Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

== מגנטוסטטיקה ==

=== משוואות השדה ===
במצב הסטטי (או סדר 0 של בעיה מגנטו קוואזיסטטית), השדה החשמלי והמגנטי נקבעים דרך המשוואות הבאות:

באלקטרוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases} 
\nabla \times \vec E = 0 \\ 
\nabla \cdot (\epsilon_0 \vec E) = \rho \end{cases}
</math>

במגנטוסטטיקה:

<math display="block">
\begin{cases} 
\nabla \times \vec H = \vec J  \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
\end{cases}
</math>

וניתן לראות שבין מערכות המשוואות ישנם הבדלים. במצב סטטי של המקור לשדה החשמלי הוא צפיפות מטען סטטית, בעוד שהמקור לשדה המגנטי, באופן בלתי תלוי, הוא זרמים סטטיים, קבועים בזמן.

כאשר פתרנו את <math>\vec E</math>, חילקנו את הפיתרון לפרטי והומגני - הפתרון הפרטי נבע ישירות מן המקורות, והפיתרון ההומוגני "עזר" לנו לקיים תנאי שפה בבעיה המלאה.

גם כאן, בבעיות מגנטו קוואזיסטטיות, נשתמש באותה הדרך.

מאחר ובאופן כללי מתקיים:

<math display="block">
\nabla \times \vec H=  \vec J \neq 0
</math>
לא ניתן להגדיר <math>H=-\nabla \phi</math>. עם זאת, השדה המגנטי  הוא תמיד חסר מקורות (במובן הפיסיקלי של העדר "מטענים מגנטיים" המקביל למובן המתמטי של שדה חסר דיברגנץ)

<math display="block">
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
</math>
ולכן נגדיר:

<math display="block">
\Rightarrow \mu_0 \vec H = \nabla \times 
\underbrace{\vec A}_{\text{magnetic vector potential}}
</math>
מאחר שבאופן זהותי מתקיים 

<math display="block">\nabla \cdot (\nabla \times A)=0</math>

=== פוטנציאל וקטורי ===
הבחירה ב <math>\vec A</math> אינה חד ערכית.

אם מתקיים <math>\nabla \times \vec A = \mu_0 \vec H</math>, נגדיר עבור פונקציה סקלרית כלשהי <math>\Psi</math>:

<math display="block">
\vec A' = \vec A + \nabla \Psi 
</math>
ואז:
<math display="block">
\nabla \times \vec A' = \nabla \times (\vec A + \nabla \Psi) = 
\mu_0 \vec H +0 = \mu_0 \vec H
</math>
נקבל את אותו השדה (למעשה 
[https://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition משפט הלמהולץ]
אומר שניתן להגדיר שדה במלואו, באופן יחיד, רק כאשר ידועים גם ה Curl וגם ה Div). 

כאן ידוע לנו רק <math>\nabla \times \vec A = \vec H</math> ויש לנו חופש לבחור את Div (כלומר את הערך של <math>\nabla \cdot \vec A </math>) לנוחיותינו.

=== משוואת לפלאס הוקטורית ===
ניקח את <math>\vec A</math> ונציב בחוק אמפר:

<math display="block">\nabla \times \vec H = \nabla \times \left(\frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A\right) = \vec J</math><math display="block">\Rightarrow
\nabla \times (\nabla \times \vec A) = \mu_0 \vec J </math>
נשתמש בזהות ונקבל:

<math display="block">\nabla \left(\nabla \cdot \vec A\right) - \nabla^2 \vec A = \mu_0 \vec J</math>

מאחר ויש לנו חופש לבחור את <math>\nabla\cdot\vec A</math> כרצוננו (חופש מסוג זה נקרא "חופש כיול"), בבעיות מגנטוסטטיות נהוג לבחור <math>\nabla\cdot\vec A=0</math>, תנאי שנקרא כיול קולון (Coulomb gauge):

<math display="block">\nabla \cdot \vec A = 0
\Rightarrow
\nabla^2 \vec A = - \mu_0 \vec J </math>
מכאן נובעות שלוש משוואות פואסון סקלריות, שאנו כבר יודעים לפתור:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla^2 A_x = -\mu_0 J_x \\ 
\nabla^2 A_y = -\mu_0 J_y \\ 
\nabla^2 A_z = -\mu_0 J_z \end{cases}</math>

=== סופרפוזיציה עבור הפוטנציאל הוקטורי ===
כל רכיב של הפוטנציאל המגנטי הוקטורי מקיים את אותה משוואת פואסון שאנו כבר מכירים מהמקרה של פוטנציאל אלקטרוסטטי, באופן זהה למתרחש ב[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי|פוטנציאל חשמלי]], ולכן הפיתרון עבור כל רכיב יהיה (באופן זהה לדרך בה תארנו את פתרון הפוטנציאל האלקטרוסטטי):

