Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== סופרפוזיציה ==
ראינו בעבר, כי אם ידוע לנו הפיתרון הסטטי של בעיה מסוימת, נוכל לקבל ממנו את הפיתרון הדינאמי לבעיה.

נרצה להבין איך ניתן להגיע לפיתרון האלקטרוסטטי של הבעיה - נשתמש בסופרפוזיציה.

משוואות מקבוול הן לינאריות, ולכן, בהינתן פיתרון לבעיה 1:

<math display="block">\vec J_1,\rho_1\Rightarrow \vec E_1, \vec H_1</math>ופיתרון לבעיה 2:

<math display="block">\vec J_2,\rho_2\Rightarrow \vec E_2, \vec H_2</math>הפיתרון לבעיה המשותפת של בעיה 1 ו- 2, הינה:

<math display="block">\vec J_1+J_2,\rho_1+\rho_2\Rightarrow \vec E_1+\vec E_2, \vec H_1 + \vec H_2</math>נגדיר את הגדלים באיור (XXXX):

<math>\vec r'</math> - קורדינטת המקור

<math>\vec r</math> - מיקום הצופה (הנקודה שבה רוצים לחשב את השדה)

<math>\hat i_{r',r}</math> - וקטור יחידה שפונה מהמקום לצופה

<math>dq</math> - אלמנט המטען שיוצר את השדה


לכן, אלמנט דיפרנציאלי של השדה החשמלי הינו:

<math display="block">d\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot
\frac{dq}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}</math>ולכן, השדה החשמלי הכולל יהיה:

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} =
\iiint \frac{\rho(\vec r' )dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}
+
E_{\text{point charge (if exists)}}</math>כאשר אלמנט המטען הוא:

<math display="block">dq = \begin{cases} \eta dS', & \text{surface charge density } \\
\lambda dl', & \text{ linear charge density} \end{cases}</math>

'''הערות:'''

* צריך לדעת במפורש את פילוג המטענים בבעייה.
* הסכימה היא סכימה וקטורית כך שנצטרך לבצע אינטגרל על <math>\hat i_{\vec r', \vec r}</math>.
* ניתן לכתוב את השדה החשמלי בתור קונבולוציה כאשר <math>p</math> אות הכניסה:

<math display="block">\vec E = \rho \circledast 
\underbrace{\frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}}_{\text{Green's function}}</math>

=== דוגמא: ===
נתון משטח אינסופי הטעון בצפיפות אחידה η, היוצר שדה.

ניתן לפתור את הבעיה באמצעות חוק גאוס:

<math display="block">\vec E = \hat z \begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>

ובאמצעות סופרפוזיציה:

<math display="block">\vec r = z \hat z , \vec r' = x' \hat x + y' \hat y, dq = \eta dS'=\eta dx' dy'</math><math display="block">\hat i_{r',r} = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r' |} =
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}</math><math display="block">\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{-\infty}^\infty
\frac{\eta dx' dy'}{(x'^2+y'^2+z'^2)} \cdot
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}
</math>נעבור לקורדינטות פולריות:

<math display="block">x'=\rho' \cos \varphi',y'=\rho' \sin \varphi', dx'dy' = \rho'd\rho' d\varphi'
</math><math display="block">\vec E = -z \hat z \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\rho'^2+z^2]|^{\rho'=\infty}_{\rho'=0}=
\frac{\eta}{2\epsilon_0} \cdot \text{sign} (z)  \hat z
</math>אכן קיבלנו אותה תוצאה בשתי השיטות!

== פוטנציאל חשמלי סקלרי ==
באופן כללי, באלקטרוסטטיקה נעדיף לעבוד עם סקלים, מאשר וקטורים.

מתוך חוק פאראדיי:

<math display="block">\nabla \times \vec E = -\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}
\underbrace{=}_{\text{static}} 0\Leftrightarrow
\oint \vec E \cdot \vec {dl}= -\mu_0\frac{\partial}{\partial t} 
\iint \hat H \cdot \hat n dS = 0
</math>ולכן השדה החשמלי הוא שדה משמר:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi
</math>כאשר <math>\phi
</math> הוא הפוטנציאל החשמלי.

