Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">

== מגנטוסטטיקה ==

=== משוואות השדה ===
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזי סטטית), השדה המגנטי נקבע דרך המשוואות הבאות:

באלטרוסטטיקה:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times \vec E = 0 \\ 
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}</math>במגנטוסטטיקה:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times \vec H = \vec J  \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
\end{cases}</math>יש הבדלים במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי, והוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את <math>\vec E</math>, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזי סטטיות, נשתמש באותה הדרך מאחר ובאופן כללי מתקיים:

<math display="block">\nabla \times \vec H=  \vec J \neq 0</math>לא ניתן להגדיר <math>H=-\nabla \phi</math>, אבל עבור שדה חסר מקורות:

<math display="block">\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0</math>ולכן נגדיר:

<math display="block">\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times 
\underbrace{\vec A}_{\text{Potential magnetic vector}}</math>מההצבה של הפוטנציאל הוקטורי המגנטי, מתקיימת הזהות הבאה:

<math display="block">\nabla \cdot (\nabla \times A)=0</math>

=== פוטנציאל וקטורי ===
הבחירה ב <math>\vec A</math> אינה חד ערכית:

אם מתקיים <math>\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H</math>, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי Ψ:

<math display="block">\vec A' = \vec A + \nabla \Psi </math>ואז:<math display="block">\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) = 
\mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H</math>נקבל את אותו השדה (למעשה משוואת הלמולץ באחת מצורותיה אומרת שניתן להגדיר שדה כמלואו, באופן יחיד, כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div.

כאן ידוע לנו רק <math>\nabla \times \vec A = \vec H</math> ויש לנו חופש לבחור את Div לנוחיותינו).

=== משוואת לפלאס הוקטורית ===
ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times (\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>נשתמש בזהות ונקבל:

<math display="block">\nabla (\nabla \cdot \vec A) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>על מנת לפשט את המשוואה, נהוג לבחור את כיול קולון:

<math display="block">\nabla \cdot \vec A = 0
\Rightarrow
\nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J </math>מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\ 
\nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\ 
\nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}</math>

=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
ראינו שכל רכיב מתנהג כמו משוואת פואסון, ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה:<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:
<math display="block">\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>
כאשר:

* <math>\vec r'</math> - מערכת המקור.
* <math>\vec r</math> - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את <math>\vec A</math>.
נסיק, כי בהינתן  שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את <math>\vec A</math> על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את <math>\vec H</math>:

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A</math>'''הערה חשובה:'''

נשים לב כי רכיב כלשהו של <math>\vec J</math> תורם רק לאותו רכיב  של <math>\vec A</math>.

בניגוד ל <math>\nabla \times \vec H = \vec J</math> שבו כל רכיב של <math>\vec J</math> יכול לתרום לרכיבים שונים של <math>\vec H</math> (תקף בכל מערכת קורדינטות).

=== דוגמא - טבעת זרם (איור 1) ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y, 
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z</math><math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi}  \int
\frac{Ia d\varphi' 
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}
    
}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...</math><math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi}  \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')
    
}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}</math>את האינטגרל הנ"ל לא ניתן להעריך באופן אנליטי.

נניח כי <math>t \gg a</math>, ואז:

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int 
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r} 
\cdot 
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>כאשר הגדרנו את <math>m\equiv I_0 S</math> להיות מומנט הדיפול.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

=== חוק Biot - Savart ===

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>, וכדי לקבל את <math>\vec H</math> מבצעים רוטור.

ניתן גם לבצע רוטור "מראש" על הנוסחא לחישוב <math>\vec A</math> , ונקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times 
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times (\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}) dV' = 
\frac{1}{4\pi} \int [
\nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
]  dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> לא תלוי בהן.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla (\frac{1}{|r-r'|}) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int [
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'}_{\text{Volume charges}} +
 \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dS'}_{\text{Surface charges}} +
 \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec I \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 \vec{dl'}}_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה הוא פתרון פרטי ופתרון הומוגני.

הפיתרון הפרטי הוא שדה של טבעת.

הפיתרון ההומוגני לא נובע ממקורות באיזור שבו פותרים. יהיה פתרון שיקוף במקרה הזה (יהיה בתרגול).

== תנאי שפה לשדה מגנטי PEC ==
כדי לבנות באופן שיטתי צריך פיתרון לבעיה המלאה (מקורות בנוכחות תנאי שפה).

נרשום את תנאי השפה עבור <math>\vec H</math> בנוכחות PEC.

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \times (\vec H_{out} - \vec H_{in}) = \vec K \Rightarrow
\hat n \times \vec H = \vec K
\\ 
\hat n \cdot (\mu_0 \vec H_{out} - \mu_0 \vec H_{in}) = 0 \Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0
\end{cases}</math>לכן סמוך לשפת PEC, <math>\vec H</math> יהיה רק מקביל לשפה.

'''בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י:'''<math display="block">\begin{cases}
\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני:

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>מחוק ביו סבר קיבלנו ש:

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'</math>איזו מערכת משוואות מקיים הפיתרון ההומוגני?

