פרק 13 - אנרגיה

2025-05-05T06:37:47Z

EMFWIKIAdmin: /* הספק פולריזציה (איור 2) */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== אנרגיה ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
לצורך כך, נביט על:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>W_H</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>W_E</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות (איור 1) ===
[[File:Pic1301.png|300px|thumb|left|איור 1]]

במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה (איור 2) ===
[[File:Pic1302.png|500px|thumb|center|איור 2]]
אם נסתכל על מקרה של חומר פסיבי, המתואר בצד שמאל של איור 2, ונחשב את העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה מ-0 עד לערך מסוים, ע"י
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>
נקבל ערך חיובי. אם כעת נחזור חזרה למצב ללא פולריזציה נקבל <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.
לעומת זאת, בחומר המאופיין על ידי לולאת היסטרזיס, כפי שמתואר בצד ימין של איור 2, העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה לא "מוחזרת" במלואה כאשר הפולריזציה יורדת חזרה. מאחר והאינטגרציה בשני הכיוונים מתבצעת על קווים שונים בתרשים (כתום וכחול, או צהוב וכחול, כתלות במצב ההתחלתי).

במקרה מחזורי
<math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>,
ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה
<math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>
אם
<math>\chi_E </math>
לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2 </math>
ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.
<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material} </math>

=== הספק מגנטי ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את ההספק המגנטי:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:
<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>

פרק 5 - אלקטרוסטטיקה

2025-05-05T06:12:31Z

EMFWIKIAdmin: /* דוגמא - משטח אינסופי טעון בצפיפות אחידה */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

כפי שראינו כאשר דיברנו על קוואזיסטטיקה, הפתרון הסטטי מהווה את היסוד לטור הקוואזיסטטי, ולכן מתוכו ניתן לבנות פתרון לבעיה בה יש תלות כלשהי בזמן. מכאן ניתן להבין שיש חשיבות רבה לבניית הפתרון הסטטי

== סופרפוזיציה ==
[[File:Pic501.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עקרון הסופרפוזיציה תקף לגבי כל מערכת המוגדרת ע"י אופרטור לינארי.

משוואות מקסוול הן לינאריות, ולכן, בהינתן פיתרון לבעיה 1:

<math display="block">\vec J_1,\rho_1\Rightarrow \vec E_1, \vec H_1</math>

ופיתרון לבעיה 2:

<math display="block">\vec J_2,\rho_2\Rightarrow \vec E_2, \vec H_2</math>

הפיתרון לבעיה המשותפת (כלומר כאשר המקור הוא סכום המקורות של הבעיות הקודמות) של בעיה 1 ו- 2, הינה:

<math display="block">\vec J_1+J_2,\rho_1+\rho_2\Rightarrow \vec E_1+\vec E_2, \vec H_1 + \vec H_2</math>

זה למעשה עקרון הסופרפוזיציה התקף בכל מערכת לינארית (ומשוואות מקסוול, ובפרט משוואות הסטטיקה, הן משוואות לינאריות).

נניח פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec{r})</math> במרחב (איור 1). נבחר מתוכו אלמנט מטען קטן <math>dq</math>, ואת מיקום אלמנט המטען נסמן ב-<math>\vec{r}'</math>. את הנקודה בה רוצים לחשב את השדה נסמן ב-<math>\vec{r}</math>.

לכן, אלמנט דיפרנציאלי של השדה החשמלי הינו:

<math display="block">d\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot
\frac{dq}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}</math>

ולכן, מתוך עקרון הסופרפוזיציה, השדה החשמלי הכולל יהיה:

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} =
\iiint \frac{\rho(\vec r' )dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}
</math>

כמובן שצפיפות המטען לא חייבת להיות צפיפות נפחית. יכולים להיות מטענים בנתונים על ידי צפיפות משטחית, אורכית, או אפילו מטענים נקודתיים. במקרה זה, עלינו רק להגדיר היטב את אלמנט המטען, ולבצע סופרפוזיציה באותו אופן.

