EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים

2026-02-04T21:30:01Z

Noamsamuel: Undo revision 7395 by Noamsamuel (talk)

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מבוא ==
משוואות מקסוול שקיבלנו בהרצאות הקודמות הינן:

<math display="block">(1)\text{ } \nabla \times E = -\mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}</math><math display="block">(2)\text{ }\nabla \times H = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} + J</math><math display="block">(3)\text{ }\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec{E}) = \rho</math><math display="block">(4) \text{ }\nabla \cdot (\mu_0 \vec{H}) = 0</math>
נשים לב כי זו מערכת משוואות בה השדות הן פונקציה של 4 משתנים - וקטור המיקום <math> \vec{r} </math> והזמן <math> t </math>. המשוואות מצומדות זו לזו, כלומר - הפעלת שדה מגנטי משתנה בזמן יוצרת שדה חשמלי משתנה בזמן (משוואה 1), אך משינוי בשדה החשמלי, ישתנה גם השדה המגנטי (משוואה 2). דהיינו לא ניתן למצוא את השדה החשמלי, בלי לדעת מהו השדה המגנטי, ולהיפך.

כפי שהוזכר בהרצאות קודמות, הצימוד דרך המשוואות הוא זה שמאפשר פתרונות גליים. פתרונות אלו, המשתנים בזמן, הם אלו שמאפשרים את האפליקציות הטכנולוגיות ותופעות הטבע כמו אור השמש שמגיע אלינו (פיזור), ולכן אנו לא יכולים להתעלם מהשפעתן של הנגזרות הזמניות.

אחת הדרכים "להסיר" צימוד זה, היא להניח שהשדות סטטיים, ואז הנגזרות הזמניות מתאפסות. הנחה זו מובילה בד"כ לבעיה פשוטה הרבה יותר, אבל כמובן שסטטיקה מושלמת היא מקרה תאורטי, ובנוסף אינה מאפשרת טיפול באופי הגלי של השדה האלקרטומגנטי. עם זאת, היא מהווה נדבך בסיסי בטיפול במשטר ביניים שימושי מאוד - הפתרון הקוואזי-סטטי.

== משוואות מקסוול - משטר קווזי סטטי ==

במשטר קווזיסטטי אנו מניחים שהשדות משתנים בזמן, אך לאט מאוד. מה הכוונה ב"משתנים לאט מאוד"? נראה בהמשך הפרק.

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות ===
בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec J = 0, \rho = 0</math>כעת, נפעיל רוטור על שני האגפים של משוואה (1) (חוק פארדיי):

אגף שמאל:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec E) = \underbrace{\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec E)}_{\rho = 0} - \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E</math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות וקטורית:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec a) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec a) - \nabla^2 \vec a</math>אגף ימין:

<math display="block">\nabla \times (-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t})=
-\mu_0 \nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>מכיוון שהנחנו שכל השדות שאנו עובדים איתם הינם גזירים ורציפים, נחליף את הסדר בין הרוטור המרחבי שפועל על השדה המגנטי, לנגזרת בזמן:

<math display="block">=-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec H) =
-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}
\underbrace{
(\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \underbrace{\vec J}_{J=0})}_
{\text{Eq. 2 - Ampere's law}}
=
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>בסך הכל נקבל:

<math display="block">-\nabla^2 \vec E
=
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

נגדיר את מהירות הגל להיות <math>c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}</math>, נעביר אגפים ונקבל את משוואת הגלים:<math display="block">(5) \text{ }\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
0</math>זוהי מערכת של 3 משוואות גלים סקלריות לכל רכיב (<math>\hat x, \hat y, \hat z</math>).

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות ===
כעת נרצה לפתור את משוואת הגלים שקיבלנו, ולהבין כיצד נראים השדות החשמליים והמגנטיים שמקיימים אותה.

נזכור כי משוואת הגלים נובעת ממשוואות מקסוול, ולכן כל פיתרון של משוואת הגלים מוכרח לקיים את תנאי השפה של משוואות מקסוול.

==== השדה החשמלי ====
על מנת להבין אינטואיטיבית את פיתרון משוואת הגלים, נניח את הפיתרון הבא:

<math display="block">\vec E = E_x(z,t) \hat x</math>כלומר, שדה חשמלי שתלוי בזמן ובקורדינטה Z, וכיוונו בקורדינטה X.

נציב את התוצאה בנוסחה (5):

<math display="block">\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial y^2}}_{=0} +
\frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

= \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

כעת קיבלנו משוואה פשוטה יותר, שהפיתרון שלה הוא:

[[File:Pic13A.png|400px|thumbnail|left|תרשים 1]]

<math display="block">(6) \text{ }

\vec E = E_x(z,t) \hat x =
\left(f_1\left[t-\frac{z}{c}\right] + f_2\left[t+\frac{z}{c}\right]\right) \hat x</math>
כאשר <math> f_1,f_2 </math> פונקציות שרירותיות.

בתרשים 1 ניתן לקבל אינטואציה לשינוי הגל בציר z, כתלות בזמן.

==== השדה המגנטי ====
כעת, כדי למצוא את השדה המגנטי, נציב את השדה החשמלי שמצאנו לתוך משוואה (1) (חוק פאראדיי):

מצד שמאל:

<math display="block">\nabla \times \vec E = \begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z

\end{vmatrix}

=
\begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & 0 & 0

\end{vmatrix}
=
\frac{\partial E_x}{\partial z} \hat y</math>כאשר איפסנו את הנגזרות בכיוון x,y ואת השדות בכיוונים y,z משום שהשדה שלנו תלוי ב z וכיוונו הוא ב x.

נציב את תוצאת משוואה (6) לתוך תוצאת הרוטור

<math display="block">\frac{\partial E_x}{\partial z} =
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial z} +
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{ chain rule}}

\underbrace{
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial (t-\frac{z}{c})}}_{f'_1}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t-\frac{z}{c})}{\partial z}}_{-\frac{1}{c}}
+
\underbrace{
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c})} }_{f'_2}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t+\frac{z}{c})}{\partial z}}_{\frac{1}{c}}
=
-\frac{f'_1}{c} + \frac{f'_2}{c} = -\frac{1}{c} (f'_1-f'_2) = - \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2')</math>כעת נציב בחוק פאראדיי:

<math display="block">- \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2') \hat y
=
-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>נחלץ את השדה המגנטי:

<math display="block">\partial \vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1'(t-\frac{z}{c}) - f_2'(t+\frac{z}{c})) \partial t \text{ } \hat y</math><math display="block">\partial \vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (\frac{f_1(t-\frac{z}{c})}{\partial(t-\frac{z}{c})}
- \frac{\partial f_2(t+\frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c}
)})
\partial t \text{ } \hat y</math>נשים לב כי:

<math display="block">\partial t =
\partial(t-\frac{z}{c})
=
\partial(t+\frac{z}{c})</math>לכן הנגזרות הזמניות של f1,f2 יתבטלו עם הנגזרת הזמנית <math>\partial t</math>. אחרי אינטגרציה בזמן נקבל (נאפס את קבוע האינטגרציה c):

<math display="block">\vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1 - f_2)\hat y</math>ואכן, כצפוי קיבלנו שהשדה המגנטי ניצב לשדה החשמלי.

=== תכונות הפתרונות ===
נרצה לשאול: מהי "מהירות" הגל? כלומר, באיזו מהירות עלינו לנוע על מנת להישאר עם השיא (ראו תרשים 2)?

[[File:Pic23A.png|400px|thumb|left|תרשים 2]]

נביט בשרטוט בצד שמאל, של <math>f_1 (t-\frac{z}{c})</math>:

ברגע <math>t=0</math> הארגומנט הוא: <math>const = -\frac{z}{c}</math>

ולפיכך, בזמן כלשהו <math>t</math> , נקבל: <math>t-\frac{z}{c}=const</math>.

לכן:

<math display="block">z=c(t - const)</math>לכן נבין, כי הגל נע במהירות c, שהגדרנו אותה כמהירות האור:

<math display="block">c\equiv \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}
\approx
3\cdot
{10^8} [\frac{m}{s}]</math>והשדות הינם:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x</math><math display="block">\vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y
\equiv
\frac{1}{\eta}
f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y</math>כאשר <math>\eta</math> הוא קבוע שנקרא "אימפדנס הואקום", והוא שווה ל:

<math display="block">\eta \approx 377 [\Omega]</math>עד כה, דנו בפיתרונות כללים למשוואת הגלים (f1,f2 פונקציות ארביטרריות), כעת נרצה למצוא פיתרונות הרמוניים למשוואת הגלים.

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים ==
הפתרונות ההרמוניים הם מהפתרונות החשובים והשימושיים ביותר למשוואת הגלים, ננחש:

[[File:Pic33A.png|150px|thumb|left|תרשים 3 - שלשה ימנית]]

[[File:Pic43A.png|400px|thumb|left|תרשים 4]]

<math display="block">f_1(t) = A_1 \cdot cos(\omega t)</math>ולכן נקבל את השדות:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x = A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat x</math><math display="block">\vec H = \frac{1}{\eta}f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y = \frac{1}{\eta} A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat y</math>כאשר לעתים קרובות נהוג להגדיר את מספר הגל, כ:

<math display="block">k \equiv \frac{\omega}{c} [\frac{1}{m}]</math>

כפי שניתן לראות בשרטוטים מצד שמאל, השדה החשמלי (הגל הסגול) מאונך לשדה החשמלי (הגל הצהוב), ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל (z), לכן נקבל שלשה ציקלית ימנית: <math>\vec E, \vec H, \hat z</math> (תרשימים 3 ו- 4).

נשאל, מדוע הפיתרון ההרמוני שהצגנו נקרא "גל מישורי"?

מכיוון שכל הנקודות שעליהן השדה החשמלי קבוע, נמצאות על מישור שניצב לציר z.

=== תכונות ===

==== זמן מחזור ====
אם נעמוד בנקודה מסויימת <math>z=z_0</math>, ונמדוד את השדה החשמלי כתלות בזמן, קיים זמן כלשהו, שנקרא זמן המחזור ומוגדר:

[[File:pic53AB.png|200px|thumb|left|תרשים 5]]

<math display="block">T=\frac{2\pi}{\omega}</math> שעבורו מתקיים:

<math display="block">E_x(z,t_0) = E_x(z,t_0 + T)</math>

כלומר זהו הזמן בקצר ביותר שלאחריו השדה חוזר בדיוק לערכו המקורי (תרשים 5) כאשר השדה מחזורי בזמן.

==== אורך גל ====
אם "נקפיא" את הזמן ונמדוד את השדה החשמלי בכיוון x, נקבל את אורך הגל:

[[File:pic63AB.png|200px|thumb|left|תרשים 6]]

<math display="block">\lambda = \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{c}{f}</math>

זהו המרחק הקרוב ביותר בני שתי נקודות בהן ערך השדה זהה, כאשר השדה מחזורי במרחב (תרשים 6).

==== מהירות הפאזה ====
נשים לב כי המהירות שבה מתקדם גל הסינוס ימינה או שמאלה (כתלות בהיותו גל מתקדם או גל נסוג), אותה אנו מכנים מהירות הפאזה <math> v_p </math> היא בדיוק מהירות הגל שראינו עבור פולסים שרירותיים, כשדיברנו על פתרונות משוואת הגלים הכלליים. קיבלנו תוצאה זו עבור התפשטות בואקום, אבל למעשה היא תהיה תקפה כל עוד הפרמטרים של הסביבה אינם תלויים בתדר (אינם דיספרסיביים) או שהתלות בתדר שלהם זניחה בסביבת העבודה. כאשר יש תלות בתדר (דבר שתמיד מתקיים במידה זו או אחרת במציאות) זה כבר אינו המצב, מאחר ומהירות הפאזה הופכת להיות גודל התלוי גם הוא בתדר, ומהירות הגל כלל אינה מוגדרת היטב מאחר ודיספרסיה גורמת ל"עיוות" צורתו של הפולס המתפשט. עוד בנושא זה תלמדו בקורס "תמסורת גלים".

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים - ייצוג פאזורי ==
לעתים מסובך אלגברית להשתמש בייצוג של סינוסים וקוסינוסים לפונקציות מחזוריות (במיוחד עבור גזירה ואינטגרציה), לכן כדי לפתור בעיה זו נציג את הייצוג הפאזורי של הפתרונות ההרמוניים:
<math display="block">\vec E = \Re\{\vec \tilde E (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
<math display="block">\vec H = \Re\{\vec \tilde H (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde H {e^{j \omega t}} + \vec \tilde H^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ ===
נציב את הייצוג הפאזורי למשוואת הגלים:

<math display="block">\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
= \frac{1}{2}
\underbrace{
\nabla^2 [\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=\nabla ^2 \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} + \nabla ^2 \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}}}
-
\frac{1}{2c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2}
\underbrace{
[\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=-\omega^2 (\vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} - \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}})}
= 0</math>נכפול את הביטוי ב 2, ונכנס אגפים, לפי חזקת האקספוננט:

<math display="block">{e^{j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E)
+
{e^{- j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E^* - \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E^*) = 0</math>מאחר והאקספוננטים לעולם לא יתאפסו, כל אחד מהאיברים בסוגריים מתאפס זהותית:

<math display="block"> \nabla^2 \vec \tilde E + k^2 \vec \tilde E = 0
\text{ ; }
\nabla^2 \vec \tilde E^* - k^2 \vec \tilde E^* = 0</math>כאשר K הוא מספר הגל (ראינו אותו כבר).

נקבל לבסוף את משוואת הלמהולץ - משוואת הגלים בתחום התדר:<math display="block">\nabla^2 \tilde E + k^2 \tilde E = 0</math>

=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ - גל מישורי כללי ===
נכתוב את השדה החשמלי כ:

<math display="block">\tilde E = \tilde E_0 \cdot {e^{ -j (\vec k \cdot \vec r)}}</math>נשים לב שאם נבחר את וקטור הגל להיות: <math>\vec k = k \hat z</math>, נקבל את הפיתרון שראינו מקודם.

נציב את השדה החשמלי החדש למשוואת הלמהולץ, ונקבל:

<math display="block">\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E

= \nabla^2(\tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k \cdot \vec r}})+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-j \vec k)\cdot (-j \vec k) \cdot \tilde E_0 \cdot {e ^ {-j \vec k \cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-\vec k \cdot \vec k) \tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k\cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E =
(-\vec k \cdot \vec k + \frac{\omega^2}{c^2})E = 0</math>

על מנת לקיים את המשוואה, נוכל מחד לאפס את השדה החשמלי, אבל אז נקבל פתרונות לא מעניינים, מנגד ניתן לאפס את הביטוי בסוגריים:

<math display="block">k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = (\frac{\omega}{c})^2</math> קיבלנו משוואה שמזכירה משוואה של כדור, ולכן כל הווקטורים האפשריים נמצאים על שפה של כדור, שנקרא Ewald sphere (תרשים 7).

[[File:Pic73AB.png|300px|thumb|left|תרשים 7]]

נציב בחוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \nabla \cdot (\epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}}) =

-j \vec k \cdot \epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} = 0</math>ולכן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde E_0=0</math>כלומר, ווקטור K ניצב לשדה החשמלי.

ניתן לקבל באופו אופן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde H_0=0</math>ניתן לראות שקיבלנו שוב את השלשה הימנית.

=== משוואת הגלים - גל מישורי כללי - מישורים שווי פאזה ===
נביט בתרשים 8, ונחזור חזרה לתחום הזמן:

[[File:Pic83AB.png|300px|thumb|left|תרשים 8]]

<math display="block">\vec E = \real \{ \vec \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} \cdot {e^{j \omega t}} \} =
\vec E_0 \cos(\omega t - \vec k \cdot \vec r)</math>כמו שראינו מקודם, על מנת למצוא את הנקודות שבהם ווקטור השדה החשמלי קבוע, נשווה את הארגומנט של הקוסינוס למספר קבוע. נקבל:

<math display="block">\vec k \cdot \vec r = \omega t - const</math>הפעם, עבור המקרה הכללי, קיבלנו כי המישור ניצב לוקטור k.

