EM Fields - TAU - User contributions [en]

פרק 0 - מבוא מתמטי

2022-05-12T19:43:50Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 0 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

== מערכת קורדינטות אורתוגונלית ==
נגדיר 3 פונקציות
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
u_1(x,y,z),\;u_2(x,y,z),\;u_3(x,y,z)
</math>
</div>
אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות <math> u_i(x,y,z)=u_{i,0} </math>) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים <math> \hat{u_i} </math> מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה <math> u_i </math> כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.
[[File:C0f1.png|left|thumb|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]

=== יחסים מטריים ===
אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}
</math>
</div>
שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> /vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_1}\right|du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}\right| \Longrightarrow h_1=\left[ \left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)^2 \right]^{1/2}
</math>
</div>
את היחסים המטריים <math> h_2,h_3 </math> ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}+h_2du_2\widehat{u_2}+h_3du_3\widehat{u_3}
</math>
</div>
וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות בקמצעות קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dS=h_2du_2h_3du_3=d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>
כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות <math> d\ell_2,d\ell_3 </math> (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dV=h_1du_1h_2du_2h_3du_3=d\ell_1d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>

=== דוגמא - קורדינטות גליליות ===
קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\ z=z \end{matrix} \right.</math>
</div>
נחשב את היחסים המטריים ונקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\begin{matrix}
h_r=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial r} \right)^2 \right]^{1/2}=1\;\Rightarrow\;d\ell_r=dr \\
h_{\varphi}=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi} \right)^2 \right]^{1/2}=r\;\Rightarrow\;d\ell_{\varphi}=rd\varphi \\
h_z=1\;\Rightarrow\;d\ell_z=dz
\end{matrix}
</math>
</div>

== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==

=== הגדרת הדיברגנץ ===
[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
<math>
\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שדה השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left. div(\vec{F})\right|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות <math> u_1,u_1+du_1 </math> בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left.\vec{F}(u_1)\cdot(-\widehat{u_1})d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1}+\left.\vec{F}(u_1+du_1)\cdot\widehat{u_1}d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1+du_1}
</math>
</div>
בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא <math> dV=d\ell_1d\ell_2d\ell_3 </math>, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\frac{1}{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)
</math>
</div>
ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
div\left(\vec{F}\right)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2\vec{F}\cdot\widehat{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

=== הגדרת הרוטור (Curl) ===
נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da
</math>
</div>
נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין '''ההיטל''' של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\hat{n}\cdot curl(\vec{F})da
</math>
</div>
כיצד לבחור את <math> \hat{n} </math> בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר <math> \hat{n} </math> הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
curl(\vec{F})=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\hat{n}\left[\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}\right]_{max}
</math>
</div>
אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, <math> u_1,u_2,u_3 </math> אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי <math> \widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3} </math>. לדוגמא, עבור הרכיב <math> \widehat{u_1} </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\left[ \int_{AB}+\int_{CD} \right]+\left[ \int_{BC}+\int_{DA} \right]...=\frac{1}{h_2h_3}\left[-\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_2F_{u_2}\right) +\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3F_{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.

== דיברגנץ משטחי ==
נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדים ע"י:

<math display="block">\begin{cases}
S+dS_u = [X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]
\\
S+dS_v = [X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow

\begin{cases}
dS_u = [X(u+du,v) - X(u,v),Y(u+du,v) - Y(u,v),Z(u+du,v) - Z(u,v)]

\\
dS_v = [X(u,v+dv) - X(u,v),Y(u,v+dv) - Y(u,v),Z(u,v+dv) - Z(u,v)]
\end{cases}</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
dS_u = [\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}] du
\\
dS_v = [\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}] dv
\end{cases}
</math>כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

<math display="block">\begin{cases}
||dS_u||=h_u du
\\
||dS_v||=h_v dv
\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}
h_u = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial u})^2 }
\\
h_v = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial v})^2 }

\end{cases}

</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>
[[File:Wiki0New.png|500px|thumb|center|תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv]]
כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv +
F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du - F_v - F_v(u,v)h_u(u,v)du</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\psi = \oint_l F\cdot \hat n_l dl =
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) dudv +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v) dudv =</math><math display="block">=
\underbrace{
\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסטכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla_s \cdot F =
\frac{1}{h_u h_v}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)]
\\
\nabla \cdot F = \frac{1}{h_u h_v h_w}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v h_w F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_w F_v)
+ \frac{\partial}{\partial w}(h_u h_v F_w)]
\end{cases}</math>כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">h_w=const</math>תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.
</div>

File:Wiki0New.png

2022-05-12T19:41:54Z

RonelM:

File:Wiki 0 new.png

2022-05-12T19:41:01Z

RonelM:

פרק 0 - מבוא מתמטי

2022-05-12T19:38:25Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בפרק 0 של הקורס [[שדות אלקטרומגנטיים]] נחזור ונגדיר מושגים מתמטיים חשובים, שיידרשו להבנת החומר בקורס.

== מערכת קורדינטות אורתוגונלית ==
נגדיר 3 פונקציות
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
u_1(x,y,z),\;u_2(x,y,z),\;u_3(x,y,z)
</math>
</div>
אם המשטחים שווי הערך (כלומר המשטחים המקיימים את המשוואות <math> u_i(x,y,z)=u_{i,0} </math>) ניצבים זה לזה בכל נקודה ונקודה, הפונקציות מגדירות מערכת קורדינטות אורתוגונלית, והמשוואות הנ"ל מגדירות משטחים שווי קורדינטה. וקטורי היחידה בכיוון הקורדינטות, המסומנים <math> \hat{u_i} </math> מוגדרים בכיוון הגדלת הקורדינטה <math> u_i </math> כאשר הקורדינטות האחרות קבועות.
[[File:C0f1.png|left|thumb|תרשים 1 - משטחים שווי קורדינטה במערכת אורתוגונלית כללית]]

=== יחסים מטריים ===
אם נניח שניתן להפוך את היחסים, ניתן לרשום את וקטור המיקום על ידי
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{r}=x\hat{x}+y\hat{y}+z\hat{z}=x(u_1,u_2,u_3)\hat{x}+y(u_1,u_2,u_3)\hat{y}+z(u_1,u_2,u_3)\hat{z}
</math>
</div>
שינוי קטן בוקטור המיקום הנובע מצעד אינפיטסימלי בכיוון הקורדינטה <math> u_1 </math> ניתן לרשום על ידי <math> /vec{dr}=h_1du_1\hat{u_1} </math> כאשר <math> h_1 </math> הוא '''היחס המטרי''' - היחס הקושר בין ערך השנוי בקורדינטה (<math> du_1 </math>), לגודל הצעד ה"אמיתי" שעשינו במרחב.
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial u_1}\right|du_1\widehat{u_1}=\left|\frac{\partial x}{\partial u_1}\hat{x}+\frac{\partial y}{\partial u_1}\hat{y}+\frac{\partial z}{\partial u_1}\hat{z}\right| \Longrightarrow h_1=\left[ \left(\frac{\partial x}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u_1}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u_1}\right)^2 \right]^{1/2}
</math>
</div>
את היחסים המטריים <math> h_2,h_3 </math> ניתן להגדיר באופן אנלוגי לחלוטין, ומכאן ניתן לרשום עבור צעד כללי כלשהו בוקטור המיקום
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\vec{dr}=h_1du_1\widehat{u_1}+h_2du_2\widehat{u_2}+h_3du_3\widehat{u_3}
</math>
</div>
וניתן לרשום את אלמנטי האורך בכיוון כל אחת מהקורדינטות בקמצעות קשרים אלו - <math> d\ell_1=h_1du_1,\; d\ell_2=h_2du_2,\; d\ell_3=h_3du_3 </math>.

