Editing פרק 3ב - קוואזיסטטיקה (section)

== דוגמא - EQS ==
[[File:3B1.png|500px|thumb|left|איור 1]]

נתון קבל המוזן ע"י מקור מתח בשני קצותיו (איור 1).

נתון כי <math>d<<L,W</math> ולכן ניתן להזניח אפקטי שפה.

חשבו את השדות בקבל בקירוב הקוואזי סטטי (סדר 0,1,2).

נשים לב:

* השדות בחוץ הם אפס
* על המקורות אין תיקונים מסדר גבוה למתח

===  סדר 0 (איור 2) ===

[[File:3B2.png|300px|thumb|left|איור 2]]

<math display="block">V(+)=V_0 \cdot cos(\omega t)</math>כאמור, בסדר 0 הזמן הוא "פרמטר" ואנו פותרים בעיה סטטית:

<math display="block">\vec E ^{(0)} = -\frac{V}{d} \hat z = -\frac{V_0}{d} cos(\omega t) \hat z</math>נמצא תנאי שפה, עבור הלוח העליון (בלוח התחתון נקבל תוצאות זהות, עם סימן הפוך):

<math display="block">\eta ^{(0)} = \hat z \cdot (0 - \epsilon_0 \frac{-V(t)}{d} \hat z)=\epsilon_0 \frac{V_0 \cdot cos(\omega t)}{d} </math><math display="block">Q^{(0)}= \eta^{(0)}\cdot LW = \epsilon_0 \frac{V_0 cos(\omega t)}{d}\cdot LW</math>

=== תיקון סדר 1 - זרם דרך המקור (הדופן הלבנה) ===
נפעיל את חוק שימור מטען על הלוח העליון:

<math display="block">I_{out}^{(1)}= -\frac{\partial Q^{(0)} }{\partial t} = 
-\frac{\partial}{\partial t} (\epsilon_0 \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot cos(\omega t))
=
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t)
</math>

מאחר והמקור מפולג באופן אחיד לאורך הדופן, הזרם זורם בו כזרם משטחי:

<math display="block">\vec K^{(1)} \cdot (-\hat z)\cdot L\cdot 2 =
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) </math><math display="block">\vec K^{(1)} = -
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{W}{2d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) \hat z </math><math display="block">\vec K^{(1)} \hat z \cdot (- \hat z) \cdot 2L= 
\epsilon_0 \cdot \omega \cdot \frac{LW}{d} \cdot V_0\cdot sin(\omega t) </math>

=== תיקון סדר 1 - שדה מגנטי (איור 3) ===

[[File:3B3.png|400px|thumb|left|איור 3]]

מה כיוון <math>H^{(1)} </math>?

לפני תנאי השפה על הלוח העליון:

<math display="block">\hat z \times (0- \vec H) = k \hat x \Rightarrow \vec H = H \hat y  </math>כדי לחשב את גודל הרכיב, נשתמש בחוק אמפר האינטגרלי (הלולאה מסומנת באיור (3)):

<math display="block">\oint H^{(1)} \cdot dl =
\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint E^{(0)}\cdot \hat n ds +
\underbrace{\iint J^{(1)}\cdot \hat n ds}_{\text{all the passing current}} </math>אגף שמאל:

<math display="block">\oint H^{(1)} \cdot dl = H \cdot D </math>אגף ימין:

<math display="block">\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \iiint E^{(0)}\cdot \hat n ds +
\iint J^{(1)}\cdot \hat n ds = 
\frac{\partial}{\partial t}(-\frac{V_0 cos(\omega t)}{d}\cdot x \cdot D)
+\epsilon_0 \omega \frac{W}{2d} V_0 sin(\omega t) \cdot D </math>ולכן:

[[File:3B4.png|300px|thumb|left|איור 4]]

<math display="block">\vec H^{(1)}(x) = \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega \cdot sin(\omega t ) (x - W/2) \hat y </math>
קיבלנו אופיין לינארי, ניתן לראות שרטוט שלו באיור 4.

כעת ניתן גם לקבל ביטוי מסודר ל <math>\vec K </math> על הלוח העליון, בעזרת תנאי השפה:

<math display="block">\vec K = \hat z \times (0 - \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t) (x - W/2)\hat y) = 
\frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t) (x - W/2) \hat x </math>

=== תיקון סדר 1 - צפיפות זרם משטחית - לוח עליון ===
עשינו מקודם

=== תיקון סדר 2 - שדה חשמלי (איור 5) ===

[[File:3B5.png|400px|thumb|left|איור 5]]

אמרנו מקודם שאין תיקונים מסדר גבוה למתח, לכן:

<math display="block">V_{source}=
-\int E^{(0)} dz =
V_0 cos(\omega t) </math>

נשתמש ב:

<math display="block">\oint E^{(2)} \cdot dl  = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial t} 
\iiint H^{(1)}\cdot \hat n ds </math>

באגף שמאל נניח שהשדה החשמלי הוא בכיוון z:

<math display="block">\oint E^{(2)} \cdot dl = - E^{(2)} \cdot D </math>אגף ימין:

<math display="block">-\mu_0 \frac{\partial}{\partial t}
\int \frac{\epsilon_0 V_0}{d} \omega sin(\omega t)(x-W/2) \hat y D dy \cdot \hat y </math>ולכן:

<math display="block">E^{(2)} = 
\frac{\omega^2}{2} cos(\omega t) \cdot \frac{\epsilon_0 \mu_0 }{d} V_0 (x^2 - \omega x)\hat z </math>

קיבלנו אופיין פרבולי. את התיקון של הסדר השני לשדה החשמלי ניתן לראות באיור 6, ואת השדה החשמלי הכולל באיור 7.

[[File:3B6.png|400px|thumb|left|איור 6]]

[[File:3B7.png|400px|thumb|left|איור 7]]

'''מתי הפיתרון תקף?'''

<math display="block">|E^{(2)}|/|E^{(0)}|<<1 </math><math display="block">\frac{|\omega ^2 cos(\omega t) \frac{\epsilon_0 \mu_0  V_0 }{2d} (x^2-Wx)|}
{
    |\frac{V_0 cos(\omega t)}{d}| 
}
<<1 </math><math display="block">\Rightarrow \omega ^2 \epsilon_0 \mu_0  \frac{W ^2 }{8}<<1
\Rightarrow (\frac{\omega}{c})^2 << \frac{8}{W^2}
\Rightarrow W << \sqrt{\frac{8}{(2 \pi)^2}} \lambda </math>




</div>