== משוואות מקסוול עבור הפאזורים של השדות ==
אם נרשום את השדות:

<math display="block">\vec E = \real \{ \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} \} \text{ ; }
\vec H = \real \{ \vec \tilde H \cdot {e^{j \omega t}} \}</math>נציב את השדות החדשים במשוואות מקסוול, ונקבל את משואוות מקסוול הפאזוריות:
<math display="block">\nabla \times \tilde E = -j \omega \mu_0 \tilde H</math><math display="block">\nabla \times \tilde H = j \omega \epsilon_0 \tilde E + \tilde J</math><math display="block">\nabla \cdot \epsilon_0 \tilde E = \tilde \rho</math><math display="block">\nabla \cdot \mu \tilde H = 0</math>
== קוואזי סטטיקה ==

[[File:C3af9.jpg|300px|thumb|left|תרשים 9]]

על מנת לפתור את הבעיה, שדנו בה בתחילת הפרק, נצטרך להגדיר ולהבדיל בין שדות שמתשנים "מהר" לשדות שמשתנים "לאט".
בתרשים 9a ניתן לראות שבמערכת שבה מתקיים <math>L > \lambda</math> השדות משתנים בצורה משמעותית לאורך המערכת. במקרה זה, נאלץ לספק פיתרון מלא למשוואות מקסוול.
בתרשים 9b אנו רואים שתחת התנאי <math>L<<\lambda</math> השדה משתנה "לאט" ביחס לגודל המערכת.

מה יהיה הזמן, במקרה זה, שלוקח לגל להתפשט במערכת ולחזור לנקודת התחלה?
<math display="block">t_{\text{propagating}} = \frac{2L}{c} << \frac{2 \lambda}{ c} =
\frac{2}{c} \cdot \frac{2\pi c}{ \omega} = 2 \cdot \frac{2 \pi}{\omega} = 2T</math>
=== דוגמא ===
נתון מעגל חשמלי שגודלו 1cm.

התדר האופייני של הסיגנל במערכת הוא <math>f= 1KHz</math>.

מה אורך הגל האופייני?

<math display="block">\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot {10^8}}{{10^3}} = 300 Km >> 1cm</math>הקירוב שלנו מתקיים, ולכן נוכל לפתור מערכת זו בקירוב קווזי סטטי.
</div>

פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים

2026-02-04T21:26:55Z

Noamsamuel: /* קוואזי סטטיקה */ typo fixing

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מבוא ==
משוואות מקסוול שקיבלנו בהרצאות הקודמות הינן:

<math display="block">(1)\text{ } \nabla \times E = -\mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}</math><math display="block">(2)\text{ }\nabla \times H = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} + J</math><math display="block">(3)\text{ }\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec{E}) = \rho</math><math display="block">(4) \text{ }\nabla \cdot (\mu_0 \vec{H}) = 0</math>
נשים לב כי זו מערכת משוואות בה השדות הן פונקציה של 4 משתנים - וקטור המיקום <math> \vec{r} </math> והזמן <math> t </math>. המשוואות מצומדות זו לזו, כלומר - הפעלת שדה מגנטי משתנה בזמן יוצרת שדה חשמלי משתנה בזמן (משוואה 1), אך משינוי בשדה החשמלי, ישתנה גם השדה המגנטי (משוואה 2). דהיינו לא ניתן למצוא את השדה החשמלי, בלי לדעת מהו השדה המגנטי, ולהיפך.

כפי שהוזכר בהרצאות קודמות, הצימוד דרך המשוואות הוא זה שמאפשר פתרונות גליים. פתרונות אלו, המשתנים בזמן, הם אלו שמאפשרים את האפליקציות הטכנולוגיות ותופעות הטבע כמו אור השמש שמגיע אלינו (פיזור), ולכן אנו לא יכולים להתעלם מהשפעתן של הנגזרות הזמניות.

אחת הדרכים "להסיר" צימוד זה, היא להניח שהשדות סטטיים, ואז הנגזרות הזמניות מתאפסות. הנחה זו מובילה בד"כ לבעיה פשוטה הרבה יותר, אבל כמובן שסטטיקה מושלמת היא מקרה תאורטי, ובנוסף אינה מאפשרת טיפול באופי הגלי של השדה האלקרטומגנטי. עם זאת, היא מהווה נדבך בסיסי בטיפול במשטר ביניים שימושי מאוד - הפתרון הקוואזי-סטטי.

== משוואות מקסוול - משטר קווזי סטטי ==

במשטר קווזיסטטי אנו מניחים שהשדות משתנים בזמן, אך לאט מאוד. מה הכוונה ב"משתנים לאט מאוד"? נראה בהמשך הפרק.

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות ===
בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec J = 0, \rho = 0</math>כעת, נפעיל רוטור על שני האגפים של משוואה (1) (חוק פארדיי):

אגף שמאל:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec E) = \underbrace{\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec E)}_{\rho = 0} - \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E</math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות וקטורית:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec a) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec a) - \nabla^2 \vec a</math>אגף ימין:

<math display="block">\nabla \times (-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t})=
-\mu_0 \nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>מכיוון שהנחנו שכל השדות שאנו עובדים איתם הינם גזירים ורציפים, נחליף את הסדר בין הרוטור המרחבי שפועל על השדה המגנטי, לנגזרת בזמן:

<math display="block">=-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec H) =
-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}
\underbrace{
(\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \underbrace{\vec J}_{J=0})}_
{\text{Eq. 2 - Ampere's law}}
=
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>בסך הכל נקבל:

<math display="block">-\nabla^2 \vec E
=
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

נגדיר את מהירות הגל להיות <math>c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}</math>, נעביר אגפים ונקבל את משוואת הגלים:<math display="block">(5) \text{ }\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
0</math>זוהי מערכת של 3 משוואות גלים סקלריות לכל רכיב (<math>\hat x, \hat y, \hat z</math>).

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות ===
כעת נרצה לפתור את משוואת הגלים שקיבלנו, ולהבין כיצד נראים השדות החשמליים והמגנטיים שמקיימים אותה.

נזכור כי משוואת הגלים נובעת ממשוואות מקסוול, ולכן כל פיתרון של משוואת הגלים מוכרח לקיים את תנאי השפה של משוואות מקסוול.

==== השדה החשמלי ====
על מנת להבין אינטואיטיבית את פיתרון משוואת הגלים, נניח את הפיתרון הבא:

<math display="block">\vec E = E_x(z,t) \hat x</math>כלומר, שדה חשמלי שתלוי בזמן ובקורדינטה Z, וכיוונו בקורדינטה X.

נציב את התוצאה בנוסחה (5):

<math display="block">\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial y^2}}_{=0} +
\frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

= \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

כעת קיבלנו משוואה פשוטה יותר, שהפיתרון שלה הוא:

[[File:Pic13A.png|400px|thumbnail|left|תרשים 1]]

<math display="block">(6) \text{ }

\vec E = E_x(z,t) \hat x =
\left(f_1\left[t-\frac{z}{c}\right] + f_2\left[t+\frac{z}{c}\right]\right) \hat x</math>
כאשר <math> f_1,f_2 </math> פונקציות שרירותיות.

בתרשים 1 ניתן לקבל אינטואציה לשינוי הגל בציר z, כתלות בזמן.

==== השדה המגנטי ====
כעת, כדי למצוא את השדה המגנטי, נציב את השדה החשמלי שמצאנו לתוך משוואה (1) (חוק פאראדיי):

מצד שמאל:

<math display="block">\nabla \times \vec E = \begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z

\end{vmatrix}

=
\begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & 0 & 0

\end{vmatrix}
=
\frac{\partial E_x}{\partial z} \hat y</math>כאשר איפסנו את הנגזרות בכיוון x,y ואת השדות בכיוונים y,z משום שהשדה שלנו תלוי ב z וכיוונו הוא ב x.

נציב את תוצאת משוואה (6) לתוך תוצאת הרוטור

<math display="block">\frac{\partial E_x}{\partial z} =
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial z} +
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{ chain rule}}

\underbrace{
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial (t-\frac{z}{c})}}_{f'_1}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t-\frac{z}{c})}{\partial z}}_{-\frac{1}{c}}
+
\underbrace{
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c})} }_{f'_2}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t+\frac{z}{c})}{\partial z}}_{\frac{1}{c}}
=
-\frac{f'_1}{c} + \frac{f'_2}{c} = -\frac{1}{c} (f'_1-f'_2) = - \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2')</math>כעת נציב בחוק פאראדיי:

<math display="block">- \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2') \hat y
=
-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>נחלץ את השדה המגנטי:

<math display="block">\partial \vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1'(t-\frac{z}{c}) - f_2'(t+\frac{z}{c})) \partial t \text{ } \hat y</math><math display="block">\partial \vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (\frac{f_1(t-\frac{z}{c})}{\partial(t-\frac{z}{c})}
- \frac{\partial f_2(t+\frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c}
)})
\partial t \text{ } \hat y</math>נשים לב כי:

<math display="block">\partial t =
\partial(t-\frac{z}{c})
=
\partial(t+\frac{z}{c})</math>לכן הנגזרות הזמניות של f1,f2 יתבטלו עם הנגזרת הזמנית <math>\partial t</math>. אחרי אינטגרציה בזמן נקבל (נאפס את קבוע האינטגרציה c):

<math display="block">\vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1 - f_2)\hat y</math>ואכן, כצפוי קיבלנו שהשדה המגנטי ניצב לשדה החשמלי.

=== תכונות הפתרונות ===
נרצה לשאול: מהי "מהירות" הגל? כלומר, באיזו מהירות עלינו לנוע על מנת להישאר עם השיא (ראו תרשים 2)?

[[File:Pic23A.png|400px|thumb|left|תרשים 2]]

נביט בשרטוט בצד שמאל, של <math>f_1 (t-\frac{z}{c})</math>:

ברגע <math>t=0</math> הארגומנט הוא: <math>const = -\frac{z}{c}</math>

ולפיכך, בזמן כלשהו <math>t</math> , נקבל: <math>t-\frac{z}{c}=const</math>.

לכן:

<math display="block">z=c(t - const)</math>לכן נבין, כי הגל נע במהירות c, שהגדרנו אותה כמהירות האור:

<math display="block">c\equiv \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}
\approx
3\cdot
{10^8} [\frac{m}{s}]</math>והשדות הינם:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x</math><math display="block">\vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y
\equiv
\frac{1}{\eta}
f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y</math>כאשר <math>\eta</math> הוא קבוע שנקרא "אימפדנס הואקום", והוא שווה ל:

<math display="block">\eta \approx 377 [\Omega]</math>עד כה, דנו בפיתרונות כללים למשוואת הגלים (f1,f2 פונקציות ארביטרריות), כעת נרצה למצוא פיתרונות הרמוניים למשוואת הגלים.

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים ==
הפתרונות ההרמוניים הם מהפתרונות החשובים והשימושיים ביותר למשוואת הגלים, ננחש:

[[File:Pic33A.png|150px|thumb|left|תרשים 3 - שלשה ימנית]]

[[File:Pic43A.png|400px|thumb|left|תרשים 4]]

<math display="block">f_1(t) = A_1 \cdot cos(\omega t)</math>ולכן נקבל את השדות:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x = A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat x</math><math display="block">\vec H = \frac{1}{\eta}f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y = \frac{1}{\eta} A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat y</math>כאשר לעתים קרובות נהוג להגדיר את מספר הגל, כ:

<math display="block">k \equiv \frac{\omega}{c} [\frac{1}{m}]</math>

כפי שניתן לראות בשרטוטים מצד שמאל, השדה החשמלי (הגל הסגול) מאונך לשדה החשמלי (הגל הצהוב), ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל (z), לכן נקבל שלשה ציקלית ימנית: <math>\vec E, \vec H, \hat z</math> (תרשימים 3 ו- 4).

נשאל, מדוע הפיתרון ההרמוני שהצגנו נקרא "גל מישורי"?

מכיוון שכל הנקודות שעליהן השדה החשמלי קבוע, נמצאות על מישור שניצב לציר z.

=== תכונות ===

==== זמן מחזור ====
אם נעמוד בנקודה מסויימת <math>z=z_0</math>, ונמדוד את השדה החשמלי כתלות בזמן, קיים זמן כלשהו, שנקרא זמן המחזור ומוגדר:

[[File:pic53AB.png|200px|thumb|left|תרשים 5]]

<math display="block">T=\frac{2\pi}{\omega}</math> שעבורו מתקיים:

<math display="block">E_x(z,t_0) = E_x(z,t_0 + T)</math>

כלומר זהו הזמן בקצר ביותר שלאחריו השדה חוזר בדיוק לערכו המקורי (תרשים 5) כאשר השדה מחזורי בזמן.

==== אורך גל ====
אם "נקפיא" את הזמן ונמדוד את השדה החשמלי בכיוון x, נקבל את אורך הגל:

[[File:pic63AB.png|200px|thumb|left|תרשים 6]]

<math display="block">\lambda = \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{c}{f}</math>

זהו המרחק הקרוב ביותר בני שתי נקודות בהן ערך השדה זהה, כאשר השדה מחזורי במרחב (תרשים 6).

==== מהירות הפאזה ====
נשים לב כי המהירות שבה מתקדם גל הסינוס ימינה או שמאלה (כתלות בהיותו גל מתקדם או גל נסוג), אותה אנו מכנים מהירות הפאזה <math> v_p </math> היא בדיוק מהירות הגל שראינו עבור פולסים שרירותיים, כשדיברנו על פתרונות משוואת הגלים הכלליים. קיבלנו תוצאה זו עבור התפשטות בואקום, אבל למעשה היא תהיה תקפה כל עוד הפרמטרים של הסביבה אינם תלויים בתדר (אינם דיספרסיביים) או שהתלות בתדר שלהם זניחה בסביבת העבודה. כאשר יש תלות בתדר (דבר שתמיד מתקיים במידה זו או אחרת במציאות) זה כבר אינו המצב, מאחר ומהירות הפאזה הופכת להיות גודל התלוי גם הוא בתדר, ומהירות הגל כלל אינה מוגדרת היטב מאחר ודיספרסיה גורמת ל"עיוות" צורתו של הפולס המתפשט. עוד בנושא זה תלמדו בקורס "תמסורת גלים".

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים - ייצוג פאזורי ==
לעתים מסובך אלגברית להשתמש בייצוג של סינוסים וקוסינוסים לפונקציות מחזוריות (במיוחד עבור גזירה ואינטגרציה), לכן כדי לפתור בעיה זו נציג את הייצוג הפאזורי של הפתרונות ההרמוניים:
<math display="block">\vec E = \Re\{\vec \tilde E (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
<math display="block">\vec H = \Re\{\vec \tilde H (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde H {e^{j \omega t}} + \vec \tilde H^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ ===
נציב את הייצוג הפאזורי למשוואת הגלים:

<math display="block">\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
= \frac{1}{2}
\underbrace{
\nabla^2 [\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=\nabla ^2 \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} + \nabla ^2 \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}}}
-
\frac{1}{2c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2}
\underbrace{
[\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=-\omega^2 (\vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} - \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}})}
= 0</math>נכפול את הביטוי ב 2, ונכנס אגפים, לפי חזקת האקספוננט:

<math display="block">{e^{j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E)
+
{e^{- j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E^* - \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E^*) = 0</math>מאחר והאקספוננטים לעולם לא יתאפסו, כל אחד מהאיברים בסוגריים מתאפס זהותית:

<math display="block"> \nabla^2 \vec \tilde E + k^2 \vec \tilde E = 0
\text{ ; }
\nabla^2 \vec \tilde E^* - k^2 \vec \tilde E^* = 0</math>כאשר K הוא מספר הגל (ראינו אותו כבר).

נקבל לבסוף את משוואת הלמהולץ - משוואת הגלים בתחום התדר:<math display="block">\nabla^2 \tilde E + k^2 \tilde E = 0</math>

=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ - גל מישורי כללי ===
נכתוב את השדה החשמלי כ:

<math display="block">\tilde E = \tilde E_0 \cdot {e^{ -j (\vec k \cdot \vec r)}}</math>נשים לב שאם נבחר את וקטור הגל להיות: <math>\vec k = k \hat z</math>, נקבל את הפיתרון שראינו מקודם.