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} +
E_{\text{point charge (if exists)}}
</math>

כאשר אלמנט המטען הוא:

<math display="block">dq = \begin{cases}
\rho(\vec{r}') dV', & \text{volume charge density } \\
\eta(\vec{r}') dS', & \text{surface charge density } \\
\lambda dl', & \text{ linear charge density} \end{cases}
</math>

באופן הכללי ביותר:
<math display="block">\vec E =\iiint \frac{\rho(r)dV'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\iint \frac{\eta dS'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\int \frac{\lambda dl'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\sum_k \frac{q_n}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot i_{r',r}</math>

'''הערות:'''

* על מנת לחשב את השדה האלקטרוסטטי באמצעות סופרפוזיציה צריך לדעת במפורש את פילוג המטענים בבעייה.
* הסכימה היא סכימה וקטורית כך שנצטרך לבצע אינטגרל על <math>\hat i_{\vec r', \vec r}</math>.
* נשים לב שניתן לכתוב את השדה החשמלי בתור קונבולוציה:

<math display="block">\vec E = \rho \circledast
\underbrace{\frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}}_{\text{Green's function}}</math>

כאשר <math>\rho</math> הוא אות הכניסה, ו-

<math display="block">
G = \frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}</math>

היא ה"תגובה להלם" של המערכת - כלומר במקרה שלנו השדה שיוצר הלם מרחבי של מטען (מטען נקודתי). בבעיות מסוג זה התגובה להלם נקראת פונקציית גרין. מתי ייצוג כזה של פתרון (באמצעות קונבולוציה עם התגובה להלם אפשרי)? בבעיות תלויות בזמן ייצוג זה דורש שהמערכת היא LTI, כלומר לינארית, וסימטרית להזזה בזמן (לא משתנה בזמן - Time invariant). בבעיה שלנו, לינאריות מתקיימת כמובן, כי כבר ציינו שמשוואות מקסוול הן משוואות לינאריות. הסימטריה להזזה בזמן מתורגמת במקרה זה לסימטריה להזזה במרחב (space invariant). אצלנו סימטריה זו מתקיימת מאחר ואנו, בשלב זה, מחשבים את השדות במרחב חופשי, שאכן מקיים סימטריה זו.
מתי סימטריה זו לא תתקיים? לדוגמא כאשר פותרים את השדות באיזור בו יש שפה, או גופים נוספים. עדיין ניתן לבצע סופרפוזיציה במקרה זה, אך אינטגרל הסופרפוזיציה לא יהיה בעל צורה של אינטגרל קונבולוציה באופן כללי.

=== דוגמא - משטח אינסופי טעון בצפיפות אחידה ===

[[File:Pic502.png|200px|thumb|left|איור 2]]

נתון משטח אינסופי הטעון בצפיפות אחידה <math>\eta</math> (איור 2), היוצר שדה.

ניתן לפתור את הבעיה באמצעות חוק גאוס:

<math display="block">\vec E = \hat z \begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>

ובאמצעות סופרפוזיציה:

<math display="block">\vec r = z \hat z , \vec r' = x' \hat x + y' \hat y, dq = \eta dS'=\eta dx' dy'</math><math display="block">\hat i_{r',r} = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r' |} =
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}</math><math display="block">\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{-\infty}^\infty
\frac{\eta dx' dy'}{(x'^2+y'^2+z'^2)} \cdot
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}
</math>נעבור לקורדינטות פולריות:

<math display="block">x'=\rho' \cos \varphi',y'=\rho' \sin \varphi', dx'dy' = \rho'd\rho' d\varphi'
</math><math display="block">\vec E = -z \hat z \frac{\eta}{2\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{\rho'^2+z^2}}|^{\rho'=\infty}_{\rho'=0}=
\frac{\eta}{2\epsilon_0} \cdot \text{sign} (z) \hat z
</math>אכן קיבלנו אותה תוצאה בשתי השיטות!