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0 \\ 
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0 
\end{cases}</math>תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} = 
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h = 
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>נשים לב ש <math>\vec H_h</math> מקיים את אותן משוואות שמקיים <math>\vec E_h</math>, ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">\vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\ 
\hat n \cdot H_n = \frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p 

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי.

'''נשווה בין שדה חשמלי סטטי לשדה מגנטי סטטי:'''
{| class="wikitable"
|+
!שדה מגנטי סטטי
!שדה חשמלי סטטי
!
|-
|<math>\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
|<math>\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>
|משוואת המצב
|-
|גם אנו נמצאים באיזור שבו אין מקורות
<math>\oint \vec H \cdot \vec{dl} </math> לא יהיה אפס אם הוא
מקיף זרמים.
|<math>\vec E = - \nabla \phi </math>ולכן זהו שדה משמר
|האם השדה משמר?
|}
אם נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי:
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi  </math>ולכן פורמלית נגדיר:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>אבל זו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I  </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow 
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\ 
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2}) 
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)}  </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases} 
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\ 
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases}  </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3  </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta 
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}} 
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} }   </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m 
=
H_0 \hat z - 
\underbrace{\frac{H_0 a^3}{2 r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})}  </math>מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}} 
\cdot 
\underbrace{H_0}_{\text{Inducing}}  </math>

* קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V  </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V  </math>.
* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?

בתוך הכדור <math>\vec H = 0  </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const}  </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta   </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף!

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi  </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.

=== דוגמא 2 - גליל PEC בשדה מגנטי אחיד ===
תנאי השפה דומים מאוד לדוגמא הקודמת.

ניתן לפתור עם פוטנציאל סקלרי ולקבל:

<math display="block">\phi_{m,s} = H_0 \frac{a^2}{r}\sin\varphi  </math><math display="block">\phi_m = \phi_{m,s} + \phi_{ext}  </math>ולכן:

<math display="block">\vec K = -2H_0 \cos\varphi \hat z  </math>אם נסתכל על חתך הגליל, סך הזרם החוצה את החתך הוא אפס!

ולכן - אין בעיה להגדיר <math>\phi_m </math>.

נשווה מקדמים:<math display="block">\frac{P_{2D}}{2\pi} = H_0 a^2
\Rightarrow
P_{2D} = H_0 \cdot (2\pi a^2) = (-H_0) \cdot (-2\pi a^2)  </math><math display="block">\Rightarrow \alpha_{2D} = -2\pi a^2 = -2S  </math><math display="block">\vec H_s = -\frac{H_0 a^2}{r^2} \cdot [-\sin\varphi \hat r +
\cos\varphi \hat \varphi]  </math><math display="block">H_{2D} = \frac{Id}{2\pi r^2} (\sin\varphi \hat r - \cos\varphi \hat \varphi)  </math>

=== שיקופים (איור XXX) ===

== כא"מ והשראות ==
עבור הדוגמא משמאל, נכתוב את חוק פאראדיי:

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t}
=
-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2)  </math>ולכן עקרון לנץ הוא:

<math display="block">i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2}  </math>המתחים <math>V_{R1}\neq V_{R2}  </math>, ובנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים.


המתח הנמדד במד באיור (XXX):

<math display="block">V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl}  </math>נרשום את חוק פאראדיי הדיפרנציאלי:

<math display="block">\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}  </math><u>אם נבצע:</u>

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 
\int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
= - \frac{\partial \psi}{\partial t} = -V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
=-\frac{\partial \psi}{\partial t}  </math>נציג את אותו הקשר בצורה שונה:

<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t}  </math><u>מקרה 1:</u>

אם <math>\frac{\partial \psi}{\partial t}  </math> זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:

<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}  </math>אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (XXX):

<math display="block">\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma}
\Rightarrow
V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l = 
\underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I  </math>

<u>מקרה 2:</u>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial t}  </math> לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

<math display="block">V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0} 
+ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}  </math>מאחר ומתקיים:

<math display="block">\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS  </math>וגם מדובר בבעיה ליארית:

<math display="block">\vec H \propto I  </math>מתקיים:

<math display="block">\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I   </math><math display="block">\Rightarrow
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} = 
\underbrace{{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial I}}}}_{=L}
\cdot 
{\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21}  </math>

=== השראות הדדית ===
באופן כללי, עבור איור (XXX):

<math display="block">\begin{cases} 
\psi_1 = L_{\text{self 1}} \cdot I_1 + L_{\text{mutual}} \cdot I_2 \\ 
\psi_2 = L_{\text{mutual}} \cdot I_1 + L_{\text{self 2}} \cdot I_2
\end{cases}  </math>אם נכתוב זאת באופן מטריציוני:

<math display="block">\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} = 
\underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22}  \end{pmatrix}}_{L}
\cdot 
\begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix}  </math>כאשר המטריצה L חייבת להיות סימטרית.

=== דוגמא ===
נתונות 2 טבעות, <math>R_1 \gg R_2  </math>.

מה ההשראות ההדדית?

<math display="block">\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 = 
\underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}}
\cdot I   </math>
</div>