Editing פרק 6 - משוואת לפלאס

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
בהרצאות הקודמות ראינו את החשיבות של פתרון הבעיה הסטטית כבסיס לכל בעית EQS.

== הגדרת הבעיה ==
את הפיתרון הפרטי למשוואת פואסון אנחנו כבר יודעים לחשב.

ולכן, כעת נשים דגש על פיתרון של משוואת לפלאס:

<math display="block">\nabla ^2 \phi=0</math>כלומר, ניתן לפתור בתחום שבו אין מטען ρ, או שנפתור פתרון פרטי והומוגני בנפרד.

== משוואת לפלאס - תכונות הפתרון ==
עקרון המינמום / מקסימום: לפתרונות משוואת לפלאס אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בכל מקום מכוון אל המינימום.

במקרה כזה, חוק גאוס הוא:

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>ולכן יש מטען בנקודה, אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום! ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי! (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

'''הערה:''' אם בכל זאת נרצה נימוק יותר ריגורוזי:

בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} = 
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון על השפה. ולכן אם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.

== משוואת פואסון - תכונות הפתרון ==

=== יחידות הפתרון ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>ולכן:

<math display="block">\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 = 
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0</math>מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,2}) - \phi_1(r_{B,1}) = \phi_B-\phi_B=0
\\
\frac{\partial \phi_3}{\partial n}|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}</math>המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה שווה ל:

<math display="block">u_E = \iiint_D \epsilon_0/2 |\vec E_3|^2 dV</math>האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת ← <math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום.

נרצה לקש את הביטוי ל <math>u_E</math> ל <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, כי אלו הנתונים שלנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:<math display="block">\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F</math>ונקבל:

<math display="block">\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) = \underbrace{\phi_3 (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0} 
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}</math><math display="block">\iiint_D \epsilon_0/2 |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \epsilon_0/2 (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\epsilon_0/2 \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS</math>בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרטור מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">\Rightarrow
\int \epsilon_0/2 |E_3|^2 dV=0 \Rightarrow
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0</math>בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע.

נניח D אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \epsilon_0/2 |E|^2 = \epsilon_0/2 \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \epsilon_0/2 |E|^2 dV = \epsilon_0/2 \iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} - 
\underbrace{\iiint_{\partial r} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as }  V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \epsilon_0/2 |E|^2 dV = 1/2 \iiint \rho dV 
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math><math display="block">u_E = 1/2 \frac{1}{4\pi\epsilon_0} 
\iint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>

=== משפט הערך הממוצע ===
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>נוכיח:

<math display="block">\phi(r') = \underbrace{\phi(r)}_{\phi_\text{ in the center}} +
\underbrace{\int - \vec E(r'') dr^{''} \hat r}_{\phi_{\text{boundry }}}</math><math display="block">\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' = \frac{1}{4\pi a^2}
\iint(\phi(r) + \int -\vec E \cdot dr'' \hat r) dS'=
\frac{1}{4\pi a^2} [\phi(r) r\pi a^2 -
\int dr'' 
\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E(e) \cdot \hat r dS''}_
{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}
] = \phi(r)</math>

=== ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס ===
<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0</math><math display="block">\begin{cases} 
\phi(x+\triangle x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \triangle x \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x}+
\triangle x ^2 1/2 (\frac{\partial \phi}{\partial x})^2 +... \\
\phi(x-\triangle x,y,z)=\phi(x,y,z)- \triangle x \cdot \frac{\partial \phi}{\partial x}+
\triangle x ^2 1/2 (\frac{\partial \phi}{\partial x})^2 +... \\
\phi(x,y+\triangle y,z)=\phi(x,y,z)+ \triangle y \cdot \frac{\partial \phi}{\partial y}+
\triangle y ^2 1/2 (\frac{\partial \phi}{\partial y})^2+...\\
y-\triangle y... \\ z+\triangle z... \\ z-\triangle z ...
\end{cases}</math>נניח ש: <math>\triangle x = \triangle y = \triangle z \equiv \triangle</math>

בנוסף נניח ש <math>\triangle</math> הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.

נסכם:

<math display="block">\phi(x+\triangle) + \phi(x-\triangle) + \phi(y+\triangle) + \phi(y-\triangle)
+
\phi(z+\triangle)+\phi(z-\triangle) = 
6 \phi(x,y,z) + \triangle^2 \underbrace{(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2})}_{=0}</math>נחלק ב - 6 ונקבל:

<math display="block">\phi(x,y,z) = 1/6 [\phi(x+\triangle) + \phi(x-\triangle) + \phi(y+\triangle) + \phi(y-\triangle)
+
\phi(z+\triangle)+\phi(z-\triangle)]</math>כלומר, <math>\phi</math> בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.

== פתרון בהפרדת משתנים ==
טכניקת פתרון כאשר פותרים לפלס בתחום ספרבילי - תחום שאת כל השפות שלו ניתן לתאר כמשטחים שווי קורדינטה.