באופן דומה ניתן להראות ששטחו של אלמנט שטח קטן שנוצר כתוצאה מתוספת אינפיטסימלית לקורדינטות <math> u_2,u_3 </math> לדוגמא יהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dS=h_2du_2h_3du_3=d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>
כשטחו של מלבן קטן בעל צלעות <math> d\ell_2,d\ell_3 </math> (זה חייב להיות מלבן מאחר ומדובר במערכת קורדינטות אורתוגונלית). עבור אלמנט נפח נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
dV=h_1du_1h_2du_2h_3du_3=d\ell_1d\ell_2d\ell_3
</math>
</div>

=== דוגמא - קורדינטות גליליות ===
קורדינטות גליליות מוגדרות על ידי הטרנספורמציה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>\left\{ \begin{matrix} x=r\cos\varphi \\ y=r\sin\varphi \\ z=z \end{matrix} \right.</math>
</div>
נחשב את היחסים המטריים ונקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\begin{matrix}
h_r=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial r} \right)^2 \right]^{1/2}=1\;\Rightarrow\;d\ell_r=dr \\
h_{\varphi}=\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial y}{\partial \varphi} \right)^2+\left( \frac{\partial z}{\partial \varphi} \right)^2 \right]^{1/2}=r\;\Rightarrow\;d\ell_{\varphi}=rd\varphi \\
h_z=1\;\Rightarrow\;d\ell_z=dz
\end{matrix}
</math>
</div>

== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==

=== הגדרת הדיברגנץ ===
[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
<math>
\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שדה השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left. div(\vec{F})\right|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות <math> u_1,u_1+du_1 </math> בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left.\vec{F}(u_1)\cdot(-\widehat{u_1})d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1}+\left.\vec{F}(u_1+du_1)\cdot\widehat{u_1}d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1+du_1}
</math>
</div>
בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא <math> dV=d\ell_1d\ell_2d\ell_3 </math>, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\frac{1}{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)
</math>
</div>
ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
div\left(\vec{F}\right)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2\vec{F}\cdot\widehat{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

=== הגדרת הרוטור (Curl) ===
נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da
</math>
</div>
נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין '''ההיטל''' של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\hat{n}\cdot curl(\vec{F})da
</math>
</div>
כיצד לבחור את <math> \hat{n} </math> בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר <math> \hat{n} </math> הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
curl(\vec{F})=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\hat{n}\left[\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}\right]_{max}
</math>
</div>
אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, <math> u_1,u_2,u_3 </math> אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי <math> \widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3} </math>. לדוגמא, עבור הרכיב <math> \widehat{u_1} </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\left[ \int_{AB}+\int_{CD} \right]+\left[ \int_{BC}+\int_{DA} \right]...=\frac{1}{h_2h_3}\left[-\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_2F_{u_2}\right) +\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3F_{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.

== דיברגנץ משטחי ==
נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדים ע"י:

<math display="block">\begin{cases}
S+dS_u = [X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]
\\
S+dS_v = [X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow

\begin{cases}
dS_u = [X(u+du,v) - X(u,v),Y(u+du,v) - Y(u,v),Z(u+du,v) - Z(u,v)]

\\
dS_v = [X(u,v+dv) - X(u,v),Y(u,v+dv) - Y(u,v),Z(u,v+dv) - Z(u,v)]
\end{cases}</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\begin{cases}
dS_u = [\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}] du
\\
dS_v = [\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}] dv
\end{cases}
</math>כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

<math display="block">\begin{cases}
||dS_u||=h_u du
\\
||dS_v||=h_v dv
\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}
h_u = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial u})^2 }
\\
h_v = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial v})^2 }

\end{cases}

</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv +
F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du - F_v - F_v(u,v)h_u(u,v)du</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\psi = \oint_l F\cdot \hat n_l dl =
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) dudv +
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v) dudv =</math><math display="block">=
\underbrace{
\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסטכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">\begin{cases}
\nabla_s \cdot F =
\frac{1}{h_u h_v}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)]
\\
\nabla \cdot F = \frac{1}{h_u h_v h_w}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v h_w F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_w F_v)
+ \frac{\partial}{\partial w}(h_u h_v F_w)]
\end{cases}</math>כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">h_w=const</math>תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.
</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-24T19:02:33Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה <math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 (איור 8) ===
[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 (איור 9) ===
[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה) (סיכום)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 13 - אנרגיה

2022-04-20T19:50:07Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== אנרגיה ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
לצורך כך, נביט על:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>W_H</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>W_E</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות (איור 1) ===
[[File:Pic1301.png|300px|thumb|left|איור 1]]

במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה (איור 2) ===
[[File:Pic1302.png|500px|thumb|center|איור 2]]

כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>אם <math>\chi_E </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2 </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material} </math>

=== הספק מגנוט ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:
<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>

File:Pic1302.png

2022-04-20T19:48:38Z

RonelM:

File:Pic1301.png

2022-04-20T19:45:59Z

RonelM:

פרק 13 - אנרגיה

2022-04-20T19:40:23Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== אנרגיה ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
לצורך כך, נביט על:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>W_H</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>W_E</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות ===
במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה ===
כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>אם <math>\chi_E </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2 </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material} </math>

=== הספק מגנוט ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>אם החומר מגיב ע"י:
<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>

פרק 13 - אנרגיה

2022-04-20T19:30:37Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== אנרגיה ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S}
= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>מה קורה בחומר?<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source} </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>W_H</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>W_E</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות ===
<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה ===
כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E </math>אם <math>\chi_E </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2 </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material} </math>

=== הספק מגנוט ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t} </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M </math>

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S </math></div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-20T19:17:09Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה <math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
[[File:Pic1206.png|500px|thumb|center|איור 6]]
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים (איור 7) ====
[[File:Pic1207.png|200px|thumb|left|איור 7]]
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 (איור 8) ===
[[File:Pic1208.png|200px|thumb|left|איור 8]]
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 (איור 9) ===
[[File:Pic1209.png|200px|thumb|left|איור 9]]
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
[[File:Pic1210.png|700px|thumb|center|איור 10 - קשר לינארי, והיסטרזיס של חומרים מגנטיים]]
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

File:Pic1210.png

2022-04-20T19:14:48Z

RonelM:

File:Pic1209.png

2022-04-20T19:10:50Z

RonelM:

File:Pic1208.png

2022-04-20T19:08:27Z

RonelM:

File:Pic1207.png

2022-04-20T19:05:12Z

RonelM:

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-20T19:01:31Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה <math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
[[File:Pic1201.png|200px|thumb|left|איור 1]]
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization (איור 1) - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization (איור 2) - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

[[File:Pic1202.png|200px|thumb|left|איור 2]]

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization (איור 3) ===
[[File:Pic1203.png|200px|thumb|left|איור 3]]
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי (איורים 5,4) ====
[[File:Pic1204.png|250px|thumb|left|איור 4]]
[[File:Pic1205.png|250px|thumb|left|איור 5]]
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים ====
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 ===
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 ===
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

File:Pic1206.png

2022-04-20T19:00:29Z

RonelM:

File:Pic1205.png

2022-04-20T18:58:17Z

RonelM:

File:Pic1204.png

2022-04-20T18:55:06Z

RonelM:

File:Pic1203.png

2022-04-20T18:51:48Z

RonelM:

File:Pic1202.png

2022-04-20T18:50:16Z

RonelM:

File:Pic1201.png

2022-04-20T18:50:04Z

RonelM:

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-20T18:37:22Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כפי שראינו בפרק על פולריזציה, חומרים יכולים להגיב לנוכחותו של שדה חשמלי לידם / בתוכם. תגובה זו מתרחשת (אם כי בעקבות מנגנונים פיזיקליים שונים) גם כאשר חומר נחשף לשדה מגנטי.

