Editing פרק 10 - שדות חשמליים בחומר (section)

== שדות חשמליים בחומר ==
[[File:Pic1001.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עד כה עסקנו בהתנהגות השדה החשמלי והמגנטי בואקום - כלומר בהעדר חומר כלשהו. במציאות, כמובן שכל התופעות מתרחשות בתוך חומר כלשהו. מטרתנו בפרק זה היא להבין כיצד מתארים את האינטראקציה של החומר עם השדה החשמלי, ומתוך תאור זה לקבל מודל כמותי המאפשר להביא בחשבון את תכונות החומרים בתוך משוואות מקסוול. נקודה חשובה אותה כבר הזכרנו, ועומדת בבסיס המודלים אותם נציג בפרק זה היא הנקודה הבאה:

* תגובת החומר לשדה החשמלי באה לידי ביטוי בתגובת המטענים שבחומר לשדה, ובפרט ביצירת פילוג מטענים "חדש" בחומר בתגובה להפעלת שדה חיצוני. ברגע שנדע לחשב את פילוג המטענים ה"מושרה" על ידי השדה החיצוני, השדה הכולל יהיה השדה החיצוני בתוספת לשדה אותו יוצר הפילוג המושרה, כאילו היו מונחים ב'''ואקום'''.
=== חומרים מוליכים ===
בפרקים קודמים כבר הזכרנו את [[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|התנהגות השדות החשמליים בתוך חומרים מוליכים]], כאשר את תגובת החומר (הזרם שנוצר כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי כלשהו) תארנו באמצעות חוק אוהם 
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

בפרק זה ננסה להסביר מעט יותר טוב מאיפה חוק זה נובע, באמצעות מודל פשטני למדי, אך יעיל. את עיקרי הפיתוח ואת ההנחות הדרושות כבר הצגנו ב[[פרק 2 - תנאי שפה#המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי|פרק 2]]. נחזור בקצרה על הדברים:
נניח כי קיים במרחב "ענן" פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec r)</math> כמוראה באיור 1, ונושאי המטען נעים במהירות <math>\vec{v}(\vec{r})</math>. על פי הגדרת הזרם כמטען שחולף דרך חתך מסוים ליחידת זמן, ניתן לרשום ביטוי לצפיפות הזרם
<math display="block">\vec J=\rho(r) \cdot \vec v(r)</math>
אם נניח שפילוג המטען בנוי מחלקיקים נושאי מטען בצפיפות נפחית <math>n(\vec r)</math>, ומטענו של כל חלקיק הוא <math>q</math>, נקבל
<math display="block">\vec J=n(\vec r) \cdot q \cdot \vec v(r)</math>
[[File:Pic1002.png|200px|thumb|left|איור 2]]
במקרה הכללי ביותר, ייתכן ופילוג המטען מורכב מיותר מסוג אחד של חלקיקים, כאשר לחלקיקים מסוג <math>k</math> תהיה צפיפות <math>n_k(\vec r)</math>, מטען <math>q_k</math>, ופילוג מהירויות <math>\vec v(\vec r)</math>. במקרה זה ניתן לרשום את צפיפות הזרם המרחבית על ידי
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k</math>
חשוב לציין ש-<math>q_k</math> יכול להיות גם שלילי וגם חיובי (מה שיוביל לצפיפות זרם הפוכה בכיוונה).

=== מודל Drude ===
[[File:Pic1003.png|200px|thumb|left|איור 3 - פאול דרודה]]
מודל דרודה הוא מודל קלאסי מקורב המתאר את האינטראקציה של מטענים חופשיים בחומר עם שדה חשמלי. במודל דרודה, מסתכלים על מטענים אשר חופשיים לנוע בתגובה להפעלת שדה חשמלי חיצוני <math>\vec E   </math>. במצב זה, ניתן לכתוב את משוואת התנועה עבור החוק השני בצורה הבאה:
<math display="block">m\cdot\dot\vec v = q\vec E - \nu \vec v  </math>
כאשר <math>\nu  </math> הינו מקדם החיכוך האפקטיבי הגורם לכוחות מעכבים לפעול על המטענים הנעים בחומר. 
כשהמערכת מתייצבת (בין אם ההתייצבות נובעת משדות סטטיים לחלוטין, ובין אם קצב השינוי של השדות במערכת הרבה יותר איטי מזמן ההתייצבות האופייני), מתקיים <math>\dot\vec v = 0  </math> ואז ניתן לרשום:

