Editing פרק 3ב - קוואזיסטטיקה

<div lang="he" dir="rtl" class="mw-content-rtl">
== תזכורות ==
בהרצאה 1 קיבלנו את משוואות מקסוול, ובהרצאה 2 את תנאי השפה.
{| class="wikitable"
|+
!
!תנאי שפה
!משוואה
|-
|שדה חשמלי – אי-רציפות רכיב ניצב לשפה
|<math>\hat n \cdot \left(\epsilon_{0} \vec{E}_{2}-\epsilon_{0} \vec{E}_{1}\right)=\eta</math>
|<math>\nabla \times E=-\mu_{0} \frac{\partial H}{\partial t}</math>
|-
|שדה חשמלי – רציפות רכיב משיק לשפה
|<math>\hat{n} \times\left(\vec{E}_{2}-\vec{E}_{1}\right)=0</math>
|<math>\nabla \times H=\epsilon_{0} \frac{\partial E}{\partial t}+J</math>
|-
|שדה מגנטי – רציפות רכיב ניצב לשפה
|<math>\hat{n} \cdot\left(\mu_{0} \vec{H}_{2}-\mu_{0} \vec{H}_{1}\right)=0 </math>
|<math>\nabla \cdot\left(\epsilon_{0} E\right)=\rho</math>
|-
|שדה מגנטי – אי-רציפות רכיב משיק לשפה
|<math>\hat{n} \times\left(\vec{H}_{2}-\vec{H}_{1}\right)=\vec{K}</math>
|<math>\nabla \cdot\left(\mu_{0} H\right)=0</math>
|-
|חוק שימור המטען על שפה
|<math>\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D} \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>
|<math>\nabla \cdot J = -\frac{\partial \rho} {\partial t}</math>
|}
כפי שציינו כבר, פתרון כללי ומלא של משוואות אלו יכול להיות מסובך למדי, ולכן קיימים קירובים שונים שניתן לעשות על מנת לפשט את תהליך הפתרון.

== משוואות מקסוול - משטר קוואזיסטטי ==
כנקודת התחלה לקירוב הקוואזיסטטי, השדות משתנים  לאט בזמן:

<math display="block">\frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow 0</math>

שאלה חשובה שיש לשאול, היא לאט ביחס למה? אותו קצב השתנות יכול להחשב איטי במערכת אחת, אך מהיר במערכת אחרת. 

אם המערכת המתוארת היא מערכת מחזורית בזמן, כלומר אות הכניסה ניתן לתיאור כ-<math> cos(\omega t) </math> (מקור זרם או מתח בבעיה לדוגמא) אז מימדי הבעיה יתוארו באופן טבעי ביחס לאורך הגל האופייני / זמן מחזור אופייני בתדר <math> \omega </math>. אם אורך הגל האופייני <math> \lambda=2\pi c/\omega </math> גדול בהרבה ממימדי המערכת האופייניים (כפי שראינו בסוף [[פרק 3א - מבוא לקווזיסטטיקה - גלים#קוואזי סטטיקה|פרק 3א]]) אז המערכת מתאימה לתאור תחת קירוב זה. באופן שקול ניתן גם לחשוב על זמן אופייני להתפשטות גלים במערכת <math> \tau </math>. אם מתקיים שזמן אופייני זה קטן בהרבה מזמן המחזור של הכניסה או המקור, כלומר  <math> \tau \ll T </math> אז המערכת תתאים לקירוב קוואזיסטטי.

ומה אם אות הכניסה אינו מחזורי?

ניתן כמובן לבצע התמרה של האור לסכום של אותות מחזוריים (לדוגמא התמרת פוריה), ולדרוש שהתנאים לקירוב יתקיימו עבור רכיבי התדר הגבוהים ביותר בהתמרה, אך באופן פרקטי בד"כ אין צורך בניתוח מקדים כזה. ניתן פשוט לפתור את הבעיה תחת הקירוב הנ"ל, ובסופו של דבר מהדרישה שמבנה הפתרון יתאים למבנה ותכונות הטור הקוואזיסטטי נוכל לקבל את תחום הפרמטרים המתאים לקירוב.