כאשר שוחחנו על חומרים חשמליים, תארנו באופן קלאסי את תגובתם על ידי "הסטת" ענן אלקטרונים ביחס לגרעין, מה שגורם להיווצרות מומנט דיפול באטום / מולקולה.

כעת, ננסה להבין את התופעות המתרחשות בתוך החומר המאפשרות או יוצרות את התגובה של החומר לשדה מגנטי.

ראשית, ניזכר בתיאור שקיבלנו עבור דיפול מגנטי. בהרצאה על מגנטוסטטיקה ראינו שלולאת זרם קטנה יוצאת שדה מגנטי שמשתנה בשדה של דיפול, כאשר מומנט הדיפול היה <math>m=I\cdot A</math> .

את האטומים של החומר, ניתן לתאר באמצות לולאות זרם קטנות של דיפולים מגנטיים.

== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===
את הזרם, או את הדיפול באופן שקול, נהוג לייחס ל - 2 מנגנונים עיקריים:
* Spin Magnetization - דיפול מגנטי שקיים באופן טבעי בחלקיקים המרכיבים את האטום - אלקטרונים, פרוטונים וניורוטונים. במצב טבעי, דיפולים אלו במצאים באורינטציה אקראית בחומר והדיפול הממוצע הוא אפס.
* Orbital Magnetization - דיפול מגנטי הנובע מהתנועה המעגלית שמבצעים האלקטרונים סביב הגרעיון - מתנהגים כטבעת זרם קטנה.
מכאן, הפעלת שדה מגנטי חיצוני יכולה להשפיע על החומר (או על הדיפולים בחומר) ב - 2 דרכים שונות:

# לסובב וליישר את הדיפולים ה"טבעיים" הקיימים, כך שיווצר עבורה כיוון מועדף, ואז הדיפול הממוצע לא יהיה אפס.
# לשנות את גודלו של הזרם בלולאות כך שעוצמת הדיפול תשתנה. דבר זה קורה בעקבות כא"מ מושרה בלולאות.

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization ===
נסתכל על טבעת זרם.

נניח כי הזרם נוצר כתוצאה של תנועה של חלקיקים בעלי מסה q ומטען m.

כעת, נניח שנדליק אט - אט שדה מגנטי הניצג ללולאה מחוק פארדיי:

<math display="block">\int_{loop} \vec E \cdot dl = -\frac{d}{dt} \iiint (\mu_0 \vec H) \hat n dS</math><math display="block">\Rightarrow E\cdot 2\pi r = -\frac{dB}{dt} \cdot \pi r^2
\Rightarrow
E = -\frac{r}{2} \mu_0 \frac{d\vec H}{dt} </math>כלומר, בעקבות שינוי השטף נוצר שדה חשמלי היקפי המפעיל כוח על המטענים הזורמים בטבעת.

סימן המינוס מרמז על כך שהכוח יפעל על הזרם כדי "לזרז" את השינוי בשטף (עיקרון לנץ).

בסך הכל, אם נבצע "רעיונית" אינטגרציה בזמן, נגלה שבכל תהליך ההפעלה של <math>\vec B</math> פעל כוח על המטענים בטבעת והקטין את הזרם, ולכן הקטין את מומנט הדיפול.

או, בשפה מעט יותר מתאימה, הפעלת השדה המגנטי <math>\vec H</math>, הוסיפה לחומר דיפול המנוגד לכיוונו של <math>\vec H</math>.

חומרים המגיבים בעזרת מנגנון זה נקראים דיאמגנטיים.

דוגמאות - כספית, כסף, ביסמוט, נחושת, מים.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===
כאשר החומר מורכב מדיפולים של spin, הפעלה של שדה חיצוני "תסדר" את הדיפולים בכיוון השדה, ולכן תוסיף לחומר דיפול ממוצע בכיוון השדה.

חומרים אלו נראים פאראמגנטיים.

יש חומרים מסוימים שעבורם יש בחומר דיפולים ומבנה המאפשרית תגובה מאוד חזקה באופן הזה אלו נקראים פרומגנטיים (ברזל, קובלט), ותגובתם לשדה מגנטי חזקה מאוד.

'''חשוב לציין:''' כדי לנתח באופן כמותי תופעות מגנטיות בחומר, יש להשתמש בכלים ממכניקת הקוונטים - אלו אינן תופעות בעולם הקלאסי.

עם זאת, ולמרות היותו שגוי, ההסבר הקלאסי יכול להיות אינטואיטיבי, ואפילו לפרקים לתת תוצאות כמותיות נכונות.

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
כעת, כאשר התרשמנו וקיבלנו קצת אינטואיציה על המנגנונים היוצרים את המגניטציה, נרצה לקבל תאור כמותי. גם כאן נגדיר לנו את <math>\vec M</math> - וקטור המגנטיזציה המייצג את הצפיפות המגנטית בחומר.
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי ====
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \text{(1) }
\nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \text{(2) }
\nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים ====
למרות שעד כה אין ראיות להמצאות מטענים מגנטיים "בודדים" (מונופולים) בטבע, לפחות מתמטית ניתן להניח את קיומם כדי לבנות מודל שמתבסס על השוואה בין פולריזציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 ===
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 ===
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
כפי שראינו במקרה החשמלי, גם כאן תכונות החומר מתוארות על ידי ביטוי בקשר <math> \vec M \rightarrow \vec H </math>.

עבור שדה מגנטי, המקרה בו היחס אינו לינארי נפוץ מאוד.

אך, בכל זאת קיימות סיטואציות רבות בהן ניתן להגדיר את הקשר באופן לינארי, ולקבל:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>

=== חומרים לא מגנטיים ===

* חומרים פאראמגנטיים - כפי שאמרנו, התגובה חלשה והדיפולים יכולים להסתדר בכיוון <math> \vec A </math>. לכן, <math> 0<\chi_m <<1 </math>
* חומרים דיאמגנטיים - כתוצאה מתגובה השראתית, הדיפול משתנה כדי לאזר שינוי כשטף. מתוך עיקרון לנץ התגובה בכיוון הפוך ל - <math> \vec H </math> שמעורר, ולכן <math> \chi_m<0 , |\chi_m|<<1 </math>.

{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה) (סיכום)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}

=== חומרים מגנטיים ===

* חומרים פרומגנטיים - חומרים בעלי תגובה חזקה מאוד לשדה מגנטי. מבנה האטום, והאלקטרונים בקליפה גורמים לאינטרקציה בין הדיפולים המגנטיים בחומר, מה שגורם להן להסתדר בכיוון זהה. בחומרים אלו כאשר מכבים את השדה המגנטי נשארת מגנטיזציה שיורית, ויש להשקיע אנרגיה כדי לבטלה (לדוגמא לחמם מתכת) בד"כ במתכות מעבר כגון ברזל, ניקל, קובלט. תגובה חזקה זו גורמת לערכי <math> \chi_m </math> מאוד גבוהים (<math> \chi_m>1000 </math>).
* חומרים פרימגנטיים - גם בעלי תגובה חזקה. מנגנון המגנוט מורכבים, יש בהם 2 אטומים שונים בעלי מומנט דיפול שונה שיכולים להסתדר הפוך, ולהשאיר דיפול שקול שונה.

{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 12 - שדות מגנטיים בחומר

2022-04-20T17:33:21Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== שדות מגנטיים בחומר ==

=== מנגנוני מגנטיזציה ===

* Spin Magnetization
* Orbital Magnetization

=== דיאמגנטים - Orbital Magnetization ===
מנגנון התגובה ל-<math> \vec H </math> הוא דרך שינוי השטף. מתוך עקרון לנץ, דיפול התגובה יהיה הפוך לשדה החיצוני.

