Editing פרק 13 - אנרגיה

== אנרגיה ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>מה קורה בחומר?<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>נשתמש בהגדרות המוכרות:<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad  \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source}  </math>נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>נסתכל על כל רכיבי המשוואה:<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>W_H</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה המגנטי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>W_E</math>
|צפיפות האנרגיה האגורה בשדה החשמלי
|<math>\frac{Joule}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות ===
<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה ===
כאשר נחזור חזרה, נקבל את אותה עבודה, אך בסימן שלילי, ולכן <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt  = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P   </math>במקרה מחזורי <math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E   </math>אם <math>\chi_E   </math> לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2   </math>ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.<math display="block">W_E + W_P =  \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material}   </math>

=== הספק מגנוט ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}   </math>לכן, נוכל לחשב את הספק המגנוט:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M   </math>

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו <math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H    </math> אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2)+\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S  </math>