Editing פרק 6 - משוואת לפלאס (section)

==== קורדינטות קרטזיות - דוגמא 2 ====
[[File:Pic605.png|200px|thumb|left|איור 5]]

באיור 5 נתון המבנה הבא - חריץ דו-ממדי (אינסופי בכיוון הניצב לדף), ומעליו קובעים את הפוטנציאל על השפה העליונה, <math> \phi(y=a)=V(x) </math>.
נרצה לחשב את הפוטנציאל בתוך החריץ.

מאחר והבעיה דו-ממדית, נצפה שהפוטנציאל כלל לא יהיה תלוי בקורדינטה <math> z </math>, ולכן <math> k_z=0 </math>.
המשוואה שהפוטנציאל מקיים בתוך החריץ היא משוואת לפלאס, ולכן אנו יכולים לבחור את הפתרון מתוך "קטלוג" הפתרונות שפיתחנו לבעיות קרטזיות. 

<math display="block">\begin{cases} 
\text{No charge: } \nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=0 \\
\text{Static problem: } \nabla \times \vec E = \mu_0 \frac{\partial H}{\partial t}=0 
\Rightarrow \vec E = -\nabla \phi
\end{cases}</math>

תנאי שפה:
<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=\phi(x=d)=0 \\
\phi(y=0)=0 \\ 
\phi(y=a)=V(x) 
\end{cases}</math><math display="block">k_x^2+k_y^2=0\Rightarrow
|k_x|=|k_y|\equiv k</math>ולכן נכתוב את הפיתרון כך:

<math display="block">\phi = (A\sin(k x) + B\cos(k x))\cdot (C\sinh(k y) + D\cosh(k y))</math>
כאשר האינטואיציה לבחירת צורה זו נובעת מהעובדה שהפוטנציאל בבעיה זו מתאפס בשתי קורדינטות <math> X </math> שונות, ולכן בכיוון זה חייב להיות פתרון טריגונומטרי. נציב בתנאי שפה:

<math display="block">\begin{cases} 
\phi(x=0)=B\cdot f(y)=0 \Rightarrow B=0 \\ 
\phi(x=d)=A\sin(k d)\cdot f(y)=0 \Rightarrow \sin(kd)=0\Rightarrow k=\frac{\pi n}{d} , n\in\N\\ 
\phi(y=0)=g(x)\cdot D=0 \Rightarrow D=0
\end{cases}
</math>
עד כה, את הפיתרון ניתן לייצג באופן הבא:

<math display="block">
\phi = \sum_n \tilde A_n \sin(\frac{\pi n}{d}x) 
\underbrace{\sinh(\frac{\pi n a}{d})}_{\text{Constant}} =V(x)
</math>
ניתן לכתוב לפיכך:

<math display="block">\phi = \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x), \tilde B_n\equiv \tilde A_n
\sinh(\frac{\pi n a}{d})</math>
הערות:

# הטור הוא מייצג של פיתוח של פונקציות מחזוריות. נשאלת השאלה - אז איזו פונקציה אנחנו מפתחים לטור?
# מה המחזור של הפונקציה שמיוצגת על ידי הטור הנתון?

המחזור הכי גדול הוא של האיבר הראשון <math>\sin(\frac{\pi x}{d})</math>, שהמחזור שלו הוא <math> 2d </math>. נסיק כי המחזור של הפונקציה הוא <math> 2d </math>.

לפונקציה המחזורית המלאה נקרא <math>\tilde V(x)</math>.

בתחום <math>0<x<d</math> מתקיים: <math>\tilde V(x) = V(x)</math>. מאחר ומדובר בפיתוח לטור סינוסים נרחיב את הפונקציה <math> V(x) </math> הנתונה הרחבה אי-זוגית כדי לקבל את <math> \tilde{V}(x) </math>, למחזור של <math> 2d </math>.

עכשיו רק נותר למצוא את המקדמים בפיתוח של <math>\tilde V(x)</math> לטור הסינוסים:

<math display="block">\tilde V(x) = \sum_n B_n \sin(\frac{\pi n}{d} x) \text{ (*)}</math>
נשתמש בפונקציה <math>V(x)=V_0</math>:

נכפול את הביטוי (*) ב <math>\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>:

<math display="block">\int_{-d}^d \sum_n \tilde B_n \sin(\frac{\pi}{d} nx) \sin(\frac{\pi}{d}mx) dx=
\int_{-d}^d \sin(\frac{\pi}{d} mx) \cdot \tilde V(x) dx</math>מאורתוגונליות:

<math display="block">\tilde B_m \int_{-d}^d \sin^2(mx) \cdot \frac{\pi}{d} dx =
2\int^d_0 V_0 \sin(\frac{\pi}{d} mx) dx</math>נקבל:

<math display="block">\tilde B_m \cdot d =
2\int_0^d V_0 \sin\left(mx \cdot \frac{\pi}{d}\right)  dx</math><math display="block">\Rightarrow \tilde B_m = 
\frac{4 V_0 d}{\pi m} \cdot 
\begin{cases} 0 , & \text{if }m\text{ is even} \\ 1, & \text{if }m\text{ is odd} \end{cases}
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\phi = \sum_n \frac{8V_0}{(2n-1)\pi} \cdot 
\frac{1}{\sinh\left[\frac{\pi a}{d}\cdot (2n-1)\right]}\cdot
\sin\left(\frac{(2n-1)\cdot \pi x}{d}\right)\cdot
\sinh\left[\frac{(2n-1)\pi}{d}y\right]
</math>
<math display="block">\Rightarrow
\vec E = -\nabla \phi = 
\sum_n \frac{-8V_0}{d \sinh(\frac{(2n-1)\pi a}{d})}\left[
\cos\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \sinh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat x +
\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{d} \right)\cdot \cosh\left[\frac{(2n-1)\pi y}{d}\right] \hat y
\right]
</math>
<gallery widths=900px heights=450px class="center">
File:Pic607.png| איור 7 - תרשים שדה (אדום) וקווים שווי פוטנציאל (שחור)
</gallery>

'''מה הקיבול?'''

[[File:Pic608.png|200px|thumb|left|איור 8]]

כדי לחשב את הקיבול, נחשב את סף המטען על האלקטרודה <math>V(x)</math>.

<math display="block">\eta = \hat y \cdot (\epsilon_0 \vec E_{up} - \epsilon_0 \vec E_{down})=
-2\hat y \cdot \epsilon_0 \cdot \vec E_{down}|_{\text{middle board}}=
-2 \epsilon_0 (-\frac{\partial \phi}{\partial y})|_{y=a} = ...</math><math display="block">...=
\sum_n \frac{-8 V_0 \epsilon_0}{d} \cdot (-2) \cdot \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})
\cdot \sin(\frac{(2n-1)\pi x}{d})</math>נחשב את סך המטען:

<math display="block">Q = \int^d_0 \eta dx = 
\sum_n \frac{32 V_0 \epsilon_0}{2n-1} \coth(\frac{(2n-1)\pi a}{d})</math>אך זה מתבדר בגלל אי הרציפות של הפוטנציאל.

בבעיה אמיתית ניתן להניח שהשינוי של הפוטנציאל ב - δ (איור 8) הוא לינארי.

[[File:Pic609.png|200px|thumb|left|איור 9 - גרף מקורב לקיבול]]