<math display="block">q\vec E = \nu \vec v \Rightarrow \vec v =  \frac{q}{\nu} \vec E = \vec v_d  </math>

כאשר <math>\vec v_d  </math> מוגדרת להיות המהירות בשיווי משקל (נקראת "מהירות הסחיפה", או drift velocity).

מקובל לסמן <math>\mu = \frac{q}{\nu}</math> - מוביליות נושאי המטען.

אם נציב את הביטוי ל-<math>\vec v_d  </math> במשוואה המתארת את צפיפות הזרם, נקבל:
<math display="block">\vec J= \sum n_k \cdot q_k \cdot \vec v_k = \sum n_k \cdot q_k \cdot \frac{q_k}{\nu_k} \vec E = \underbrace{\sum n_k \cdot \frac{q_k^2}{\nu_k}}_{\equiv \sigma} \vec E = \sigma \vec E</math>
כלומר, קיבלנו מתוך מודל דרודה את חוק אוהם, כאשר <math>\sigma</math> המוליכות הסגולית, והיא פרמטר התלוי בצפיפות נושאי המטען בחומר, מקדם ה"חיכוך", ומטענם של נושאי המטען.

את משוואות השדה ותנאי השפה בחומר המקיים את חוק אוהם כבר ראינו ב[[פרק 8 - פתרון משוואת לפלאס במערכת קורדינטות כדורית, פולריזציה ומוליכות סופית#שדות אלקטרוסטטיים בתווך בעל מוליכות סופית|פרק 8]].

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה. 

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>
 
מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן 
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית. 
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) = 

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p  = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)

=== משוואות מקסוול בחומר ===
אם נסכם את פרטי המודל עד כה, קיבלנו שקיומה של פולריזציה בחומר ניתן לתאור על ידי פילוג מטען אפקטיבי המונח בואקום. אם נכניס פילוג מטען זה למשוואות מקסוול, נקבל
<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot \vec P)\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0\vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\mu_0\vec H) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה החשמלי הם כלל המטענים בבעיה - מטענים חופשיים ומטעני פולריזציה.

תנאי השפה המגיעים ממשוואות מקסוול בתנאים אלו:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (\vec E_2-\vec E_1) = 0\\
\hat n \cdot (\epsilon_0\vec E_2-\epsilon_0\vec E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [\vec P_2-\vec P_1]) = \eta_f + \eta_p\\
\hat n \times (\vec H_2-\vec H_1) = \vec K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0\vec H_2 - \mu_0\vec H_1) = 0
\end{cases}
</math>
נשים לב, כי ניסוח משוואות מקסוול אותן יש לפתור בסופו של דבר הצריך 3 צעדים עיקריים:

# מידול התגובה המקרוסקופית של החומר (ענן אלקטרונים שמוסט כתוצאה מהפעלת שדה חשמלי חיצוני), וחישוב פילוג המקורות שנוצר בעקבותיה.
# הגדרת וקטור פולריזציה מקרוסקופי, רציף וממוצע בעזרת המודל המיקרוסקופי. למעשה הגדרנו תא יחידה, והנחנו שמיצוע פשוט של הדיפולים בתא היחידה הזה יתן את וקטור הפולריזציה. צעד זה נסמך למעשה על תאוריית קלאוזיוס - מזוטי. על אף שהיא נפוצה, היא לא מדויקת ובמקרים רבים לא ניתן להשתמש בה כדי להסביר תופעות ניסיוניות.
# מתוך וקטור הפולריזציה חישוב התפלגות מטען הפולריזציה המקרוסקופית צעד זה אינו בעייתי ותמיד נכון, כל עוד אנחנו עובדים בתחום שבו ניתן להגדיר וקטור פולריזציה מקרוסקופי.