נציב את השדה החשמלי החדש למשוואת הלמהולץ, ונקבל:

<math display="block">\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E

= \nabla^2(\tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k \cdot \vec r}})+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-j \vec k)\cdot (-j \vec k) \cdot \tilde E_0 \cdot {e ^ {-j \vec k \cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-\vec k \cdot \vec k) \tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k\cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E =
(-\vec k \cdot \vec k + \frac{\omega^2}{c^2})E = 0</math>

על מנת לקיים את המשוואה, נוכל מחד לאפס את השדה החשמלי, אבל אז נקבל פתרונות לא מעניינים, מנגד ניתן לאפס את הביטוי בסוגריים:

<math display="block">k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = (\frac{\omega}{c})^2</math> קיבלנו משוואה שמזכירה משוואה של כדור, ולכן כל הווקטורים האפשריים נמצאים על שפה של כדור, שנקרא Ewald sphere (תרשים 7).

[[File:Pic73AB.png|300px|thumb|left|תרשים 7]]

נציב בחוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \nabla \cdot (\epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}}) =

-j \vec k \cdot \epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} = 0</math>ולכן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde E_0=0</math>כלומר, ווקטור K ניצב לשדה החשמלי.

ניתן לקבל באופו אופן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde H_0=0</math>ניתן לראות שקיבלנו שוב את השלשה הימנית.

=== משוואת הגלים - גל מישורי כללי - מישורים שווי פאזה ===
נביט בתרשים 8, ונחזור חזרה לתחום הזמן:

[[File:Pic83AB.png|300px|thumb|left|תרשים 8]]

<math display="block">\vec E = \real \{ \vec \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} \cdot {e^{j \omega t}} \} =
\vec E_0 \cos(\omega t - \vec k \cdot \vec r)</math>כמו שראינו מקודם, על מנת למצוא את הנקודות שבהם ווקטור השדה החשמלי קבוע, נשווה את הארגומנט של הקוסינוס למספר קבוע. נקבל:

<math display="block">\vec k \cdot \vec r = \omega t - const</math>הפעם, עבור המקרה הכללי, קיבלנו כי המישור ניצב לוקטור k.

== משוואות מקסוול עבור הפאזורים של השדות ==
אם נרשום את השדות:

<math display="block">\vec E = \real \{ \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} \} \text{ ; }
\vec H = \real \{ \vec \tilde H \cdot {e^{j \omega t}} \}</math>נציב את השדות החדשים במשוואות מקסוול, ונקבל את משואוות מקסוול הפאזוריות:
<math display="block">\nabla \times \tilde E = -j \omega \mu_0 \tilde H</math><math display="block">\nabla \times \tilde H = j \omega \epsilon_0 \tilde E + \tilde J</math><math display="block">\nabla \cdot \epsilon_0 \tilde E = \tilde \rho</math><math display="block">\nabla \cdot \mu \tilde H = 0</math>
== קוואזי סטטיקה ==

[[File:C3af9.jpg|300px|thumb|left|תרשים 9]]

על מנת לפתור את הבעיה, שדנו בה בתחילת הפרק, נצטרך להגדיר ולהבדיל בין שדות שמשתנים "מהר" לשדות שמשתנים "לאט".
בתרשים 9a ניתן לראות שבמערכת שבה מתקיים <math>L > \lambda</math> השדות משתנים בצורה משמעותית לאורך המערכת. במקרה זה, נאלץ לספק פיתרון מלא למשוואות מקסוול.
בתרשים 9b אנו רואים שתחת התנאי <math>L<<\lambda</math> השדה משתנה "לאט" ביחס לגודל המערכת.

מה יהיה הזמן, במקרה זה, שלוקח לגל להתפשט במערכת ולחזור לנקודת התחלה?
<math display="block">t_{\text{propagating}} = \frac{2L}{c} << \frac{2 \lambda}{ c} =
\frac{2}{c} \cdot \frac{2\pi c}{ \omega} = 2 \cdot \frac{2 \pi}{\omega} = 2T</math>
=== דוגמא ===
נתון מעגל חשמלי שגודלו 1cm.

התדר האופייני של הסיגנל במערכת הוא <math>f= 1KHz</math>.

מה אורך הגל האופייני?

<math display="block">\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot {10^8}}{{10^3}} = 300 Km >> 1cm</math>הקירוב שלנו מתקיים, ולכן נוכל לפתור מערכת זו בקירוב קווזי סטטי.
</div>

פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים

2025-09-21T18:03:06Z

Noamsamuel: /* משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים - ייצוג פאזורי */

פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים

2025-09-21T06:28:47Z

Noamsamuel: /* משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מבוא ==
משוואות מקסוול שקיבלנו בהרצאות הקודמות הינן:

<math display="block">(1)\text{ } \nabla \times E = -\mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}</math><math display="block">(2)\text{ }\nabla \times H = \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t} + J</math><math display="block">(3)\text{ }\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec{E}) = \rho</math><math display="block">(4) \text{ }\nabla \cdot (\mu_0 \vec{H}) = 0</math>
נשים לב כי זו מערכת משוואות בה השדות הן פונקציה של 4 משתנים - וקטור המיקום <math> \vec{r} </math> והזמן <math> t </math>. המשוואות מצומדות זו לזו, כלומר - הפעלת שדה מגנטי משתנה בזמן יוצרת שדה חשמלי משתנה בזמן (משוואה 1), אך משינוי בשדה החשמלי, ישתנה גם השדה המגנטי (משוואה 2). דהיינו לא ניתן למצוא את השדה החשמלי, בלי לדעת מהו השדה המגנטי, ולהיפך.

כפי שהוזכר בהרצאות קודמות, הצימוד דרך המשוואות הוא זה שמאפשר פתרונות גליים. פתרונות אלו, המשתנים בזמן, הם אלו שמאפשרים את האפליקציות הטכנולוגיות ותופעות הטבע כמו אור השמש שמגיע אלינו (פיזור), ולכן אנו לא יכולים להתעלם מהשפעתן של הנגזרות הזמניות.

אחת הדרכים "להסיר" צימוד זה, היא להניח שהשדות סטטיים, ואז הנגזרות הזמניות מתאפסות. הנחה זו מובילה בד"כ לבעיה פשוטה הרבה יותר, אבל כמובן שסטטיקה מושלמת היא מקרה תאורטי, ובנוסף אינה מאפשרת טיפול באופי הגלי של השדה האלקרטומגנטי. עם זאת, היא מהווה נדבך בסיסי בטיפול במשטר ביניים שימושי מאוד - הפתרון הקוואזי-סטטי.

== משוואות מקסוול - משטר קווזי סטטי ==

במשטר קווזיסטטי אנו מניחים שהשדות משתנים בזמן, אך לאט מאוד. מה הכוונה ב"משתנים לאט מאוד"? נראה בהמשך הפרק.

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות ===
בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec J = 0, \rho = 0</math>כעת, נפעיל רוטור על שני האגפים של משוואה (1) (חוק פארדיי):

אגף שמאל:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec E) = \underbrace{\nabla \cdot (\nabla \cdot \vec E)}_{\rho = 0} - \nabla^2 \vec E= -\nabla^2 \vec E</math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות וקטורית:

<math display="block">\nabla \times (\nabla \times \vec a) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec a) - \nabla^2 \vec a</math>אגף ימין:

<math display="block">\nabla \times (-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t})=
-\mu_0 \nabla \times \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>מכיוון שהנחנו שכל השדות שאנו עובדים איתם הינם גזירים ורציפים, נחליף את הסדר בין הרוטור המרחבי שפועל על השדה המגנטי, לנגזרת בזמן:

<math display="block">=-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \vec H) =
-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}
\underbrace{
(\epsilon_0 \frac{\partial \vec E}{\partial t} + \underbrace{\vec J}_{J=0})}_
{\text{Eq. 2 - Ampere's law}}
=
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>בסך הכל נקבל:

<math display="block">-\nabla^2 \vec E
=
- \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

נגדיר את מהירות הגל להיות <math>c \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}</math>, נעביר אגפים ונקבל את משוואת הגלים:<math display="block">(5) \text{ }\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
0</math>זוהי מערכת של 3 משוואות גלים סקלריות לכל רכיב (<math>\hat x, \hat y, \hat z</math>).

=== משוואת הגלים - תווך חסר מקורות - פתרונות ===
כעת נרצה לפתור את משוואת הגלים שקיבלנו, ולהבין כיצד נראים השדות החשמליים והמגנטיים שמקיימים אותה.

נזכור כי משוואת הגלים נובעת ממשוואות מקסוול, ולכן כל פיתרון של משוואת הגלים מוכרח לקיים את תנאי השפה של משוואות מקסוול.

==== השדה החשמלי ====
על מנת להבין אינטואיטיבית את פיתרון משוואת הגלים, נניח את הפיתרון הבא:

<math display="block">\vec E = E_x(z,t) \hat x</math>כלומר, שדה חשמלי שתלוי בזמן ובקורדינטה Z, וכיוונו בקורדינטה X.

נציב את התוצאה בנוסחה (5):

<math display="block">\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
=
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial^2 E}{\partial y^2}}_{=0} +
\frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}

= \frac{\partial^2 E}{\partial z^2} -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}</math>

כעת קיבלנו משוואה פשוטה יותר, שהפיתרון שלה הוא:

[[File:Pic13A.png|400px|thumbnail|left|תרשים 1]]

<math display="block">(6) \text{ }

\vec E = E_x(z,t) \hat x =
\left(f_1\left[t-\frac{z}{c}\right] + f_2\left[t+\frac{z}{c}\right]\right) \hat x</math>
כאשר <math> f_1,f_2 </math> פונקציות שרירותיות.

בתרשים 1 ניתן לקבל אינטואציה לשינוי הגל בציר z, כתלות בזמן.

==== השדה המגנטי ====
כעת, כדי למצוא את השדה המגנטי, נציב את השדה החשמלי שמצאנו לתוך משוואה (1) (חוק פאראדיי):

מצד שמאל:

<math display="block">\nabla \times \vec E = \begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z

\end{vmatrix}

=
\begin{vmatrix}
\hat x & \hat y & \hat z \\
0 & 0 & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & 0 & 0

\end{vmatrix}
=
\frac{\partial E_x}{\partial z} \hat y</math>כאשר איפסנו את הנגזרות בכיוון x,y ואת השדות בכיוונים y,z משום שהשדה שלנו תלוי ב z וכיוונו הוא ב x.

נציב את תוצאת משוואה (6) לתוך תוצאת הרוטור

<math display="block">\frac{\partial E_x}{\partial z} =
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial z} +
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{ chain rule}}

\underbrace{
\frac{\partial f_1(t - \frac{z}{c})}{\partial (t-\frac{z}{c})}}_{f'_1}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t-\frac{z}{c})}{\partial z}}_{-\frac{1}{c}}
+
\underbrace{
\frac{\partial f_2(t + \frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c})} }_{f'_2}
\cdot
\underbrace{
\frac{\partial (t+\frac{z}{c})}{\partial z}}_{\frac{1}{c}}
=
-\frac{f'_1}{c} + \frac{f'_2}{c} = -\frac{1}{c} (f'_1-f'_2) = - \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2')</math>כעת נציב בחוק פאראדיי:

<math display="block">- \sqrt{\mu_0 \epsilon_0} (f'_1 - f_2') \hat y
=
-\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}</math>נחלץ את השדה המגנטי:

<math display="block">\partial \vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1'(t-\frac{z}{c}) - f_2'(t+\frac{z}{c})) \partial t \text{ } \hat y</math><math display="block">\partial \vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (\frac{f_1(t-\frac{z}{c})}{\partial(t-\frac{z}{c})}
- \frac{\partial f_2(t+\frac{z}{c})}{\partial (t+\frac{z}{c}
)})
\partial t \text{ } \hat y</math>נשים לב כי:

<math display="block">\partial t =
\partial(t-\frac{z}{c})
=
\partial(t+\frac{z}{c})</math>לכן הנגזרות הזמניות של f1,f2 יתבטלו עם הנגזרת הזמנית <math>\partial t</math>. אחרי אינטגרציה בזמן נקבל (נאפס את קבוע האינטגרציה c):

<math display="block">\vec H =
\sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} (f_1 - f_2)\hat y</math>ואכן, כצפוי קיבלנו שהשדה המגנטי ניצב לשדה החשמלי.

=== תכונות הפתרונות ===
נרצה לשאול: מהי "מהירות" הגל? כלומר, באיזו מהירות עלינו לנוע על מנת להישאר עם השיא (ראו תרשים 2)?

[[File:Pic23A.png|400px|thumb|left|תרשים 2]]

נביט בשרטוט בצד שמאל, של <math>f_1 (t-\frac{z}{c})</math>:

ברגע <math>t=0</math> הארגומנט הוא: <math>const = -\frac{z}{c}</math>

ולפיכך, בזמן כלשהו <math>t</math> , נקבל: <math>t-\frac{z}{c}=const</math>.

לכן:

<math display="block">z=c(t - const)</math>לכן נבין, כי הגל נע במהירות c, שהגדרנו אותה כמהירות האור:

<math display="block">c\equiv \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}
\approx
3\cdot
{10^8} [\frac{m}{s}]</math>והשדות הינם:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x</math><math display="block">\vec H = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y
\equiv
\frac{1}{\eta}
f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y</math>כאשר <math>\eta</math> הוא קבוע שנקרא "אימפדנס הואקום", והוא שווה ל:

<math display="block">\eta \approx 377 [\Omega]</math>עד כה, דנו בפיתרונות כללים למשוואת הגלים (f1,f2 פונקציות ארביטרריות), כעת נרצה למצוא פיתרונות הרמוניים למשוואת הגלים.

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים ==
הפתרונות ההרמוניים הם מהפתרונות החשובים והשימושיים ביותר למשוואת הגלים, ננחש:

[[File:Pic33A.png|150px|thumb|left|תרשים 3 - שלשה ימנית]]

[[File:Pic43A.png|400px|thumb|left|תרשים 4]]

<math display="block">f_1(t) = A_1 \cdot cos(\omega t)</math>ולכן נקבל את השדות:

<math display="block">\vec E = f_1(t-\frac{z}{c}) \hat x = A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat x</math><math display="block">\vec H = \frac{1}{\eta}f_1(t-\frac{z}{c}) \hat y = \frac{1}{\eta} A_1\cdot cos(\omega(t - \frac{z}{c}))
\hat y</math>כאשר לעתים קרובות נהוג להגדיר את מספר הגל, כ:

<math display="block">k \equiv \frac{\omega}{c} [\frac{1}{m}]</math>

כפי שניתן לראות בשרטוטים מצד שמאל, השדה החשמלי (הגל הסגול) מאונך לשדה החשמלי (הגל הצהוב), ושניהם מאונכים לכיוון התקדמות הגל (z), לכן נקבל שלשה ציקלית ימנית: <math>\vec E, \vec H, \hat z</math> (תרשימים 3 ו- 4).

נשאל, מדוע הפיתרון ההרמוני שהצגנו נקרא "גל מישורי"?

מכיוון שכל הנקודות שעליהן השדה החשמלי קבוע, נמצאות על מישור שניצב לציר z.

=== תכונות ===

==== זמן מחזור ====
אם נעמוד בנקודה מסויימת <math>z=z_0</math>, ונמדוד את השדה החשמלי כתלות בזמן, קיים זמן כלשהו, שנקרא זמן המחזור ומוגדר:

[[File:pic53AB.png|200px|thumb|left|תרשים 5]]

<math display="block">T=\frac{2\pi}{\omega}</math> שעבורו מתקיים:

<math display="block">E_x(z,t_0) = E_x(z,t_0 + T)</math>

כלומר זהו הזמן בקצר ביותר שלאחריו השדה חוזר בדיוק לערכו המקורי (תרשים 5) כאשר השדה מחזורי בזמן.

==== אורך גל ====
אם "נקפיא" את הזמן ונמדוד את השדה החשמלי בכיוון x, נקבל את אורך הגל:

[[File:pic63AB.png|200px|thumb|left|תרשים 6]]

<math display="block">\lambda = \frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi c}{\omega}=\frac{c}{f}</math>

זהו המרחק הקרוב ביותר בני שתי נקודות בהן ערך השדה זהה, כאשר השדה מחזורי במרחב (תרשים 6).