=== פאראמגנטים, פרומגנטים - Spin Magnetization ===

=== וקטור מגנטיזציה - <math> \vec M </math> ===
נסתכל על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \sum\vec m = \vec M\cdot dv \Leftrightarrow \frac{d\vec m}{dv} = \vec M </math>ישנם שני מודלים לתיאור המקורות השקולים המייצגים את המגנטיזציה:

# מודל הזרם האמפרי
# מודל המטען המגנטי

==== 1.מודל הזרם האמפרי ====
כאשר באזור מסוים משתנה המגנטיזציה, תהיה צפיפות זרם שקולה המייצגת שינוי זה.

נרצה לשכנע שמתקיים: <math> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>. נתחיל מלהסתכל שוב על אלמנט מגנטיזציה קטן:<math display="block"> d\vec m = \vec M (d\vec l \cdot d\vec a) = (\vec M\cdot d\vec l)d\vec a </math>מתקיים <math> I = \vec M\cdot d\vec l </math> ולכן:<math display="block"> d\vec m = Id\vec a </math>קיבלנו את התוצאה שקיבלנו דרך מגנטוסטטיקה עבור מומנט הדיפול של לולאת זרם בשטח <math> d\vec a </math>.

מה סך הזרם שעובר דרך הלולאה שהגדרנו?<math display="block"> I = \oint\vec M\cdot d\vec l </math>מצד אחד, ישנו הקשר בין הזרם לצפיפות הזרם:<math display="block"> I = \iint\vec J_a\cdot d\vec a </math>מצד שני, לפי משפט סטוקס נוכל לומר:<math display="block"> \oint\vec M\cdot d\vec l = \iint\vec\nabla\times\vec M\cdot d\vec a </math>מאחר שאין תלות בלולאה בה נבחר, נקבל את השוויון:<math display="block"> \vec J_a = \nabla \times \vec M </math>והוכחנו.

===== זרמי מגנטיזציה משטחיים =====
נמצא תנאי שפה במעבר בין תווכים בהם <math> \vec H </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times H = J +\frac{\partial D}{\partial t} \Rightarrow \hat n\times(\vec H_2 - \vec H_1)=\vec k </math>ובין תווכים בהם <math> \vec M </math> שונה:<math display="block"> \nabla\times M = J_a \Rightarrow \hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)=\vec k_a </math>

===== משוואות מקסוול בחומר =====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות מגנטיזציה:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H_a = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f + \underbrace{\nabla\times\vec M}_{\vec{J_a}}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_{a,2}-\vec H_{a,1}) = \vec K_f + \underbrace{\hat n\times(\vec M_2 - \vec M_1)}_{\vec{K_a}}\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>

==== 2. מודל המטענים המגנטיים ====
נבנה את המודל באמצעות השוואה בין הפולרזיציה לבין המגנטיזציה:<math display="block">\vec P \Leftrightarrow \mu_0\vec M</math>צפיפות המטען הנפחית:<math display="block">\rho_p = -\nabla\cdot\ P \Leftrightarrow \rho_m = -\nabla\cdot (\mu_0\vec M)</math>צפיפות הזרם:<math display="block">\vec{J_p} = \frac{\partial p}{\partial t} \Leftrightarrow \vec{J_m} = \frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M) </math>צפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_p = -\hat n\cdot(\vec P_2 - \vec P_1) \Leftrightarrow \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)</math>

===== חוק שימור המטען המגנטי =====
קיבלנו את הביטוי לצפיפות המטען המשטחית:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1) </math>נגזור אותו בזמן:<math display="block">\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = -\hat n\cdot(\mu_0\vec \frac{\partial M_2}{\partial t} - \mu_0\frac{\partial \vec M_1}{\partial t}) = -\hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>וקיבלנו את חוק שימור המטען המגנטי:<math display="block">-\frac{\partial\eta_m}{\partial t} = \hat n\cdot(\vec{J_{m_2}}-\vec{J_{m_1}}) </math>

==== משוואות מקסוול במודל המטען (אנלוגיה עם מודל הפולריזציה החשמלית) ====
נרשום את משוואות מקסוול:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0E) = \rho _f + (-\nabla\cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial (\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\hat n\cdot(\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n\cdot[P_2-P_1])
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = \underbrace{\rho_{mf}}_{=0 } +\rho_m = \rho_m\\
\nabla \times\vec E = -\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec H) -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}(\mu_0\vec M)}_{J_m}-
\underbrace{J_{mf}}_{=0}
\\
\hat n\cdot(\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \underbrace{\eta_{mf}}_{=0} + \eta_m = -\hat n\cdot(\mu_0\vec M_2 - \mu_0\vec M_1)
\end{cases}</math>

==== סיכום המודלים - משוואות מקסוול בחומר ====
מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times (\vec H_a-\vec M) = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H_a) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times ([\vec H_{a,2}-\vec M_2]-[\vec H_{a,1}-\vec M_1]) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_{a,2} - \mu_0\vec H_{a,1}) = 0
\end{cases}</math>מודל המטען המגנטי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0\vec H_a)}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0 [\vec H+\vec M]) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0[\vec H_2 + \vec M_2] - \mu_0[\vec H_1+\vec M_1]) = 0
\end{cases}</math>נשים לב לכך שאם נגדיר <math>\vec H +\vec M = \vec H_a </math> נקבל בדיוק את אותן משוואות!

==== משוואות מקסוול בחומר - צפיפות השטף המגנטי ====
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial B}{\partial t}\\
\nabla \cdot \vec D = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot \vec B = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec D_2-\vec D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\vec B_2 - \vec B_1) = 0
\end{cases}</math>נגדיר <math>\vec B = \mu_0\vec H_a</math> צפיפות השטף המגנטי.

תזכורת: <math>\vec D = \epsilon_0\vec E +\vec P</math>

=== דוגמה 1 ===
גליל קטן בעל מגנטיזציה אחידה <math>\vec M = M\hat z</math>.

מודל המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\vec\mu_0\vec M) = 0</math>צפיפות המטען המשטחית על חלקו העליון של הגליל:<math display="block">\eta_{m,top} = -\hat z\cdot(0-\mu_0M\hat z) = \mu_0M</math>צפיפות המטען המשטחית בתחתית הגליל:<math display="block">\eta_{m,bottom} = -\hat z\cdot(\mu_0M\hat z - 0) = -\mu_0M</math>רחוק מאוד מהגליל נראה דיפול בעל מגנטיזציה:<math display="block">\vec m = \vec M\cdot V = M\pi a^2 h\hat z</math>אם נסתכל על הגליל כדיפול נקבל:<math display="block">\mu_0\vec m = \mu_0M\pi a^2 \cdot h\hat z</math>קיבלנו את אותו הביטוי! כעת אפשר להציב בביטוי לשדה דיפולי.

מודל הזרם האמפרי:<math display="block">\vec J_a = \nabla\times\vec M = 0</math><math display="block">\vec K_a = \hat r\times(0-M\hat z) = M\hat\varphi</math><math display="block">\vec H_a = \vec H +\vec M \Rightarrow \vec B = \overbrace{\mu_0\vec H_a = \mu_0(\vec H + \vec M)}^{\text{connection between models}}</math>

=== דוגמה 2 ===
כדור בעל מגנטיזציה אחידה. מהו <math>\vec B</math> בכל המרחב?

