Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

=== ניסוח בעיית השדה המגנטוסטטי ===
בעיית השדה המגנטי מתוארת ע"י (איור 5)
[[File:Pic0905.png|200px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">\begin{cases}

\nabla \times \vec H = \vec J
, & \hat n \times \vec H |_{\text{boundry}}=\vec K \\ 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H) = 0
, & \hat n \cdot \vec H_{\text{boundry}} = 0
\end{cases}</math>

את הפיתרון נחלק ל-2 חלקים: פרטי והומוגני,

<math display="block">\vec H = \vec H_p + \vec H_h</math>

את הפתרון הפרטי נקבל ישירות מסופרפוזיציה באמצעות חוק ביו סבר

<math display="block">\vec H_p =
\frac{1}{4\pi} \int 
\frac{\vec J(\vec r') \times \hat i_{r',r} }{|r-r'|^2}
 dV'</math>

עבור הפתרון ההומוגני, עלינו להגדיר תחילה את המשוואות אותן הוא מקיים

<math display="block">
\nabla \times (\vec H_h) = \nabla \times (\vec H - \vec H_p) = 0
</math>
משוואה זו מתקיימת מכיוון שצפיפות הזרם בבעיה היא בדיוק צפיפות הזרם אותה לקחנו בחשבון כאשר חישבנו את הפתרון הפרטי.
<math display="block">
\nabla \cdot (\vec H_h) = \nabla \cdot (\vec H - \vec H_p) = 0 
</math>
גם הפתרון הפרטי וגם השדה המלא הם חסרי דיברגנץ.

תנאי השפה:

<math display="block">\hat n \cdot (\mu_0 \vec H)|_{\text{boundry}} = 
\hat n (\mu_0 \vec H_p + \mu_0 \vec H_h) = 0</math><math display="block">\Rightarrow
\hat n \cdot \mu_0 \vec H_h = 
\underbrace{-\hat n \cdot \mu_0 \vec H_p}_{\text{Already known}}</math>
נשים לב ש <math>\vec H_h</math> - החלק ההומוגני של השדה המגנטי - מקיים את אותן משוואות שמקיים השדה האלקטרוסטטי! ולכן - אפשר להגדיר את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי:

<math display="block">
\nabla\times\vec H_h=0 \Rightarrow \vec H_h \equiv -\nabla \phi_m</math>
כאשר <math>\phi_m</math> הוא הפוטנציאל המגנטי '''הסקלרי'''/
נציב בחוק גאוס המגנטי:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla \cdot (\mu_0 \vec H_h)=
\nabla \cdot (\mu_0 (-\nabla \phi_m)) = \nabla^2 \phi_m = 0
\\ 
\hat n \cdot H_h = -\frac{\partial \phi_m}{\partial n} = - \hat n \cdot H_p 

\end{cases}</math>וקיבלנו את משוואת לפלאס עבור הפוטנציאל המגנטי הסקלרי. עובדה זו כמובן מעודדת מאוד, מאחר ולמדנו מגוון רחב של כלים מתמטיים לפתרון משוואת לפלס. 

חשוב לציין ששימוש בפוטנציאל מגנטי סקלרי מוגבל לבעיות מגנטוסטטיות בלבד, ומאחר ואם יש שינויים בזמן, אז גם באיזור בו מתקיים <math>\vec{J}=0</math> יתקיים <math>\nabla\times\vec{H}=-\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}</math>, כלומר השדה המגנטי לא יהיה שדה משמר (באופן אופן שבו זה קורה בבעיות אלקטרוסטטיות).

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר. 
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים 


<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב  מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi  </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I  </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.