Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

=== מטען נקודתי בסמוך למישור PEC אינסופי ===
[[File:Pic513.png|200px|thumb|left|איור 13]]
במקרים פשוטים יותר, כמו באיור (13) נחלק ל- 2 תחומים: <math>x<0,x>0</math>.

עבור <math>x<0</math> הפוטנציאל <math>\phi=0</math> מקיים את כל תנאי הבעיה.

את הפיתרון  ב <math>x>0</math> נחלק לפיתרון פרטי והומגני.

הפיתרון הפרטי יהיה:

<math display="block">
\phi_p = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{\left|\vec r - d\hat x\right|}
</math>
כעת, דרוש לנו הפתרון ההומוגני, יחד איתו נוכל לקיים את תנאי השפה.

<math display="block">
\phi_{plane} = 0 \Rightarrow
\phi_p |_{plane} + \phi_h |_{plane}=0
\Rightarrow
\phi_h |_{plane} = - \phi_p |_{plane}
</math>
<math display="block">
\phi_h |_{plane} = \underbrace{-}_{\text{looks like negative particle}}
\frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{\left|y \hat y + z \hat z - d \hat x\right|}
=
-\frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot \frac{1}{\sqrt{y^2+z^2+d^2}}
</math>
מאחר ו"ניחשנו" פתרון (סופרפוזיציה של מטען חיובי ושלילי ש"הוספנו") שמקיים את אותה משוואת פואסון, עם אותם תנאי השפה, זהו הפיתרון לבעיה המקורית!

<math display="block">
\phi = 
\begin{cases} 0 & x<0 \\ 
\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\left[ \frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x - d \hat x\right|}-\frac{q}{\left|y \hat y + z \hat z + x \hat x + d \hat x\right|} \right]
 & x>0 \end{cases}
</math>
ניתן לכתוב את הפוטנציאל המתקבל כך:

<math display="block">
\phi= \begin{cases} 0 & x<0 \\ 
\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \cdot 
[\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x-d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from q in }(d,0,0) }
- 
\underbrace{\frac{1}{\sqrt{(x+ d)^2+y^2+z^2}}}_{\text{distance from -q in }(-d,0,0)}
]
 & x>0 \end{cases}</math>

ניתן לראות תרשים של הפוטנציאל במקרה הנ"ל באיור (14).
<gallery widths=500px heights=300px class="center">
File:Pic514.png|איור 14
</gallery>

*'''מה פילוג המטען ה"אמיתי" בבעיה?'''
<math display="block">
\begin{cases} \hat n \times (\vec E_2 - \vec E_1) = 0 \\ \hat n \cdot 
(\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1 ) = \eta \end{cases}
</math>
<math display="block">
\Rightarrow
\vec E |_{edge} = \vec E_q + \vec E_{-q}
</math>
באמצעות תנאי השפה אפשר לרשום את פילוג המטען האמיתי <math>\eta(x,y)</math>:

<math display="block">
\begin{cases} \hat n \cdot (\vec E-0)_{\text{boundry}}=\eta \\
\hat z \cdot (-\nabla \phi)_{\text{boundry}} = \frac{\eta}{\epsilon_0}
\end{cases}
</math>
<br>
<math display="block">
\eta = -\frac{q}{4\pi} \frac{\partial}{\partial z} [\left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-1/2} - \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-1/2}]=...
</math>
<br>
<math display="block">
=\left\{-\frac{q}{4\pi} \left[-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z-d)^2\right)^{-3/2} \cdot 2(z-d) 
-(-\frac{1}{2} \left(x^2+y^2+(z+d)^2\right)^{-3/2}\right]\cdot 2(z+d)\right\}_{z=0}=
</math>
<br>
<math display="block">
=-\frac{q}{4\pi} \cdot 2 (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}d 
</math>

כמה מטען יש בסך הכל על המשטח?

<math display="block">Q = \int \eta dS = {\iint}^\infty_\infty \frac{-qd}{4\pi} \cdot 2 \cdot (x^2+y^2+z^2)^{-3/2}dxdy=
-\frac{qd}{2\pi} \int_{\varphi=0}^{2\pi} \int_{r=0}^\infty \frac{1}{(r^2+d^2)^{3/2}} \cdot r dr d\varphi=
-qd \int_{r=0}^\infty \frac{r}{(r^2+d^2)^{3/2}} = ... </math><math display="block">...=
q \frac{1}{\sqrt{r^2+d^2}}|^\infty_0 = qd(0-1/d)=-q </math>