=== דוגמה - לוח בעל פולריזציה אחידה ===
[[File:Pic1007.png|400px|thumb|center|איור 7]]
נתון לוח של חומר פעיל בו שוררת הפולריזציה <math>\vec P =P_0\hat z</math> (איור 7). חשבו את השדה החשמלי בכל המרחב.

נתחיל מחישוב צפיפות מטעני הפולריזציה
<math display="block">\rho _{p}=-\nabla \cdot {\vec {P}} = - \frac{\partial}{\partial z} P_z = - \frac{P_0}{d}</math>

על השפות:
<math display="block">\eta_{p,z=0} = -\hat z \cdot (P_{z=0} - 0) = 0</math>
<math display="block">\eta_{p,z=d} = -\hat z \cdot (0 - P_{z=d}) = -\hat z \cdot (0 - P_0 \hat z) = P_0</math>
נוודא שאכן מתקיים שסך מטעני הפולריזציה מתאפס
<math display="block">Q_{p,total} = \rho_p \cdot A \cdot d  + \eta_{p, z=d} \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot d + P_0 \cdot A = 0</math>
הבעיה השקולה - מטעני פולריזציה בואקום.

מאחר וסך מטעני הפולריזציה ליחידת שטח הוא אפס ויש סימטריה של לוח אינסופי, נקבל <math>\vec E = 0</math> מחוץ ללוח, כלומר ב-<math>z <0,z>d</math>. משיקולי סימטריה: <math>\vec E = E(z) \hat z</math>.

[[File:Pic1008.png|200px|thumb|left|איור 8]]

נשתמש בחוק גאוס האינטגרלי. נגדיר מעטפת (הפאה העליונה נמצאת בקואורדינטה <math>z</math>)<math display="block">\oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da} = Q_{in} \Rightarrow \epsilon_0 E(z) \cdot A = -\frac{P_0}{d} \cdot A \cdot z \Rightarrow E(z)=-\frac{P_0}{d\epsilon_0}\cdot z</math>
ניתן לראות שרטוט סכמטי של הפיתרון באיור (8).

=== משוואות מקסוול בחומר - וקטור ההעתקה ===
נשים לב שבאופן אלטרנטיבי ניתן לרשום את משוואות מקסוול שבהן מופיעה הפולריזציה גם באופן הבא
<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho _f + (-\nabla \cdot P) \Longrightarrow \nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E + \vec P) = \rho_f\\
\nabla \times \vec H = \frac{\partial(\epsilon_0 \vec E)}{\partial t} + \vec J_f + \frac{\partial \vec P}{\partial t} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial}{\partial t}(\epsilon_0\vec E + \vec P) + \vec J_f\\
\hat n \cdot (\epsilon_0 E_2 - \epsilon_0 E_1) = \eta_f + (-\hat n \cdot [P_2-P_1]) \Rightarrow \hat n \cdot ((\epsilon_0 \vec E_2 + \vec P_2) - (\epsilon_0 \vec E_1 + \vec P_1)) = \eta_f
\end{cases}</math>
מבנה זה מרמז שיהיה שימושי להגדיר את וקטור ההעתקה <math>\vec D=\epsilon_0 \vec E + \vec P</math> ואז נוכל לרשום

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \times \vec E = -\frac{\partial(\mu_0H)}{\partial t}\\
\nabla \cdot (\vec D) = \rho _f\\
\nabla \times H = \frac{\partial D}{\partial t} + J_f\\
\nabla \cdot (\mu_0H) = 0
\end{cases}</math>
ותנאי השפה:
<math display="block">\begin{cases}
\hat n \times (E_2-E_1) = 0\\
\hat n \cdot (D_2-D_1) = \eta_f\\
\hat n \times (H_2-H_1) = K_f\\
\hat n \cdot (\mu_0H_2 - \mu_0H_1) = 0
\end{cases}</math>
המקורות לשדה ההעתקה <math>\vec D</math> הם המטענים '''<u>החופשיים</u>''' בלבד, בעוד שכבר ראינו שהמקורות לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הם המטענים החופשיים ומטעני הפולריזציה.