<math display="block">\int_{r_1}^{r_2}\vec E \cdot \vec{dl} = 
\int_{r_1}^{r_2} -\nabla \phi \cdot \vec{dl} = -[\phi(r_2)-\phi(r_1)]
</math>אינטגרציה אינה תלויה בצורת המסלול, אלא רק בערכי הפוטנציאל בנק' הקצה.

=== פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי ===
נקודה חשובה נוספת - הפוטנציאל מוגדר ע"י קבוע:

<math display="block">\vec E_1 = -\nabla \phi
</math><math display="block">\vec E_2 = -\nabla (\phi+C)= -\nabla \phi =\vec E_1
</math>מכאן - יש חשיבות פיזיקאלית רק להפרשי הפוטנציאל בין נקודות, ולא לערך עצמו.

יש לנו חופש בבחירת ערך הייחוס.

נגדיר לפי כך את נקודת הייחוס של הפוטנציאל באינסוף:

<math display="block">\phi(r) = -\int_{r_1\rightarrow\infty}^r \vec E \cdot \vec{dl}
</math>לדוגמא:

אם ניקח שדה של מטען נקודתי בראשית:

<math display="block">\vec E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r
</math><math display="block">\phi(r_s)= -\int_\infty^{r_s} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r_s}
</math>

=== סופרפוזיציה ===
ניתן לבצע סופרפוזיציה גם לפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">\phi = \int \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} =
\iiint \frac{\rho(r') dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} + \phi_{\text{point potential}} 
</math>גם כאן, בבעיות שהן space inveriant, נקבל שהסופרפוזיציה מקבלת צורה של אינטגרל קונבולוציה:

<math display="block">\phi = \rho \circledast \frac{1}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}</math>אם המטען הוא מטען נקודתי:

<math display="block">\rho = Q\cdot \delta(\vec r - \vec r')</math>

=== דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן ===

# חשבו את הפוטנציאל
# מה התוצאה בגבול <math>\vec d \rightarrow 0</math>, אבל <math>q |\vec d|</math> קבוע ידוע.

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec r^+|} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot
\frac{1}{|\vec r^-|}</math>נגדיר:

<math display="block">\text{The place of the positive charge: } \vec r'^+ \equiv \vec r' + \vec d/2</math><math display="block">\text{The place of the negative charge: } \vec r'^- \equiv \vec r' - \vec d/2</math>לכן:

<math display="block">\vec r ^+ = \vec r - \vec r'^+ = \vec r - (\vec r' + \vec d/2)</math><math display="block">\vec r ^- = \vec r - \vec r'^- = \vec r - (\vec r' - \vec d/2)</math><math display="block">|\vec r^+ | = \sqrt{[\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]\cdot [\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]}=
\sqrt{[(\vec r - \vec r') - \vec d/2] \cdot [(\vec r - \vec r') - \vec d/2]} = 
\sqrt{|\vec r - \vec r'|^2 - 2 (\vec r - \vec r') \cdot \vec d/2 + |\frac{\vec d}{2}|^2} =...</math><math display="block">... \underbrace{=}_{|\vec d| << |\vec r - \vec r'|} 
|\vec r - \vec r'| \sqrt{(1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
+\underbrace{1/4 \frac{|\vec d|^2}{|\vec r - \vec r'|^2 }}_{
    \text{second order in: } \frac{|\vec d|}{|\vec r - \vec r'| }
})}</math>לבסוף:

<math display="block">|\vec r ^+| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot  \vec d }</math>כאשר השתמשנו בקירוב טיילור:

<math display="block">(1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x</math>באופן דומה:

<math display="block">|\vec r ^-| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \vec d }</math>נציב לביטוי של הפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
[ \frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \underbrace{\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }}
_{\ll 1}
\cdot \vec d}}
-
\frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d}}
]
=...</math><math display="block">...=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} \cdot 
[1 + 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
-
(1 - 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d)
] =
\frac{q \vec d \cdot (\vec r - \vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}</math>נהוג להגדיר <math>\vec  p \equiv q \vec d</math> מומנט הדיפול, ומתקבל:

<math display="block">\phi = \frac{\vec p \cdot (\vec r^{+} - \vec r^{-} ) }{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}</math>כאשר עבור דיפול בראשית מתקבל:

<math display="block">\phi = \frac{\vec p \cdot \hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}</math>באיור (XXXX) ניתן לראות בצבע אדום את המטענים החיוביים, ובכחול את השליליים.