=== הטור הקוואזיסטטי ===
נרשום את השדות באמצעות טור:

<math display="block">\vec E(\vec r,t) = \sum_{n=0}^\infty \vec E^{(n)} (\vec r, t)
\text{ ; }
\vec H(\vec r,t) = \sum_{n=0}^\infty \vec H^{(n)} (\vec r, t) </math>כאשר n הוא סדר האיבר בטור.

זהו טור '''אסימפטוטי''' ביחס ל <math>\frac{\partial}{\partial t} \longrightarrow 0</math>, כלומר איברי הטור מקיימים:

<math display="block">\lim_{\frac{\partial} {\partial t}\rightarrow 0} \frac{E^{(n)}} {E^{(n-1)}} << 1</math>

נרשום טור זהה למקורות:

<math display="block">\vec J (\vec r, t) = \sum_{n=0}^\infty \vec J ^{(n)} (\vec r, t) \text{ ; } \rho (\vec r, t) = \sum_{n=0}^\infty \vec \rho ^{(n)} (\vec r, t) </math>

נשים לב כי קיימים מספר הבדלים בין טור חזקות שאנו "רגילים" להגדיר במצבים שונים, לבין טור אסימפטוטי.

==== טור חזקות ====
נגדיר לפונקציה טור חזקות סביב <math>x_0</math>:

<math display="block">f(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x - x_0)^n</math>אם רדיוס ההתכנוס של הטור הוא R, אז לכל <math>|x-x_0|<R</math>

שארית הטור:

<math display="block">\epsilon_N = \sum_{n=N+1}^\infty b_n (x - x_0)^n</math>

מתקיים:

<math display="block">\lim_{N\rightarrow \infty} \epsilon_N = 0</math>

==== טור אסימפטוטי ====
אם לפונקציה יש פיתוח סביב <math>x_0</math>:

<math display="block">f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \phi_n (x - x_0)</math><math display="block">\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\phi_{n+1}}{\phi_n}=0</math>

עבור <math>x\rightarrow x_0</math> השגיאה מקיימת:

<math display="block">\epsilon_N = [f(x) - \sum_{n=0}^N a_n \phi_n (x-x_0) ] << \phi_N (x-x_0)</math>

באופן כללי הטור לא חייב:

* להיות טור מתכנס
* עבור <math>x\neq x_0</math> לשפר את דיוק הקירוב כאשר מוסיפים איברים נוספים. כלומר, במקרה שלנו, אין למעשה הבטחה שהטור יתכנס עבור קצת השתנות סופי בזמן (גם אם קטן). בפועל, בד"כ מתקבל טוב מתכנס שאין איתו בעייתיות כזו, אך חשוב לזכור שזה לא חייב להיות כך.

{| class="wikitable"
|+נסכם את ההבדלים:
!
!טור אסימפטוטי
!טור חזקות
|-
|N
|<math>N \text{ is const}</math>
|<math>N\rightarrow \infty</math>
|-
|<math>x</math>
|<math>x \rightarrow x_0</math>
|<math>x \text{ is const}</math>
|-
|<math>\epsilon_N</math>
|<math>\epsilon_N << \phi_N</math>
|<math>\epsilon_N \rightarrow 0</math>
|}
הערה - כאשר המערכת הינה מערכת מחזורית בזמן, אז הפונקציות שנגזור בזמן יהיו פונקציות <math> cos,sin </math>. במקרה זה, מאחר וגזירה בזמן מחזירה אותנו לאותן פונקציות בתוספת הכפלה בתדר <math> \omega </math> נקבל מבנה של טור חזקות בתדר.

