Editing פרק 2 - תנאי שפה (section)

== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם ==
כאשר החומר אינו מוליך אידאלי, המודל הפשוט ביותר המתאר את הקשר בין השדה השורר בתוך החומר לצפיפות הזרם הוא חוק אוהם 
<math display="block">\vec J = \sigma \vec E</math>

כאשר <math>\sigma</math> היא המוליכות הסגולית, ויחידותיה הם: <math>[\sigma] = \frac{1}{\Omega m}</math>. משוואה זו היא הדוגמא הראשונה שאנו רואים בקורס '''ליחס חוקה''' - משוואה המגדירה קשר בין גדלים פיסיקליים בחומר. הקבוע <math>\sigma</math> הוא למעשה "פונקציית התמסורת" של החומר המגדירה את המוצא (זרם) בהנתן הכניסה (השדה המופעל בחומר). כאן היחס מתואר ע"י אופרטור לינארי בגרסתו הפשוטה ביותר האפשרית (פשוט הכפלה בקבוע) אך ברוב המקרים המציאותיים היחס הזה יתואר ע"י אופרטור לינארי כללי יותר, שיביא בחשבון תכונות שונות של החומר כגון הפסדים. 

באופן כללי, המוליכות <math>\sigma</math> יכולה להיות מטריצה, שתבטא מצב שבו רכיב שדה בכיוון מסוים יכול גם ליצור זרם בכיוון אחר. בהמשך הקורס, כאשר נדבר בהרחבה על שדות בתוך חומרים, נתאר את העקרונות הפיסיקליים המובילים לחוק אוהם.

אם ניקח כדוגמה פיסת חומר גלילית בעל שטח חתך <math>a</math> ואורך <math>l</math>, ניתן לקשור בין חוק אום בחומר, ובין חוק אוהם המוכר מתורת המעגלים הוא

<math display="block">V=RI</math>

ולקבל את הקשר

<math display="block">R = \frac{1}{\sigma} \frac{l}{A}</math>

גם במוליכים המקיימים את חוק אוהם, בסופו של דבר, במצב היציב, כל המטענים ייצברו על השפה משיקולים דומים. בתלות בתכונות החומר, תהליך זה לוקח זמן מסוים, וניתן לקבל הערכה לזמן זה. נציב את חוק אוהם בתוך חוק שימור המטען (הדיפרנציאלי) <math>\nabla \cdot \vec J = -\frac{\partial \rho}{\partial t}</math>:

<math display="block">\nabla \cdot (\sigma \vec E) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\Longrightarrow
\sigma (\nabla \cdot \vec E) = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \Longrightarrow
\frac{\sigma \rho}{\epsilon_0} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} </math>

כאשר במעבר השני הנחנו כי <math>\sigma</math> הינו סקלר אחיד במרחב, והשתמשנו בחוק גאוס (<math>\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}</math>).

נפתור את המד"ר ונקבל:

<math display="block">\rho (\vec r,t) = e^{-t/\tau} \cdot \rho (\vec{r},t=0)</math>

כאשר <math>\tau</math> מוגדר להיות זמן הרלקסציה, או מהירות הדעיכה, ושווה ל:

<math display="block">\tau = \frac{\epsilon_0}{\sigma}</math>

עבור נחושת, למשל:

<math display="block">\tau \sim 10^{-19} sec</math>

ולכן נסיק כי במוליכים "טובים", עם מוליכות גבוהה, הזמן שלוקח למערכת להגיע לשיווי משקל הינו קטן ביותר. טבלת מוליכויות של חומרים שונים ניתן למצוא [https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistivity_and_conductivity כאן].

