Editing פרק 4 - עבודה ואנרגיה (section)

== אינטואיציה ==
[[File:Pic41.png|200px|thumb|left|איור 1]]
מה ההספק שהמקור מספק בבעיה הזו?

<math display="block">
P_{out} = v(t)\cdot i(t) = v(t) [i_L + i_C + i_R] = v(t)\cdot i_L + v(t) \cdot i_C + v(t) \cdot i_R =
</math>
<math display="block">
L\cdot \dot{i_L} \cdot i_L + v \cdot c \cdot \dot{v} + v \cdot \frac{v}{R} = 
\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (L \cdot i_L^2) + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (C  \cdot v^2) + \frac{v^2}{R}
</math>

<math display="block">P_{out} = \frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{1}{2}L i_L^2)}_{u_M}
+
\frac{\partial}{\partial t} \underbrace{(\frac{1}{2} C v^2)}_{u_E} + 
\underbrace{\frac{v^2}{R}}_{P_{\text{resistor loss}}}</math>
ולכן, ההספק שנמסר למעגל על ידי המקור מקיים:

<math display="block">
P_{out} = \frac{\partial}{\partial t} (u_M + u_E) + \underbrace{P_{loss}}_{>0}
</math>

זהו מבנה טיפוסי של חוק שימור!

נשים לב כי בפיתוח זה, ההספק המועבר לנגד תמיד חיובי.

=== חוק שימור המטען ===
גם חוק שימור המטען הוא חוק כזה:<math display="block">\iint \vec J \cdot \hat n ds = - \frac{d}{dt} \iiint \rho dV</math><math display="block">\Rightarrow
F_{in} = -\frac{d}{dt}Q</math>מבנה זהה למה שראינו קודם, ולכן באנלוגיה לחוק שימור המטען הדיפרנציאלי:

<math display="block">\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>כאן אין הפסדי הולכה, ולכן "חסר איבר", היינו מצפים לקבל משהו כמו:
<math display="block">\nabla \cdot \vec S = \frac{d}{dt}u + P_{loss}</math>

=== חוק שימור התנע ===
נביט בחוק שימור התנע:<math display="block">\vec F = \frac{d \vec p}{dt} / \cdot \vec p</math><math display="block">\Rightarrow \vec F \cdot \vec p = \vec p \frac{d\vec p}{dt}</math>התנע הוא <math>\vec p = m \vec v</math>, ולכן:

<math display="block">
\vec F \cdot m \vec v = \frac{\partial}{\partial t} [(\vec p \cdot \vec p)/2]
</math>
<math display="block">
\int \vec F \vec v =\int \frac{\partial}{\partial t} 
\underbrace{\left(\frac{|p|^2}{2m}\right)}_{\text{kinetic energy}}
</math>
ולכן:

<math display="block">
W = \int \vec F \cdot \vec v 
=
\frac{1}{2m} (p_f^2 - p_i^2)
</math>