== משוואות הקוואזיסטטיקה ==
=== הקשר בין האברים בטור הקוואזיסטטי ===
נזכיר שכל הקירוב מתבצע עבור <math>\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow0</math>. מאחר ואופרטור הנגזרת הזמנית היא ה"פרמטר הקטן" בבעיה, זהו גם האופרטור שהופך איבר בטור לזניח ביחס לאיבר שלפניו. כלומר, כדי לעבור מסדר n לסדר n+1 בטור הקוואזיסטטי, יש לבצע גזירה בזמן.

ניקח לדוגמא את חוק שימור המטען:

<math display="block">\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>
נציב למשוואה את הטור הקוואזיסטטי של <math> \vec{J} </math> ו-<math> \rho </math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\vec J^{(0)}+\vec J^{(1)}+\vec J^{(2)}+...) = 
-\frac{\partial}{\partial t}( \rho^{(0)} + \rho^{(1)} + \rho^{(2)}+...)</math>


נפתח את הסוגריים, ונציין ליד כל איבר את ה"סדר" המתאים לו בטור האסימפטוטי:

<math display="block">\underbrace{\nabla \cdot \vec J^{(0)}}_{\text{zero order}}+
\underbrace{\nabla \cdot \vec J^{(1)}}_{\text{first order}}+
\underbrace{\nabla \cdot \vec J^{(2)}}_{\text{second order}}+ ... =
 -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(0)}}_{\text{first order}}
 -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(1)}}_{\text{second order}}
 -\underbrace{\frac{\partial}{\partial t}\rho^{(2)}}_{\text{third order}}-...</math>

ולכן, אם נשווה בין כל סדר בנפרד נקבל:

<math display="block">\begin{cases} \nabla \cdot \vec J ^{(0)}=0 \\ 
\nabla \cdot \vec J ^{(1)}= -\frac{\partial}{\partial t} \rho ^{(0)} \\ 
\nabla \cdot \vec J ^{(2)}= -\frac{\partial}{\partial t} \rho ^{(1)} \\
\vdots \end{cases}
</math>

=== חוק אמפר ===
חוק אמפר הוא כידוע:<math display="block">\nabla \times \vec H = \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\vec E+\vec J

</math>נציב את הטורים, ונקבל:

<math display="block">\nabla \times (H^{(0)} + H^{(1)} + H^{(2)}) =
\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(E^{(0)}+E^{(1)} + E^{(2)}) + (J^{(0)} + J^{(1)} + J^{(2)} )</math>ולכן, מהשוואת סדרים נקבל:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times \vec H^{(0)} = \vec J^{(0)} \\ 
\nabla \times \vec H^{(1)} = \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\vec E^{(0)} +\vec J^{(1)} \\
\nabla \times \vec H^{(2)} = \epsilon_0 \frac{\partial }{\partial t}\vec E^{(1)} +\vec J^{(2)}
\\\vdots \end{cases}</math>

=== חוק פאראדיי ===
בצורה דומה, נוכל לקבל:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times E^{(0)} = 0 \\ 
\nabla \times E^{(1)} = -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t} \\ 
\nabla \times E^{(2)} = -\mu_0 \frac{\partial H^{(1)}}{\partial t}
\\\vdots \end{cases}</math>

=== חוקי גאוס ===
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho</math>נשים לב שאין פה נגזרות זמניות, לכן הסדרים יהיו שווים משני הצדדים:

<math display="block">\begin{cases} 
\text{first order: } \nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(0)}) = \rho ^{(0)} \\ 
\text{second order: } \nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(1)}) = \rho ^{(1)} 
\\\vdots \end{cases}</math>אותו הדבר קורה עבור חוק גאוס המגנטי.