=== קורדינטות קרטזיות ===
משוואת לפלאס בקורדינטות אלו:<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy}+\phi_{zz}=0</math>פתרון בהפרדת משתנים:

<math display="block">\Phi = X(x) Y(y) Z(z)</math>נציב בלפלאס:
<math display="block">XX''YZ+XY''Z+XYZ''=0</math>נחלק ב XYZ, ונקבל:

<math display="block">\underbrace{\frac{X''}{X}}_{=-k_x^2 \text{ depends only on x}} +
\underbrace{\frac{Y''}{Y}}_{=-k_y^2 \text{ depends only on y}} +
\underbrace{\frac{Z''}{Z}}_{=-k_z^2 \text{ depends only on z}} =0</math><math display="block">\Rightarrow
k_x^2 + k_y^2 + k_z^2=0</math>מכאן, כל אחד משלושת המחברים חייב להיות פונקציה קבועה שאינה תלויה בקורדינטות.

הבעיה "מופרדת" ל-3 משוואות דיפרנציאליות רגילות:

<math display="block">(1) \frac{X''}{X}=-k_x^2,\text{ }
(2) \frac{Y''}{Y}=-k_y^2 \text{ }
(3) \frac{Z''}{Z}=-k_z^2</math>

* הפיתרון הטריוויאלי:

<math display="block">k_x=k_y=k_z=0
\Rightarrow
X''=0,Y''=0,Z''=0</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = (Ax+B)(Cy+D)(Ez+F)</math>

* במקרה הכללי:

<math display="block">\frac{X''}{X}=-k_x^2 \Rightarrow X''+k_x^2 X=0</math>נחלק לשני מקרים:
{| class="wikitable"
|+
!<math>k_x^2>0</math>
!<math>k_x^2<0</math>
|-
|<math>X=A\sin(k_x x)+B\cos(k_x x)</math>
|<math>X=A\cdot e^{\tilde k_x x} + B\cdot e^{-\tilde k_x x}</math>
|}
כאשר <math>k_x \equiv i \tilde k_x</math>.

באופן כללי, תמיד ניתן לרשום:

<math display="block">\phi = (A\cos(k_x x)+B\sin(k_x x))\cdot (C\cos(k_y y)+D\sin(k_y y))
\cdot (E\cos(k_z z)+F\sin(k_z z))</math>מכיוון ש <math>k_x^2+k_y^2+k_z^2=0</math> , חלקם צריכים להיות מדומים.

אופציה נוספת: לכתוב חלק מהפתקונות כפונקציות טריגונומטריות וחלק כאקספוננציאליות, כך ש:

<math display="block">\underbrace{\sum_i k_i}_{\text{Trigonometric}} = 
\underbrace{\sum_i \tilde k_i}_{\text{Exponential}}</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 1 ====

* הפוטנציאל בין לוחות הקבל מקיים <math>\nabla^2\phi = 0</math>
* התחום ספירבילי
* תנאי שפה: <math>\phi(z=0)=0,\phi(z=d)=V</math>

מאחר וערך הפוטנציאל קבוע על משטחים שווי z:

<math display="block">\phi=(Ez+F)\cdot (Ax+B)\cdot (Cy+D)</math>נציב תנאי שפה:

<math display="block">\phi(z=0)=F=0,\phi(z=d)=Ed= V </math><math display="block">\Rightarrow \phi=\frac{V}{d}\cdot z \Rightarrow\vec E = -\nabla \phi =-\frac{V}{d} \hat z</math>

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====

* מה הפוטנציאל בתוך התחום
* המבנה אינסופי בכיוון z ← <math>k_z=0</math>.

הפוטנציאל פותר את משוואת לפלאס בתחום:

<math display="block">\begin{cases} 
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0 
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>תנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\ 
\phi(y=a)=V(x) 
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\ 
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\ 
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}</math>עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x) 
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא 2d. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא 2d.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx</math>מאורתוגונליות:

<math display="block">\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>נקבל:

<math display="block">\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin(mx \cdot \frac{\pi}{d})  dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m = 
\frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot 
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot 
\frac{1}{\sinh(\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1))}\cdot
\sin(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d})\cdot
\sinh(\frac{(2n-1)\pi}{d}y)</math><math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi = 
\sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}[
\cos(\frac{(2n-1)\pi x}{d} )\cdot \sinh(\frac{(2n-1)\pi y}{d}) \hat x +
\sin(\frac{(2n-1)\pi x}{d} )\cdot \cosh(\frac{(2n-1)\pi y}{d}) \hat y
]</math>

'''מה הקיבול?'''

כדי לחשב את הקיבול, נחשב את סף המטען על האלקטרודה <math>V(x)</math>.

<math display="block">\eta = \hat y \cdot (\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down})=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 (-\frac{\partial \phi}{\partial y})|_{y=a} = 
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})
\cdot \sin(\frac{(2n-1)\pi x}{d})</math>נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx = 
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})</math>אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל.

בבעיה אמיתית ניתן להניח שהשינוי של הפוטנציאל ב - δ (איור XXX) הוא לינארי.



</div>