נשתמש במודל המטען:<math display="block">\eta_m = -\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})\mu_0 = -\hat r\cdot(0-M\hat z\mu_0) = M\hat r\cdot\hat z = M\cos\theta\mu_0</math>צפיפות המטען:<math display="block">\rho_m = -\nabla\cdot(\mu_0\vec M) = 0</math>נפתור באמצעות פוטנציאל סקלרי:<math display="block">\nabla\times\vec H = \underbrace{\vec J_f}_{=0} +
\underbrace{\frac{\partial \vec D}{\partial t}}_{=0 \text{ static}} +
\underbrace{\vec J_a}_{=0 \text{ Not using this field} }
= 0 \Rightarrow \vec H
= -\nabla\phi_m</math>נציב ונקבל ממקסוול:<math display="block">\nabla\cdot(\mu_0\vec H) = \rho_m = 0 \Rightarrow \nabla\cdot(\mu_0\cdot(-\nabla\phi_m)) = 0</math>קיבלנו את משוואת לפלס:<math display="block">\nabla^2\phi_m = 0</math>נפתור את משוואת לפלס עם מקורות משטחיים בלבד:<math display="block">\begin{cases}
\phi_m(r>>a)\rightarrow0\\
\phi_m(r\rightarrow0)<\infty\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f = 0\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = \eta_m = \mu_0M\cos\theta
\end{cases}</math>נבחר פתרון כללי <math>(l=0, n=1)</math>:<math display="block">\phi = (c_1r+\frac{c_2}{r^2})\cos\theta</math><math display="block">\phi_{m_1} =Ar\cos\theta \quad , \quad \phi_{m_2} =\frac{C}{r^2}\cos\theta</math>נציב בתנאי השפה:<math display="block">Aa\cos\theta = \frac{C}{a^2}\cos\theta \Rightarrow a^3A = C</math>מתנאי השפה האחרון:<math display="block">\hat r \cdot [\mu_0\cdot(-\nabla\phi_{m_2}) - \mu_0(-\nabla\phi_{m_1})] = \mu_0M\cos\theta </math><math display="block">-\frac{\partial \phi_{m_2}}{\partial r} + \frac{\partial \phi_{m_1}}{\partial r} = M\cos\theta \Rightarrow -[\frac{-2C}{a^3}\cos\theta]+A\cos\theta=M\cos\theta \Rightarrow \frac{2C}{a^3}+A=M </math>נקבל את המקדמים:<math display="block">A=\frac{M}{3} \quad, \quad C = a^3\frac{M}{3}</math>נציב את המקדם חזרה בפוטנציאל הראשון:<math display="block">\phi_{m_1} =\frac{M}{3}r\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_1 = -\nabla\phi_{m_1} = -\frac{M}{3}\hat z</math>נמצא את השדה המגנטי:<math display="block">\Rightarrow \vec B_1 = \mu_0\cdot(\vec H_1 +\vec M) = \mu_0\cdot(-\frac{M}{3}\hat z+M\hat z)=\frac{2}{3}\mu_0M\hat z</math>כעת נציב את המקדם בפוטנציאל השני:<math display="block">\phi_{m_2} =\frac{M}{3}\frac{a^3}{r^2}\cos\theta \quad \Rightarrow \vec H_2 = -\nabla\phi_{m_2} = \frac{Ma^3}{3r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] \quad , \vec B_2 = \mu_0\vec H_2 </math>תזכורת - שדה מגנטי של דיפול:<math display="block">\vec H_{dip} = \frac{m}{4\pi r^3}[2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta] </math>נשווה מקדמים ונקבל:<math display="block">\frac{m}{4\pi} = \frac{Ma^3}{3} \Rightarrow m = M\cdot\underbrace{\frac{4}{3}\pi a^3}_{V_{ball}} </math>

=== יחסי חוקה - סוספטביליות מגנטית, פרמאביליות ===
אם הקשר לינארי:<math display="block">\vec M = \chi_m\vec H \Rightarrow \vec B = \mu_0(\vec H + \vec M) =
\overbrace{\mu_0
\underbrace{(1+\chi_m)}_{\equiv \mu_r}}^{\equiv \mu}
\vec H </math>כאשר <math>\chi_m </math> הסוספטביליות המגנטית.

==== משוואות מקסוול בחומר לינארי ====
נוכל לעדכן את משוואות מקסוול עבור חומרים לינאריים:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu\vec H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon\vec E) = \rho _f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon\vec E)}{\partial t} + \vec J_f\\
\nabla \cdot (\mu\vec H) = 0\\
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\vec \epsilon_2\vec E_2-\epsilon_1\vec E_1) = \eta_f\\
\hat n \times (\vec H_2 - \vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_2\vec H_2 + \mu_1\vec H_1) = 0
\end{cases}</math>
{| class="wikitable"
|+חומרים לא מגנטיים (תגובה חלשה)
!פאראמגנטים
!דיאמגנטים
!סוג החומר
|-
|<math>0<\chi_m<<1</math>
|<math>|\chi_m|<<1 , \chi_m < 0</math>
|<math>\chi_m</math>
|}
{| class="wikitable"
|+חומרים מגנטיים (תגובה חזקה)
!פרומגנטים
!פרימגנטים
!סוג החומר
|-
|תגובה חזקה מאוד,
בד"כ לא לינארית
|תגובה חזקה מאוד
|אופי התגובה
|}
</div>

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-20T10:59:09Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר <math>\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>, המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה (איור 1) ===
[[File:Pic1101.png|400px|thumb|center|איור 1]]
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי (איור 2) ===
[[File:Pic1102.png|200px|thumb|left|איור 2]]
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

<math display="block">r >
3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}</math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3) ===
[[File:Pic1103.png|450px|thumb|center|איור 3]]
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4) ===
[[File:Pic1104.png|450px|thumb|center|איור 4]]
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5) ===
[[File:Pic1105.png|200px|thumb|left|איור 5]]
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

[[File:Pic1106.png|300px|thumb|center|איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי]]

=== דוגמה - מערך סופי ===
[[File:Pic1107.png|500px|thumb|center|איור 7]]

=== מערכים תלת-מימדיים (איורים 8,9) ===
[[File:Pic1108.png|200px|thumb|left|איור 8]]
[[File:Pic1109.png|200px|thumb|left|איור 9]]
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> ?S(u,v) </math>
[[File:Pic1110.png|300px|thumb|left|איור 10]]
בעזרת סכום פואסון (איור 10):
<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>
[[File:Pic1111.png|400px|thumb|center|איור 11- שרטוט סכמטי של הפיתרון]]

File:Pic1109.png

2022-04-20T10:58:08Z

RonelM:

File:Pic1111.png

2022-04-20T10:53:13Z

RonelM:

File:Pic1110.png

2022-04-20T10:48:19Z

RonelM:

File:Pic1108.png

2022-04-20T10:45:55Z

RonelM:

File:Pic1107.png

2022-04-20T10:43:25Z

RonelM:

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-20T10:42:15Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר <math>\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>, המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה (איור 1) ===
[[File:Pic1101.png|400px|thumb|center|איור 1]]
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי (איור 2) ===
[[File:Pic1102.png|200px|thumb|left|איור 2]]
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

<math display="block">r >
3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}</math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי, איור 3) ===
[[File:Pic1103.png|450px|thumb|center|איור 3]]
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב, איור 4) ===
[[File:Pic1104.png|450px|thumb|center|איור 4]]
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי, איור 5) ===
[[File:Pic1105.png|200px|thumb|left|איור 5]]
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

[[File:Pic1106.png|300px|thumb|center|איור 6 - שרטוט הפיתרון עבור מערך אינסופי עם עירור כללי]]

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>

File:Pic1106.png

2022-04-20T10:41:07Z

RonelM:

File:Pic1105.png

2022-04-20T10:39:36Z

RonelM:

File:Pic1104.png

2022-04-20T10:35:03Z

RonelM:

File:Pic1103.png

2022-04-20T10:32:32Z

RonelM:

File:Pic1102.png

2022-04-20T10:31:11Z

RonelM:

File:Pic1101.png

2022-04-20T10:16:33Z

RonelM:

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-20T09:31:46Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
ראשית, ועל מנת למנוע בלבול, נדבר על ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות:

* פולריזביליות - מתארת את התגובה של חלקיק יחיד להפעלה של שדה חשמלי עליו, על ידי הקשר <math>\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>, המתאר את מומנט הדיפול המושרה בחלקיק, ויוצר את שדה התגובה ולכן זהו גודל בדיד שמיוחס לחלקיק בודד.
* פולריזציה - מתארת את הצפיפות הנפחית הממוצעת של הדיפולים בחומר, בתגובה לשדה חשמלי בתוכו.