=== תנאי שפה ===

==== שדות ====
נציב את הטור הקוואזיסטטי לתנאי השפה של שדה חשמלי ניצב לשפה:

<math display="block">\hat n \cdot \left(\epsilon_{0} \vec{E}_{2}-\epsilon_{0} \vec{E}_{1}\right)=\eta</math>

ונקבל:

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2^{(0)} - \epsilon_0 E_1^{(0)})=\eta^{(0)} \\ 
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2^{(1)} - \epsilon_0 E_1^{(1)})=\eta^{(1)} 
\\\vdots \end{cases}</math>

באופן דומה, בכל תנאי השפה בהן לא מעורבת נגזרת זמנית נקבל פשוט שוויון בין סדרים מתאימים:

<math display="block">\hat n \cdot \left(\mu_{0} \vec{H}^{(n)}_{2}-\mu_{0} \vec{H}^{(n)}_{1}\right)=0</math>
<math display="block">\hat n \times \left(\vec{E}^{(n)}_{2}-\vec{E}^{(n)}_{1}\right)=0</math>
<math display="block">\hat n \times \left(\vec{H}^{(n)}_{2}-\vec{H}^{(n)}_{1}\right)=\vec{K}^{(n)}</math>

==== שימור מטען ====
נציב את הטור הקוואזיסטטי לתוך:

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D} \cdot \vec K = - \frac{\partial \eta}{\partial t}</math>ונקבל:

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \cdot (\vec J_2^{(0)} - \vec J_1^{(0)}) + \nabla_{2D} \cdot \vec K^{(0)} = 0\\ 
\hat n \cdot (\vec J_2^{(1)} - \vec J_1^{(1)}) + \nabla_{2D} \cdot \vec K^{(1)} 
= - \frac{\partial}{\partial t} \eta^{(0) }
\\ \vdots \end{cases}</math>

== משוואות הקוואזיסטטיקה - סיכום ==
אם נסתכל על המשוואות נוכל לשים לב כי לטור יש מעין מבנה "זיג-זג" של שני מסלולים נפרדים.

'''מסלול מגנטו-קוואזיסטטי:''' אם רק שדה מגנטי מרכיב את סדר האפס. שדה מגנטי מסדר אפס יוביל לאיברים הבאים:

<math display="block">
\vec{H}^{(0)} \rightarrow \vec{E}^{(1)} \rightarrow \vec{H}^{(2)} \rightarrow \vec{E}^{(3)} \rightarrow \vec{H}^{(4)} \rightarrow ...
</math>

'''מסלול אלקטרו - סטטי:''' אם רק שדה חשמלי מרכיב את סדר האפס. נקבל את האיברים הבאים:
<math display="block">
\vec{E}^{(0)} \rightarrow \vec{H}^{(1)} \rightarrow \vec{E}^{(2)} \rightarrow \vec{H}^{(3)} \rightarrow \vec{E}^{(4)} \rightarrow ...
</math>


{| class="wikitable"
|+
!Order
!Magneto-Quasistatics (MQS)
!Electro-Quasistatics (EQS)
!הערות
|-
|zero
|<math>\begin{cases} 
\nabla \times H^{(0)}= J^{(0)} \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 H^{(0 )}) = 0
\end{cases} 
+ \text{zero order B.C.}</math>
|<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times E^{(0)}=0 \\ 
\nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(0 )}) = \rho^{(0)}
\end{cases} 
+ \text{zero order B.C.}</math>
|ניתן להשתמש בזמן כפרמטר,
ולכן נפתור בעיה סטטית
|-
|
| colspan="2" |<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot J^{(0)} = 0 \\ 
\hat n \cdot (J_2 ^{(0)} - J_1 ^{(0 )}) + \nabla_S K^{(0)}=0
\end{cases}</math>
|
|-
|first
|<math>\begin{cases} 
\nabla \times E^{(1)}= -\mu_0 \partial_{t} H^{(0)} \\ 
\nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(1 )}) = \rho^{(1)}
\end{cases} 
+ \text{first order B.C.}</math>
|<math>\begin{cases} 
\nabla \times H^{(1)}= \epsilon_0 \partial_{t} E^{(0)} +J^{(1)} \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 H^{(1 )}) = 0
\end{cases} 
+ \text{first order B.C.}</math>
|
|-
|
| colspan="2" |<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot J^{(1)} = -\partial_{t} \rho^{(0)} \\ 
\hat n \cdot (J_2 ^{(1)} - J_1 ^{(1 )}) + \nabla_S K^{(1)}= - \partial_{t} \eta^{(0)}
\end{cases}</math>
|
|-
|second
|<math>\begin{cases} 
\nabla \times H^{(2)}= \epsilon_0 \partial_{t} E^{(1)} +J^{(2)} \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 H^{(2 )}) = 0
\end{cases} 
+ \text{second order B.C.}</math>
|<math>\begin{cases} 
\nabla \times E^{(2)}= -\mu_0 \partial_{t} H^{(1)} \\ 
\nabla \cdot (\epsilon_0 E^{(2 )}) = \rho^{(2)}
\end{cases} 
+ \text{second order B.C.}</math>
|
|-
|
| colspan="2" |<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot J^{(2)} = -\partial_{t} \rho^{(1)} \\ 
\hat n \cdot (J_2 ^{(2)} - J_1 ^{(2 )}) + \nabla_S K^{(2)}= - \partial_{t} \eta^{(1)}
\end{cases}</math>
|
|}

