Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

=== דוגמא 1 - כדור PEC בשדה מגנטי ===
[[File:Pic0907.png|200px|thumb|left|איור 7]]
כדור שרדיוסו <math>a</math> עשוי מוליך אידאלי, ומוכנס לתחום שבו שורר שדה מגנטי אחיד <math>H_0\hat{z} </math>, כמוראה באיור 7. עלינו לפתור את <math>\vec H </math> מחוץ לכדור.

מאחר ואין זרמים מחוץ לכדור:

<math display="block">\nabla \times \vec H = 0
\Rightarrow
\vec H = -\nabla \phi_m </math>הפוטנציאל <math>\phi_m </math> מקיים:

<math display="block">\nabla ^2 \phi_m=0 </math>תנאי השפה הינם:

<math display="block">\begin{cases} 
\hat n \cdot \mu_0 \vec H = 0 \Rightarrow
\hat r \cdot \mu_0 (-\nabla \phi_m) = 0 \Rightarrow 
\frac{\partial \phi_m}{\partial r}|_{r=a} = 0
\\ 
\phi_m(r \gg a) = -H_0 z = -H_0 r \cos\theta
\end{cases} </math>כדי לקיים את תנאי השפה:

<math display="block">\phi_m = (Ar + \frac{B}{r^2}) 
\underbrace{\cos\theta}_{=P_1^0 (\cos\theta)}  </math>נציב בתנאי השפה:

<math display="block">\begin{cases} 
A-\frac{2B}{a^3} = 0 \Rightarrow B = \frac{a^3}{2} A
\\ 
\phi_m (r \gg a) \sim Ar\cos\theta = - H_0 r \cos\theta
\end{cases}  </math>נקבל:

<math display="block">A=-H_0, B=-\frac{H_0}{2} a^3  </math>בסוף, הפוטנציאל המגנטי יהיה:

<math display="block">\phi_m = -H_0 (r + \frac{a^3}{2r^2}) \cos\theta 
=
\underbrace{-H_0 r \cos\theta}_{\text{Stimulated potential}} 
\underbrace{- H_0 \frac{a^3}{2r^2} \cos\theta}_{\text{Reaction potential} }   </math>'''מה השדה המגנטי?'''

<math display="block">\vec H = - \nabla \phi_m 
=
H_0 \hat z - 
\frac{H_0 a^3}{2}\underbrace{\frac{1}{r^3} [2\cos\theta \hat r+ \sin\theta \hat \theta]}
_{=-\nabla \cdot (\frac{\cos\theta}{r^2})}  </math>
כאשר אנחנו מזהים את המבנה הדיפולי של שדה התגובה (תרשים של השדה מלא מוצג באיור 8).

מה מומנט הדיפול המגנטי השקול שיוצר את שדה התגובה?

<math display="block">\frac{m}{4\pi} = -\frac{H_0 a^3}{2}
\Rightarrow
m = \underbrace{- 2\pi a^3}_{\text{Magnetic polarizability of PEC ball}} 
\cdot 
\underbrace{H_0}_{\text{Stimulated}}  </math>

קיבלנו <math>\alpha_m = -2\pi a^3 \equiv -\frac{3}{2} V  </math>, בעוד במקרה החשמלי קיבלנו <math>\alpha_e = \epsilon_0 \cdot 4\pi a^3 \equiv \epsilon_0 \cdot 3V  </math>. מעבר לעובדה שיש הבדל בערך עצמו, הסימנים הם שונים. בפרט, הקיטוביות המגנטית היא שלילית - כלומר נוצר דיפול בעל מומנט '''הפוך''' לכיוון השדה המעורר.

אינטואיציה לכך ניתן לקבל מההתנהגות השדות ההפוכה שראינו בקרבת טבעת זרם ודיפול מטען (איור 2). התפלגות המקורות המושרים על הכדור (גם במקרה החשמלי וגם במקרה המגנטי) נוצרת כך ששדה התגובה '''בתוך הכדור''' יקזז את השדה החיצוני, כדי שנקבל שערכו אפס בתוך ה-PEC. מאחר ומטענים חשמליים יוצרים בקרבתם שדה חשמלי הפוך לכיוון מומנט הדיפול, מומנט הדיפול יווצר עם כיוון השדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש. בתגובה לשדה מגנטי קורה ההיפך - סמוך לטבעת השדה המגנטי שנוצר הוא באותו כיוון של הדיפול שנצפה מבחוץ, ולכן הדיפול חייב להווצר הפוך לשדה החיצוני כדי לקבל את הקיזוז הדרוש בתוך הכדור.

* האם הפוטנציאל <math>\phi_m </math> רציף?
[[File:Pic0908.png|200px|thumb|left|איור 8 - השדה בבעיה]]

בתוך הכדור <math>\vec H = 0  </math> ולכן <math>\phi_m = \text{Const}  </math>

על שפת הכדור, מבחוץ: <math>\phi_m = -H_0 \frac{3}{2} \cdot a \cos\theta   </math>

ולכן הפוטנציאל לא רציף. מדוע זה קורה כאן, בניגוד למקרה החשמלי? נזכור, שרציפות הפוטנציאל נובעת מרציפות הרכיב המשיקי של השדה. עבור השדה החשמלי - רכיב זה תמיד רציף. לעומת זאת עבור השדה המגנטי, כאשר מתעורר זרם משטחי, הרכיב המשיקי אינו רציף. ולכן, כאן ניתן לצפות מראש לחוסר רציפות הפוטנציאל, מאחר וחייבים להתעורר זרמים על שפת הכדור, שבתורם יוצרים את שדה התגובה הדיפולי.

* מה הזרם על שפת הכדור?

<math display="block">\vec K = \hat r \times \vec H |_{r=a} = \hat r \times
(H_0 \hat z - \frac{H_0 a^3}{2 a^3} \sin\theta \hat \theta) = -\frac{3}{2} H_0 \sin\theta \hat \varphi  </math>אם נסכם את מומנט הדיפול של "שכבות" הכדור, נקבל סך הכל את מומנט הדיפול השקול.