== פוטנציאל חשמלי סקלרי ==
שיטת הסופרפוזיציה מצריכה שנדע בדיוק את פילוג המטענים בכל מקום במרחב.
על מנת להקל על מציאת פיתרון כללי לבעיה אלקטרומגנטית בכלל, ואלקטרוסטטית בפרט, נהוג לבצע "סקלריזציה" של הבעיה
כלומר, למצוא דרך לפתור בעיה סקלרית שקולה, שפתרונה יוביל לפתרון הבעיה הוקטורית.

מתוך חוק פאראדיי:

<math display="block">\nabla \times \vec E = -\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}
\underbrace{=}_{\text{static}} 0\Leftrightarrow
\oint \vec E \cdot \vec {dl}= -\mu_0\frac{\partial}{\partial t}
\iint \hat H \cdot \hat n dS = 0
</math>ולכן השדה החשמלי הוא שדה משמר:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi
</math>כאשר <math>\phi
</math> הוא הפוטנציאל החשמלי.

<math display="block">\int_{r_1}^{r_2}\vec E \cdot \vec{dl} =
\int_{r_1}^{r_2} -\nabla \phi \cdot \vec{dl} = -[\phi(r_2)-\phi(r_1)]
</math>אינטגרציה אינה תלויה בצורת המסלול, אלא רק בערכי הפוטנציאל בנק' הקצה

משמעות האינטגרציה היא - מה העבודה שיש להשקיע על מנת להביא מטען מ r1 ל r2.

=== פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי ===
נקודה חשובה נוספת - הפוטנציאל מוגדר עד כדי קבוע:

<math display="block">\vec E_1 = -\nabla \phi
</math><math display="block">\vec E_2 = -\nabla (\phi+C)= -\nabla \phi =\vec E_1
</math>מכאן - יש חשיבות פיזיקאלית רק להפרשי הפוטנציאל בין נקודות, ולא לערך עצמו, ויש לנו חופש בבחירת ערך הייחוס.

נגדיר לפי כך את נקודת הייחוס של הפוטנציאל באינסוף (הגדרה זו טובה ושימושית עבור כל מערכת בעלת גודל סופי):

<math display="block">\phi(r) = -\int_{r_1\rightarrow\infty}^r \vec E \cdot \vec{dl}
</math>
לדוגמא, אם ניקח שדה של מטען נקודתי בראשית:

<math display="block">\vec E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r
</math><math display="block">\phi(r_s)= -\int_\infty^{r_s} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r_s}
</math>

=== סופרפוזיציה ===
ניתן לבצע סופרפוזיציה גם לפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">\phi = \int \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} =
\iiint \frac{\rho(r') dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} + \phi_{\text{point potential}}
</math>גם כאן, בבעיות שהן space invariant, נקבל שהסופרפוזיציה מקבלת צורה של אינטגרל קונבולוציה:

<math display="block">\phi = \rho \circledast \frac{1}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}</math>אם המטען הוא מטען נקודתי:

<math display="block">\rho = Q\cdot \delta(\vec r - \vec r')</math>

גם כאן, אנו חייבים לדעת מפורשות את פילוג המקורות בכל המרחב על מנת לחשב את הפוטנציאל, כך שאם המקורות נוצרים כתגובה להפעלת שדה חיצוני, זוהי שיטה לא שימושית לחישוב הפוטנציאל.

=== דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן ===
באיור (3) נתון מבנה של דיפול חשמלי. שני מטענים נקודתיים בעלי גודל זהה וסימנים מנוגדים, ממוקמים במרחק <math>d</math> זה מזה.
[[File:Pic503.png|200px|thumb|left|איור 3]]
[[File:Pic504.png|200px|thumb|left|איור 4]]

# חשבו את הפוטנציאל
# מה התוצאה בגבול <math>\vec d \rightarrow 0</math>, אבל <math>q |\vec d|</math> קבוע ידוע.

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec r^+|} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot
\frac{1}{|\vec r^-|}</math>נגדיר:

<math display="block">\text{The place of the positive charge: } \vec r'^+ \equiv \vec r' + \vec d/2</math><math display="block">\text{The place of the negative charge: } \vec r'^- \equiv \vec r' - \vec d/2</math>לכן:

<math display="block">
\vec r ^+ = \vec r - \vec r'^+ = \vec r - (\vec r' + \vec d/2)
</math>
<math display="block">
\vec r ^- = \vec r - \vec r'^- = \vec r - (\vec r' - \vec d/2)
</math>
<math display="block">
|\vec r^+ | =
\sqrt{[\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]\cdot [\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{[(\vec r - \vec r') - \vec d/2] \cdot [(\vec r - \vec r') - \vec d/2]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{|\vec r - \vec r'|^2 - 2 (\vec r - \vec r') \cdot \frac{\vec d}{2} + \left|\frac{\vec d}{2}\right|^2} =...
</math>
<math display="block">
... \underbrace{=}_{|\vec d| << |\vec r - \vec r'|}
|\vec r - \vec r'| \sqrt{(1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
+\underbrace{1/4 \frac{|\vec d|^2}{|\vec r - \vec r'|^2 }}_{
\text{second order in: } \frac{|\vec d|}{|\vec r - \vec r'| }
})}
</math>
לבסוף:
[[File:Pic505.png|300px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">|\vec r ^+| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d }</math>כאשר השתמשנו בקירוב טיילור:

<math display="block">(1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x</math>באופן דומה:

<math display="block">|\vec r ^-| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \vec d }</math>
נציב לביטוי של הפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">
\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
[ \frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \underbrace{\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }}
_{\ll 1}
\cdot \vec d}}
-
\frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d}}
]
=...
</math>
<math display="block">
...=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} \cdot
[1 + 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
-
(1 - 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d)
] =
</math>
<math display="block">
=\frac{q \vec d \cdot (\vec r - \vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
נהוג להגדיר <math>\vec p \equiv q \vec d </math> מומנט הדיפול, ולקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot (\vec r - \vec r' ) }{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
כאשר עבור דיפול בראשית מתקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot \hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}
</math>
באיור (5) ניתן לראות בצבע אדום את האיזורים בהם הפוטנציאל חיובי (קרובים יותר למטען החיובי) ובכחול את האיזורים בהם הפוטנציאל שלילי.

נשים לב שהפוטנציאל בראשית (ועל כל המישור העובר במרכז הדיפול ומאונך ל-<math>\vec p</math>) הוא אפס, וזאת משום שמומנט הדיפול מאונך ל <math>\vec r</math> על מישור זה, כך שהמכפלה הסקלארית ביניהם מתאפסת.

השדה המתקבל:

<math display="block">\vec E = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3 }[2 \cos \theta \hat r + \sin \theta \hat \theta]</math>

=== דוגמא 2 - דיסקה טעונה בצפיפות אחידה ===
[[File:Pic506.png|170px|thumb|right|איור 6]]

באיור 6 נתונה דיסקה טעונה בצפיפות מטען משטחי אחידה <math> \eta </math>, ורדיוסה <math> R </math>. חשבו את הפוטנציאל הנוצר על ציר <math> z </math>.

<math display="block">
\vec r' = x' \hat x + y' \hat y = r' \cos \varphi' \hat x + r' \sin \varphi' \hat y,
\vec r = z \hat z,
dq = \eta dS' = \eta r' dr' d\varphi'
</math>
<math display="block">
\phi = \iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta dS'}{|\vec r - \vec r'|} =
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 \cos^2 \varphi'
+ r'^2 \sin^2 \varphi' + z^2
}} =
</math>
<math display="block">
=\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\underbrace{2\pi}_{\int_0^{2\pi} d\varphi'}
\int \frac{\eta r'}{4\pi \epsilon_0 \cdot \sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2}- |z|)

</math>

ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/wu0yj0bmjh/ תרשים של הפונקציה] באיור (7).