מבנה זה נגרם מכיוון שהמשוואות המצמדות בין השדות הן המשוואות הסיבוביות, בהן השדות מצומדים רק דרך נגזרת זמנית. 

האם ניתן בכל זאת לקבל פתרון שמצריך את כל הסדרים, בכל השדות? בוודאי! לצורך כך אנו צריכים מנגנון צימוד בין שדות באותו הסדר. הדרך הפשוטה ביותר לקבל צימוד זה הוא בתוך חומר מוליך. נדון במקרה זה בהמשך הקורס.

== דוגמא - EQS ==
[[File:3B1.png|500px|thumb|left|איור 1]]

נתון קבל המוזן ע"י מקור מתח בשני קצותיו (איור 1).

נתון כי <math>d<<L,W</math> ולכן ניתן להזניח אפקטי שפה.

חשבו את השדות בקבל בקירוב הקוואזי סטטי (סדר 0,1,2).

נשים לב:

* השדות בחוץ הם אפס
* על המקורות אין תיקונים מסדר גבוה למתח

===  סדר 0 (איור 2) ===

[[File:3B2.png|300px|thumb|left|איור 2]]

<math display="block">V(+)=V_0 \cdot cos(\omega t)</math>כאמור, בסדר 0 הזמן הוא "פרמטר" ואנו פותרים בעיה סטטית:

<math display="block">\vec E ^{(0)} = -\frac{V}{d} \hat z = -\frac{V_0}{d} cos(\omega t) \hat z</math>נמצא תנאי שפה, עבור הלוח העליון (בלוח התחתון נקבל תוצאות זהות, עם סימן הפוך):

<math display="block">\eta ^{(0)} = \hat z \cdot (0 - \epsilon_0 \frac{-V(t)}{d} \hat z)=\epsilon_0 \frac{V_0 \cdot cos(\omega t)}{d} </math><math display="block">Q^{(0)}= \eta^{(0)}\cdot LW = \epsilon_0 \frac{V_0 cos(\omega t)}{d}\cdot LW</math>

=== תיקון סדר 1 - זרם דרך המקור (הדופן הלבנה) ===
נפעיל את חוק שימור מטען על הלוח העליון:

<math display="block">I_{out}^{(1)}= -\frac{\partial Q^{(0)} }{\partial t} = 
-\frac{\partial}{\partial t} (\epsilon_0 \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot cos(\omega t))
=
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t)
</math>

מאחר והמקור מפולג באופן אחיד לאורך הדופן, הזרם זורם בו כזרם משטחי:

<math display="block">\vec K^{(1)} \cdot (-\hat z)\cdot L\cdot 2 =
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) </math><math display="block">\vec K^{(1)} = -
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{W}{2d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) \hat z </math><math display="block">\vec K^{(1)} \hat z \cdot (- \hat z) \cdot 2L= 
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) </math>

=== תיקון סדר 1 - שדה מגנטי (איור 3) ===

[[File:3B3.png|400px|thumb|left|איור 3]]

מה כיוון <math>H^{(1)} </math>?