נשים לב שהפוטנציאל בראשית הוא אפס, וזאת משום שמומנט הדיפול מאונך ל <math>\vec r</math>, כך שהמכפלה הסקלארית ביניהם מתאפסת.

=== דוגמא 2 - דיסקה טעונה בצפיפות אחידה ===
חשבו את הפוטנציאל החשמלי על ציר z, של דסקה דקה טעונה בצפיפות אחידה η. רדיוס הדסקה - R.

<math display="block">\vec r' = x' \hat x + y' \hat y = r' \cos \varphi' \hat x + r' \sin \varphi' \hat y,
\vec r = z \hat z,
dq = \eta dS' = \eta r' dr' d\varphi'</math><math display="block">\phi = \iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta dS'}{|\vec r - \vec r'|} =
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\eta r' dr' d \phi'}{\sqrt{r'^2 \cos^2 \varphi'
    + r'^2 \sin^2 \varphi' + z^2
}} = 
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta r' dr' d \phi'}{\sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\underbrace{2\pi}_{\int_0^{2\pi} d\varphi'} 
\int \frac{\eta r'}{4\pi \epsilon_0 \cdot \sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2}- |z|)

</math>

* מקרה 1 - <math>|z| \gg R</math>

עבור מקרה זה נרשום:

<math display="block">\phi = \frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2+z^2} - |z|) = 
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| (\sqrt{1+ \frac{R^2}{z^2}} - 1)
\approx
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| \cdot (1 + 1/2 \frac{R^2}{|z|^2} - 1) = 
\frac{\eta R^2 }{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} = 
\frac{\overbrace{\eta (\pi R^2)}^{Q_{disk}}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} = 
\frac{Q_{disk}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|}</math>רחוק מאוד מהדיסקה, היא נראית כמטען נקודתי, ולכן גם הפוטנציאל נראה כך.

* מקרה 2 - <math>|z| \ll R</math>

<math display="block">\eta = \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2+z^2} - |z|] \approx 
\frac{\eta R}{2\epsilon_0} [\sqrt{1+(\frac{z}{R} } )^2 - \frac{|z|}{R}]
\approx \frac{\eta R}{2\epsilon_0} [1+1/2 \frac{z^2}{R^2} - \frac{|z|}{R}] \approx
\underbrace{\frac{\eta R}{2\epsilon_0}}_{Constant} -
\frac{\eta |z|}{2\epsilon_0}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi= \begin{cases} -\frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ \frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}
\Rightarrow
E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} =
\begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>

== פוטנציאל חשמלי - המשוואה הדיפרנציאלית ==
<math display="block">\nabla \times E = 0 \Rightarrow
\vec E = - \vec \nabla \phi</math><math display="block">\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \Rightarrow
\vec \nabla \cdot (\epsilon_0 (-\nabla \phi)) = \rho </math>ונקבל את משוואת פואסון:

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}</math>

=== אופרטור הלפלאסיאן ===
קרטזיות:

<math display="block">\nabla^2 \phi=\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}</math>צילינדריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
 \left( \rho {\partial \phi \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 \phi \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 \phi \over \partial z^2 }</math>כדוריות:

<math display="block">\nabla^2 \phi
={1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
 \left( r^2 {\partial \phi \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
 \left( \sin \theta {\partial \phi \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 \phi \over \partial \varphi^2}</math>

=== פתרון פרטי ופתרון הומוגני ===
בהעדר פילוג מטען ρ, הפוטנציאל יקיים:

<math display="block">\text{Laplace's equation: } \nabla^2 \phi = 0</math>D - התחום שבו אנו פותרים את הפוטנציאל, מכיל את פילוג המטען ρ.

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים:

<math display="block">\phi = \underbrace{\phi_p}_{\text{homogenous solution}}  +
\underbrace{{\phi}_h}_{\text{private solution}}</math>

* פיתרון פרטי - נובע מפילוג המטען ρ, אבל לא חייב לקיים לקיים תנאי שפה.