==== מהירות הפאזה ====
נשים לב כי המהירות שבה מתקדם גל הסינוס ימינה או שמאלה (כתלות בהיותו גל מתקדם או גל נסוג), אותה אנו מכנים מהירות הפאזה <math> v_p </math> היא בדיוק מהירות הגל שראינו עבור פולסים שרירותיים, כשדיברנו על פתרונות משוואת הגלים הכלליים. קיבלנו תוצאה זו עבור התפשטות בואקום, אבל למעשה היא תהיה תקפה כל עוד הפרמטרים של הסביבה אינם תלויים בתדר (אינם דיספרסיביים) או שהתלות בתדר שלהם זניחה בסביבת העבודה. כאשר יש תלות בתדר (דבר שתמיד מתקיים במידה זו או אחרת במציאות) זה כבר אינו המצב, מאחר ומהירות הפאזה הופכת להיות גודל התלוי גם הוא בתדר, ומהירות הגל כלל אינה מוגדרת היטב מאחר ודיספרסיה גורמת ל"עיוות" צורתו של הפולס המתפשט. עוד בנושא זה תלמדו בקורס "תמסורת גלים".

== משוואת הגלים - פתרונות הרמוניים - ייצוג פאזורי ==
לעתים מסובך אלגברית להשתמש בייצוג של סינוסים וקוסינוסים לפונקציות מחזוריות (במיוחד עבור גזירה ואינטגרציה), לכן כדי לפתור בעיה זו ניג את הייצוג הפאזורי של הפתרונות ההרמוניים:
<math display="block">\vec E = \Re\{\vec \tilde E (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
<math display="block">\vec H = \Re\{\vec \tilde H (\vec r, \omega)\cdot {e^{j \omega t}}\}=
\frac{1}{2} \{ \vec \tilde H {e^{j \omega t}} + \vec \tilde H^{*} {e^{-j \omega t}} \}</math>
=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ ===
נציב את הייצוג הפאזורי למשוואת הגלים:

<math display="block">\nabla^2 \vec E -
\frac{1}{c^2}
\frac{\partial^2 \vec E}{\partial t^2}
= \frac{1}{2}
\underbrace{
\nabla^2 [\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=\nabla ^2 \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} + \nabla ^2 \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}}}
-
\frac{1}{2c^2} \cdot \frac{\partial^2}{\partial t^2}
\underbrace{
[\vec \tilde E {e^{j \omega t}} + \vec \tilde E^{*} {e^{-j \omega t}} ]}_
{=-\omega^2 (\vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} - \vec \tilde E^* \cdot {e^{- j \omega t}})}
= 0</math>נכפול את הביטוי ב 2, ונכנס אגפים, לפי חזקת האקספוננט:

<math display="block">{e^{j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E)
+
{e^{- j \omega t}} (\nabla^2 \vec \tilde E^* - \frac{\omega ^2}{c^2} \vec \tilde E^*) = 0</math>מאחר והאקספוננטים לעולם לא יתאפסו, כל אחד מהאיברים בסוגריים מתאפס זהותית:

<math display="block"> \nabla^2 \vec \tilde E + k^2 \vec \tilde E = 0
\text{ ; }
\nabla^2 \vec \tilde E^* - k^2 \vec \tilde E^* = 0</math>כאשר K הוא מספר הגל (ראינו אותו כבר).

נקבל לבסוף את משוואת הלמהולץ - משוואת הגלים בתחום התדר:<math display="block">\nabla^2 \tilde E + k^2 \tilde E = 0</math>

=== משוואת הגלים - משוואת הלמהולץ - גל מישורי כללי ===
נכתוב את השדה החשמלי כ:

<math display="block">\tilde E = \tilde E_0 \cdot {e^{ -j (\vec k \cdot \vec r)}}</math>נשים לב שאם נבחר את וקטור הגל להיות: <math>\vec k = k \hat z</math>, נקבל את הפיתרון שראינו מקודם.

נציב את השדה החשמלי החדש למשוואת הלמהולץ, ונקבל:

<math display="block">\nabla^2 \vec \tilde E + \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E

= \nabla^2(\tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k \cdot \vec r}})+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-j \vec k)\cdot (-j \vec k) \cdot \tilde E_0 \cdot {e ^ {-j \vec k \cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E
=
(-\vec k \cdot \vec k) \tilde E_0 \cdot {e^{-j \vec k\cdot \vec r}}+ \frac{\omega^2}{c^2} \vec \tilde E =
(-\vec k \cdot \vec k + \frac{\omega^2}{c^2})E = 0</math>

על מנת לקיים את המשוואה, נוכל מחד לאפס את השדה החשמלי, אבל אז נקבל פתרונות לא מעניינים, מנגד ניתן לאפס את הביטוי בסוגריים:

<math display="block">k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 = (\frac{\omega}{c})^2</math> קיבלנו משוואה שמזכירה משוואה של כדור, ולכן כל הווקטורים האפשריים נמצאים על שפה של כדור, שנקרא Ewald sphere (תרשים 7).

[[File:Pic73AB.png|300px|thumb|left|תרשים 7]]

נציב בחוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \nabla \cdot (\epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}}) =

-j \vec k \cdot \epsilon_0 \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} = 0</math>ולכן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde E_0=0</math>כלומר, ווקטור K ניצב לשדה החשמלי.

ניתן לקבל באופו אופן:

<math display="block">\vec k \cdot \tilde H_0=0</math>ניתן לראות שקיבלנו שוב את השלשה הימנית.

=== משוואת הגלים - גל מישורי כללי - מישורים שווי פאזה ===
נביט בתרשים 8, ונחזור חזרה לתחום הזמן:

[[File:Pic83AB.png|300px|thumb|left|תרשים 8]]

<math display="block">\vec E = \real \{ \vec \tilde E_0 {e^{-j \vec k \cdot \vec r}} \cdot {e^{j \omega t}} \} =
\vec E_0 \cos(\omega t - \vec k \cdot \vec r)</math>כמו שראינו מקודם, על מנת למצוא את הנקודות שבהם ווקטור השדה החשמלי קבוע, נשווה את הארגומנט של הקוסינוס למספר קבוע. נקבל:

<math display="block">\vec k \cdot \vec r = \omega t - const</math>הפעם, עבור המקרה הכללי, קיבלנו כי המישור ניצב לוקטור k.

== משוואות מקסוול עבור הפאזורים של השדות ==
אם נרשום את השדות:

<math display="block">\vec E = \real \{ \vec \tilde E \cdot {e^{j \omega t}} \} \text{ ; }
\vec H = \real \{ \vec \tilde H \cdot {e^{j \omega t}} \}</math>נציב את השדות החדשים במשוואות מקסוול, ונקבל את משואוות מקסוול הפאזוריות:
<math display="block">\nabla \times \tilde E = -j \omega \mu_0 \tilde H</math><math display="block">\nabla \times \tilde H = j \omega \epsilon_0 \tilde E + \tilde J</math><math display="block">\nabla \cdot \epsilon_0 \tilde E = \tilde \rho</math><math display="block">\nabla \cdot \mu \tilde H = 0</math>
== קוואזי סטטיקה ==

[[File:C3af9.jpg|300px|thumb|left|תרשים 9]]

על מנת לפתור את הבעיה, שדנו בה בתחילת הפרק, נצטרך להגדיר ולהבדיל בין שדות שמתשנים "מהר" לשדות שמשתנים "לאט".
בתרשים 9a ניתן לראות שבמערכת שבה מתקיים <math>L > \lambda</math> השדות משתנים בצורה משמעותית לאורך המערכת. במקרה זה, נאלץ לספק פיתרון מלא למשוואות מקסוול.
בתרשים 9b אנו רואים שתחת התנאי <math>L<<\lambda</math> השדה משתנה "לאט" ביחס לגודל המערכת.

מה יהיה הזמן, במקרה זה, שלוקח לגל להתפשט במערכת ולחזור לנקודת התחלה?
<math display="block">t_{\text{propagating}} = \frac{2L}{c} << \frac{2 \lambda}{ c} =
\frac{2}{c} \cdot \frac{2\pi c}{ \omega} = 2 \cdot \frac{2 \pi}{\omega} = 2T</math>
=== דוגמא ===
נתון מעגל חשמלי שגודלו 1cm.

התדר האופייני של הסיגנל במערכת הוא <math>f= 1KHz</math>.

מה אורך הגל האופייני?

<math display="block">\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot {10^8}}{{10^3}} = 300 Km >> 1cm</math>הקירוב שלנו מתקיים, ולכן נוכל לפתור מערכת זו בקירוב קווזי סטטי.
</div>

פרק 2 - תנאי שפה

2025-09-21T06:05:13Z

Noamsamuel: /* המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 2 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

== מבוא ==
בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:<math display="block">(\vec E,\vec H)=\hat D [((\vec E,\vec H)] + \vec {Sources}</math>כך ש <math>\hat D</math> הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו. קשרים דיפרנציאליים אלו ייאפשרו לנו לפתור את השדות במגוון רחב של בעיות, ללא צורך בהנחת סימטריה גבוהה.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי. תופעות אלו מתרחשות פעמים רבות באיזורים שמהווים "שפה" בין שני תחומים בעלי תכונות שונות, ונרצה לתאר את "תנאי השפה" עבור השדות, אותם נצרף למשוואות הדיפרנציאליות שקיבלנו.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מתחת המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מעל למשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס העליון של הגליל (S1), הבסיס התחתון שלו (S2), ומעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>.
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + G(\rho_1,\rho_2)\delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>.

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>\delta</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
= \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוד למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} = \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
= \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math>

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c)\cdot \vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1}) = 0</math>

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t}
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + I_{cylindrical\;shell} </math>

האיבר <math>I_{cylindrical\;shell}</math> מייצג את סך הזרם היוצא דרך מעטפת הגליל, ללא המכסים. איבר זה הוא פרופורציונלי ל-<math>\delta</math>, ומההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> ניתן להזניחו בגבול של מטעפת קטנה מאוד.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) =
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין. תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות. בדומה להגדרת הדיברגנץ התלת ממדי שראינו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], איבר זה הוא למעשה דיברגנץ משטחי - דיברגנץ המוגדר עבור שדה המוכל במשטח מסוים, ולכן ניתן לרשום את חוק שימור המטען על ידי

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D}\cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

== תנאי שפה - סיכום ==

'''שדה חשמלי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) = \eta</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0</math>

'''שדה מגנטי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_{1}) = 0</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \vec K</math>

'''חוק שימור המטען'''
<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\nabla_{2D} \cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר <math>\nabla_{2D}</math> הוא דיברגנץ דו - מימדי.

=== אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ===
באופן כללי, לא ניתן לרשום את אופרטור הדיברגנץ הדו-ממדי (או דיברגנץ משטחי) על ידי איפוס אחת הנגזרות באופרטור בדיברגנץ התלת ממדי ה"רגיל". דבר זה הוא אפשרי, רק אם היחס המטרי של הקורדינטה שאת הנגזרת לפיה אנו מאפסים הוא קבוע. במקרים פרטיים, אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D}=\hat x \frac{\partial}{\partial x} + \hat y \frac{\partial}{\partial y}</math>

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D} = \frac{1}{R^2 \sin \theta} \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left( R \sin \theta K_\theta\right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}(R K_\phi)\right)</math>

== דוגמאות ==
=== משטח טעון בצפיפות אחידה של מטען חשמלי ===
נתון משטח הטעון בצפיפות אחידה - <math>\eta_0</math>.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

<math display="block">\vec E = -\frac{\eta_{0}}{2 \epsilon_0}\cdot \sgn(z) \hat z</math>

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב <math>z=0</math>.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

<math display="block">\hat z (\epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} \hat z - \epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} (-\hat z))
=
\hat z \cdot \frac{2 \epsilon_0 \eta_0}{2 \epsilon_0}\hat z = \hat z \cdot \hat z \eta_0 = \eta_0</math>

אכן קיבלנו את <math>\eta_0</math> כצפוי.

=== משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה ===
נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה <math>\vec K = K_0 \hat y</math>.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<math display="block">\vec H = \frac{k_0}{2}\cdot \sgn(z) \hat x</math>

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \hat z \times (\frac{k_0}{2}\hat x -\frac{k_0}{2}(-\hat x)) =
\hat z \times (k_0 \hat x) = k_0 (\hat z \times \hat x) = k_0 \hat y = \vec K</math>

== משוואות מקסוול בתחום התדר ==

כאשר המקורות הם מקורות הרמוניים, גם השדות יהיו שדות הרמוניים. במקרה זה, נוח לתאר את הגדלים הפיסיקליים <math>X(t)</math> באמצעות הפאזורים שלהם <math>\tilde X</math> דרך הקשר הבא

<math display="block">
X = Re(\tilde X e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde X e^{j\omega t} + \tilde X^* e^{- j\omega t})
</math>

כלומר, השדות האלקטרומגנטיים יתוארו ע"י

<math display="block">
\vec E = Re(\tilde E e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})
</math>
<math display="block">
\vec H = Re(\tilde H e^{j \omega t}) = \frac{1}{2} (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
</math>

תאור זה, של שדות במצב סינוסי מתמיד, שימושי במיוחד שכן במסגרתו ניתן "להחליף" את פעולת הנגזרת הזמנית בהכפלה פשוטה בגורם <math>j\omega</math>. שימוש בכלל זה, מאפשר לנו לכתוב את משוואות מקסוול ותנאי השפה עבור הפאזורים של השדות בצורה "מפושטת", עבור תדר בודד

{| class="wikitable"
|+
!
!תנאי שפה
!משוואה
|-
|חוק פאראדיי
|<math>\hat{n} \times\left(\tilde{E}_{2}-\tilde{E}_{1}\right)=0</math>
|<math>\nabla \times \tilde E=-j\omega\mu_{0} \tilde H</math>
|-
|חוק אמפר
|<math>\hat{n} \times\left(\tilde{H}_{2}-\tilde{H}_{1}\right)=\vec{K}</math>
|<math>\nabla \times \tilde H=j\omega\epsilon_{0} \tilde E+\tilde J</math>
|-
|חוק גאוס חשמלי
|<math>\hat n \cdot \left(\epsilon_{0} \tilde{E}_{2}-\epsilon_{0} \tilde{E}_{1}\right)=\tilde{\eta}</math>
|<math>\nabla \cdot\left(\epsilon_{0} \tilde E\right)=\tilde \rho</math>
|-
|חוק גאוס מגנטי
|<math>\hat{n} \cdot\left(\mu_{0} \tilde{H}_{2}-\mu_{0} \tilde{H}_{1}\right)=0 </math>
|<math>\nabla \cdot\left(\mu_{0} \tilde H\right)=0</math>
|-
|חוק שימור המטען
|<math>\hat n \cdot (\tilde J_2 - \tilde J_1) + \nabla_{2D} \cdot \tilde K = - j\omega\tilde\eta</math>
|<math>\nabla \cdot \tilde J = -j\omega\tilde\rho</math>
|}

== כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? ==
נניח שקיים גוף כלשהו. בתוך הגוף יש מטענים, חלקם חופשיים לנוע, חלקם חופשיים רק להסתובב, וחלקם מקובעים למקומם. נכניס את הגוף לתוך איזור בו שורר שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.
כפי שציינו בהנחות היסוד ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|פרק 1]], בעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, וסידור חדש זה מתאר את כל ההשפעה שיש לגוף על השדה במרחב. השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

<math display="block">\vec E_{new} = \vec E_{external} + \vec E_{charge}</math>

== חומר מוליך בשדה חשמלי ==
<blockquote> הגדרה - חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר. </blockquote>

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענים הינו

<math display="block">\vec F = q \vec E</math>

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר <math>E = 0</math>.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך. השדה החשמלי בתוך המוליך, <math> \vec{E}_1=0 </math>, ומחוצה לו, <math> \vec{E}_2 </math>.ונשתמש בתנאי השפה עבור הרכיב המקביל של השדה החשמלי

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1})=0
\Longrightarrow
\hat n \times \vec E_2=0\Longrightarrow
\vec E_2 \text{ is perpendicular to the sphere}</math>

במצב יציב (מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך) מתקיים בתוך המוליך:

<math display="block">\vec E = 0</math>

נפעיל חוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=0
\Longrightarrow
\rho = 0</math>

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
כאשר החומר אינו מוליך אידאלי, המודל הפשוט ביותר המתאר את הקשר בין השדה השורר בתוך החומר לצפיפות הזרם הוא חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>. משוואה זו היא הדוגמא הראשונה שאנו רואים בקורס '''ליחס חוקה''' - משוואה המגדירה קשר בין גדלים פיסיקליים בחומר. הקבוע <math>\sigma</math> הוא למעשה "פונקציית התמסורת" של החומר המגדירה את המוצא (זרם) בהנתן הכניסה (השדה המופעל בחומר). כאן היחס מתואר ע"י אופרטור לינארי בגרסתו הפשוטה ביותר האפשרית (פשוט הכפלה בקבוע) אך ברוב המקרים המציאותיים היחס הזה יתואר ע"י אופרטור לינארי כללי יותר, שיביא בחשבון תכונות שונות של החומר כגון הפסדים.