=== הקשר בין השדה החשמלי E, הפולריזציה P ושדה ההעתקה D ===
קיימים סוגים רבים של חומרים, בהם מתקיימים קשרים שונים בין השדה החשמלי השורר בחומר ווקטור הפורלריזציה. אצלנו בקורס אנחנו נעסוק בעיקר בתכונות של חומרים שבהם פולריזציה נוצרת בתגובה לשדה חשמלי בתוך החומר, אז אין זה המנגנון היחיד ליצירת פולריזציה. קיימות דוגמאות נוספות:

* Pyroelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה לשינוי בטמפרטורה. דוגמא - העצמות בגוף האדם הן בעלות תכונה זו)
* Piezoelectric materials (נוצרת פולריזציה בתגובה להפעלת מאמץ חיצוני. דוגמא - גבישים פייזואלקטריים הנמצאים במתמר אולטראסאונד, מיקרופונים, גיטרות חשמליות)
* Ferroelectric materials (קיים תהליך טבעי שיוצר פולריזציה בלי הפעלת השפעה חיצונית. Rochelle Salt. גם כן שימושי במיקרופונים, ומשמש במיקרופון electret.)
* Bi-anisotropic materials (חומרים ששבהם נוצרת פולריזציה חשמלית בתגובה לשדה מגנטי).

באיור 9 מוצגות מספר דוגמאות למקרים שונים של קשר בין שדה חשמלי לפולריזציה. 
מימין - חומר אלקטרו-פעיל טהור בו שוררת פולריזציה קבועה ללא תלות בשדה החשמלי המופעל. במרכז, חומר פסיבי, בו פולריזציה נוצרת רק בתגובה לשדה חיצוני, ומתאפסת כאשר ערך השדה חוזר לאפס. משמאל - מודל היסטרזיס. חומר שבו לאחר כיבוי השדה החשמלי נותרת פולריזציה שיורית (בדומה למגנוט של פיסת ברזל). חומרים שמגיבים כך יותר נפוצים במקרה המגנטי, ונדון בתגובה מסוג זה (לולאת היסטרזיס) כאשר נדון בחומרים מגנטיים. 
הקשר בין הפולריזציה לשדה החשמלי <math>\vec{P}(\vec{E})</math> נקרא יחס חוקה (Constitutive relation), והוא מאפיין חומר מסוים.
[[File:Pic1009.png|400px|thumb|center|איור 9 - תלות בין P ל E]]

=== סוספטביליות ומקדם דיאלקטרי ===
אנחנו נתעניין בחומרים לינאריים בהם מתקיים:
<math display="block">\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi _{e}{\vec {E}</math>
כאשר <math>\chi_e </math> היא הסוספטיביליות החשמלית. חומרים רבים בטבע מגיבים בצורה זו כאשר השדות בחומר אינם חזקים מדי. נוכל כעת לכתוב את וקטור שדה ההעתקה <math>\vec D</math> באופן הבא
<math display="block">\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0 \vec E + \epsilon_0 \chi_e \vec E = \epsilon_0(1 + \chi_e) \vec E=\epsilon_0\epsilon_r\vec E=\epsilon\vec E</math>
כאשר <math>1 + \chi_e </math> הוא המקדם הדיאלקטרי היחסי המסומן ב-<math>\epsilon_r </math>, ו-<math>\epsilon_0(1 + \chi_e) </math> הוא המקדם הדיאלקטרי המסומן ב-<math>\epsilon </math>.