לפני תנאי השפה על הלוח העליון:

<math display="block">\hat z \times (0- \vec H) = k \hat x \Rightarrow \vec H = H \hat y  </math>כדי לחשב את גודל הרכיב, נשתמש בחוק אמפר האינטגרלי (הלולאה מסומנת באיור (3)):

<math display="block">\oint H^{(1)} \cdot dl =
\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint E^{(0)}\cdot \hat n ds +
\underbrace{\iint J^{(1)}\cdot \hat n ds}_{\text{all the passing current}} </math>אגף שמאל:

<math display="block">\oint H^{(1)} \cdot dl = H \cdot D </math>אגף ימין:

<math display="block">\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint E^{(0)}\cdot \hat n ds +
\iint J^{(1)}\cdot \hat n ds = 
\frac{\partial}{\partial t}(-\frac{V_0 cos(\omega t)}{d}\cdot x \cdot D)
+\epsilon_0 \omega \frac{W}{2d} V_0 sin(\omega t) \cdot D </math>ולכן:

[[File:3B4.png|300px|thumb|left|איור 4]]

<math display="block">\vec H^{(1)}(x) = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \cdot sin(\omega t ) (x - W/2) \hat y </math>
קיבלנו אופיין לינארי, ניתן לראות שרטוט שלו באיור 4.

כעת ניתן גם לקבל ביטוי מסודר ל <math>\vec K </math> על הלוח העליון, בעזרת תנאי השפה:

<math display="block">\vec K = \hat z \times (0 - \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t) (x - W/2)\hat y) = 
\frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t) (x - W/2) \hat x </math>

=== תיקון סדר 1 - צפיפות זרם משטחית - לוח עליון ===
עשינו מקודם

=== תיקון סדר 2 - שדה חשמלי (איור 5) ===

[[File:3B5.png|400px|thumb|left|איור 5]]

אמרנו מקודם שאין תיקונים מסדר גבוה למתח, לכן:

<math display="block">V_{source}=
-\int E^{(0)} dz =
V_0 cos(\omega t) </math>

נשתמש ב:

<math display="block">\oint E^{(2)} \cdot dl  = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} 
\iiint H^{(1)}\cdot \hat n ds </math>

באגף שמאל נניח שהשדה החשמלי הוא בכיוון z:

<math display="block">\oint E^{(2)} \cdot dl = - E^{(2)} \cdot D </math>אגף ימין:

<math display="block">-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}
\int \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t)(x-W/2) \hat y D dy \cdot \hat y </math>ולכן:

<math display="block">E^{(2)} = 
\frac{\omega^2}{2} cos(\omega t) \cdot \frac{\epsilon_0 \mu_0 }{d} V_0 (x^2 - \omega x)\hat z </math>

קיבלנו אופיין פרבולי. את התיקון של הסדר השני לשדה החשמלי ניתן לראות באיור 6, ואת השדה החשמלי הכולל באיור 7.

[[File:3B6.png|400px|thumb|left|איור 6]]

[[File:3B7.png|400px|thumb|left|איור 7]]

'''מתי הפיתרון תקף?'''

<math display="block">|E^{(2)}|/|E^{(0)}|<<1 </math><math display="block">\frac{|\omega ^2 cos(\omega t) \frac{\epsilon_0 \mu_0  V_0 }{2d} (x^2-Wx)|}
{
    |\frac{V_0 cos(\omega t)}{d}| 
}
<<1 </math><math display="block">\Rightarrow \omega ^2 \epsilon_0 \mu_0  \frac{W ^2 }{8}<<1
\Rightarrow (\frac{\omega}{c})^2 << \frac{8}{W^2}
\Rightarrow W << \sqrt{\frac{8}{(2 \pi)^2}} \lambda </math>




</div>