כמובן ששני גדלים אלו לא מנותקים זה מזה.

כאשר תיארנו את המודל הפשטני שלנו לפולריזציה תארנו את התגובה של כל מולקולה להפעלת שדה חשמלי כ"הפלה" של ענן אלקטרונים שמשרה מומנט דיפול (למעשה תיארנו את המולקולה כחלקיק בעל פולריזביליות) ואז מיצענו את המומנט הכולל של מולקולות רבות על מנת לקבל את הפולריזציה.

עכשיו, מתיאור זה ניתן לקבל את התחושב שכאשר יש אוסף של מולקולות שיכולות להתקטב (יכול להיות מושרה בהן מומנט דיפול בתגובה להפעלת שדה), אז ניתן להגדיר פולריזציה, וניתן לתאר את תכונות החומר באופן דואלי ע"י ε.

באותו אופן, ניתן לדמיין מערך של מולקולות מלאכותיות, חלקיקים בעלי קיטוביות כלשהי α.

באופן דומה, אם נסדר אותן באיזושהו אופן במרחב נוכל לתאר את הקשר בין השדה המופעל עליהם למומנט הדיפול המתעורר בהם, ולאחר מכן את הקשר לצפיפות הממוצעת של הדיפולים - הפולריזציה - נוכל לתכנן "חומרים מלאכותיים" על ידי תכנון החלקיקים והמערך בו הם מונחים.

בהרצאה זו ננסה להניח את הבסיס לתיאור זה.

לסיכום:
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>מכאן למעשה ניתן לכתוב מערכת משוואות ממנה ניתן לחלץ את מומנטי הדיפול (הם הנעלמים כאן):

<math display="block">\vec p_i - \alpha_i \sum_{j\neq i}^N A(\vec r_i, \vec r_j) \vec p_j = \alpha_i \vec E_0</math>כל מערכת משוואות <math>3N \times 3N</math> (לכל מומנט דיפול יש 3 רכיבים: x,y,z).

מתי המשוואה הזאת תקפה?

כאשר ניתן להניח שהשדה הממוצע על החלקיק הוא בקירוב השדה בנקודה בה נמצא החלקיק, והשדה בקירוב אחיד.

בדרך כלל ניתן להשתמש כאשר:

<math display="block">r >
3 \cdot \underbrace{d}_{\text{biggest dimension in each particle}}</math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי) ===
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב) ===
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי) ===
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>למרות שהחלקיקים איזוטרופיים, התגובה אינה איזוטרופית בגלל תכונות המערך.

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים,שהוא היחס בין הפולריזציה לשדה הממוצע (מיצוע מרחבי בתוך החומר):<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.

פורנולציה זו תקפה עבור חומר טבעי, וגם עבור מערכי החלקיקים שתארנו.

ניתן להשתמש בקשר זה כדי לקבל <math>\chi_e</math> אפקטיבי, ואת <math>\varepsilon_r</math> האפקטיבי, של החומר העשוי חלקיקים קטנים.

אם נסתכל על תא יחידה של המערך התלת - מימדי שקיבלנו, את השדה הממוצע בתוכו נוכל לרשום כך:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>כיוון שהמבנה מחזורי, נתמקד בתא היחידה סביב הראשית.
עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math></div>

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-20T08:45:26Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי) ===
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב) ===
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי) ===
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים:<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec P}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0 V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math>

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-20T08:43:23Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי) ===
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב) ===
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי) ===
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{c},\frac{b}{c})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים:<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{e\epsilon_0V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math>

פרק 11 - מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים

2022-04-20T08:40:55Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== מערכי חלקיקים ומבוא לחומרים מלאכותיים ==

=== ההבדל בין פולריזציה לפולריזביליות ===
{| class="wikitable"
|+
!פולריזציה
!פולריזביליות
!
|-
|ייצוג של דיפולים רבים על ידי צפיפות נפחית ממוצעת
|התגובה של חלקיק בודד
|מה מתאר?
|-
|קיטוב
|קיטוביות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E </math>
|מאפיין
|}

=== הפולריזביליות כמטריצה ===
<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\begin{pmatrix} \alpha_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & \alpha_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & \alpha_{zz} \end{pmatrix}\vec E </math>כאשר במצב של חוסר איזוטרופיות מתקיים אי שוויון של אחד המקדמים לדוגמה <math>\alpha_{xx} \neq \alpha_{yy}</math>.

=== שדה של דיפול ===
מאחר ובכל חלקיק מושרה מומנט דיפול בתגובה לשדה חיצוני, השדה שהוא ייצור יהיה כמו שדה דיפולי:<math display="block"> \phi_{dip} = \frac{\vec p \cdot \hat i_{r',r}}{4\pi\epsilon_0|\vec r - \vec r'|^2} \Rightarrow \vec E = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{1}{|\vec r - \vec r'|^3}(\vec p - 3(\vec p\cdot\hat i_{r',r})\hat i_{r',r}) </math>כאשר הווקטור <math> \hat i_{r',r} </math> מוגדר באופן הבא:<math display="block"> \hat i_{r', r} = \frac{(x-x')\hat x + (y-y')\hat y + (z-z')\hat z}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}} = \begin{pmatrix} \frac{x-x'}{|r-r'|} \\ \frac{y-y'}{|r-r'|} \\ \frac{z-z'}{|r-r'|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} </math>ניתן לרשום:<math display="block"> \underline\underline I \cdot \vec p -3\underbrace{(n_xp_x+n_yp_y+n_zp_z)\begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)}\cdot\vec p} </math>כעת, נוכל לרשום ביטוי מקוצר לביטוי של שדה הדיפול:<math display="block"> \vec E_{dip}(\vec r,\vec p,\vec r') = \underline\underline A(\vec r, \vec r') \cdot \vec p </math>כאשר הגדרנו את המטריצות:<math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I), \quad \underline\underline N^{(s)} = {\begin{pmatrix} n_x^2 & n_xn_y & n_xn_z \\ n_yn_x & n_y^2 & n_yn_z \\ n_zn_x & n_zn_y & n_z^2 \end{pmatrix}} </math>

=== מערכי חלקיקים ושדה לוקלי ===
עבור חלקיק בודד נוכל לרשום את הפולריזביליות <math> \vec p = \epsilon_0\alpha\vec E = \epsilon_0\alpha\vec{E^L} </math> כאשר <math> \vec{E^L} </math> הוא שדה לוקלי - השדה במיקומו של החלקיק בהיעדר החלקיק עצמו.

נחשב בכל נקודה את השדה הלוקלי <math> \vec{E^L}(\vec r_i) </math> ונוכל לרשום <math> \vec p_i = \epsilon_0\alpha_i\vec{E^L}(\vec r_i) </math>.

את השדה הלוקלי נמצא באמצעות:<math display="block"> \vec{E^L}(\vec r_i) = \vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j </math>כאשר <math> \vec r_i </math> הם מיקומי הנקודות בהם נחשב את השדה, ו-<math> \vec r_j </math> מיקומי הדיפולים השונים.

