Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

== שיטת השיקופים ==
[[File:Pic512.png|400px|thumb|left|איור 12]]

נסתכל על בעיה שבה צריך לחשב את <math>\phi</math> בכל המרחב, עבור איור (12). באופן כללי זו בעיה מורכבת לפתרון, מכיוון שאיננו יודעים איך בסופו של דבר יתפלגו המטענים על המוליך הנתון. ולכן, ננסה להתמודד עם גרסא פשוטה יותר של בעיה זו, ולהדגים כיצד ניתן לקבל את הפוטנציאל והשדה.

=== מטען נקודתי בסמוך למישור PEC אינסופי ===
[[File:Pic513.png|200px|thumb|left|איור 13]]
במקרים פשוטים יותר, כמו באיור (13) נחלק ל- 2 תחומים: <math>x<0,x>0</math>.

עבור <math>x<0</math> הפוטנציאל <math>\phi=0</math> מקיים את כל תנאי הבעיה.

את הפיתרון  ב <math>x>0</math> נחלק לפיתרון פרטי והומגני.

הפיתרון הפרטי יהיה:

<math display="block">
\phi_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec r - d\hat x\right|}
</math>
כעת, דרוש לנו הפתרון ההומוגני, יחד איתו נוכל לקיים את תנאי השפה.

<math display="block">
\phi_{plane} = 0 \Rightarrow
\phi_p |_{plane} + \phi_h |_{plane}=0
\Rightarrow
\phi_h |_{plane} = - \phi_p |_{plane}
</math>
<math display="block">
\phi_h |_{plane} = \underbrace{-}_{\text{looks like negative particle}}
\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{\left|y \hat y + z \hat z - d \hat x\right|}
=
-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{y^2+z^2+d^2}}
</math>
מאחר ו"ניחשנו" פתרון (סופרפוזיציה של מטען חיובי ושלילי ש"הוספנו") שמקיים את אותה משוואת פואסון, עם אותם תנאי השפה, זהו הפיתרון לבעיה המקורית!

<math display="block">
\phi = 
\begin{cases} 0 & x<0 \\ 
\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[ \frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x - d \hat x\right|}-\frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x + d \hat x\right|} \right]
 & x>0 \end{cases}
</math>
ניתן לכתוב את הפוטנציאל המתקבל כך:

<math display="block">
\phi= \begin{cases} 0 & x<0 \\ 
\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot 
[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from q in }(d,0,0) }
- 
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x+ d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from -q in }(-d,0,0)}
]
 & x>0 \end{cases}</math>

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל במקרה הנ"ל באיור (14).
<gallery widths=500px heights=300px class="center">
File:Pic514.png|איור 14
</gallery>

*'''מה פילוג המטען ה"אמיתי" בבעיה?'''
<math display="block">
\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0 \\ \hat n \cdot 
(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta \end{cases}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\vec E |_{edge} = \vec E_q + \vec E_{-q}
</math>
באמצעות תנאי השפה אפשר לרשום את פילוג המטען האמיתי <math>\eta(x,y)</math>:

<math display="block">
\begin{cases} \hat n \cdot (\vec E-0)_{\text{boundry}}=\eta \\
\hat z \cdot (-\nabla \phi)_{\text{boundry}} = \frac{\eta}{\epsilon_0}
\end{cases}
</math>
<br>
<math display="block">
\eta = -\frac{q}{4\pi} \frac{\partial}{\partial z} [\left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-1/2} - \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-1/2}]=...
</math>
<br>
<math display="block">
=\left\{-\frac{q}{4\pi} \left[-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-3/2} \cdot 2(z-d) 
-(-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-3/2}\right]\cdot 2(z+d)\right\}_{z=0}=
</math>
<br>
<math display="block">
=-\frac{q}{4\pi} \cdot 2 (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}d 
</math>

כמה מטען יש בסך הכל על המשטח?

<math display="block">Q = \int \eta dS = {\iint}^\infty_\infty \frac{-qd}{4\pi} \cdot 2 \cdot (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}dxdy=
-\frac{qd}{2\pi} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^\infty \frac{1}{(r^2+d^2)^{3/2}} \cdot r dr d\varphi=
-qd \int_{r=0}^\infty \frac{r}{(r^2+d^2)^{3/2}} = ... </math><math display="block">...=
q \frac{1}{\sqrt{r^2+d^2}}|^\infty_0 = qd(0-1/d)=-q </math>

=== שיקוף של דיפול ===
[[File:Pic515b.png|200px|thumb|left|איור 15]]
כשנשקף דיפול, נהפוך את מטענו, נשקף אותו במראה, ונזיז את קודינטה X שלו ל X-, כמתואר באיור (15).

