Editing פרק 10 - שדות חשמליים בחומר (section)

=== מטען נקודתי בתוך חומר דיאלקטרי ===
כאשר עסקנו במטען נקודתי בואקום, השדה אותו יוצר המטען למעשה מקיים:

<math display="block">\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}=\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}
\Rightarrow
\nabla^2 \phi =-\frac{\delta(r-r_0)}{\epsilon_0}</math>
התוצאה היא כמובן הפוטנציאל:

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 |r-r'|}</math>

כעת, נביט על אותה הבעיה, אך כאשר המטען הנקודתי מונח בתוך חומר דיאלקטרי (איור 10)
מבחינת וקטור ההעתקה <math>\vec D</math>, מתקיים

[[File:Pic1010.png|200px|thumb|left|איור 10]]
<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0) \Rightarrow \vec{D}=\frac{1}{4\pi}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>
מאחר והמקור ל-<math>\vec D</math> הוא המטענים החופשיים, אני מקבלים שהוא זהה ל-<math>\vec D</math> שהיה מתקבל בואקום.

לעומת זאת, אם נסתכל על המשוואה עבור השדה החשמלי <math>\vec E</math> נקבל 

<math display="block">\nabla \cdot \vec D = \rho_{free}=q\delta(r-r_0)\;,\;\vec D=\epsilon\vec E \Rightarrow \nabla \cdot \vec E = \rho_{free}/\epsilon=\frac{q}{\epsilon}\delta(r-r_0) </math>

כלומר המקור לשדה החשמלי <math>\vec E</math> הוא מטען "ממוסך" פי <math>\epsilon_0/\epsilon</math>, והשדה החשמלי המתקבל הוא

<math display="block"> \vec{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{q}{|\vec{r}-\vec{r}'|^2}\hat r </math>

==== מטען נקודתי בתוך כדור דיאלקטרי סופי ====
[[File:Pic1011.png|200px|thumb|left|איור 11]]
באיור 11 נתון מטען נקודתי במרכזו של כדור דיאלקטרי סופי.
מטעמי סימטריה מתקיים <math>\vec E = E(r)\cdot\hat r , \vec D = D(r) \cdot \hat r</math>. על שפת הכדור הדיאלקטרי צריך להתקיים תנאי השפה:
<math display="block">\hat n \cdot (D_{out} - D_{in}) = \eta_f = 0</math>

שדה ההעתקה צריך לקיים את חוק גאוס
<math display="block">\nabla \cdot {\vec {D}} = \rho _{f} \Leftrightarrow \int \vec D \cdot \hat n ds = Q_{f, in}</math>
ולכן מתקבל
<math display="block">\vec D = \frac{q}{4\pi r^2}\cdot \hat r</math>
ומתוכו ניתן לקבל את השדה החשמלי:
<math display="block">
\begin{cases}
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r \qquad r < a\\
\vec E = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}\cdot \hat r \qquad r > a
\end{cases}</math>

כעת, נמצא את הפולריזציה:
<math display="block">\vec D = \epsilon \vec E = \epsilon_0 \vec E + \vec P \Rightarrow \vec P = (\epsilon - \epsilon_0)\vec E</math>
<math display="block">\vec P=\begin{cases}
\vec \frac{q}{4\pi \epsilon r^2}\cdot \hat r(\epsilon - \epsilon_0) \qquad r < a\\
 0 \qquad\qquad\qquad\qquad\ \ r > a
\end{cases}</math>
כעת נוכל למצוא את צפיפות המטען המשטחית (על שפת הכדור) הנובעת ממטעני הפולריזציה:
<math display="block"> \eta_p = -\hat r \cdot (\vec P_{out} - \vec P_{in}) = \frac{q}{4\pi\epsilon a^2} \cdot (\epsilon - \epsilon_0)</math>
ולכן סף מטען הפולריזציה על השפה יהיה
<math display="block"> Q_p = q \frac{\epsilon - \epsilon_0}{\epsilon}</math>
סך מטעני הפולריזציה חייב להיות אפס, ולכן ברור כי במקום כלשהו בבעיה חייב להיות עוד מטען פולריזציה ש"יאזן" את המטען על השפה. מטען זה למעשה נמצא בראשית, ונצבר כמטען נקודתי ש"ממסך" את השפעתו של המטען הנתון בתוך החומר הדיאלקטרי. את גודל המטען עצמו נוכל לקבל מחוק גאוס:
<math display="block">\int \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = Q_f + Q_{pol}</math>
<math display="block">\epsilon_0 \frac{q}{4\pi\epsilon r^2} 4\pi r^2 = q + Q_{pol}</math><math display="block">\frac{\epsilon_0}{\epsilon}q = q + Q_{pol} \Rightarrow Q_{pol} = \frac{-\epsilon + \epsilon_0}{\epsilon}q</math>
וזהו בדיוק <math>-Q_{p,surface}</math> כך שסך מטען הפולריזציה הוא אכן אפס.