כעת נוכל לרשום ביטוי לפולריזביליות עבור כל חלקיק:<math display="block"> \vec p_i = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0\vec{E^L}(\vec r_i) = \underline\underline{\alpha_i}\epsilon_0[\vec E^{ext}(\vec r_i) + \sum_{j\neq i}\underline\underline A(r_i, r_j) \cdot \vec p_j] </math>

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור אורכי) ===
מאחר והבעיה סימטרית להזזה של <math> d </math>, מומנט הדיפול שמתעורר בכל החלקיקים זהה! כלומר:<math display="block"> \vec p_n = p_0\hat x </math>החלקיקים יושבים בנקודות <math> x_n = nd </math>. נסתכל על חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x + \sum_{n\neq0}\frac{1}{4\pi\epsilon_0|nd|^3}\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}}_{3\underline\underline N^{(s)} - \underline\underline I}\cdot\begin{pmatrix} p_0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=E_0\hat x +\sum_{n\neq0}\frac{1\cdot2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3|n|^3}\hat x </math>לכן, השדה הלוקלי של חלקיק בראשית:<math display="block"> \underline\underline E^L(0) = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\sum_{n\neq0}\frac{1}{|n|^3}\hat x = E_0\hat x +\frac{2p_0}{4\pi\epsilon_0d^3}\cdot2\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{|n|^3}}_{\text{Apery's Const-1.202}}\hat x </math>ניתן להביע את הקבוע הדרוש גם על ידי הגדרה של פונקציית זטא של רימן:<math display="block"> \zeta_{(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} \quad , \quad \real(s) > 1 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} = \zeta_{(3)} </math>כעת נוכל למצוא את הפולריזביליות בראשית:<math display="block"> p_0 = \epsilon_0\alpha(E_0+\frac{p_0}{\pi\epsilon_0d^3}\zeta_{(3)}) \Rightarrow p_0 = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}} > \epsilon_0\alpha E_0 </math>קיבלנו שמומנט הדיפול המתעורר חזק יותר מאשר מומנט הדיפול אשר היה מתעורר באותו חלקיק אם הוא היה מונח לבד במרחב. מדוע? מאחר וכל הדיפולים זהים, השדה שיוצרים החלקיקים האחרים במערך על החלקיק בראשית מחזק את השדה המעורר, ולכן סה"כ מתקבל ש-<math> E^L </math> חזק יותר מ-<math> E_0 </math>. מה שיוצר דיפול חזק יותר מאשר חלקיק יחיד במרחב חופשי שהיה חשוף לאותו שדה חיצוני. בנוסף, נשים לב לכך שהגדרה מעט שונה של תא היחידה מביאה למומנט דיפול הפוך מזה שחישבנו.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור ניצב) ===
בכל חלקיק מתעורר דיפול:<math display="block"> p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>קיבלנו הפעם עירור חלש יותר מאשר אם אותו חלקיק היה מונח לבד במרחב.

=== דוגמה - מערך אינסופי (עירור כללי) ===
אם נניח כעת שדה מעורר כללי בזווית <math> \theta </math> ביחס לציר ה-<math> x </math>:<math display="block"> \vec E^{ext} = E_0(\cos\theta\hat x +\sin\theta\hat y) </math>נקבל:<math display="block"> \vec p = \epsilon_0\alpha E_0 [\frac{\cos\theta}{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat x+ \frac{\sin\theta}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}}\hat y] </math>הדיפול ייווצר בזווית <math> \varphi </math> ביחס לציר ה-<math> x </math> המקיימת:<math display="block"> \tan\varphi = \tan\theta\cdot\frac{1-\frac{\alpha}{\pi d^3}\zeta_{(3)}}{1+\frac{\alpha}{2\pi d^3}\zeta_{(3)}} </math>

=== דוגמה - מערך סופי ===

=== מערכים תלת-מימדיים ===
במערך תלת מימדי נצטרך שלושה אינדקסים כדי לתאר את המיקום של כל חלקיק:<math display="block"> \vec r_{m,n,k} = ma\hat x +nb\hat y + kc\hat z \quad , \quad -\infty < m,n,k, < \infty </math>מה הדיפול שמתעורר בכל חלקיק עבור עירור של שדה חיצוני <math> \vec E = E_0 \hat y </math>?

נרשום את המשוואות עבור החלקיק בראשית:<math display="block"> \vec p = p_0\hat y = \alpha\epsilon_0\vec{E^L} = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k}) \cdot \underbrace{\vec p_{m,n,k}}_{p_0 \hat y}]
</math><math display="block"> p_0\hat y = \alpha\epsilon_0[E_0\hat y + \sum_{m,n,k\neq (0,0,0)}\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix}] </math><math display="block"> \underline\underline A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0|r_{m,n,k}|^3}(3\underline\underline N^{(s)}-\underline\underline I) \quad , \quad \hat i_{r',r} = \frac{0-(ma\hat x +nb\hat y +kc\hat z)}{\sqrt{(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2}}=(n_x,n_y,n_z) </math>נחשב את המכפלה <math> \underline\underline A \cdot \vec p </math>:<math display="block"> \underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}\cdot\frac{2(nb)^2-(ma)^2-(kc)^2}{[(ma)^2+(nb)^2+(kc)^2]^{\frac{5}{2}}}\hat y </math>ניתן להציג סכומים מסוג זה באופן הבא:<math display="block"> \sum\underline\underline A(0, \vec r_{m,n,k})\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ p_0 \\ 0 \end{pmatrix} = \hat y \frac{p_0}{4\pi\epsilon_0}S(u,v)|_{u=\frac{a}{b}, v=\frac{c}{b}} </math>כאשר הגדרנו:<math display="block"> S(u,v) = \sum_{m,n,k\neq{(0,0,0)}}\frac{2n^2-(mu)^2-(kv)^2}{[(mu)^2+n^2+(kv)^2]^{\frac{5}{2}}} </math>נציב את הביטוי הזה ונציב במשוואה עבור הדיפול:<math display="block"> p\hat y - \alpha\epsilon_0\hat y(\frac{p}{4\pi\epsilon_0b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})) = \epsilon_0\alpha E_0\hat y </math>נעביר אגפים ונקבל:<math display="block"> p = \frac{\epsilon_0\alpha E_0}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})} </math>נפרק לרכיבים:<math display="block"> \begin{cases}
p_y = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,y}}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_x = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,x}}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}\\
p_z = \frac{\epsilon_0\alpha E_{0,z}}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}\cdot S(\frac{a}{b},\frac{c}{b})}
\end{cases}
\Rightarrow
\vec p = \underline\underline C \cdot \vec E^{ext} </math>כאשר הגדרנו את המטריצה <math> \underline\underline C </math>:<math display="block"> \underline\underline C =\begin{pmatrix} C_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & C_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & C_{zz} \end{pmatrix} \quad , \quad
\begin{cases}
C_{xx} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi a^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{yy} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi b^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}\\
C_{zz} = \frac{\epsilon_0\alpha}{1-\frac{\alpha}{4\pi c^3}S(\frac{b}{a},\frac{c}{a})}
\end{cases} </math>כיצד נעריך את <math> S(u,v) </math>? בעזרת סכום פואסון:<math display="block"> S(u,v) = \frac{1.202}{\pi}-8\pi\cdot[K_0(2\pi u) + K_0(2\pi v)] \quad , \quad u,v\approx 1 </math>כאשר <math> K_0 </math> היא ה-Modiified Bessel function, 2nd kind.