* מקרה 1 - <math>|z| \gg R</math> (איור 8)
עבור מקרה זה נרשום:

<math display="block">\phi = \frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2+z^2} - |z|) =
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| (\sqrt{1+ \frac{R^2}{z^2}} - 1)
\approx
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| \cdot (1 + 1/2 \frac{R^2}{|z|^2} - 1) =
\frac{\eta R^2 }{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} =
\frac{\overbrace{\eta (\pi R^2)}^{Q_{disk}}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} =
\frac{Q_{disk}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|}</math>
רחוק מאוד מהדיסקה, היא נראית כמטען נקודתי, ולכן גם הפוטנציאל נראה כך. הפוטנציאל של מטען נקודתי נתון על ידי הקו השחור באיור 8.

* מקרה 2 - <math>|z| \ll R</math> (איור 9)
<math display="block">\eta = \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2+z^2} - |z|] \approx
\frac{\eta R}{2\epsilon_0} [\sqrt{1+(\frac{z}{R} } )^2 - \frac{|z|}{R}]
\approx \frac{\eta R}{2\epsilon_0} [1+1/2 \frac{z^2}{R^2} - \frac{|z|}{R}] \approx
\underbrace{\frac{\eta R}{2\epsilon_0}}_{Constant} -
\frac{\eta |z|}{2\epsilon_0}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi= \begin{cases} -\frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ \frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}
\Rightarrow
E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} =
\begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>
קרוב מאוד לדיסקה (ביחס לרדיוסה), הדיסקה נראית כמשטח אינסופי, ולכן מתקבל פוטנציאל שמשתנה לינארית בקירוב, השתנות המתאימה לשדה האחיד שיוצר לוח אינסופי.
<gallery widths=300px heights=200px mode="packed">
File:Pic507.png|איור 7
File:Pic508.png|איור 8
File:Pic509.png|איור 9
</gallery>

== פוטנציאל חשמלי - המשוואה הדיפרנציאלית ==

עד כה, הדרך שהראנו לחישוב הפוטנציאל הייתה סופרפוזיציה. אבל בדרך כלל לא ידוע לנו כל פילוג המטענים בבעיה, אלא נתון שילוב כלשהו של מקורות + תנאי שפה.

בסופרפוזיציה לא הבאנו כלל בחשבון את קיומם של תנאי שפה.

לצורך כך, כדאי לחזור למשוואת הדיפרנציאלית המתארת את <math> \phi </math>:

<math display="block">\nabla \times E = 0 \Rightarrow
\vec E = - \vec \nabla \phi</math><math display="block">\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \Rightarrow
\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 (-\nabla \phi)) = \rho </math>ונקבל את משוואת פואסון:

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}</math>

=== אופרטור הלפלאסיאן ===
קרטזיות:

<math display="block">\nabla^2 \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}</math>צילינדריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial \phi \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 \phi \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 \phi \over \partial z^2 }</math>כדוריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial \phi \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial \phi \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 \phi \over \partial \varphi^2}</math>

=== פתרון פרטי ופתרון הומוגני ===
[[File:Pic510.png|200px|thumb|left|איור 10]]

נגדיר תחום <math> \mathcal {D} </math> בו אנו מחשבים את הפוטנציאל (איור 10). את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים:

<math display="block">\phi = \underbrace{\phi_p}_{\text{private solution}} +
\underbrace{{\phi}_h}_{\text{homogenous solution}}</math>

* פיתרון פרטי <math> \phi_p </math> - נובע מפילוג המטען <math> \rho </math>, אבל לא חייב לקיים לקיים תנאי שפה.
* פתרון הומוגני <math> \phi_h </math> - מקיים את המשוואה חסרת המקורות (המשוואה ההומוגנית) ו"עוזר" לפתרון הפרטי לקיים את תנאי השפה
<math display="block">
\nabla^2(\phi_p + \phi_h) = - \frac{\rho}{\epsilon_0 }=
\underbrace{\nabla^2 \phi_p}_{-\frac{\rho}{\epsilon_0 }}
+
\nabla^2 \phi_h
</math>

