Editing פרק 4 - עבודה ואנרגיה (section)

=== דוגמא תלויה בזמן - גל מישורי ===
השדות עבור גל מישורי כללי כלשהו נתונים ע"י
<math display="block">\vec E = \hat e E_0 cos(k \cdot r - \omega t) </math><math display="block">\vec H = \hat h \frac{E_0}{\eta} cos(k \cdot r - \omega t) </math><math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H =
\underbrace{\hat e \times \hat h}_{\hat k} 
\frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) = \hat k \cdot \frac{E_0^2}{\eta} cos^2(k\cdot r - wt) </math><math display="block">-\nabla \cdot \vec S  = \hat k \cdot \hat k  \frac{E_0^2}{\eta} 2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k\cdot r - wt) =


\frac{k}{\eta} E_0^2 \cdot \sin(2(k\cdot r - wt)) </math>מכיוון שגל מישורי הוא פיתרון בתווך חסר מקורות:

<math display="block">\vec p = \vec E \cdot \vec J = 0 </math>צפיפויות האנרגיה יהיו:

<math display="block">u_E = \epsilon_0/2 |E|^2 = \epsilon_0/2 |E_0|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) </math><math display="block">u_M = \mu_0/2 |H|^2 = \epsilon_0/2 |\frac{E_0}{\eta}|^2 \cos^2(k\cdot r  - wt) </math>האם מתקיים משפט פוינטינג?

<math display="block">-\nabla \cdot S = \frac{\partial}{\partial t} (u_E+u_M) = 
E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 \frac{1}{\eta^2}) \frac{\partial}{\partial t} \cos^2(k\cdot r - wt) = 
E_0^2 (\epsilon_0/2 + \mu_0/2 (\frac{1}{\sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}}})^2) \cdot
2 \cos(k\cdot r - wt) \sin(k \cdot r - wt) \cdot (-1) \cdot (-\omega) = 
\omega \epsilon_0 </math>התוצאה המקורית הייתה <math>\frac{k}{\eta} </math>.

האם אכן מתקיים:

<math display="block">\frac{k}{\eta} = \omega \epsilon_0 </math>

אכן כן!