<math display="block">\nabla^2(\phi_p + \phi_h) = - \frac{\rho}{\epsilon_0 }=
\underbrace{\nabla^2 \phi_p}_{-\frac{\rho}{\epsilon_0 }}
+
\nabla^2 \phi_h</math>הפתרון ההומוגני "עוזר" לפתרון הפרטי לקיים את תנאי השפה:
<math display="block">\phi(\partial D) = \phi_B = \phi_p (\partial D) + \phi_h (\partial D) = \phi_B</math>כשמגיעים לפתור את הפיתרון ההומוגני, כבר יודעים פתרון פרטי (סופרפוזיציה, ניחוש, ואולי נתון).
מתוך ת.ש. לפוטנציאל הכולל, נקבל תנאי שפה ל- <math>\phi_h</math> (פתרון הומוגני):

<math display="block">\phi_h (\partial D) = \phi_B - \phi_p (\partial D)</math>

==== תנאי שפה של הפוטנציאל ====

===== 1. צפיפות מטען משטחית =====


<math display="block">\hat n (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta 
\Rightarrow
\hat n (\epsilon_0 (-\nabla \phi_2) - \epsilon_0 (-\nabla \phi_1)) = \eta
\Rightarrow
-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_2}{\partial n} - (- \epsilon_0 \frac{\partial \phi_1}{\partial n})=\eta </math>

==== 2. רציפות הפוטנציאל ====


<math display="block">\phi_2 |_{\text{boundry}} = \phi_1 |_{\text{boundry}}</math><math display="block">\triangle \phi = -\int_{\text{very short path}} \vec E \cdot \vec {dl} \approx
\vec E \cdot \triangle \vec L </math>ולכן בבעיות בהן השדה לא סינגולרי, אין בעיה והפוטנציאל חייב להיות רציף

==== 3. גבול בין חומר מוליך לואקום ====
נשתמש בשימור מטען על השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\underbrace{\vec J_2}
_{\text{the second area is vacuum }\rightarrow =0}
- \vec J_1) + \underbrace{\vec \nabla_S \vec K}_{=0} = - 
\underbrace{\frac{\partial \eta}{\partial t } }_{=0}</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \vec J_1 = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot (\sigma \vec E_1) = 0
\Rightarrow
\hat n \cdot \sigma (-\vec \nabla \phi_2) = 0
\Rightarrow
\frac{\partial \phi_1}{\partial n} = 0</math>

=== תוספת לדיון - שפה של PEC ===
<math display="block">\hat n \times (\vec E_{out} - \underbrace{\vec E_{in}}_{=0}) = 0
\Rightarrow
\hat n \times \vec E_{out}=0</math>ולכן השדה החשמלי המשיק לפני המוליך האידאלי מתאפס, ולכן השדה החשמלי בעל רכיב ניצב לפני המוליך בלבד.

<math display="block">\nabla^2 \phi = -\int 
\underbrace{\vec E \cdot \vec{dl}}_{\text{E and dl are prependicular to each other}}=0</math>השפה של מוליך אידאלי ← משטח שווה פוטנציאל <math>\phi</math>.

== שיטת השיקופים ==
נסתכל על בעיה שבה צריך לחשב את <math>\phi</math> בכל המרחב, עבור איור (XXXX).

זוהי בעיה קשה מאוד לפיתרון.

=== מטען נקודתי בסמוך למישור PEC אינסופי ===
במקרים פשוטים יותר, כמו באיור (XXXX) נחלק ל- 2 תחומים: <math>x<0,x>0</math>.

עבור <math>x<0</math> הפוטנציאל <math>\phi=0</math> מקיים את כל תנאי הבעיה.

את הפיתרון  ב <math>x>0</math> נחלק לפיתרון פרטי והומגני.

הפיתרון הפרטי יהיה:

<math display="block">\phi_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{|\vec r - d\hat x|}</math>דרוש: פיתרון הומוגני.