<math display="block">
\phi(\partial D) = \phi_p (\partial D) + \phi_h (\partial D) = \phi_B
</math>
כשמגיעים לפתור את הפיתרון ההומוגני, כבר יודעים פתרון פרטי (סופרפוזיציה, ניחוש, ואולי נתון).
מתוך ת.ש. לפוטנציאל הכולל, נקבל תנאי שפה ל- <math>\phi_h</math> (פתרון הומוגני):

<math display="block">\phi_h (\partial D) = \phi_B - \phi_p (\partial D)</math>

פיצלנו את הבעיה ל-2 בעיות שלרוב הן פשוטות יותר:

את הפיתרון הפרטי נמצא באמצעות סופרפוזיציה ללא התחשבות בתנאי השפה.

את הפיתרון ההומוגני נקבל על ידי תפירת תנאי שפה.

=== תנאי שפה של הפוטנציאל ===

* '''צפיפות מטען משטחית'''

<math display="block">\hat n\cdot \left(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 \right) = \eta
\Rightarrow
\hat n\cdot \left(\epsilon_0 (-\nabla \phi_2) - \epsilon_0 (-\nabla \phi_1)\right) = \eta
\Rightarrow
-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial n} - (- \epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial n})=\eta </math>

* '''רציפות הפוטנציאל'''

<math display="block">
\phi_2 |_{\text{boundry}} = \phi_1 |_{\text{boundry}}</math><math display="block">\triangle \phi = -\int_{\text{very short path}} \vec E \cdot \vec {dl} \approx
\vec E \cdot \triangle \vec L
</math>
מאחר ו-<math> \Delta\vec{L} </math> הוא בעל אורך קטן מאוד, בבעיות בהן השדה לא סינגולרי, אין בעיה והפוטנציאל חייב להיות רציף.

* '''גבול בין חומר מוליך לואקום'''
נשתמש בשימור מטען על השפה:
[[File:Pic511.png|200px|thumb|left|איור 11]]
<math display="block">\hat n \cdot (\underbrace{\vec J_2}
_{\text{the second area is vacuum }\rightarrow =0}
- \vec J_1) + \underbrace{\vec \nabla_S \vec K}_{=0} = -
\underbrace{\frac{\partial \eta}{\partial t } }_{=0}</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \vec J_1 = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot (\sigma \vec E_1) = 0
\Rightarrow
\hat n \cdot \sigma (-\vec \nabla \phi_2) = 0
\Rightarrow
\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = 0</math>

==== שפה של PEC ====
מאחר ובתוך מוליך אידאלי השדה החשמלי מתאפס (איור 11), מתקיים:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_{out} - \underbrace{\vec E_{in}}_{=0}) = 0
\Rightarrow
\hat n \times \vec E_{out}=0</math>ולכן השדה החשמלי המשיק לפני המוליך האידאלי מתאפס, ולכן השדה החשמלי בעל רכיב ניצב לפני המוליך בלבד.

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\int
\underbrace{\vec E \cdot \vec{dl}}_{\text{E and dl are prependicular to each other}}=0</math>השפה של מוליך אידאלי ← משטח שווה פוטנציאל <math>\phi</math>.

== שיטת השיקופים ==
[[File:Pic512.png|400px|thumb|left|איור 12]]

נסתכל על בעיה שבה צריך לחשב את <math>\phi</math> בכל המרחב, עבור איור (12). באופן כללי זו בעיה מורכבת לפתרון, מכיוון שאיננו יודעים איך בסופו של דבר יתפלגו המטענים על המוליך הנתון. ולכן, ננסה להתמודד עם גרסא פשוטה יותר של בעיה זו, ולהדגים כיצד ניתן לקבל את הפוטנציאל והשדה.

