Editing פרק 13 - אנרגיה (section)

== אנרגיה בחומר ==

=== משפט פוינטינג ===
בוואקום ראינו את משפט פוינטינג:<math display="block">-\nabla\cdot
\underbrace{(\vec E \times \vec H)}_{\vec S} 
= \frac{\partial}{\partial t}\underbrace{(\frac{\epsilon_0}{2}|\vec E|^2+\frac{\mu_0}{2}|\vec H|^2)}_{\text{stored energy}} +\underbrace{\vec E \cdot \vec J}_{\text{conduction power} } </math>
כעת, לאחר שפתרנו את משוואות מקסוול בחומר ורכשנו הבנה על התגובה של חומרים לשדות הפועלים בתוכם, ננסה להבין את ההשפעה של מאזן האנרגיה בבעיה.
לצורך כך, נביט על:
<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = -(\nabla\times\vec E)\cdot\vec H + \vec E\cdot(\nabla\times\vec H) = -\vec H\cdot\underbrace{(-\partial_t\vec B)}_{Faraday} + \vec E\cdot\underbrace{(\vec J + \partial_t\vec D)}_{Amper}= \vec H\cdot(\partial_t\vec B) + \vec E\cdot(\vec J + \partial_t\vec D) </math>
כאשר במעבר הראשון השתמשנו בזהות הוקטורית האהובה:
<math display="block">\nabla\cdot(A \times B) = B\cdot(\nabla\times A) - A\cdot(\nabla\times B) </math>
נשתמש בהגדרות המוכרות:
<math display="block">\vec D = \epsilon_0\vec E + \vec P \quad ,\quad  \vec B = \mu_0(\vec H +\vec M) \quad , \quad \vec J = \underbrace{\vec J_{cond}}_{conduction} +\underbrace{\vec J_s}_{source}  </math>
נציב במשוואה שפיתחנו למשפט פוינטינג ונקבל:
<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \vec H\cdot\partial_t[\mu_0(\vec H+\vec M)] + \vec E\cdot\partial_t[\epsilon_0\vec E + \vec P]+ \vec E\cdot(\vec J_s + \vec J_{cond}) </math>
נסתכל על כל רכיבי המשוואה:
<math display="block">-\nabla\cdot(\underbrace{\vec E \times \vec H}_{\vec S}) = \underbrace{\vec H\cdot\partial_t(\mu_0\vec H)}_{\partial_t W_H} + \underbrace{\vec H\cdot\underbrace{\partial_t(\mu_0\vec M)}_{\vec J_m}}_{P_H} + \underbrace{\vec E\cdot\partial_t(\epsilon_0\vec E)}_{\partial_t W_E} + \underbrace{\vec E\cdot\underbrace{\partial_t\vec P}_{\vec J_p}}_{P_E}+ \underbrace{\vec E\cdot\vec J_s}_{P_S} + \underbrace{\vec E\cdot\vec J_{cond}}_{P_{cond}=\sigma|\vec E|^2} </math>
כאשר הגדרנו:
{| class="wikitable"
|+הגדרות
!סימון
!משמעות
!יחידות
|-
|<math>\vec S</math>
|וקטור פוינטינג - וקטור צפיפות שטף ההספק
|<math>\frac{Watt}{m^2}</math>
|-
|<math>\partial_t W_H=\partial_t \left(\frac{1}{2}\epsilon_0|\vec{E}|^2\right)</math>
|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה המגנטית האגורה בשדה המגנטי H
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>\partial_t W_E=\partial_t \left(\frac{1}{2}\mu_0|\vec{H}|^2\right)</math>
|צפיפות ההספק המושקעת בבניית האנרגיה החשמלית האגורה בשדה החשמלי E
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_H</math>
|צפיפות הספק המגנטיזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_E
</math>
|צפיפות הספק הפולריזציה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_S</math>
|צפיפות הספק המקורות
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|-
|<math>P_{cond}</math>
|צפיפות הספק ההולכה
|<math>\frac{Watt}{m^3}</math>
|}
איברים חיוביים - הספק מתבזבז. למה?

גם רואים את זה מהספק ההולכה, שאנחנו יודעים ויודעות שמבזבז אנרגיה במקרה האוהמי הפשוט.

