Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

== סופרפוזיציה  ==
[[File:Pic501.png|200px|thumb|left|איור 1]]
עקרון הסופרפוזיציה תקף לגבי כל מערכת המוגדרת ע"י אופרטור לינארי.

משוואות מקסוול הן לינאריות, ולכן, בהינתן פיתרון לבעיה 1:

<math display="block">\vec J_1,\rho_1\Rightarrow \vec E_1, \vec H_1</math>

ופיתרון לבעיה 2:

<math display="block">\vec J_2,\rho_2\Rightarrow \vec E_2, \vec H_2</math>

הפיתרון לבעיה המשותפת (כלומר כאשר המקור הוא סכום המקורות של הבעיות הקודמות) של בעיה 1 ו- 2, הינה:

<math display="block">\vec J_1+J_2,\rho_1+\rho_2\Rightarrow \vec E_1+\vec E_2, \vec H_1 + \vec H_2</math>

זה למעשה עקרון הסופרפוזיציה התקף בכל מערכת לינארית (ומשוואות מקסוול, ובפרט משוואות הסטטיקה, הן משוואות לינאריות).

נניח פילוג מטען כלשהו <math>\rho(\vec{r})</math> במרחב (איור 1). נבחר מתוכו אלמנט מטען קטן <math>dq</math>, ואת מיקום אלמנט המטען נסמן ב-<math>\vec{r}'</math>. את הנקודה בה רוצים לחשב את השדה נסמן ב-<math>\vec{r}</math>.

לכן, אלמנט דיפרנציאלי של השדה החשמלי הינו:

<math display="block">d\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot
\frac{dq}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}</math>

ולכן, מתוך עקרון הסופרפוזיציה, השדה החשמלי הכולל יהיה:

<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} =
\iiint \frac{\rho(\vec r' )dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r}
</math>

כמובן שצפיפות המטען לא חייבת להיות צפיפות נפחית. יכולים להיות מטענים בנתונים על ידי צפיפות משטחית, אורכית, או אפילו מטענים נקודתיים. במקרה זה, עלינו רק להגדיר היטב את אלמנט המטען, ולבצע סופרפוזיציה באותו אופן.


<math display="block">\vec E = \iiint \frac{dq}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} +
E_{\text{point charge (if exists)}}
</math>

כאשר אלמנט המטען הוא:

<math display="block">dq = \begin{cases} 
\rho(\vec{r}') dV', & \text{volume charge density } \\
\eta(\vec{r}') dS', & \text{surface charge density } \\
\lambda dl', & \text{ linear charge density} \end{cases}
</math>

באופן הכללי ביותר:
<math display="block">\vec E =\iiint \frac{\rho(r)dV'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\iint \frac{\eta dS'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} + 
\int \frac{\lambda dl'}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot \hat i_{r',r} +
\sum_k \frac{q_n}{4\pi\epsilon_0|r-r'|^2}\cdot i_{r',r}</math>

'''הערות:'''

* על מנת לחשב את השדה האלקטרוסטטי באמצעות סופרפוזיציה צריך לדעת במפורש את פילוג המטענים בבעייה.
* הסכימה היא סכימה וקטורית כך שנצטרך לבצע אינטגרל על <math>\hat i_{\vec r', \vec r}</math>.
* נשים לב שניתן לכתוב את השדה החשמלי בתור קונבולוציה:

<math display="block">\vec E = \rho \circledast 
\underbrace{\frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}}_{\text{Green's function}}</math>

כאשר <math>\rho</math> הוא אות הכניסה, ו-

<math display="block">
G = \frac{\hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}</math>

היא ה"תגובה להלם" של המערכת - כלומר במקרה שלנו השדה שיוצר הלם מרחבי של מטען (מטען נקודתי). בבעיות מסוג זה התגובה להלם נקראת פונקציית גרין. מתי ייצוג כזה של פתרון (באמצעות קונבולוציה עם התגובה להלם אפשרי)? בבעיות תלויות בזמן ייצוג זה דורש שהמערכת היא LTI, כלומר לינארית, וסימטרית להזזה בזמן (לא משתנה בזמן - Time invariant). בבעיה שלנו, לינאריות מתקיימת כמובן, כי כבר ציינו שמשוואות מקסוול הן משוואות לינאריות. הסימטריה להזזה בזמן מתורגמת במקרה זה לסימטריה להזזה במרחב (space invariant). אצלנו סימטריה זו מתקיימת מאחר ואנו, בשלב זה, מחשבים את השדות במרחב חופשי, שאכן מקיים סימטריה זו.
מתי סימטריה זו לא תתקיים? לדוגמא כאשר פותרים את השדות באיזור בו יש שפה, או גופים נוספים. עדיין ניתן לבצע סופרפוזיציה במקרה זה, אך אינטגרל הסופרפוזיציה לא יהיה בעל צורה של אינטגרל קונבולוציה באופן כללי.

=== דוגמא - משטח אינסופי טעון בצפיפות אחידה ===

[[File:Pic502.png|200px|thumb|left|איור 2]]

נתון משטח אינסופי הטעון בצפיפות אחידה <math>\eta</math> (איור 2), היוצר שדה.

ניתן לפתור את הבעיה באמצעות חוק גאוס:

<math display="block">\vec E = \hat z \begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>

ובאמצעות סופרפוזיציה:

<math display="block">\vec r = z \hat z , \vec r' = x' \hat x + y' \hat y, dq = \eta dS'=\eta dx' dy'</math><math display="block">\hat i_{r',r} = \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r' |} =
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}</math><math display="block">\vec E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \iint_{-\infty}^\infty
\frac{\eta dx' dy'}{(x'^2+y'^2+z'^2)} \cdot
\frac{-x' \hat x - y' \hat y + z \hat z}{\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2}}
</math>נעבור לקורדינטות פולריות:

<math display="block">x'=\rho' \cos \varphi',y'=\rho' \sin \varphi', dx'dy' = \rho'd\rho' d\varphi'
</math><math display="block">\vec E = -z \hat z \frac{\eta}{2\epsilon_0} \frac{1}{\sqrt{\rho'^2+z^2}}|^{\rho'=\infty}_{\rho'=0}=
\frac{\eta}{2\epsilon_0} \cdot \text{sign} (z)  \hat z
</math>אכן קיבלנו אותה תוצאה בשתי השיטות!