Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

==== הערה חשובה - תחומים פשוטי קשר ====
בעצם, מתוך ההבנה שאנו מחשבים את השדה המגנטי בתחום שבו <math>\vec{J}=0</math> (מאחר וניסחנו את הבעיה עבור הפתרון הומוגני) קיבלנו שהשדה המגנטי הוא שדה משמר, ולכן ניתן לרשום אותו הגרדיאנט של פונקציית פוטנציאל סקלרית. האם זה תמיד המצב כאשר פותרים שדה באיזור חסר זרמים? יש להזהר מעט עם המסקנה הזו. נחזור להגדרה הפורמלית עבור שדה משמר - שדה שאינטגרל העבודה עליו לא תלוי במסלול, אלא רק בנקודת ההתחלה והסיום. באופן שקול, ניתן לקבל שכל שדה שמקיים
<math display="block">
\oint \vec{F}\cdot\vec{d\ell}=0</math>
הוא שדה משמר. תנאי זה שקול לתנאי הדיפרנציאלי <math>\nabla\cdot\vec{F}=0 </math> אך ורק כאשר מדובר בתחום פשוט קשר. 
כעת, אם נחזור למשוואות מקסוול האינטגרליות בסטטיקה, נראה שמתקיים 


<math display="block">\oint \vec H \cdot \vec{dl} = I</math>
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = 0</math>

כלומר, השדה חשמלי הסטטי הוא תמיד שדה משמר, אך השדה המגנטי הסטטי יכול להיות לא משמר, גם כאשר באיזור שבו אנחנו מסתכלים לא זורמים זרמים. זה יקרה כאשר יש באיזור שבו אנחנו מסתכלים "חור", ודרך חור סה"כ חולף נטו זרם, כך שאם נקיף את ה"חור" במסלול אינטגרציה ונבצע אינטגרציה על השדה המגנטי, נקבל תוצאה שונה מאפס. ולכן, עלינו להזהר כאשר אנחנו עוסקים בתחומים שאין פשוטי קשר, מכיוון שיכולים לחלוף "דרכם" זרמים.
נסתכל על הדוגמא המוכרת של תיל אינסופי (איור 6). מחוץ לתיל מתקיים <math>\vec{J}=0 </math>. את השדה בבעיה זו אנו יודעים לחשב  מתוך חוק אמפר האינטגרלי ולקבל:
[[File:Pic0906.png|100px|thumb|left|איור 6]]
<math display="block">\vec H = \frac{I}{2\pi} \hat \varphi  </math>
ולכן, פורמלית ניתן לחשוב שאפשר להגדיר פונקציית פוטנציאל:
<math display="block">\phi_m = \frac{I}{2\pi} \varphi </math>, ואם נבצע עליה גרדיאנט אכן נקבל את השדה הנכון. אבל, מאחר והתחום מחוץ לתיל אינו תחום פשוט קשר, עלולה להתעורר כאן בעייתיות, בפרט כשברור לנו שב"חור" שיש בתחום זורם זרם. בעייתיות זו באה לידי ביטוי כאן בעובדה שזו לא פונקציה חד - ערכית ולמעשה:
<math display="block">\phi(2\pi) - \phi(0) = \oint \vec H \cdot \vec{dl} = I  </math>'''מתי לא תהיה בעיה?'''כאשר התחום שבו מתקיים <math>\nabla \times \vec H=0</math> הוא תחום פשוט קשר.