=== הספק מקורות (איור 1) ===
[[File:Pic1301.png|300px|thumb|left|איור 1]]

במקור <math>\vec E</math> ו <math>\vec J</math> בכיוונים הפוכים, ולכן <math>\vec E \cdot \vec J <0</math> ויש הספק שמסופק ע"י המקור.<math display="block">\vec E \cdot \vec J < 0 \Rightarrow \text{Providing Energy} </math><math display="block">\vec E \cdot \vec J > 0 \Rightarrow \text{dissipating Energy} </math>

=== הספק פולריזציה (איור 2) ===
[[File:Pic1302.png|500px|thumb|center|איור 2]]
אם נסתכל על מקרה של חומר פסיבי, המתואר בצד שמאל של איור 2, ונחשב את העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה מ-0 עד לערך מסוים, ע"י
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P \Rightarrow W_p = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\partial_t\vec P\cdot dt  = \int_{t_1}^{t_2}\vec E\cdot\frac{\partial\vec P}{\partial t}\cdot dt = \int_{P_1}^{P_2}\vec E\cdot d\vec P   </math>
נקבל ערך חיובי. אם כעת נחזור חזרה למצב ללא פולריזציה נקבל <math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} = 0 </math>.
לעומת זאת, בחומר המאופיין על ידי לולאת היסטרזיס, כפי שמתואר בצד ימין של איור 2, העבודה המושקעת בבניית הפולריזציה לא "מוחזרת" במלואה כאשר הפולריזציה יורדת חזרה. מאחר והאינטגרציה בשני הכיוונים מתבצעת על קווים שונים בתרשים (כתום וכחול, או צהוב וכחול, כתלות במצב ההתחלתי). 

במקרה מחזורי 
<math>E_0\rightarrow -E_0 \rightarrow E_0 </math>, לדוגמה <math>E(t) = E_0\cos(\omega t) </math>, 
ההפסד במחזור שלם הוא שטח הלולאה 
<math>W_{p,\ 0\rightarrow E_0 \rightarrow 0} > 0 </math>.

==== הספק פולריזציה - חומר דיאלקטרי ====
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \vec E\cdot\partial_t\epsilon_0\chi_E\vec E   </math>
אם 
<math>\chi_E   </math> 
לא תלוי בזמן, ניתן לרשום:
<math display="block">P_p = \vec E \cdot\partial_t\vec P = \epsilon_0\chi_E\vec E\cdot\partial_t\vec E = \epsilon_0\chi_E\cdot\frac{1}{2}\partial_t|\vec E|^2   </math>
ניתן במקרה זה "לצרף" את הספק הפולריזציה לאנרגיה האגורה.
<math display="block">W_E + W_P =  \frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0|\vec E|^2+\frac{1}{2}\partial_t\epsilon_0\chi_E|\vec E|^2=\frac{1}{2}\partial_t(1+\chi_E)|\vec E|^2\epsilon_0 = \frac{1}{2}\partial_t\epsilon|\vec E|^2 = W_{E,material}   </math>

=== הספק מגנטי ===
הגדרנו את צפיפות הספק המגנטיזציה כך:<math display="block">P_m = \vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}   </math>לכן, נוכל לחשב את ההספק המגנטי:<math display="block">\Rightarrow W_m = \int_{t_1}^{t_2}\vec H\cdot\mu_0\frac{\partial \vec M}{\partial t}dt = \mu_0\int_{M_1}^{M_2}\vec H\cdot d\vec M   </math>אם החומר מגיב ע"י:
<math display="block">M = \chi_m \vec H</math>אז התמונה זהה למצב של חומר דיאלקטרי.

=== משפט פוינטינג בחומרים לינאריים ===
אם יש חומר לינארי לגמרי שבו 
<math>\vec D = \epsilon\vec E \ ,\ \vec B = \mu\vec H    </math>

אז ניתן לכתוב את משפט פוינטינג באופן הבא:

<math display="block">-\nabla\cdot(\vec E \times \vec H) = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\epsilon}{2}|\vec E|^2\right)+\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\mu}{2}|\vec H|^2\right) + \sigma|\vec E|^2 + \vec E \cdot \vec J_S  </math>

כלומר, בחומר לינארי ניתן להגדיר מחדש את הביטויים לאנרגיה האגורה כך שיכללו את תכונות החומר, הבאות לידי ביטוי בערכי הפרמיטיביות <math>\epsilon </math> והפרמאביליות <math>\mu </math>.
</div>