=== מטען נקודתי בסמוך לכדור PEC ===
[[File:Pic516.png|600px|thumb|center|איור 16]]
משפחה נוספת של בעיות המאפשרות פתרון באמצעות שיטת השיקופים, אלו בעיות בהן נתון פילוג מטען כלשהו בסמוך לכדור מוליך אידאלי. נסתכל על בעיה בה מטען נקודתי נמצא סמוך לכדור (איור 16) וננסה למצוא פתרון מהצורה המוצעת - את הפוטנציאל בחוץ נרשום כסופרפוזיציה של המטען המקורי, ומטען שיקוף <math> Q </math> הנמצא במרחק <math> D </math> ממרכז הכדור.
* נחפש <math> Q,D </math> כך שעל שפת הכדור מתקיים תנאי השפה <math>\phi = 0</math>.
* מטען הדמות <math> Q </math> משמש אותנו לחישוב השדה מחוץ לכדור.

בתחום בו אנו פותרים את הבעיה (מחוץ לכדור), משוואת פואסון 

<math display="block">
\nabla^2 \phi = - \frac{\rho}{\epsilon_0}
</math>
מתקיימת עם אותו פילוג המטען כמו בבעיה המקורית (מטען הדמות שהוספנו נמצא מחוץ לתחום בו פותרים). ולכן נותר רק לקיים תנאי שפה.

<math display="block">
\phi |_{\text{spherical boundary}} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r_q} + \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 r_Q} = 0
</math>
<math display="block">
\Rightarrow 
\frac{Q}{R_Q} = -\frac{q}{r_q} (*)
</math>
אנו מחפשים <math> Q,D </math> כך שנוכל לקיים ת.ש. על כדור.

נגדיר את הגדלים הבאים (איור 17):
[[File:Pic517.png|200px|thumb|left|איור 17]]

<math display="block">
r_T\equiv \sqrt{y^2+z^2},r_q \equiv \sqrt{(x-d)^2+r_T^2},r_Q \equiv \sqrt{(x-D)^2+r_T^2}
</math>
על שפת הכדור מתקיים
<math display="block">
r_T^2+x^2=R^2</math>
נציב ביחס (*) ונקבל:

<math display="block">
Q=-q \frac{R}{d}, D=\frac{R^2}{d}=R\cdot\frac{R}{d}
</math>
<br>
ולכן ברגע שיודעים את מטען השיקוף <math> Q </math>, הפוטנציאל בחוץ בכל מקום הוא סופרפוזיציה של <math> q </math> ו- <math> Q </math>.

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל באיור (18)
[[File:Pic518.png|400px|thumb|left|איור 18]]

* '''מה קורה כאשר הפוטנציאל על הכדור הוא לא אפס (למשל <math>V_0</math>) (איור 19)?'''
[[File:Pic519.png|200px|thumb|left|איור 19]]
נמצא את <math> Q,D </math> כרגיל מפיתרון הבעיה המוארקת, ואז נוסיף מטען חדש <math> Q' </math> במרכז המעגל שידאג לכך שהפוטנציאל על שפת הכדור יהיה <math>V_0</math>.

איך נמצא את <math> Q' </math>? מהדרישה שהפוטנציאל על שפת הכדור יתן את הערך הנקוב בבעיה. 

<math display="block">\frac{Q'}{4\pi\epsilon_0 R}=V_0 \Rightarrow Q' = 4\pi\epsilon_0 R V_0</math>

תרשים של הפוטנציאל, עם אפשרות למשחק בפרמטרים ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/1gb6fudjpp כאן].

* '''המקרה ההפוך - המטען בתוך הכדור (איור 20) '''
[[File:Pic520.png|200px|thumb|left|איור 20]]
לפיכך מטען הדמות יהיה מחוץ לכדור:

<math display="block">\begin{cases} Q_{in} = -q_{out} \cdot \frac{R}{d} \\ D_{in}=\frac{R^2}{d_{out}}  \end{cases}</math>כל צמד מטענים שיקיים את היחסים לעיל, יקיים ש <math>\phi</math> על שפת הכדור הוא אפס. 
</div>