math> \widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3} </math>. לדוגמא, עבור הרכיב <math> \widehat{u_1} </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\left[ \int_{AB}+\int_{CD} \right]+\left[ \int_{BC}+\int_{DA} \right]...=\frac{1}{h_2h_3}\left[-\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_2F_{u_2}\right) +\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3F_{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.

== דיברגנץ משטחי ==
נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדים ע"י:

<math display="block">\begin{cases}
S+dS_u = [X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]
\\
S+dS_v = [X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow

\begin{cases}
dS_u = [X(u+du,v) - X(u,v),Y(u+du,v) - Y(u,v),Z(u+du,v) - Z(u,v)]

\\
dS_v = [X(u,v+dv) - X(u,v),Y(u,v+dv) - Y(u,v),Z(u,v+dv) - Z(u,v)]
\end{cases}</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
dS_u = [\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}] du
\\
dS_v = [\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}] dv
\end{cases}
</math>כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

<math display="block">\begin{cases}
||dS_u||=h_u du
\\
||dS_v||=h_v dv
\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}
h_u = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial u})^2 }
\\
h_v = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial v})^2 }

\end{cases}

</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>
[[File:Wiki0New.png|500px|thumb|center|תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv]]
כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv +
F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du - F_v - F_v(u,v)h_u(u,v)du</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\psi = \oint_l F\cdot \hat n_l dl =
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) dudv +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v) dudv =</math><math display="block">=
\underbrace{
\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסטכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla_s \cdot F =
\frac{1}{h_u h_v}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)]
\\
\nabla \cdot F = \frac{1}{h_u h_v h_w}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v h_w F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_w F_v)
+ \frac{\partial}{\partial w}(h_u h_v F_w)]
\end{cases}</math>כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">h_w=const</math>תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.
</div>