Editing פרק 4 - עבודה ואנרגיה (section)

=== דוגמא נוספת תלויה בזמן - קבל בקירוב קוואזי - סטטי ===
המערכת מתוארת באיור 5.
[[File:Pic45.png|200px|thumb|left|איור 5]]

<math display="block">\vec E ^{(0)} = -\frac{V_0}{d} \cos(\omega t) \hat z  </math><math display="block">\vec H^{(1)} = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \hat y \cdot (x- W/2)  </math>משפט פוינטינג בצורה האינטגרלית:

<math display="block">-\iint \vec S \cdot \hat n dS = \frac{\partial}{\partial t} (U_E+U_M) + P_{\text{transmission}}  </math><math display="block">\vec S = \vec E^{(0)} \times \vec H^{(1)} =
-\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \cos(\omega t) \hat z \times
\omega \sin(\omega t) \cdot (x-W/2) \hat y =
-\hat x \epsilon_0 \frac{V_0}{d} (x-W/2) \omega 
\underbrace{\sin(\omega t) \cos(\omega t)}_{=\frac{sin(2\omega t)}{2}}  </math><math display="block">-\iint \vec S \cdot \hat n dS =
-[\vec S(x=0)\cdot (-\hat x)\cdot dL + \vec S(x=W)\cdot \hat x \cdot dL]=
-[\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{-W}{4} \omega \sin(2\omega t) \cdot dL\cdot 2]=
-\epsilon_0 (\frac{V_0}{d})^2 \frac{W}{2} \omega \sin(2\omega t)\cdot dL  </math><math display="block">U_E= \iiint u_E = (\frac{V_0}{d} \cos(\omega t))^2 \frac{\epsilon_0}{2}\cdot d\cdot L\cdot W  </math><math display="block">\frac{\partial U_E}{\partial t} = \frac{\epsilon_0}{2} (\frac{V_0}{d})^2 \cdot d \cdot L
\cdot W \cdot
\underbrace{2 \cos(\omega t) \sin(\omega t)}_{=\sin(2\omega t)}
\cdot( -1)  </math>מהו וקטור פוינטינג הממוצע?

<math display="block">\vec S_a= \frac{1}{T} \int_t^{t+T} \vec S dt \propto
\frac{1}{T} \int_t^{t+T} \sin(2\omega t) dt = 0  </math>מה בכל זאת האנרגיה המגנטית?

<math display="block">U_M = \iiint \mu_0/2 |H^{(1)}|^2 dV
=\underset{x=W}{\iiint} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d} \cdot \omega \sin(\omega t)
(x-W/2))^2 dV =
dL \int_{x=0}^{x=W} \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \cdot (x-W/2)^2 dx
=...  </math><math display="block">...=
dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{d})^2 \omega ^2 \sin^2(\omega t)
\frac{(x-W/2)^3}{3}|^W_0 =
2 dL \cdot \mu_0/2 (\frac{\epsilon_0 V_0}{2})^2 \omega^2 \sin^2(\omega t) \frac{W^3}{24} \cdot 2  </math>בפיתרון הקוואזי סטטי:

<math display="block">I = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \sin(\omega t) \cdot W \cdot L  </math>ומצד שני:<math display="block">U_M = \frac{1}{2}
\underbrace{L}_{\text{inductance}} 
I^2  </math>

ולכן:

<math display="block">L = \frac{\mu_0 d W}{12 L}  </math>