Editing פרק 4 - עבודה ואנרגיה (section)

== וקטור פוינטינג ממוצע, אנרגיה ממוצעת, הספק ממוצע ==
באופן כללי כאשר אנו עוסקים בשדות הרמוניים התלויים בזמן, התלות הרגעית של הגדלים הפיזיקליים

במשפט פוינטינג פחות מעניינים אותנו, ומאחר ומדובר בגדלים מחזוריים בזמן, היינו רוצים להבין מה קורה

בממוצע, על פני זמן מחזור.

נגדיר:

<math display="block">T=\frac{2\pi}{\omega} </math>כל גודל פיזיקלי F ניתן למצע על פני מחזור, על ידי הביטוי הבא:

<math display="block">F_a = \frac{1}{T} \int_t^{t+T} F(t) dt </math>

=== משפט פוינטינג לשדות קומפלקסיים ===
את השדה החשמלי והשדה המגנטי ניתן לרשום באמצעות הפאזורים שלהם:

<math display="block">
\vec E = Re(\tilde E e^{j \omega t}) = \frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t}) 
</math>
<math display="block">
\vec H = Re(\tilde H e^{j \omega t}) = \frac{1}{2} (\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
</math>
נציב את הביטויים הקומפלקסיים לשדה המגנטי והחשמלי במשוואת פוינטינג:
<math display="block">\vec S = \vec E \times \vec H =\frac{1}{4}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})\times 
(\tilde H e^{j\omega t} + \tilde H^* e^{- j\omega t})
=
\frac{1}{4}(\tilde E^* \times \tilde H + \tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t}
+
\tilde E^* \times \tilde H^* e^{-2j\omega t}) = 
\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^* + \tilde E \times \tilde H e^{2j\omega t})  </math>
זרימת הספק ממוצעת:

<math display="block">\vec S_a = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^*)  </math>

נחשב את האנרגיה החשמלית:

<math display="block">u_E  = \frac{\epsilon_0}{2} \vec E \cdot \vec E = 
\frac{\epsilon_0}{2}\frac{1}{2}(\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})\cdot \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E^* e^{- j\omega t})
=
\frac{1}{4} \frac{\epsilon_0}{2} (2 |E|^2  + \tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t} +
\tilde E^* \tilde E^* e^{-2j\omega t})  </math>
ובאותה דרך האנרגיה המגנטית תהיה:

<math display="block">u_M
=
\frac{1}{4} \frac{\mu_0}{2} (2 |H|^2  + \tilde H \cdot \tilde H e^{2j\omega t} +
\tilde H^* \tilde H^* e^{-2j\omega t})  </math>
נגזרות בזמן את השדה החשמלי:

<math display="block">\frac{\partial u_E}{\partial t} =
2j\omega (\tilde E \cdot \tilde E e^{2j\omega t}) - 2j\omega (\tilde E^* \cdot \tilde E^* e^{-2j\omega t})
\underbrace{=}_{\text{averaging in time}}
0  </math>ואת אותה התוצאה נקבל עבור השדה המגנטי.

נחשב את ההספק שמושקע בהנעת זרמים במערכת:

<math display="block">\vec E \cdot \vec J  = \frac{1}{2} (\tilde E e^{j\omega t} + \tilde E ^* e^{-j\omega t}) \cdot 
 \frac{1}{2} (\tilde J e^{j\omega t} + \tilde J ^* e^{-j\omega t}) =
 \frac{1}{4} (2 \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*) + 2\Re(\tilde E \cdot \tilde J e^{2j\omega t}))  </math><math display="block">\Rightarrow p_a = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*)  </math>משפט פוינטינג לאחר מיצוע בזמן:

<math display="block">-\nabla\cdot\left[\frac{1}{2} \Re(\tilde E \times \tilde H^*)\right] = \frac{1}{2} \Re(\tilde E \cdot \tilde J^*)  </math>