<math display="block">\phi_{plane} = 0 \Rightarrow
\phi_p |_{plane} + \phi_h |_{plane}=0
\Rightarrow
\phi_h |_{plane}=0 = - \phi_p |_{plane} </math><math display="block">\phi_h |_{plane} = \underbrace{-}_{\text{looks like negative particle}}
\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{y \hat y + z \hat z - d \hat x}
=
-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{1}{y^2+z^2+d^2}</math>מאחר ו"ניחשנו" פתרון (סופרפוזיציה של מטען חיובי ושלילי ש"הוספנו") שמקיים את אותה משוואת פואסון, עם אותם תנאי השפה, זהו הפיתרון לבעיה המקורית!

<math display="block">\phi = 
\begin{cases} 0 & x<0 \\ 
\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\cdot [\frac{q}{y \hat y + z \hat z + x \hat x - d \hat x}-
\frac{q}{y \hat y + z \hat z + x \hat x + d \hat x}]
 & x>0 \end{cases}</math>ניתן לכתוב את הפוטנציאל המתקבל כך:

<math display="block">\phi= \begin{cases} 0 & x<0 \\ 
\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot 
[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from q in }(d,0,0) }
- 
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x+ d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from -q in }(-d,0,0)}
]
 & x>0 \end{cases}</math>

=== פילוג המטען ה"אמיתי" בבעיה ===
<math display="block">\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0 \\ \hat n \cdot 
(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta \end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\vec E |_{edge} = \vec E_q + \vec E_{-q}</math>באמצעות תנאי השפה אפשר לרשום את פילוג המטען האמיתי <math>\eta(x,y)</math>.

=== שיקוף של דיפול ===
כשנשקף דיפול, נהפוך את מטענו, נשקף אותו במראה, ונזיז את קודינטה X שלו ל X-, כמתואר באיור (XXXX).

=== מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC ===

* נחפש Q,D כך שעל שפת הכדור מתקיים תנאי השפה <math>\phi = 0</math>.
* מטען הדמות Q משמש אותנו לחישוב השדה מחוץ לכדור.

מאחר ומשוואת פואסון מתקיימת עם:

<math display="block">\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>אותו ρ (לא שינינו את המטען באזור שבו פותרים), ולכן נותר רק לקיים תנאי שפה.

<math display="block">\phi |_{\text{ball edge}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r_q} + \frac{Q}{3\pi \epsilon_0 r_Q} = 0</math><math display="block">\Rightarrow 
\frac{Q}{R_Q} = -\frac{q}{r_q} (*)</math>אנו מחפשים Q,D כך שנוכל לקיים ת.ש. על כדור.

<math display="block">\rho\equiv \sqrt{y^2+z^2},r_q \equiv \sqrt{(x-d)^2+\rho^2},r_Q \equiv \sqrt{(x-D)^2+\rho^2} </math>על שפת הכדור מתקיים

<math display="block">\rho^2+x^2=R^2</math>נציב ביחס (*) ונקבל:

<math display="block">Q=-q \frac{R}{d}, D=\frac{R^2}{d}=R\cdot\frac{R}{d}</math>ולכן ברגע שיודעים את מטען השיקוף Q, הפוטנציאל בחוץ בכל מקום הוא סופרפוזיציה של q ו- Q.

==== מה קורה כאשר הפוטנציאל על הכדור הוא לא אפס (למשל <math>V_0</math>)? ====
נמצא את Q,D כרגיל מפיתרון הבעיה המוארקת, ואז נוסיף מטען חדש 'Q במרכז המעגל שידאג לכך שהפוטנציאל על שפת הכדור יהיה<math>V_0</math>.

איך נמצא את 'Q?

<math display="block">\frac{Q'}{r\pi\epsilon_0}=V_0 \Rightarrow Q' = 4\pi\epsilon_0 R V_0</math>

==== המקרה ההפוך - המטען נמצא בתוך הכדור ====
לפיכך מטען הדמות יהיה מחוץ לכדור:

<math display="block">\begin{cases} Q_{in} = -q_{out} \cdot \frac{R}{d} \\ D_{in}=\frac{R^2}{d_{out}}  \end{cases}</math>כל צמד מטענים שיקיים את היחסים לעיל, יקיים ש <math>\phi</math> על שפת הכדור הוא אפס. 
</div>