באופן כללי, המוליכות <math>\sigma</math> יכולה להיות מטריצה, שתבטא מצב שבו רכיב שדה בכיוון מסוים יכול גם ליצור זרם בכיוון אחר. בהמשך הקורס, כאשר נדבר בהרחבה על שדות בתוך חומרים, נתאר את העקרונות הפיסיקליים המובילים לחוק אוהם.

אם ניקח כדוגמה פיסת חומר גלילית בעל שטח חתך <math>a</math> ואורך <math>l</math>, ניתן לקשור בין חוק אום בחומר, ובין חוק אוהם המוכר מתורת המעגלים הוא

<math display="block">V=RI</math>

ולקבל את הקשר

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

גם במוליכים המקיימים את חוק אוהם, בסופו של דבר, במצב היציב, כל המטענים ייצברו על השפה משיקולים דומים. בתלות בתכונות החומר, תהליך זה לוקח זמן מסוים, וניתן לקבל הערכה לזמן זה. נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר אחיד במרחב, והשתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r,t) = e^{-t/\tau} \cdot \rho (\vec{r},t=0)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

ולכן נסיק כי במוליכים "טובים", עם מוליכות גבוהה, הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל הינו קטן ביותר. טבלת מוליכויות של חומרים שונים ניתן למצוא [https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistivity_and_conductivity כאן].

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי ===

מהיכן מגיעה המשוואה <math>\vec J = \sigma \vec E</math>? על מנת לקבל אותה, עלינו להתחיל ממודל '''מיקרוסקופי''' של החומר, כלומר מודל המתאר (לפחות בקירוב כלשהו) את ההתנהגות של נושאי המטען בחומר תחת הפעלה של שדה חשמלי. המודל הפשוט ביותר נקרא מודל Drude (ע"ש הפיסיקאי Paul Drude), ומודל זה מניח שכאשר נושא מטען, או בפרט אלקטרון, נע בחומר, הוא חווה כוח "גרר" בעקבות ההתנגשויות ואינטראקציה שלו עם מרכיבי החומר האחרים, וכוח גרר זה ניתן לתאור פשוט כ <math>\vec{F}_{drag}=-\gamma \vec{v}</math>, כאשר <math>v</math> היא מהירות התנועה, ו-<math>\gamma</math> הוא מקדם חיכוך המאפיין את החומר. אם נכתוב כעת את החוק השני של ניוטון עבור אלקטרון בחומר, נקבל
<math display="block">
\vec{F}=-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}}
</math>
כאשר <math> m_e </math> היא מסת האלקטרון (בפועל זו לא בד"כ לא המסה המלאה, אלא גודל שנקרא "מסה אפקטיבית", אבל נניח לזה כרגע). נניח כעת שהשדה החשמלי קבוע בזמן, ונחפש פתרון סטטי לבעיה, כלומר פתרון שבו <math>\dot{\vec{v}}=0</math>. נקבל
<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{v}=-\frac{e}{\gamma}\vec{E}=\vec{v}_{drift}
</math>
מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה, ומסומנת בגודל <math>\vec{v}_{drift}</math> (גודלה תלוי בשדה כמובן, אך גדלים אופייניים במעגלים חשמליים הם בסדר גודל של מ"מ או ס"מ לשניה). מתוך גודל זה, ניתן להשתמש ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|הגדרת הזרם]] ולקבל את צפיפות הזרם בחומר. כבר הנחנו כי נושאי המטען הם אלקטרונים בעלי מטען <math>-e</math>, וכעת נניח גם את צפיפותם בחומר <math>n</math> (היחידות של <math>n</math> הן <math>1/m^3</math> - נושאי מטען ליחידת נפח) נקבל
<math display="block">
\vec{J}=\rho\vec{v}_{drift}=-en\left(-\frac{e}{\gamma}\vec{E}\right)=\frac{e^2n}{\gamma}\vec{E}
</math>
וקיבלנו בדיוק את חוק אוהם! צפיפות הזרם בחומר פרופורציונלית לשדה החשמלי, וקבוע הפרופורציה הוא הקבוע אותו אנו מגדירים כמוליכות הסגולית של החומר
<math display="block">
\sigma=\frac{e^2n}{\gamma}
</math>

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור הרמוני ===

מה קורה כאשר נחרוג מהתנאים הסטטיים, ונעורר את נושאי המטען בחומר המוליך באמצעות שדה המשתנה בזמן באופן סינוסואידלי?

במצב כזה, נוכל לחזור למשוואת התנועה ולייצג את כל הגדלים באמצעות הפאזורים שלהם

<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}} \Rightarrow -e\tilde{E}-\gamma\tilde{v}=j\omega m_e\tilde{v}
</math>

במשוואה זו כבר השתמשנו בעובדה שנגזרת זמנית בייצוג פאזורי מתורגמת להכפלה ב-<math>j\omega</math>. מכאן ניתן לחלץ בפשטות את פאזור המהירות ולקבל

<math display="block">
\tilde{v}=-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}
</math>

ובאותו אופן שבו זה נעשה במקרה הסטטי, לעבור לצפיפות זרם (ליתר דיוק לפאזור של צפיפות הזרם)

<math display="block">
\tilde{J}=-en\tilde{v}=-en\left(-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}\right)=\frac{ne^2/\gamma}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma(\omega)\tilde{E}(\omega)
</math>

כאשר הגדרנו את הקבוע <math>\tau'=m/\gamma</math> המייצג את זמן הדעיכה האופייני של הזרם בחומר. נשים לב כי המוליכות שהתקבלה, <math>\sigma(\omega)=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}</math> היא מוליכות עבור רכיב תדר בודד, בתדר <math>\omega</math>. אם אות הכניסה (או השדה המופעל בחומר) יכיל יותר מרכיב תדר אחד, עלינו לחבר את ההשפעה של כל תדר עם ערך המוליכות המתאים לו.

מתוך דוגמא זו אנו רואים כי המוליכות היא ערך מרוכב שתלוי מפורשות בתדר, וזו תכונה שתמיד תתקיים בכל מקדם יחס חוקה של חומר ונובעת משיקולי סיבתיות, ומהעובדה שתמיד יש הפסדים כלשהם בחומר (רק במקרה של חומר חסר הפסדים לחלוטין, נוכל לקבל יחס חוקה ממשי וקבוע בתדר, אבל זה קירוב סביר עבור הרבה מערכות).

[[File:Sigma drude.png|thumb|center|upright=2|תרשים 3: גרף אופייני של מוליכות כתלות בתדר]]

== מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor) ==
מוליך אידאלי הוא חומר שבו <math>\sigma \longrightarrow \infty</math>. לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי (מאחר וזמן הרלקסציה הוא אפסי, זה תמיד המצב בו), ולא מגנטי (הנימוק לכך אינו קלאסי, ונקרא אפקט Meisner). לפיכך, לא יהיה בו גם זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך), וגם לא צפיפות מטען נפחית.

=== השוואת התכונות של מוליך אידאלי ומוליך בעל מוליכות סופית ===
{| class="wikitable"
|+
!תכונות
!מוליך אידאלי
!מוליך רגיל
|-
|האם קיים <math>\vec K</math> על שפת המוליך?
|כן, יש זרם רק על השפה.
|לא, עבור השפה
<math>R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma}\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}
\underset{\delta \longrightarrow 0}{\longrightarrow}
\infty</math>
|-
|תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, ולכן:
<math>\eta=\epsilon_0 \cdot \hat n \vec E_{out side}</math>
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, לכן:
<math>\hat n \times \vec E_{out side} = 0</math>

כלומר, השדה ניצב לשפה
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - שימור מטען
|<math>\nabla_{2D} \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>- \hat n \cdot \vec J_{inside} = -\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>.
בבעיה סטטית, בה אין שינויים בזמן, נקבל <math>\hat{n}\cdot\vec{J}=0</math>,

ולכן הזרם חייב להיות מקביל לשפה.
|}

=== סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC) ===
<math display="block">\hat n \times \vec E = 0 </math>

<math display="block">\hat n \times \vec H = \vec K</math>

<math display="block">\hat n \cdot \epsilon_0 \vec E = \eta</math>

<math display="block">\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0</math>
</div>

פרק 2 - תנאי שפה

2025-09-21T05:50:56Z

Noamsamuel: /* דוגמאות */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 2 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

== מבוא ==
בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:<math display="block">(\vec E,\vec H)=\hat D [((\vec E,\vec H)] + \vec {Sources}</math>כך ש <math>\hat D</math> הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו. קשרים דיפרנציאליים אלו ייאפשרו לנו לפתור את השדות במגוון רחב של בעיות, ללא צורך בהנחת סימטריה גבוהה.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי. תופעות אלו מתרחשות פעמים רבות באיזורים שמהווים "שפה" בין שני תחומים בעלי תכונות שונות, ונרצה לתאר את "תנאי השפה" עבור השדות, אותם נצרף למשוואות הדיפרנציאליות שקיבלנו.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מתחת המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מעל למשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס העליון של הגליל (S1), הבסיס התחתון שלו (S2), ומעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>.
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + G(\rho_1,\rho_2)\delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>.

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>\delta</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
= \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוד למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} = \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
= \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math>

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c)\cdot \vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1}) = 0</math>

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t}
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + I_{cylindrical\;shell} </math>

האיבר <math>I_{cylindrical\;shell}</math> מייצג את סך הזרם היוצא דרך מעטפת הגליל, ללא המכסים. איבר זה הוא פרופורציונלי ל-<math>\delta</math>, ומההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> ניתן להזניחו בגבול של מטעפת קטנה מאוד.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) =
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין. תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות. בדומה להגדרת הדיברגנץ התלת ממדי שראינו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], איבר זה הוא למעשה דיברגנץ משטחי - דיברגנץ המוגדר עבור שדה המוכל במשטח מסוים, ולכן ניתן לרשום את חוק שימור המטען על ידי

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D}\cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

== תנאי שפה - סיכום ==

'''שדה חשמלי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) = \eta</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0</math>

'''שדה מגנטי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_{1}) = 0</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \vec K</math>

'''חוק שימור המטען'''
<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\nabla_{2D} \cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר <math>\nabla_{2D}</math> הוא דיברגנץ דו - מימדי.

=== אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ===
באופן כללי, לא ניתן לרשום את אופרטור הדיברגנץ הדו-ממדי (או דיברגנץ משטחי) על ידי איפוס אחת הנגזרות באופרטור בדיברגנץ התלת ממדי ה"רגיל". דבר זה הוא אפשרי, רק אם היחס המטרי של הקורדינטה שאת הנגזרת לפיה אנו מאפסים הוא קבוע. במקרים פרטיים, אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D}=\hat x \frac{\partial}{\partial x} + \hat y \frac{\partial}{\partial y}</math>

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D} = \frac{1}{R^2 \sin \theta} \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left( R \sin \theta K_\theta\right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}(R K_\phi)\right)</math>

== דוגמאות ==
=== משטח טעון בצפיפות אחידה של מטען חשמלי ===
נתון משטח הטעון בצפיפות אחידה - <math>\eta_0</math>.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

<math display="block">\vec E = -\frac{\eta_{0}}{2 \epsilon_0}\cdot \sgn(z) \hat z</math>

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב <math>z=0</math>.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

<math display="block">\hat z (\epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} \hat z - \epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} (-\hat z))
=
\hat z \cdot \frac{2 \epsilon_0 \eta_0}{2 \epsilon_0}\hat z = \hat z \cdot \hat z \eta_0 = \eta_0</math>

אכן קיבלנו את <math>\eta_0</math> כצפוי.

=== משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה ===
נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה <math>\vec K = K_0 \hat y</math>.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<math display="block">\vec H = \frac{k_0}{2}\cdot \sgn(z) \hat x</math>

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \hat z \times (\frac{k_0}{2}\hat x -\frac{k_0}{2}(-\hat x)) =
\hat z \times (k_0 \hat x) = k_0 (\hat z \times \hat x) = k_0 \hat y = \vec K</math>

== משוואות מקסוול בתחום התדר ==

כאשר המקורות הם מקורות הרמוניים, גם השדות יהיו שדות הרמוניים. במקרה זה, נוח לתאר את הגדלים הפיסיקליים <math>X(t)</math> באמצעות הפאזורים שלהם <math>\tilde X</math> דרך הקשר הבא

<math display="block">
X = Re(\tilde X e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde X e^{j\omega t} + \tilde X^* e^{- j\omega t})
</math>

כלומר, השדות האלקטרומגנטיים יתוארו ע"י

<math display="block">
\vec E = Re(\tilde E e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})
</math>
<math display="block">
\vec H = Re(\tilde H e^{j \omega t}) = \frac{1}{2} (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
</math>

תאור זה, של שדות במצב סינוסי מתמיד, שימושי במיוחד שכן במסגרתו ניתן "להחליף" את פעולת הנגזרת הזמנית בהכפלה פשוטה בגורם <math>j\omega</math>. שימוש בכלל זה, מאפשר לנו לכתוב את משוואות מקסוול ותנאי השפה עבור הפאזורים של השדות בצורה "מפושטת", עבור תדר בודד

{| class="wikitable"
|+
!
!תנאי שפה
!משוואה
|-
|חוק פאראדיי
|<math>\hat{n} \times\left(\tilde{E}_{2}-\tilde{E}_{1}\right)=0</math>
|<math>\nabla \times \tilde E=-j\omega\mu_{0} \tilde H</math>
|-
|חוק אמפר
|<math>\hat{n} \times\left(\tilde{H}_{2}-\tilde{H}_{1}\right)=\vec{K}</math>
|<math>\nabla \times \tilde H=j\omega\epsilon_{0} \tilde E+\tilde J</math>
|-
|חוק גאוס חשמלי
|<math>\hat n \cdot \left(\epsilon_{0} \tilde{E}_{2}-\epsilon_{0} \tilde{E}_{1}\right)=\tilde{\eta}</math>
|<math>\nabla \cdot\left(\epsilon_{0} \tilde E\right)=\tilde \rho</math>
|-
|חוק גאוס מגנטי
|<math>\hat{n} \cdot\left(\mu_{0} \tilde{H}_{2}-\mu_{0} \tilde{H}_{1}\right)=0 </math>
|<math>\nabla \cdot\left(\mu_{0} \tilde H\right)=0</math>
|-
|חוק שימור המטען
|<math>\hat n \cdot (\tilde J_2 - \tilde J_1) + \nabla_{2D} \cdot \tilde K = - j\omega\tilde\eta</math>
|<math>\nabla \cdot \tilde J = -j\omega\tilde\rho</math>
|}

== כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? ==
נניח שקיים גוף כלשהו. בתוך הגוף יש מטענים, חלקם חופשיים לנוע, חלקם חופשיים רק להסתובב, וחלקם מקובעים למקומם. נכניס את הגוף לתוך איזור בו שורר שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.
כפי שציינו בהנחות היסוד ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|פרק 1]], בעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, וסידור חדש זה מתאר את כל ההשפעה שיש לגוף על השדה במרחב. השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

<math display="block">\vec E_{new} = \vec E_{external} + \vec E_{charge}</math>

== חומר מוליך בשדה חשמלי ==
<blockquote> הגדרה - חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר. </blockquote>

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענים הינו

<math display="block">\vec F = q \vec E</math>

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר <math>E = 0</math>.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך. השדה החשמלי בתוך המוליך, <math> \vec{E}_1=0 </math>, ומחוצה לו, <math> \vec{E}_2 </math>.ונשתמש בתנאי השפה עבור הרכיב המקביל של השדה החשמלי

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1})=0
\Longrightarrow
\hat n \times \vec E_2=0\Longrightarrow
\vec E_2 \text{ is perpendicular to the sphere}</math>

במצב יציב (מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך) מתקיים בתוך המוליך:

<math display="block">\vec E = 0</math>

נפעיל חוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=0
\Longrightarrow
\rho = 0</math>

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
כאשר החומר אינו מוליך אידאלי, המודל הפשוט ביותר המתאר את הקשר בין השדה השורר בתוך החומר לצפיפות הזרם הוא חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>. משוואה זו היא הדוגמא הראשונה שאנו רואים בקורס '''ליחס חוקה''' - משוואה המגדירה קשר בין גדלים פיסיקליים בחומר. הקבוע <math>\sigma</math> הוא למעשה "פונקציית התמסורת" של החומר המגדירה את המוצא (זרם) בהנתן הכניסה (השדה המופעל בחומר). כאן היחס מתואר ע"י אופרטור לינארי בגרסתו הפשוטה ביותר האפשרית (פשוט הכפלה בקבוע) אך ברוב המקרים המציאותיים היחס הזה יתואר ע"י אופרטור לינארי כללי יותר, שיביא בחשבון תכונות שונות של החומר כגון הפסדים.

באופן כללי, המוליכות <math>\sigma</math> יכולה להיות מטריצה, שתבטא מצב שבו רכיב שדה בכיוון מסוים יכול גם ליצור זרם בכיוון אחר. בהמשך הקורס, כאשר נדבר בהרחבה על שדות בתוך חומרים, נתאר את העקרונות הפיסיקליים המובילים לחוק אוהם.

אם ניקח כדוגמה פיסת חומר גלילית בעל שטח חתך <math>a</math> ואורך <math>l</math>, ניתן לקשור בין חוק אום בחומר, ובין חוק אוהם המוכר מתורת המעגלים הוא

<math display="block">V=RI</math>

ולקבל את הקשר

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

גם במוליכים המקיימים את חוק אוהם, בסופו של דבר, במצב היציב, כל המטענים ייצברו על השפה משיקולים דומים. בתלות בתכונות החומר, תהליך זה לוקח זמן מסוים, וניתן לקבל הערכה לזמן זה. נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר אחיד במרחב, והשתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r,t) = e^{-t/\tau} \cdot \rho (\vec{r},t=0)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

ולכן נסיק כי במוליכים "טובים", עם מוליכות גבוהה, הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל הינו קטן ביותר. טבלת מוליכויות של חומרים שונים ניתן למצוא [https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistivity_and_conductivity כאן].

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי ===

מהיכן מגיעה המשוואה <math>\vec J = \sigma \vec E</math>? על מנת לקבל אותה, עלינו להתחיל ממודל '''מיקרוסקופי''' של החומר, כלומר מודל המתאר (לפחות בקירוב כלשהו) את ההתנהגות של נושאי המטען בחומר תחת הפעלה של שדה חשמלי. המודל הפשוט ביותר נקרא מודל Drude (ע"ש הפיסיקאי Paul Drude), ומודל זה מניח שכאשר נושא מטען, או בפרט אלקטרון, נע בחומר, הוא חווה כוח "גרר" בעקבות ההתנגשויות ואינטראקציה שלו עם מרכיבי החומר האחרים, וכוח גרר זה ניתן לתאור פשוט כ <math>\vec{F}_{drag}=-\gamma \vec{v}</math>, כאשר <math>v</math> היא מהירות התנועה, ו-<math>\gamma</math> הוא מקדם חיכוך המאפיין את החומר. אם נכתוב כעת את החוק השני של ניוטון עבור אלקטרון בחומר, נקבל
<math display="block">
\vec{F}=-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}}
</math>
כאשר <math> m_e </math> היא מסת האלקטרון (בפועל זו לא בד"כ לא המסה המלאה, אלא גודל שנקרא "מסה אפקטיבית", אבל נניח לזה כרגע). נניח כעת שהשדה החשמלי קבוע בזמן, ונחפש פתרון סטטי לבעיה, כלומר פתרון שבו <math>\dot{\vec{v}}=0</math>. נקבל
<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{v}=-\frac{e}{\gamma}\vec{E}=\vec{v}_{drift}
</math>
מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה, ומסומנת בגודל <math>\vec{v}_{drift}</math> (גודלה תלוי בשדה כמובן, אך גדלים אופייניים במעגלים חשמליים הם בסדר גודל של מ"מ או ס"מ לשניה). מתוך גודל זה, ניתן להשתמש ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|הגדרת הזרם]] ולקבל את צפיפות הזרם בחומר. כבר הנחנו כי נושאי המטעם הם אלקטרונים בעלי מטען <math>-e</math>, וכעת נניח גם את צפיפותם בחומר <math>n</math> (היחידות של <math>n</math> הן <math>1/m^3</math> - נושאי מטען ליחידת נפח) נקבל
<math display="block">
\vec{J}=\rho\vec{v}_{drift}=-en\left(-\frac{e}{\gamma}\vec{E}\right)=\frac{e^2n}{\gamma}\vec{E}
</math>
וקיבלנו בדיוק את חוק אוהם! צפיפות הזרם בחומר פרופורציונלית לשדה החשמלי, וקבוע הפרופורציה הוא הקבוע אותו אנו מגדירים כמוליכות הסגולית של החומר
<math display="block">
\sigma=\frac{e^2n}{\gamma}
</math>

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור הרמוני ===

מה קורה כאשר נחרוג מהתנאים הסטטיים, ונעורר את נושאי המטען בחומר המוליך באמצעות שדה המשתנה בזמן באופן סינוסואידלי?

במצב כזה, נוכל לחזור למשוואת התנועה ולייצג את כל הגדלים באמצעות הפאזורים שלהם

<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}} \Rightarrow -e\tilde{E}-\gamma\tilde{v}=j\omega m_e\tilde{v}
</math>

במשוואה זו כבר השתמשנו בעובדה שנגזרת זמנית בייצוג פאזורי מתורגמת להכפלה ב-<math>j\omega</math>. מכאן ניתן לחלץ בפשטות את פאזור המהירות ולקבל

<math display="block">
\tilde{v}=-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}
</math>

ובאותו אופן שבו זה נעשה במקרה הסטטי, לעבור לצפיפות זרם (ליתר דיוק לפאזור של צפיפות הזרם)

<math display="block">
\tilde{J}=-en\tilde{v}=-en\left(-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}\right)=\frac{ne^2/\gamma}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma(\omega)\tilde{E}(\omega)
</math>

כאשר הגדרנו את הקבוע <math>\tau'=m/\gamma</math> המייצג את זמן הדעיכה האופייני של הזרם בחומר. נשים לב כי המוליכות שהתקבלה, <math>\sigma(\omega)=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}</math> היא מוליכות עבור רכיב תדר בודד, בתדר <math>\omega</math>. אם אות הכניסה (או השדה המופעל בחומר) יכיל יותר מרכיב תדר אחד, עלינו לחבר את ההשפעה של כל תדר עם ערך המוליכות המתאים לו.

מתוך דוגמא זו אנו רואים כי המוליכות היא ערך מרוכב שתלוי מפורשות בתדר, וזו תכונה שתמיד תתקיים בכל מקדם יחס חוקה של חומר ונובעת משיקולי סיבתיות, ומהעובדה שתמיד יש הפסדים כלשהם בחומר (רק במקרה של חומר חסר הפסדים לחלוטין, נוכל לקבל יחס חוקה ממשי וקבוע בתדר, אבל זה קירוב סביר עבור הרבה מערכות).

[[File:Sigma drude.png|thumb|center|upright=2|תרשים 3: גרף אופייני של מוליכות כתלות בתדר]]

== מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor) ==
מוליך אידאלי הוא חומר שבו <math>\sigma \longrightarrow \infty</math>. לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי (מאחר וזמן הרלקסציה הוא אפסי, זה תמיד המצב בו), ולא מגנטי (הנימוק לכך אינו קלאסי, ונקרא אפקט Meisner). לפיכך, לא יהיה בו גם זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך), וגם לא צפיפות מטען נפחית.

=== השוואת התכונות של מוליך אידאלי ומוליך בעל מוליכות סופית ===
{| class="wikitable"
|+
!תכונות
!מוליך אידאלי
!מוליך רגיל
|-
|האם קיים <math>\vec K</math> על שפת המוליך?
|כן, יש זרם רק על השפה.
|לא, עבור השפה
<math>R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma}\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}
\underset{\delta \longrightarrow 0}{\longrightarrow}
\infty</math>
|-
|תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, ולכן:
<math>\eta=\epsilon_0 \cdot \hat n \vec E_{out side}</math>
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, לכן:
<math>\hat n \times \vec E_{out side} = 0</math>

כלומר, השדה ניצב לשפה
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - שימור מטען
|<math>\nabla_{2D} \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>- \hat n \cdot \vec J_{inside} = -\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>.
בבעיה סטטית, בה אין שינויים בזמן, נקבל <math>\hat{n}\cdot\vec{J}=0</math>,

ולכן הזרם חייב להיות מקביל לשפה.
|}

=== סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC) ===
<math display="block">\hat n \times \vec E = 0 </math>

<math display="block">\hat n \times \vec H = \vec K</math>

<math display="block">\hat n \cdot \epsilon_0 \vec E = \eta</math>

<math display="block">\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0</math>
</div>

פרק 2 - תנאי שפה

2025-09-21T05:43:02Z

Noamsamuel: /* לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס */

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 2 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נגדיר תנאי שפה, כדי להתמודד עם בעיית אי - הרציפות שמאפיינת בעיות מסוימות.

== מבוא ==
בפרק הקודם, הנחנו שכל השדות שנעבוד איתם הינם רציפים וגזירים, וזאת כדי לקבל קשר בין שדות למקורות בסביבה כלשהי של נקודה. ראינו כי ניתן לתאר את הקשר באופן המתמטי הבא:<math display="block">(\vec E,\vec H)=\hat D [((\vec E,\vec H)] + \vec {Sources}</math>כך ש <math>\hat D</math> הינו אופרטור דיפרנציאלי כלשהו. קשרים דיפרנציאליים אלו ייאפשרו לנו לפתור את השדות במגוון רחב של בעיות, ללא צורך בהנחת סימטריה גבוהה.

עם זאת, בטבע קיימות תופעות רבות שאינן רציפות, ולכן נרצה לתאר גם אותן באופן מתמטי. תופעות אלו מתרחשות פעמים רבות באיזורים שמהווים "שפה" בין שני תחומים בעלי תכונות שונות, ונרצה לתאר את "תנאי השפה" עבור השדות, אותם נצרף למשוואות הדיפרנציאליות שקיבלנו.

בדומה לפרק הקודם, אנו נבצע לוקליזציה למרחב, אך נתחשב גם בנקודות אי רציפות.

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מתחת המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מעל למשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס העליון של הגליל (S1), הבסיס התחתון שלו (S2), ומעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>.
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + G(\rho_1,\rho_2)\delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>.

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>\delta</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
= \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוד למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} = \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
= \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math>

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c)\cdot \vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.

בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1}) = 0</math>

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1, רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t}
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + I_{cylindrical\;shell} </math>

האיבר <math>I_{cylindrical\;shell}</math> מייצג את סך הזרם היוצא דרך מעטפת הגליל, ללא המכסים. איבר זה הוא פרופורציונלי ל-<math>\delta</math>, ומההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> ניתן להזניחו בגבול של מטעפת קטנה מאוד.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) =
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין. תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות. בדומה להגדרת הדיברגנץ התלת ממדי שראינו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], איבר זה הוא למעשה דיברגנץ משטחי - דיברגנץ המוגדר עבור שדה המוכל במשטח מסוים, ולכן ניתן לרשום את חוק שימור המטען על ידי

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D}\cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

== תנאי שפה - סיכום ==

'''שדה חשמלי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) = \eta</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0</math>

'''שדה מגנטי'''

הרכיב הניצב:
<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_{1}) = 0</math>

הרכיב המקביל:
<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \vec K</math>

'''חוק שימור המטען'''
<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\nabla_{2D} \cdot \vec K =
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר <math>\nabla_{2D}</math> הוא דיברגנץ דו - מימדי.

=== אופרטור הדיברגנץ הדו - מימדי ===
באופן כללי, לא ניתן לרשום את אופרטור הדיברגנץ הדו-ממדי (או דיברגנץ משטחי) על ידי איפוס אחת הנגזרות באופרטור בדיברגנץ התלת ממדי ה"רגיל". דבר זה הוא אפשרי, רק אם היחס המטרי של הקורדינטה שאת הנגזרת לפיה אנו מאפסים הוא קבוע. במקרים פרטיים, אם המשטח שלנו הוא מישור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D}=\hat x \frac{\partial}{\partial x} + \hat y \frac{\partial}{\partial y}</math>

אם המשטח שלנו הוא כדור, נגדיר:

<math display="block">\nabla_{2D} = \frac{1}{R^2 \sin \theta} \left(\frac{\partial}{\partial \theta}\left( R \sin \theta K_\theta\right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}(R K_\phi)\right)</math>

== דוגמאות ==
=== משטח טעון בצפיפות אחידה של מטען חשמלי ===
נתון משטח הטעון הצפיפות אחידה - <math>\eta_0</math>.

אנו יודעים כי השדה החשמלי הינו:

<math display="block">\vec E = -\frac{\eta_{0}}{2 \epsilon_0}\cdot \sgn(z) \hat z</math>

נבין, כי קיימת אצלנו בעיית אי רציפות ב <math>z=0</math>.

נפעיל את תנאי השפה של השדה החשמלי עבור החלק המאונך:

<math display="block">\hat z (\epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} \hat z - \epsilon_0 \frac{\eta_0}{2\epsilon_0} (-\hat z))
=
\hat z \cdot \frac{2 \epsilon_0 \eta_0}{2 \epsilon_0}\hat z = \hat z \cdot \hat z \eta_0 = \eta_0</math>

אכן קיבלנו את <math>\eta_0</math> כצפוי.

=== משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה ===
נתון משטח עליו זורם זרם משטחי בצפיפות אחידה <math>\vec K = K_0 \hat y</math>.

השדה המגנטי בבעיה הינו:

<math display="block">\vec H = \frac{k_0}{2}\cdot \sgn(z) \hat x</math>

נבדוק את תנאי השפה של השדה המגנטי המקביל:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1}) = \hat z \times (\frac{k_0}{2}\hat x -\frac{k_0}{2}(-\hat x)) =
\hat z \times (k_0 \hat x) = k_0 (\hat z \times \hat x) = k_0 \hat y = \vec K</math>

== משוואות מקסוול בתחום התדר ==

כאשר המקורות הם מקורות הרמוניים, גם השדות יהיו שדות הרמוניים. במקרה זה, נוח לתאר את הגדלים הפיסיקליים <math>X(t)</math> באמצעות הפאזורים שלהם <math>\tilde X</math> דרך הקשר הבא

<math display="block">
X = Re(\tilde X e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde X e^{j\omega t} + \tilde X^* e^{- j\omega t})
</math>

כלומר, השדות האלקטרומגנטיים יתוארו ע"י

<math display="block">
\vec E = Re(\tilde E e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})
</math>
<math display="block">
\vec H = Re(\tilde H e^{j \omega t}) = \frac{1}{2} (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
</math>

תאור זה, של שדות במצב סינוסי מתמיד, שימושי במיוחד שכן במסגרתו ניתן "להחליף" את פעולת הנגזרת הזמנית בהכפלה פשוטה בגורם <math>j\omega</math>. שימוש בכלל זה, מאפשר לנו לכתוב את משוואות מקסוול ותנאי השפה עבור הפאזורים של השדות בצורה "מפושטת", עבור תדר בודד

{| class="wikitable"
|+
!
!תנאי שפה
!משוואה
|-
|חוק פאראדיי
|<math>\hat{n} \times\left(\tilde{E}_{2}-\tilde{E}_{1}\right)=0</math>
|<math>\nabla \times \tilde E=-j\omega\mu_{0} \tilde H</math>
|-
|חוק אמפר
|<math>\hat{n} \times\left(\tilde{H}_{2}-\tilde{H}_{1}\right)=\vec{K}</math>
|<math>\nabla \times \tilde H=j\omega\epsilon_{0} \tilde E+\tilde J</math>
|-
|חוק גאוס חשמלי
|<math>\hat n \cdot \left(\epsilon_{0} \tilde{E}_{2}-\epsilon_{0} \tilde{E}_{1}\right)=\tilde{\eta}</math>
|<math>\nabla \cdot\left(\epsilon_{0} \tilde E\right)=\tilde \rho</math>
|-
|חוק גאוס מגנטי
|<math>\hat{n} \cdot\left(\mu_{0} \tilde{H}_{2}-\mu_{0} \tilde{H}_{1}\right)=0 </math>
|<math>\nabla \cdot\left(\mu_{0} \tilde H\right)=0</math>
|-
|חוק שימור המטען
|<math>\hat n \cdot (\tilde J_2 - \tilde J_1) + \nabla_{2D} \cdot \tilde K = - j\omega\tilde\eta</math>
|<math>\nabla \cdot \tilde J = -j\omega\tilde\rho</math>
|}

== כיצד משפיעים שדות על גופים המוכנסים לתוכם? ==
נניח שקיים גוף כלשהו. בתוך הגוף יש מטענים, חלקם חופשיים לנוע, חלקם חופשיים רק להסתובב, וחלקם מקובעים למקומם. נכניס את הגוף לתוך איזור בו שורר שדה חשמלי, ולכן נרצה לדעת איך נראה השדה החשמלי החדש.
כפי שציינו בהנחות היסוד ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|פרק 1]], בעקבות המעבר לאזור עם שדה חיצוני, המטענים זזים ומסתדרים מחדש, וסידור חדש זה מתאר את כל ההשפעה שיש לגוף על השדה במרחב. השדה החשמלי החדש יהיה סכום השדה החיצוני (בלי הגוף), עם השדה החשמלי הפנימי שנוצר ע"י המטענים בגוף:

<math display="block">\vec E_{new} = \vec E_{external} + \vec E_{charge}</math>

== חומר מוליך בשדה חשמלי ==
<blockquote> הגדרה - חומר מוליך הוא חומר שבו יש מטענים חשמליים, החופשיים לנוע לכל מקום בתוך החומר. </blockquote>

אנו יודעים כי הכוח הפועל על המטענים הינו

<math display="block">\vec F = q \vec E</math>

ולכן נבין, כי בהינתן ונפעיל שדה חשמלי חיצוני, המטענים בתוך החומר ימשיכו לזוז עד אשר <math>E = 0</math>.