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי ===

מהיכן מגיעה המשוואה <math>\vec J = \sigma \vec E</math>? על מנת לקבל אותה, עלינו להתחיל ממודל '''מיקרוסקופי''' של החומר, כלומר מודל המתאר (לפחות בקירוב כלשהו) את ההתנהגות של נושאי המטען בחומר תחת הפעלה של שדה חשמלי. המודל הפשוט ביותר נקרא מודל Drude (ע"ש הפיסיקאי Paul Drude), ומודל זה מניח שכאשר נושא מטען, או בפרט אלקטרון, נע בחומר, הוא חווה כוח "גרר" בעקבות ההתנגשויות ואינטראקציה שלו עם מרכיבי החומר האחרים, וכוח גרר זה ניתן לתאור פשוט כ <math>\vec{F}_{drag}=-\gamma \vec{v}</math>, כאשר <math>v</math> היא מהירות התנועה, ו-<math>\gamma</math> הוא מקדם חיכוך המאפיין את החומר. אם נכתוב כעת את החוק השני של ניוטון עבור אלקטרון בחומר, נקבל
<math display="block">
\vec{F}=-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}}
</math>
כאשר <math> m_e </math> היא מסת האלקטרון (בפועל זו לא בד"כ לא המסה המלאה, אלא גודל שנקרא "מסה אפקטיבית", אבל נניח לזה כרגע). נניח כעת שהשדה החשמלי קבוע בזמן, ונחפש פתרון סטטי לבעיה, כלומר פתרון שבו <math>\dot{\vec{v}}=0</math>. נקבל
<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{v}=-\frac{e}{\gamma}\vec{E}=\vec{v}_{drift}
</math>
מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה, ומסומנת בגודל <math>\vec{v}_{drift}</math> (גודלה תלוי בשדה כמובן, אך גדלים אופייניים במעגלים חשמליים הם בסדר גודל של מ"מ או ס"מ לשניה). מתוך גודל זה, ניתן להשתמש ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|הגדרת הזרם]] ולקבל את צפיפות הזרם בחומר. כבר הנחנו כי נושאי המטען הם אלקטרונים בעלי מטען <math>-e</math>, וכעת נניח גם את צפיפותם בחומר <math>n</math> (היחידות של <math>n</math> הן <math>1/m^3</math> - נושאי מטען ליחידת נפח) נקבל
<math display="block">
\vec{J}=\rho\vec{v}_{drift}=-en\left(-\frac{e}{\gamma}\vec{E}\right)=\frac{e^2n}{\gamma}\vec{E}
</math>
וקיבלנו בדיוק את חוק אוהם! צפיפות הזרם בחומר פרופורציונלית לשדה החשמלי, וקבוע הפרופורציה הוא הקבוע אותו אנו מגדירים כמוליכות הסגולית של החומר
<math display="block">
\sigma=\frac{e^2n}{\gamma}
</math>

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור הרמוני ===

מה קורה כאשר נחרוג מהתנאים הסטטיים, ונעורר את נושאי המטען בחומר המוליך באמצעות שדה המשתנה בזמן באופן סינוסואידלי? 

במצב כזה, נוכל לחזור למשוואת התנועה ולייצג את כל הגדלים באמצעות הפאזורים שלהם

<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}} \Rightarrow -e\tilde{E}-\gamma\tilde{v}=j\omega m_e\tilde{v}
</math>

במשוואה זו כבר השתמשנו בעובדה שנגזרת זמנית בייצוג פאזורי מתורגמת להכפלה ב-<math>j\omega</math>. מכאן ניתן לחלץ בפשטות את פאזור המהירות ולקבל

<math display="block">
\tilde{v}=-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}
</math>

ובאותו אופן שבו זה נעשה במקרה הסטטי, לעבור לצפיפות זרם (ליתר דיוק לפאזור של צפיפות הזרם)

<math display="block">
\tilde{J}=-en\tilde{v}=-en\left(-\frac{e\tilde{E}}{\gamma+j\omega m_e}\right)=\frac{ne^2/\gamma}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}\tilde{E}=\sigma(\omega)\tilde{E}(\omega)
</math>

כאשר הגדרנו את הקבוע <math>\tau'=m/\gamma</math> המייצג את זמן הדעיכה האופייני של הזרם בחומר. נשים לב כי המוליכות שהתקבלה, <math>\sigma(\omega)=\sigma_{static}\frac{1}{1+j\omega\tau'}</math> היא מוליכות עבור רכיב תדר בודד, בתדר <math>\omega</math>. אם אות הכניסה (או השדה המופעל בחומר) יכיל יותר מרכיב תדר אחד, עלינו לחבר את ההשפעה של כל תדר עם ערך המוליכות המתאים לו.

מתוך דוגמא זו אנו רואים כי המוליכות היא ערך מרוכב שתלוי מפורשות בתדר, וזו תכונה שתמיד תתקיים בכל מקדם יחס חוקה של חומר ונובעת משיקולי סיבתיות, ומהעובדה שתמיד יש הפסדים כלשהם בחומר (רק במקרה של חומר חסר הפסדים לחלוטין, נוכל לקבל יחס חוקה ממשי וקבוע בתדר, אבל זה קירוב סביר עבור הרבה מערכות).

[[File:Sigma drude.png|thumb|center|upright=2|תרשים 3: גרף אופייני של מוליכות כתלות בתדר]]