=== תכונות של חומרים לינאריים ===

* איזוטרופיות - החומר מגיב באופן זהה לכל הכיוונים של השדה שמופעלים עליו (או בתוכו). כלומר, <math>\epsilon </math> ו-<math>\chi_e </math> הם סקלרים. אם זה לא כך, <math>\underline{\underline{\epsilon}} </math> ו-<math>\underline{\underline{\chi_e}} </math> הן מטריצות. במצב זה נוכל לכתוב את שדה ההעתקה באופן הבא:
<math display="block">
\vec D = \epsilon_0 \vec E + \vec P = \epsilon_0(\underline{\underline{\mathbb{I}}} + \underline{\underline{\chi_e}}) \vec E = \epsilon_0\underline{\underline{\epsilon_r}} \vec E
</math>
לדוגמה, אם <math>\chi_e </math> תהיה מטריצה <math>3\times3</math>, גם <math>\epsilon </math> תהיה מטריצה מסדר זה.
* הומוגניות - כאשר תכונות החומר, <math>\epsilon </math>, לא תלויות במיקום. כאשר התווך אינו הומוגני מתקיים <math>\epsilon =  \epsilon(\vec r) </math>

ברגע שיודעים מהו <math>\epsilon </math>, אז אפשר להכניס אותו לתוך המשוואה ולפתור:<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \vec E) = \rho_f</math><math display="block">\nabla \times {\vec {H}} = \frac{\partial \vec D}{\partial t} + \vec J_{f} \Rightarrow \nabla \times \vec H = \frac{\partial (\epsilon \vec E)}{\partial t} + J_f</math>עם תנאי השפה:<math display="block">\hat n \cdot (\vec D_2 - \vec D_1) = \eta_f \Rightarrow \hat n \cdot (\epsilon_2 \vec E_2 - \epsilon_1 \vec E_1) = \eta_f</math>

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל 

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.

=== דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:
<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>
בהצבה בחוק גאוס נקבל:
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>
מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:
<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>
וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta 
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0 
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\ 
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>
נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:
<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta</math>
נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו
<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0</math>
הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E</math> ולכן נוכל לרשום:
<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}</math>
כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>
מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:
<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z</math>
כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]

=== דוגמא - קבל שכבות ===
[[File:Pic1014.png|350px|thumb|left|איור 14]]
באיור 14 נתון קבל שבין לוחותיו מבנה דיאלקטרי שכבתי. כל שכבה היא בעלת עובי <math>d_i</math> ומקדם דיאלקטרי <math>\epsilon_i</math>.
חשבו את הקיבול של קבל שכבות.

מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(z)\cdot\hat z , \vec D = D(z) \cdot \hat z</math>

בתוך הקבל <math>\vec D </math> אחיד: <math>\vec D = D_0\hat z </math> מאחר והוא בכיוון z בלבד ועובר בין השכבות באופן רציף (אין צפיפות מטען חופשית). 
נסתכל על צפיפות המטען המשטחית על הלוח העליון:
<math display="block"> \eta_f = \hat z \cdot (\vec D_{out} - \vec D_{in}) = -D_0</math>
ולכן המטען ובהתאם הקיבול:<math display="block"> Q = |D_0|\cdot A \Rightarrow C = \frac{Q}{V}=\frac{|D_0|\cdot A}{V}</math>
בשכבה ה-<math> i</math> מתקיים:
<math display="block"> \vec D = \epsilon \vec E \Rightarrow D_0\hat z = \epsilon_i \vec E_i \Rightarrow \vec E_i = \frac{D_0}{\epsilon_i}\hat z </math>
המתח הכולל יתקבל על ידי סכימה על הפוטנציאלים שנצברים בכל שכבה:
<math display="block"> V = \sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i \Rightarrow C = \frac{D_0\cdot A}{\sum\frac{D_0}{\epsilon_i}\cdot d_i}=\frac{A}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_i}}=\frac{1}{\sum\frac{d_i}{\epsilon_iA}} </math>
נשים לב לכך שהתוצאה שקיבלנו שקולה לחיבור קבלים בטור.

אם השתנות <math> \epsilon </math> רציפה <math> \epsilon=\epsilon(z) </math> נוכל לחלק לשכבות בעובי <math> dz </math> ונקבל:<math display="block"> \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{A}\int\frac{dz}{\epsilon(z)} </math>