נשים לב, כי כדי לקבל את התנאי הנ"ל, השדה החיצוני צריך להיות ניצב לשפת המוליך. השדה החשמלי בתוך המוליך, <math> \vec{E}_1=0 </math>, ומחוצה לו, <math> \vec{E}_2 </math>.ונשתמש בתנאי השפה עבור הרכיב המקביל של השדה החשמלי

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1})=0
\Longrightarrow
\hat n \times \vec E_2=0\Longrightarrow
\vec E_2 \text{ is perpendicular to the sphere}</math>

במצב יציב (מצב שבו אין תנועת מטענים התוך המוליך) מתקיים בתוך המוליך:

<math display="block">\vec E = 0</math>

נפעיל חוק גאוס:

<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E)=0
\Longrightarrow
\rho = 0</math>

לכן נבין, כי במצב יציב אין מטענים בתוך החומר, אלא רק על השפה שלו.

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
כאשר החומר אינו מוליך אידאלי, המודל הפשוט ביותר המתאר את הקשר בין השדה השורר בתוך החומר לצפיפות הזרם הוא חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>. משוואה זו היא הדוגמא הראשונה שאנו רואים בקורס '''ליחס חוקה''' - משוואה המגדירה קשר בין גדלים פיסיקליים בחומר. הקבוע <math>\sigma</math> הוא למעשה "פונקציית התמסורת" של החומר המגדירה את המוצא (זרם) בהנתן הכניסה (השדה המופעל בחומר). כאן היחס מתואר ע"י אופרטור לינארי בגרסתו הפשוטה ביותר האפשרית (פשוט הכפלה בקבוע) אך ברוב המקרים המציאותיים היחס הזה יתואר ע"י אופרטור לינארי כללי יותר, שיביא בחשבון תכונות שונות של החומר כגון הפסדים.

באופן כללי, המוליכות <math>\sigma</math> יכולה להיות מטריצה, שתבטא מצב שבו רכיב שדה בכיוון מסוים יכול גם ליצור זרם בכיוון אחר. בהמשך הקורס, כאשר נדבר בהרחבה על שדות בתוך חומרים, נתאר את העקרונות הפיסיקליים המובילים לחוק אוהם.

אם ניקח כדוגמה פיסת חומר גלילית בעל שטח חתך <math>a</math> ואורך <math>l</math>, ניתן לקשור בין חוק אום בחומר, ובין חוק אוהם המוכר מתורת המעגלים הוא

<math display="block">V=RI</math>

ולקבל את הקשר

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

גם במוליכים המקיימים את חוק אוהם, בסופו של דבר, במצב היציב, כל המטענים ייצברו על השפה משיקולים דומים. בתלות בתכונות החומר, תהליך זה לוקח זמן מסוים, וניתן לקבל הערכה לזמן זה. נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר אחיד במרחב, והשתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r,t) = e^{-t/\tau} \cdot \rho (\vec{r},t=0)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

ולכן נסיק כי במוליכים "טובים", עם מוליכות גבוהה, הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל הינו קטן ביותר. טבלת מוליכויות של חומרים שונים ניתן למצוא [https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistivity_and_conductivity כאן].

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי ===

מהיכן מגיעה המשוואה <math>\vec J = \sigma \vec E</math>? על מנת לקבל אותה, עלינו להתחיל ממודל '''מיקרוסקופי''' של החומר, כלומר מודל המתאר (לפחות בקירוב כלשהו) את ההתנהגות של נושאי המטען בחומר תחת הפעלה של שדה חשמלי. המודל הפשוט ביותר נקרא מודל Drude (ע"ש הפיסיקאי Paul Drude), ומודל זה מניח שכאשר נושא מטען, או בפרט אלקטרון, נע בחומר, הוא חווה כוח "גרר" בעקבות ההתנגשויות ואינטראקציה שלו עם מרכיבי החומר האחרים, וכוח גרר זה ניתן לתאור פשוט כ <math>\vec{F}_{drag}=-\gamma \vec{v}</math>, כאשר <math>v</math> היא מהירות התנועה, ו-<math>\gamma</math> הוא מקדם חיכוך המאפיין את החומר. אם נכתוב כעת את החוק השני של ניוטון עבור אלקטרון בחומר, נקבל
<math display="block">
\vec{F}=-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}}
</math>
כאשר <math> m_e </math> היא מסת האלקטרון (בפועל זו לא בד"כ לא המסה המלאה, אלא גודל שנקרא "מסה אפקטיבית", אבל נניח לזה כרגע). נניח כעת שהשדה החשמלי קבוע בזמן, ונחפש פתרון סטטי לבעיה, כלומר פתרון שבו <math>\dot{\vec{v}}=0</math>. נקבל
<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{v}=-\frac{e}{\gamma}\vec{E}=\vec{v}_{drift}
</math>
מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה, ומסומנת בגודל <math>\vec{v}_{drift}</math> (גודלה תלוי בשדה כמובן, אך גדלים אופייניים במעגלים חשמליים הם בסדר גודל של מ"מ או ס"מ לשניה). מתוך גודל זה, ניתן להשתמש ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|הגדרת הזרם]] ולקבל את צפיפות הזרם בחומר. כבר הנחנו כי נושאי המטעם הם אלקטרונים בעלי מטען <math>-e</math>, וכעת נניח גם את צפיפותם בחומר <math>n</math> (היחידות של <math>n</math> הן <math>1/m^3</math> - נושאי מטען ליחידת נפח) נקבל
<math display="block">
\vec{J}=\rho\vec{v}_{drift}=-en\left(-\frac{e}{\gamma}\vec{E}\right)=\frac{e^2n}{\gamma}\vec{E}
</math>
וקיבלנו בדיוק את חוק אוהם! צפיפות הזרם בחומר פרופורציונלית לשדה החשמלי, וקבוע הפרופורציה הוא הקבוע אותו אנו מגדירים כמוליכות הסגולית של החומר
<math display="block">
\sigma=\frac{e^2n}{\gamma}
</math>

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור הרמוני ===

מה קורה כאשר נחרוג מהתנאים הסטטיים, ונעורר את נושאי המטען בחומר המוליך באמצעות שדה המשתנה בזמן באופן סינוסואידלי?

במצב כזה, נוכל לחזור למשוואת התנועה ולייצג את כל הגדלים באמצעות הפאזורים שלהם

<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}} \Rightarrow -e\tilde{E}-\gamma\tilde{v}=j\omega m_e\tilde{v}
</math>

במשוואה זו כבר השתמשנו בעובדה שנגזרת זמנית בייצוג פאזורי מתורגמת להכפלה ב-<math>j\omega</math>. מכאן ניתן לחלץ בפשטות את פאזור המהירות ולקבל

<math display="block">
\tilde{v}=-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}
</math>

ובאותו אופן שבו זה נעשה במקרה הסטטי, לעבור לצפיפות זרם (ליתר דיוק לפאזור של צפיפות הזרם)

<math display="block">
\tilde{J}=-en\tilde{v}=-en\left(-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}\right)=\frac{ne^2/\gamma}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma(\omega)\tilde{E}(\omega)
</math>

כאשר הגדרנו את הקבוע <math>\tau'=m/\gamma</math> המייצג את זמן הדעיכה האופייני של הזרם בחומר. נשים לב כי המוליכות שהתקבלה, <math>\sigma(\omega)=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}</math> היא מוליכות עבור רכיב תדר בודד, בתדר <math>\omega</math>. אם אות הכניסה (או השדה המופעל בחומר) יכיל יותר מרכיב תדר אחד, עלינו לחבר את ההשפעה של כל תדר עם ערך המוליכות המתאים לו.

מתוך דוגמא זו אנו רואים כי המוליכות היא ערך מרוכב שתלוי מפורשות בתדר, וזו תכונה שתמיד תתקיים בכל מקדם יחס חוקה של חומר ונובעת משיקולי סיבתיות, ומהעובדה שתמיד יש הפסדים כלשהם בחומר (רק במקרה של חומר חסר הפסדים לחלוטין, נוכל לקבל יחס חוקה ממשי וקבוע בתדר, אבל זה קירוב סביר עבור הרבה מערכות).

[[File:Sigma drude.png|thumb|center|upright=2|תרשים 3: גרף אופייני של מוליכות כתלות בתדר]]

== מוליך מול מוליך אידאלי (PEC=Perfect Electric Conductor) ==
מוליך אידאלי הוא חומר שבו <math>\sigma \longrightarrow \infty</math>. לפיכך, אין בתוכו שדות בכלל: לא שדה חשמלי (מאחר וזמן הרלקסציה הוא אפסי, זה תמיד המצב בו), ולא מגנטי (הנימוק לכך אינו קלאסי, ונקרא אפקט Meisner). לפיכך, לא יהיה בו גם זרם חשמלי נפחי (אולם ייתכן זרם חשמלי על השפה של המוליך), וגם לא צפיפות מטען נפחית.

=== השוואת התכונות של מוליך אידאלי ומוליך בעל מוליכות סופית ===
{| class="wikitable"
|+
!תכונות
!מוליך אידאלי
!מוליך רגיל
|-
|האם קיים <math>\vec K</math> על שפת המוליך?
|כן, יש זרם רק על השפה.
|לא, עבור השפה
<math>R=\frac{1}{\sigma}\frac{l}{A}=\frac{1}{\sigma}\cdot \frac{l}{\delta \cdot D}
\underset{\delta \longrightarrow 0}{\longrightarrow}
\infty</math>
|-
|תנאי שפה - רכיב ניצב של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, ולכן:
<math>\eta=\epsilon_0 \cdot \hat n \vec E_{out side}</math>
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - רכיב משיקי של השדה החשמלי
|אין בתוכו שדה, לכן:
<math>\hat n \times \vec E_{out side} = 0</math>

כלומר, השדה ניצב לשפה
|אין הגבלה
|-
|תנאי שפה - שימור מטען
|<math>\nabla_{2D} \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>- \hat n \cdot \vec J_{inside} = -\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>.
בבעיה סטטית, בה אין שינויים בזמן, נקבל <math>\hat{n}\cdot\vec{J}=0</math>,

ולכן הזרם חייב להיות מקביל לשפה.
|}

=== סיכום תנאי שפה על מוליך מושלם (PEC) ===
<math display="block">\hat n \times \vec E = 0 </math>

<math display="block">\hat n \times \vec H = \vec K</math>

<math display="block">\hat n \cdot \epsilon_0 \vec E = \eta</math>

<math display="block">\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0</math>
</div>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2025-07-08T16:58:01Z

Noamsamuel: typo fixing

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרחשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החיצוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל.
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>
כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר.
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>

כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהם כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>

מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית.
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פולריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פולריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה.
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים.
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:
<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>
בהצבה בחוק גאוס נקבל:
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>
מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:
<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>
וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>
נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:
<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta</math>
נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו
<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0</math>
הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E</math> ולכן נוכל לרשום:
<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}</math>
כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>
מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:
<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z</math>
כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמא - קבל שכבות ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]
באיור 14 נתון קבל שבין לוחותיו מבנה דיאלקטרי שכבתי. כל שכבה היא בעלת עובי <math>d_i</math> ומקדם דיאלקטרי <math>\epsilon_i</math>.
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math> מאחר והוא בכיוון z בלבד ועובר בין השכבות באופן רציף (אין צפיפות מטען חופשית).
נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:
<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>
ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>
בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:
<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>
המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:
<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>
נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>

שדות אלקטרומגנטיים

2025-07-08T12:04:37Z

Noamsamuel: typo fixing

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl" font-size:150%>
ברוכים הבאים וברוכות הבאות לדף הויקיפדיה של הקורס "שדות אלקטרומגנטיים" באוניברסיטת תל אביב.

הדף נערך ונבנה על ידי ירדן מזור (מרצה) ורונאל מלניצקי. לשאלות והצעות ניתן לפנות לירדן מזור, פרטים ב-https://www.wavetheory-group.sites.tau.ac.il/
== מבוא ==
מדוע אנו מתעניינים בשדות אלקטרומגנטיים?

הם נמצאים בכל מקום מסביבנו!

'''בטבע''' - האור, פיזור האור מחומרים ואובייקטים שונים המאפשר לנו לראות אותם. תופעות שונות הקשורות להתנהגות השדות האלקטרומגנטיים באינטראקציה זו עם חומרים שונים קובעת את צבע השמיים, העננים, הקשת בענן.

'''בטכנולוגיה''' - שדות אלקטרומגנטיים נמצאים בתחומים רבים:
* חישה, RADAR.
* דימות רפואי: החל מ-CT ורנטגן המשתמשים בגלים בתחום ה-XRAY, ועד MRI המשתמש בשדות מגנטיים סטטיים בשילוב עם שדות בתדרי רדיו.
*לייזרים, סיבים אופטיים לתקשורת והולכת מידע, ומערכות אופטיות.
*חומרים מלאכותיים ואקזוטיים.
הבנה של תופעות אלו (ועוד) מחייבת תאור מסודר ומעמיק של השדות האלקטרומגנטיים, וכיצד הם מבצעים אינטראקציה עם הסביבה.

בקורס שלנו אנחנו נעסוק בעיקר בשדות סטטיים (כלומר שאינם משתנים בזמן), או "כמעט" סטטיים. האם בשל כך הוא רלוונטי רק כנדבך לקורסי ההמשך?

ממש לא! בחזית המחקר היום נמצא העיסוק במבנים קטנים מאוד - עד כדי ננומטרים ספורים. גם שדות בתדרים זמניים גבוהים מאוד הם בעלי אורך גל ארוך משמעותית ממבנים אלו, ולכן מנקודת המבט של מערכות ננומטריות השדות מתנהגים כמעט כשדות סטטיים.

בתרשים הזרימה למטה מתוארים חלקי הקורס, והקשרים ביניהם.

[[File:flowchart-course.png|800px|left]]

[[פרק 0 - מבוא מתמטי]]

[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)]]<br />

[[פרק 2 - תנאי שפה]]

[[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים]]

[[פרק 3ב - קוואזיסטטיקה]]

[[פרק 4 - עבודה ואנרגיה]]

[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה]]

[[פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות]]

[[פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית]]

[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית]]

[[פרק 9 - מגנטוסטטיקה]]

[[פרק 10 - שדות חשמליים בחומר]]

[[פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים]]

[[פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר]]

[[פרק 13 - אנרגיה]]

</div>

פרק 7 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות גלילית

2025-06-08T19:27:00Z

Noamsamuel: typo fixing

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בשבוע הקודם ראינו קיצר ניתן לפתור את משוואת לפלאס באמצעות הפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות.