<math display="block">A_k(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{J_k(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>והפיתרון הכולל יהיה:
<math display="block">\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec J(\vec r')}{|\vec r-\vec r'|} dV'</math>
כאשר:

* <math>\vec r'</math> - מערכת המקור.
* <math>\vec r</math> - מערכת הצופה. הנקודה שבה מחשבים את <math>\vec A</math>.
נסיק, כי בהינתן  שיש לנו מקורות בתווך חופשי (או עבור פיתרון פרטי בתווך עם תנאי שפה) נחשב את <math>\vec A</math> על ידי סופרפוזיציה, ומתוך זה נחלץ את <math>\vec H</math>:

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0 } \nabla \times \vec A</math>'''הערה חשובה:'''

נשים לב כי רכיב כלשהו של <math>\vec J</math> תורם רק לאותו רכיב  של <math>\vec A</math>.

בניגוד ל <math>\nabla \times \vec H = \vec J</math> שבו כל רכיב של <math>\vec J</math> יכול לתרום לרכיבים שונים של <math>\vec H</math>.

=== דוגמא - טבעת זרם  ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה <math>a</math> ,ונושאת זרם <math>I</math>. נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">
\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y, 
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z
</math>
<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi}  \int
\frac{Ia d\varphi' 
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}
    
}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...
</math>
<math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi}  \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')
    
}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
</math>
את האינטגרל הנ"ל ניתן להעריך באופן אנליטי באמצעות פונקציות הנקראות [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral complete elliptic integrals], אך אלו אינן פונקציות אלמנטריות. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int 
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r} 
\cdot 
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי <math>m\equiv I_0 S</math>.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי  - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.

=== חוק Biot - Savart ===
[[File:Pic0903.png|200px|thumb|left|איור 3]]

הראינו כיצד לחשב את <math>\vec A</math>. כדי לקבל את השדה המגנטי עלינו להפעיל את אופרטור הרוטור על התוצאה. ניתן לעשות זאת על הביטוי האינטגרלי הכללי, ולקבל את חוק Biot - Savart (BS).

<math display="block">\vec A = \int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{\mu_0} \nabla \times \vec A = \frac{1}{4\pi} \nabla \times 
\int \frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|} dV'
=...</math><math display="block">...=
\frac{1}{4\pi}
\int \nabla \times \left(\frac{\vec J(r')}{|\vec r - \vec r'|}\right) dV' = 
\frac{1}{4\pi} \int \left[
\nabla \left(\frac{1}{|r-r'|}\right) \times \vec J(r') +
\frac{1}{|r-r'|} \underbrace{\nabla \times \vec J}_
{=0 }
\right]  dV'</math>כאשר השתמשנו בזהות:

<math display="block">\nabla \times (\psi \vec F)
=
\nabla \psi \times \vec F +
\psi (\nabla \times \vec F)</math>ובנוסף איפסנו את <math>\nabla \times \vec J</math> מכך שהגזירה היא לפי קורדינטת הצופה, בעוד <math>\vec J</math> הוא פונקציה של קורדינטות המקור <math>\vec{r}'</math> בלבד.

נקבל:

<math display="block">\Rightarrow
\vec H = \frac{1}{4\pi} \int \nabla \left(\frac{1}{|r-r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'
=
\frac{1}{4\pi} \int \left[
-\frac{1}{|r-r'|^2} \cdot \hat i_{r',r} \times \vec J(\vec r')
\right] dV'</math><math display="block">\text{Biot Savart law: }
\vec H =
\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'</math>אם יש גם מקורות משטחיים או קווים:

<math display="block">\vec H =
\underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'}_{\text{Volume charges}} +
 \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec K(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dS'}_{\text{Surface charges}} +
 \underbrace{\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{ I \vec{dl'}\times\hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 }_{\text{Linear charges}}</math>המגבלה של החוק הנ"ל הוא שהוא שימושי רק כאשר ידועים כל הזרמים במרחב, וניתן לחשב את כולם כסופרפוזיציה.

'''ואם זה לא המצב?'''

במקרים רבים, ידועים לנו במפורש הזרמים רק על חלק מהמקורות. לדוגמא - טבעת זרם הנמצאת בקרבת גוף כלשהו. הזרם על הטבעת ידוע, אבל הזרמים שמתעוררים בגוף בתגובה לשדה שיוצרת הטבעת אינם ידועים מראש, ולכן לא ניתן לחשב את השדה באמצעות סופרפוזיציה. במקרה כזה, הפתרון המלא לשדה גם כן ניתן לייצוג כסכום של פתרון פרטי הנובע ישירות מהמקורות, ופתרון הומוגני שיווצר בהשפעת תנאי השפה ותכונות הגופים האחרים בבעיה.