=== מטען נקודתי בסמוך למישור PEC אינסופי ===
[[File:Pic513.png|200px|thumb|left|איור 13]]
במקרים פשוטים יותר, כמו באיור (13) נחלק ל- 2 תחומים: <math>x<0,x>0</math>.

עבור <math>x<0</math> הפוטנציאל <math>\phi=0</math> מקיים את כל תנאי הבעיה.

את הפיתרון ב <math>x>0</math> נחלק לפיתרון פרטי והומגני.

הפיתרון הפרטי יהיה:

<math display="block">
\phi_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec r - d\hat x\right|}
</math>
כעת, דרוש לנו הפתרון ההומוגני, יחד איתו נוכל לקיים את תנאי השפה.

<math display="block">
\phi_{plane} = 0 \Rightarrow
\phi_p |_{plane} + \phi_h |_{plane}=0
\Rightarrow
\phi_h |_{plane} = - \phi_p |_{plane}
</math>
<math display="block">
\phi_h |_{plane} = \underbrace{-}_{\text{looks like negative particle}}
\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{\left|y \hat y + z \hat z - d \hat x\right|}
=
-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{y^2+z^2+d^2}}
</math>
מאחר ו"ניחשנו" פתרון (סופרפוזיציה של מטען חיובי ושלילי ש"הוספנו") שמקיים את אותה משוואת פואסון, עם אותם תנאי השפה, זהו הפיתרון לבעיה המקורית!

<math display="block">
\phi =
\begin{cases} 0 & x<0 \\
\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[ \frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x - d \hat x\right|}-\frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x + d \hat x\right|} \right]
& x>0 \end{cases}
</math>
ניתן לכתוב את הפוטנציאל המתקבל כך:

<math display="block">
\phi= \begin{cases} 0 & x<0 \\
\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot
[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from q in }(d,0,0) }
-
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x+ d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from -q in }(-d,0,0)}
]
& x>0 \end{cases}</math>

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל במקרה הנ"ל באיור (14).
<gallery widths=500px heights=300px class="center">
File:Pic514.png|איור 14
</gallery>

*'''מה פילוג המטען ה"אמיתי" בבעיה?'''
<math display="block">
\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0 \\ \hat n \cdot
(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta \end{cases}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\vec E |_{edge} = \vec E_q + \vec E_{-q}
</math>
באמצעות תנאי השפה אפשר לרשום את פילוג המטען האמיתי <math>\eta(x,y)</math>:

<math display="block">
\begin{cases} \hat n \cdot (\vec E-0)_{\text{boundry}}=\eta \\
\hat z \cdot (-\nabla \phi)_{\text{boundry}} = \frac{\eta}{\epsilon_0}
\end{cases}
</math>
<br>
<math display="block">
\eta = -\frac{q}{4\pi} \frac{\partial}{\partial z} [\left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-1/2} - \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-1/2}]=...
</math>
<br>
<math display="block">
=\left\{-\frac{q}{4\pi} \left[-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-3/2} \cdot 2(z-d)
-(-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-3/2}\right]\cdot 2(z+d)\right\}_{z=0}=
</math>
<br>
<math display="block">
=-\frac{q}{4\pi} \cdot 2 (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}d
</math>

כמה מטען יש בסך הכל על המשטח?

<math display="block">Q = \int \eta dS = {\iint}^\infty_\infty \frac{-qd}{4\pi} \cdot 2 \cdot (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}dxdy=
-\frac{qd}{2\pi} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^\infty \frac{1}{(r^2+d^2)^{3/2}} \cdot r dr d\varphi=
-qd \int_{r=0}^\infty \frac{r}{(r^2+d^2)^{3/2}} = ... </math><math display="block">...=
q \frac{1}{\sqrt{r^2+d^2}}|^\infty_0 = qd(0-1/d)=-q </math>

=== שיקוף של דיפול ===
[[File:Pic515b.png|200px|thumb|left|איור 15]]
כשנשקף דיפול, נהפוך את מטענו, נשקף אותו במראה, ונזיז את קודינטה X שלו ל X-, כמתואר באיור (15).

=== מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC ===
[[File:Pic516.png|600px|thumb|center|איור 16]]
משפחה נוספת של בעיות המאפשרות פתרון באמצעות שיטת השיקופים, אלו בעיות בהן נתון פילוג מטען כלשהו בסמוך לכדור מוליך אידאלי. נסתכל על בעיה בה מטען נקודתי נמצא סמוך לכדור (איור 16) וננסה למצוא פתרון מהצורה המוצעת - את הפוטנציאל בחוץ נרשום כסופרפוזיציה של המטען המקורי, ומטען שיקוף <math> Q </math> הנמצא במרחק <math> D </math> ממרכז הכדור.
* נחפש <math> Q,D </math> כך שעל שפת הכדור מתקיים תנאי השפה <math>\phi = 0</math>.
* מטען הדמות <math> Q </math> משמש אותנו לחישוב השדה מחוץ לכדור.

בתחום בו אנו פותרים את הבעיה (מחוץ לכדור), משוואת פואסון

<math display="block">
\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
מתקיימת עם אותו פילוג המטען כמו בבעיה המקורית (מטען הדמות שהוספנו נמצא מחוץ לתחום בו פותרים). ולכן נותר רק לקיים תנאי שפה.

<math display="block">
\phi |_{\text{spherical boundary}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r_q} + \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r_Q} = 0
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\frac{Q}{R_Q} = -\frac{q}{r_q} (*)
</math>
אנו מחפשים <math> Q,D </math> כך שנוכל לקיים ת.ש. על כדור.

נגדיר את הגדלים הבאים (איור 17):
[[File:Pic517.png|200px|thumb|left|איור 17]]

<math display="block">
r_T\equiv \sqrt{y^2+z^2},r_q \equiv \sqrt{(x-d)^2+r_T^2},r_Q \equiv \sqrt{(x-D)^2+r_T^2}
</math>
על שפת הכדור מתקיים
<math display="block">
r_T^2+x^2=R^2</math>
נציב ביחס (*) ונקבל:

<math display="block">
Q=-q \frac{R}{d}, D=\frac{R^2}{d}=R\cdot\frac{R}{d}
</math>
<br>
ולכן ברגע שיודעים את מטען השיקוף <math> Q </math>, הפוטנציאל בחוץ בכל מקום הוא סופרפוזיציה של <math> q </math> ו- <math> Q </math>.

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל באיור (18)
[[File:Pic518.png|400px|thumb|left|איור 18]]

* '''מה קורה כאשר הפוטנציאל על הכדור הוא לא אפס (למשל <math>V_0</math>) (איור 19)?'''
[[File:Pic519.png|200px|thumb|left|איור 19]]
נמצא את <math> Q,D </math> כרגיל מפיתרון הבעיה המוארקת, ואז נוסיף מטען חדש <math> Q' </math> במרכז המעגל שידאג לכך שהפוטנציאל על שפת הכדור יהיה <math>V_0</math>.

איך נמצא את <math> Q' </math>? מהדרישה שהפוטנציאל על שפת הכדור יתן את הערך הנקוב בבעיה.

<math display="block">\frac{Q'}{4\pi\epsilon_0 R}=V_0 \Rightarrow Q' = 4\pi\epsilon_0 R V_0</math>

תרשים של הפוטנציאל, עם אפשרות למשחק בפרמטרים ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/1gb6fudjpp כאן].

* '''המקרה ההפוך - המטען בתוך הכדור (איור 20) '''
[[File:Pic520.png|200px|thumb|left|איור 20]]
לפיכך מטען הדמות יהיה מחוץ לכדור:

<math display="block">\begin{cases} Q_{in} = -q_{out} \cdot \frac{R}{d} \\ D_{in}=\frac{R^2}{d_{out}} \end{cases}</math>כל צמד מטענים שיקיים את היחסים לעיל, יקיים ש <math>\phi</math> על שפת הכדור הוא אפס.
</div>