בשבוע הזה נראה כיצד נוכל לפתור את בעית לפלאס למערכת עם סימטריה אזימוטלית (גלילית).

== פתרון בהפרדת משתנים - קורדינטות גליליות ==
[[File:Pic0701.png|200px|thumb|left|איור 1]]
הגדרת קורדינטות גליליות מתוארת באיור 1. בקורדינטות אלו, משוואת לפלס היא:

<math display="block">\nabla^{2} \phi=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial \phi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial \varphi^{2}}+\frac{\partial^{2} \phi}{\partial z^{2}}=0</math>

באופן דומה לתהליך שבו השתמשנו במקרה הקרטזי, ניקח פתרון בהפרדת משתנים מהצורה:

<math display="block">\phi = R(r)F(\varphi)Z(z)</math>

נציב חזרה במשוואת לפלס

<math display="block">\nabla^2\phi = F\cdot Z\cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(rR')+
\frac{1}{r^2}F'' RZ+FRZ''=0</math>

כעת, נחלק את המשוואה שהתקבלה ב-<math>FRZ</math> ונקבל:

<math display="block">
\frac{1}{Rr} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r R')+\frac{1}{r^2}\cdot \frac{F''}{F} = - \frac{Z''}{Z}
</math>
במקרה זה יש לבצע את ההפרדה בשני שלבים. בשלב ראשון, נשים לב כי אגף ימין של משוואה זו תלוי במשתנה <math>z</math> בלבד, ואגף שמאל במשתנים <math>r,\varphi</math> ולכן כל אחד מהם חייב להיות שווה לקבוע. מכאן, משוואת ההפרדה עבור <math>Z(z)</math> תהיה
<math display="block">\frac{Z''}{z}=-k_z^2</math>
וזו משוואה מוכרת, שקיבלנו גם בבעיה הקרטזית (זה לא מפתיע כלל, מכיוון שקורדינטה <math>z</math> היא אותה קורדינטה גם בקרטזיות וגם בגליליות). עבור אגף שמאל של משוואת ההפרדה המלאה נקבל

<math display="block">
\frac{1}{Rr} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (r R')+\frac{1}{r^2}\cdot \frac{F''}{F}=k_z^2
</math>

נכפול ב <math>r^2</math>:

<math display="block">\underbrace{\frac{r}{R} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')-k_z^2r^2}_{\text{depends only on r}
} +
\underbrace{\frac{F''}{F}}_{\text{depends only on }\varphi} = 0</math>

מכאן, ניתן לרשום שתי משוואות הפרדה נוספות עבור <math>R,F</math>. עבור <math>F</math>:

<math display="block">\frac{F''}{F} \equiv -\nu^2</math>

ועבור <math>R</math>

<math display="block">\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r}(rR') -
(\frac{\nu^2}{r^2} + k_z^2)R = 0</math>

ובסך הכל יש שני קבועי הפרדה בלתי תלויים - <math>\nu,k_z</math>.
=== סיווג הפתרונות ===
אצלנו בקורס אנחנו נתמקד בפתרונות דו-ממדיים, כלומר שאינם תלויים בקורדינטה <math>z</math>, ולכן נניח בשלב זה ש-<math>k_z=0</math>.

'''הפיתרון הטריוויאלי''' - פתרון זה מקיים <math>\nu=0,k_z=0</math>. מתוך משוואות ההפרדה נקבל

<math display="block">\begin{cases}
F''=0 \Rightarrow F=A\varphi +B \\
Z''=0 \Rightarrow Z=Cz+D\\
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} (rR')= 0\Rightarrow
rR' = E \Rightarrow R'=\frac{E}{r} \Rightarrow R = E \ln(r)+F </math>

'''פתרון כללי''' - פתרון זה מקיים <math>\nu \neq 0,k_z=0 </math>:

<math display="block">\frac{F''}{F}=-\nu^2 \Rightarrow F''+\nu^2 F=0 </math>
ניתן לסווג בנוסף, על פי הערך של <math>\nu^2</math>.

אם <math>\nu^2>0 </math>:

<math display="block">F(\varphi) = A\cos(\nu \varphi) + B \sin(\nu \varphi) </math>
הצבה חזרה במשוואה עבור <math>R</math>:

<math display="block">r^2 R''+rR'-\nu^2 R=0 \Rightarrow R=E r^\nu + F r^{-\nu} </math>
משפחת פתרונות זו מתאימה למקרה שבו אנחנו רוצים לפרוס תנאי שפה מסוים לאורך קורדינטה <math>\varphi</math>, כמו שנראה בדוגמאות.

אם <math>\nu^2<0 </math>:

<math display="block">\nu \equiv i \tilde \nu </math><math display="block">F'' - \tilde \nu^2 F = 0 \Rightarrow
F = A \sinh(\tilde \nu \varphi) + B \cosh(\tilde \nu \varphi) </math>נציב במשוואה ל- <math>R</math>:

<math display="block">R=\tilde E \cos(\tilde \nu \ln(r))+
\tilde F \sin(\tilde \nu \ln(r)) </math>
משפחת פתרונות זו מתאימה למקרה שבו אנחנו רוצים לפרוס תנאי שפה מסוים לאורך קורדינטה <math>r</math>. שימו לב שלא קיבלנו פריסה באמצעות פתרונות <math>sin,cos</math> בצורה "רגילה", וזאת מכיוון שלאורך קורדינטה <math>r</math> האורתוגונליות של הפתרונות מוגדרת ביחס למכפלה פנימית שונה מהמקרה הקרטזי הרגיל (פונקציית המשקל תהיה r).

=== סיכום קצר ===
בכל הפתרונות <math>k_z=0 </math> התלות בכיוון z היא טריוויאלית.
{| class="wikitable"
|+
|<math>\phi = (A\varphi + B)(C \ln(r) + D)(Ez+F ) </math>
!<math>\nu=0 </math>
|-
|<math>\phi=[A \cos(\nu\varphi)+B\sin(\nu\varphi)] \cdot
[C r^\nu + D r^{-\nu}] \cdot [Ez+F] </math>
!<math>\nu^2>0 </math>
|-
|<math>\phi = [A\sinh(\tilde \nu \varphi)+B\cosh(\tilde \nu \varphi)]\cdot
[C\sin(\tilde \nu \ln(r))+D\cos(\tilde \nu \ln(r))]\cdot
[Ez+F] </math>
!<math>\nu^2<0 </math>
|}

=== דוגמא 1 ===
[[File:Pic0702.png|200px|thumb|left|איור 2]]
[[File:c7f3b.png|400px|thumb|left|איור 3 - השדה החשמלי בבעיה]]
הגאומטריה מתוארת באיור 2. שני משטחי אינסופיים בכיוון <math>z</math> יוצרים זווית <math>\alpha</math> ביניהם, ומחוברים לפוטנציאלים כמוראה בתרשים.
יש לחשב את <math>\phi </math> בין הלוחות הללו.

תנאי שפה עבור הפוטנציאל בין הלוחות:

<math>\phi(\varphi=0)=0,\phi(\varphi=\alpha)=V_0 </math>

הבעיה מתאימה לפיתרון טריויאלי:

<math display="block">\phi = (A\varphi + B)\cdot (C+\underbrace{D \ln (r)}_{=0})\cdot (\underbrace{E z}_{=0} + F)=
A\varphi + B </math>

נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(\varphi=0)=B=0</math>

<math display="block">\phi(\varphi=\alpha)=A\cdot \alpha =V_0 \Rightarrow A=\frac{V_0}{\alpha}</math>

לכן:

<math display="block">\phi = \frac{V_0}{\alpha}\cdot \varphi </math><math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{V_0}{\alpha r} \hat \varphi </math>

תרשים של הפוטנציאל (צבעים) ושל השדות ניתן לראות באיור 3.

=== דוגמא 2 ===
[[File:Pic0704.png|60px|thumb|left|איור 4]]
נתון תיל אינסופי טעון בצפיפות אחידה כמוראה באיור 4

נבחר גם כאן בפתרון הטריוויאלי. מאחר ויש סימטריה מלאה של הבעיה לתזוזה בכיוון <math>z</math> וגם סימטריה מלאה ב-<math>\varphi</math>:

<math display="block">\phi = (\underbrace{A\varphi}_{=0} + B)\cdot
(\underbrace{Cz}_{=0}+D) \cdot
(E+F\ln(r))=
E+F\ln(r) </math>נבחר ייחוס לפוטנציאל ב- <math>r=R_0 </math>:

<math display="block">\phi= C_1 \ln(\frac{r}{R_0}) </math>
את הקבוע החסר נוכל לקבל מחוק גאוס האינטגרלי:
<math display="block">\vec E = -\nabla \phi = -\frac{C_2}{r} \hat r
\underbrace{=}_{\text{Gauss's theorem}} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0} \cdot \frac{1}{r} \hat r </math>

=== דוגמא 3 ===
[[File:Pic0705.png|200px|thumb|left|איור 5]]
גליל אינסופי בכיוון <math>z</math> שרדיוסו <math>a</math> עשוי ממוליך אידאלי (PEC). בסביבת הגליל מופעל שדה חיצוני <math>\vec{E}^{external}=E_0\hat{x}</math>, כמוראה באיור 5.

יש לחשב את הפוטנציאל החשמלי והשדה בכל המרחב.

מחוץ לגליל הפוטנציאל מקיים את משוואת לפלס <math>\nabla^2\phi=0</math>. תנאי השפה שעל הפתרון לקיים עבור השדות

<math display="block">
\begin{cases} \vec E(r\gg a) = E_0 \hat x \\ \phi(r=a)=C \end{cases}
</math>
ולכן על הפוטנציאל לקיים
<math display="block">
\Rightarrow
\begin{cases} \phi(r\gg a) = -E_0 x = -E_0 r \cos \varphi \text{ (1)}\\
\phi(r=a)=0 \text{ (2)}\end{cases}</math>

הפיתרון הכללי:

<math display="block">
\phi = (A r^\nu +B r^{-\nu})\cdot (C \sin(\nu \varphi)+D\cos(\nu\varphi))
</math>
מאחר ואנו פותרים בכל התחום הזוויות <math>\varphi \in [0,2\pi]</math> חייב להתקיים:

[[File:Pic0706b.png|300px|thumb|left|איור 6 - קווים שווי פוטנציאל בדוגמא]]

<math display="block">
\nu=n\in \N
</math>
מתנאי שפה (1) נבחר <math>\nu=n=1</math>:

<math display="block">\phi= (Ar+\frac{B}{r})\cdot (C \sin\varphi + D \cos\varphi)</math>מ (2):<math display="block">\phi(r=a)=0=(Aa+\frac{B}{a})\cdot (C\sin\varphi + D \cos\varphi)
\Rightarrow
Aa+\frac{B}{a}=0
\Rightarrow
B=-Aa^2 </math>
מ (1):
[[File:Pic0707.png|300px|thumb|left|איור 7 - קווי השדה בדוגמא]]
<math display="block">
\phi(r\gg a) \approx Ar\cdot (C\sin\varphi+D\cos\varphi )=-E_0r \cos\varphi
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
C=0,A\cdot D =-E_0
\Rightarrow
B\cdot D = a^2 \cdot A \cdot D
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\phi = (-E_0 r+\frac{E_0 a^2}{r}) \cos \varphi =
\underbrace{-E_0 r \cos \varphi}_{\text{External potential}}
+
\underbrace{\frac{E_0 a^2}{r}\cos\varphi}_{\text{Reaction}} </math>
ניתן לראות שהתוצאה מורכבת למעשה משתי תרומות. החלק הראשון הוא הפוטנציאל החיצוני - הפוטנציאל ש"עורר" את הבעיה. החלק השני הוא פוטנציאל התגובה - פוטנציאל זה נוצר בעקבות תגובת המטענים בגליל לשדה החיצוני.

השדה בבעיה יהיה
<math display="block">
\vec E = -\nabla \phi = E_0 \hat x -\frac{a^2}{r^2}\cdot
(-\cos\varphi \hat r - \sin\varphi \hat \varphi)\cdot E_0
</math>
'''מה פילוג המטענים על שפת הגליל?'''
<math display="block">\eta = \hat r \cdot (\epsilon_0 E - \epsilon_0 E_{\text{inside}})|_{r=a} =...=2\epsilon_0 E_0 \cos\varphi </math>

=== דוגמא 4 ===
[[File:Pic0708.png|200px|thumb|left|איור 8]]
נתונה גזרה גלילית, בעלת זווית פנימית <math>\alpha</math>. רדיוס הגזרה <math>a</math>. המשטחים <math>\phi=0,\phi=\alpha</math> עשויים מוליך אידאלי ומוארקים. המשטח <math>r=a</math> מחובר לפוטנציאל חיצוני <math>V(\varphi)</math>, כמוראה באיור 8. המבנה אינסופי בכיוון <math>\hat z</math>.

בתוך הגזרה הפוטנציאל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math> מאחר ומדובר בבעיה סטטית ואין מטענים חופשיים

תנאי השפה:

<math display="block">
\begin{cases}
\phi(\varphi=0)=0 \\
\phi(\varphi=\alpha)=0 \\
\phi(r=a)=V(\varphi), \varphi\in[0,\alpha]
\end{cases}
</math>

הפיתרון הטריוויאלי לא יכול לקיים את תנאי השפה, לכן נבחר בפיתרון הכללי:

<math display="block">
\phi = (Ar^\nu + B r^{-\nu})\cdot (C\sin(\nu\varphi)+D\cos(\nu\varphi))
</math>
נציב תנאי שפה:

<math display="block">
\phi(\varphi=0) = (A r^\nu + B r^{-\nu})\cdot
D = 0 \Rightarrow D=0
</math>

על מנת לפשט את הרישום נגדיר:

<math display="block">A \cdot C \equiv \tilde A, B\cdot C \equiv \tilde B </math>

ונקבל

<math display="block">\phi = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu\varphi)</math>

נציב <math>\varphi = \alpha</math>:

<math display="block">
\phi(\varphi=\alpha) = (\tilde A r^\nu + \tilde B r^{-\nu}) \sin(\nu \alpha) = 0
\Rightarrow
\nu \alpha = \pi n
\Rightarrow
\nu = \frac{\pi n}{\alpha}, n\in \N
</math>
[[File:Pic0709.png|300px|thumb|left|איור 9]]
ולכן ניתן להביע את הפתרון על ידי
<math display="block">
\phi = \sum_{n=1}^\infty (\tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }} + \tilde B_n r ^{-\frac{\pi n}{\alpha }})
\sin\left(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi\right)
</math>
מתוך עיקרון המינימום / מקסימום חייב להתקיים <math>\tilde B_n = 0</math> על מנת למנוע התבדרות של הפוטנציאל בראשית:

<math display="block">
\phi = \sum_{n=1}^\infty \tilde A_n r ^{\frac{\pi n}{\alpha }}
\sin\left(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi\right)
</math>
מכאן מפתחים את המקדמים לפי:
[[File:Pic0710.png|300px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">
\phi(r=a)=V(\varphi)
</math>
ומקבלים ביטוי ל - <math>\tilde A_n</math>, באופן זהה לצורה בה עשינו את הפיתוח ב[[פרק 6 - פתרון משוואה לפלאס - תכונות, ופתרון בהפרדת משתנים בקורדינטות קרטזיות#קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2|מקרה הקרטזי]].

מה השדה?

<math display="block">
\vec E = -\nabla \phi = - \hat r
\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1}
\sin\left(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi\right) -
\hat \varphi\sum_{n=1}^\infty \tilde A_n \frac{\pi n}{\alpha} r^{\frac{\pi n}{\alpha}-1}
\cos\left(\frac{\pi n}{\alpha}\varphi\right)
</math>
נשים לב, כי באיבר הראשון <math>n=1</math> החזקה של <math>r</math> יכולה להיות שלילית כאשר <math>\alpha>\pi</math>. כלומר, כאשר מבנה התחום הוא כזה שיש "שפיץ" בראשית, אנחנו מקבלים שהשדה יתבדר בראשית, כפי שאנחנו מצפים. באיור 9 ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל והשדה עבור <math>\alpha<\pi</math>. ניתן לראות כי השדה רגולרי בראשית. לעומת זאת באיור 10, רואים את התבדרות השדה בראשית.
</div>