=== חומרים מלאכותיים ===
נכתוב את וקטור הפולריזציה עבור חומרים מלאכותיים:<math display="block"> \vec P = \epsilon_0\underline\underline\chi\langle\vec E\rangle </math>המהירות הממוצעת:<math display="block"> \langle\vec u \rangle = \frac{1}{V}\iiint\vec u dxdydz </math>כאשר <math> V </math> נפח תא היחידה בו ממצעים.<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle\sum_{m,n,k}\vec E_d \rangle </math>עבור תא יחידה סביב הראשית:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = \langle\vec E_0 \rangle + \langle E_{d,origin} \rangle </math>השדה <math> \vec E_0 </math> משתנה במרחב מאוד לאט ולכן:<math display="block"> \langle\vec E_0 \rangle = \vec E_0 </math>לאחר חישוב ארוך ובהנחה של <math> a=b=c </math> ניתן להגיע לכך שמתקיים:<math display="block"> \langle\vec E_{origin} \rangle = -\frac{\vec p}{3\epsilon_0V}=-\frac{\vec P}{3\epsilon_0} </math>כאשר <math> \vec P </math> היא הפולריזציה בחומר. לכן, השדה החשמלי הממוצע הוא:<math display="block"> \langle\vec E \rangle = \vec E_0 - \frac{\vec p}{3\epsilon_0} = \vec E_0 - \frac{\vec p}{e\epsilon_0V}= \vec E_0 - \frac{1}{3\epsilon_0V}\cdot\underline\underline C\cdot\vec E_0 </math><math display="block"> \langle\vec E \rangle = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)\vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = (\underline\underline I - \frac{1}{3\epsilon_0V}\underline\underline C)^{-1}\langle\vec E\rangle </math>מכאן, ניזכר בביטוי המקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי:<math display="block"> \vec p = \underline\underline C \cdot \vec E_0 \Rightarrow \vec E_0 = \underline\underline C^{-1} \cdot\vec p </math>נציב במשוואה שמצאנו ל-<math> \vec E_0 </math> ונקבל:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec p=({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>נחלק בנפח תא היחידה:<math display="block"> \underline\underline C^{-1}\cdot\vec P=\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}\langle {\vec {E}}\rangle </math>ונקבל ביטוי לפולריזציה הכוללת:<math display="block"> \vec P = \underbrace{\underline\underline C\cdot\frac{1}{V}({\underline {\underline {I}}}-{\frac {1}{3\epsilon _{0}V}}{\underline {\underline {C}}})^{-1}}_{\epsilon_0\underline\underline\chi \ ,\ \underline\underline\epsilon = \epsilon_0(\underline\underline I + \underline\underline\chi)}\langle {\vec {E}}\rangle </math>

פרק 10 - שדות חשמליים בחומר

2022-04-19T16:12:17Z

RonelM:

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
כבר דיברנו על זרם בחומרים מוליכים.

את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם:

<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני אך יעיל.

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
=== חומרים מוליכים ===
בחומרים מוליכים בעלי פילוג מטען ρ (איור 1) וחלקיקים הנעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n \cdot q \cdot \vec v(r)</math>כאשר <math>n</math> היא צפיפות החלקיקים נושאי המטען ליח' נפח ו-<math>q</math> מטענו של כל חלקיק.
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
כאשר יש יותר מסוג אחד של חלקיקים:<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r) = n_1 \cdot q_1 \cdot \vec v_1 + n_2 \cdot q_2 \cdot \vec v_2</math>אם יש יותר מ-2 סוגים (איור 2):<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>כאשר <math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את החוק השני בצורה הבאה:<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v </math>כאשר <math>\nu </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי.

כשהמערכת מתייצבת, <math>\dot\vec v = 0 </math> ואז ניתן לרשום:<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v = \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d </math>כאשר <math>\vec v_d </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהב כבר ראינו בהרצאה הקודמת.

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]

מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית Ψ שמתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב העולם.
כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגל). ולכן המיקום הממוצע של האלקטרונים הנתון על ידי הביטוי:<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

יש חומרים (כמו מים) (איור 5) שלמולקולות שמרכיבות אותם יש מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני "מיישרת" את כל הדיפולים בכיוון השדה.

==== מודל מקרוסקופי (איור 6) ====
[[File:Pic1006.png|200px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים מיקרוסקופיים ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

מבחינתנו, התגובה של חומר (או כל מערכת אחרת) להפעלה של שדה חשמלי עליה יכולה להיות מתוארת על ידי הווצרות של פילוג מטען בתגובה להפעלת השדה החיצוני.

מהרגע שהבנו מהו פילוג המטען ש"הושרה" בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני, אפשר לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים.

נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec P_{atom}</math> ולכן סה"כ הדיפול של כל התיבה: <math>\vec P = N \cdot \vec P_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">\vec p = \vec P \cdot \delta v =
(\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l</math>את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\partial Q = \vec p \cdot \partial \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\partial \vec l </math>.

עבור איזושהי חתיכה של חומר:

<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {da}</math>מאחר וסך הכל מטען הפולריזציה צריך להיות אפס:<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:<math display="block">\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P</math><math display="block">\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P</math>נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====

==== נוכל למצוא ביטוי לצפיפות המשטחית מחוק גאוס: ====
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta = \hat n (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ומסך המטען:
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da} \Rightarrow \eta_p = -\hat n (\vec P _2 - \vec P_1)</math>
==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט מטען קטן <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>:<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) =

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> מוגדר על ידי זרם אפקטיבי שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">\eta_p = -\hat n (\vec P_2 - \vec P_1)</math>
אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:<math display="block">\frac{d\eta_p}{dt} =
=-\hat n (\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t})
-\hat n (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})</math>כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P)\\
\nabla \times H = \frac{\partial(\epsilon_0E)}{\partial t} + J_f + \frac{\partial P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0E_2-\epsilon_0E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1])\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה רציף בעזרת המודל המיקרוסקופי. אנחנו למעשה הגדרנו איזשהו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית הלאוזייס - מזוטי, על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופיץ צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה (איור 7) ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]

נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה הנתונה. חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>על השפות:<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math><math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math><math display="block">Q_p = \rho_p \cdot A \cdot d + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>הבעיה השקולה: מטעני פולריזציה בואקום!

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

==== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ====
נוכל לרשום את משוואות מקסוול בנוכחות פולריזציה בעזרת וקטור ההעתקה <math>\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P</math>, צפיפות שטף חשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Rightarrow \nabla \cdot \underbrace{(\epsilon_0 \vec E + \vec P)}_{\equiv \vec D \text{ - displacement vector}} = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>נוכל לרשום:<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>ותנאי השפה:<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בבעיה.

'''מנגנונים ליצירת פולריזציה:'''

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית)
* Bi-anisotropic materials

=== הקשר בין <math>E</math> ל-<math>P,D</math> ===

[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>כאשר מגדירים את הסוספטביליות <math>\chi_e </math>, המתארת בעיקר את התגובה של החומר כאשר השדות חלשים. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math>:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E</math>כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\mathbb{I} + \chi_e) \vec E = \epsilon_0\epsilon_r \vec E</math>לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon = \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

==== תווך אינסופי (איור 10) ====
[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]

<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math><math display="block">\vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow \vec E = \frac{\vec D}{\epsilon} \Rightarrow \vec E = \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} \cdot \hat r</math>

==== כדור סופי (איור 11) ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. נקבל את תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>מכאן נובע:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>שדה ההעתקה:<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>והשדה החשמלי:<math display="block">\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>תנאי שפה עבור <math>\vec E</math> בוואקום:<math display="block">\hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1) = \eta_{tot} = \eta_f + \eta_{pol}</math>נמצא את הפולריזציה:<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math><math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math><math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס. את המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math><math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמה (איור 12) ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>בהצבה במשוואות מקסוול נקבל:<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>כעת נוכל לחשב את הקיטוביות:<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta

</math>בבעיה שלנו, נמצא את הקיטוביות בעזרת השוואת מקדמים:<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0

</math>הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E

</math>, לכן נוכל לרשום:<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}

</math>כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z
</math>

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמה 2 (איור 14) ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]

חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math>. נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>במקור הגדרנו:
<math display="block">\vec p = \alpha \vec E</math>נגדיר מחדש:
<math display="block">\vec p = \epsilon_0 \alpha \vec E</math>כאשר:
<math display="block">[\alpha]=m^3</math>
</div>

File:Pic1014.png

2022-04-19T16:10:38Z

RonelM:

File:Pic1013.png

2022-04-19T16:08:54Z

RonelM:

File:Pic1012.png

2022-04-19T16:07:39Z

RonelM:

File:Pic1011.png

2022-04-19T16:05:36Z

RonelM:

File:Pic1010.png

2022-04-19T16:03:02Z

RonelM:

File:Pic1009.png

2022-04-19T15:48:12Z

RonelM:

File:Pic1008.png

2022-04-19T15:42:39Z

RonelM:

File:Pic1007.png

2022-04-19T15:37:34Z

RonelM: