Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

== כא"מ והשראות ==
[[File:Pic0911.png|600px|thumb|center|איור 11]]
נסתכל על הדוגמא הנתונה באיור 11, וספציפית נסתכל על המעגל המסומן בצבע שחור. אם היינו מניחים שמתקיים במעגל השחור חוק קירכהוף עבור המתחים, היינו מקבלים ש-<math>V_{R1}=V_{R2}  </math>.
כעת, נשתמש בחוק פאראדיי במקום להניח שניתן להשתמש בחוקי קירכהוף, 
<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial \psi}{\partial t}
=
-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H \cdot \vec{dS} = i(R_1+R_2)  </math>
במשוואה זו יש מספר גדלים חשובים. <math>\oint \vec E \cdot \vec{dl}</math> הוא הכא"מ (<math>emf</math>) סביב מסלול האינטגרציה ולמעשה מייצג את העבודה שיבצע השדה החשמלי על יחידת מטען המונעת לאורך מסלול אינטגרציה, ו-<math>\psi</math> הוא השטף המגנטי החולף דרך מסלול האינטגרציה.
ולכן, מחוק פאראדיי אנחנו מקבלים

<math display="block">
i = -\frac{\partial \psi}{\partial t} \cdot \frac{1}{R_1+R_2}
</math>

לא סתם שמתקיים  <math>V_{R1}\neq V_{R2}  </math>, בנוסף הם בסימן הפוך זה לזה בכלל כיוון הזרם ההפוך בנגדים. הסיבה לסתירה שקיבלנו לחוק המתחים היא שחוקי קירכהוף הם חוקים קוואזיסטטיים, וחוק המתחים בפרט נכון כל עוד ניתן להזניח את שינוי השטף המגנטי דרך שטח המעגל. כאשר זה לא קורה, נוצר כא"מ מושרה במעגל, שגורם לאינטגרל הסגור על השדה המגנטי להיות שונה מאפס (למעשה במקרה שהשינוי בשטף משמעותי, השדה המגנטי חדל מלהיות שדה משמר).


=== תיקונים לשדה הקוואזיסטטי ===
[[File:Pic0912.png|400px|thumb|center|איור 12]]
כעת נסתכל על איור 12. במעגל מחובר מד מתח אידאלי, והגודל הנמדד על-ידו הוא
<math display="block">V_{21} = -\int_1^2 \vec E \cdot \vec{dl}  </math>
כאשר במעגל יהיו שינויים זמניים, וכאשר שינויי השטף המגנטי דרכו אינם זניחים, יווצר כא"מ כתוצאה מחוק פאראדיי. אם נסתכל על הבעיה במונחים קוואזי-סטטים, נשים לב כי השדה החשמלי היוצר את הכא"מ המושרה הוא '''תיקון מסדר 1''' לשדה הסטטי מאחר והוא נובע מנגזרות זמניות של השדה המגנטוסטטי.  
<math display="block">\oint \vec E^{(1)} \cdot \vec{dl} =-\frac{\partial}{\partial t} \mu_0 \iint \vec H^{(0)} \cdot \vec{dS}\;\; \Longleftrightarrow \;\;\nabla \times \vec E^{(1)}= -\mu_0 \frac{\partial H^{(0)}}{\partial t}</math>
והוא אינו שדה משמר. מכאן, שמדידת המתח תהיה תלויה במסלול האינטגרציה, ולכן יש חשיבות לנקודות ביניהם מחובר מד המתח ול"מסלול החוטים" שלו.

כעת, נציב בחוק פאראדיי, כאשר מסלול האינטגרציה עובר סמוך מאוד לחוטים ובמשיק להם, ונפרק את המסלול לחלקים

<math display="block">\oint \vec E \cdot \vec{dl} = - \frac{\partial \psi}{\partial t}
 \;\;\Longrightarrow\;\;
\int_{1\rightarrow 2} \vec E \cdot \vec{dl} + \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}=
-V_{21}+\int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}
=-\frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

ואם נארגן את הביטוי נקבל

<math display="block">
V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl} + \frac{\partial \psi}{\partial t}
</math>

<u>מקרה 1:</u>

אם <math>\frac{\partial \psi}{\partial t}  </math> זניח, או שהבעיה סטטית, חוזרים לתרחיש המוכר:
[[File:Pic0913.png|300px|thumb|left|איור 13]]
<math display="block">V_{21} = \int_{2\rightarrow 3 \rightarrow 1} \vec E \cdot \vec{dl}  </math>
וזה בדיוק KVL. אם במקרה זה נניח שהחוטים נראים כמו באיור (13) ועשויים מחומר שמוליכותו הסגולית <math> \sigma </math> נקבל,

<math display="block">\vec J = \frac{I}{A}, E = \frac{J}{\sigma}
\Rightarrow
V_{21} = \frac{J}{\sigma}\cdot l = \frac{I}{A\sigma}\cdot l = 
\underbrace{(\frac{l}{A\sigma})}_{\equiv R} I  </math>

<u>מקרה 2:</u>

<math>\frac{\partial \psi}{\partial t}  </math> לא זניח.

אם כעת נניח שכל החוטים עשויים מ PEC:

<math display="block">V_{21} = \underbrace{\int \vec E \cdot \vec{dl} }_{=0} 
+ {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
={\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}  </math>

מאחר ומתקיים:

<math display="block">\psi = \mu_0 \iint \vec H \cdot dS  </math>

וגם מדובר בבעיה לינארית שבה

<math display="block">\vec H \propto I  </math>

מתקיים:

<math display="block">
\psi = \underbrace{L}_{\text{Inductance}} \cdot I   </math>
קבוע הפרופורציה <math>L </math> נקרא ההשראות (Inductance) של המעגל. רכיבים כגון סלילים בנויים כך ששינויי השטף דרכם יהיו משמעותיים ובעזרתם ניתן לשלב תכונות השראותיות במערכות. אם נציב בחוק פאראדיי נקבל
<math display="block">\Rightarrow
{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}} = 
\underbrace{{\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial I}}}}_{=L}
\cdot 
{\displaystyle {\frac {\partial I }{\partial t}}} = L \frac{\partial I}{\partial t} = V_{21}  </math>
וזהו הביטוי המוכר למפל המתח על משרן.

=== השראות הדדית ===

[[File:Pic0914.png|300px|thumb|left|איור 14]]

נביט במעגל המשורטט באיור 14. כאשר יש לנו מעגלים סמוכים בעלי תכונות השראותיות, השדות המגנטיים הנוצרים בעקבות זרמים באחד המעגלים ישפיעו על השטף החולף דרך רכיבי המעגל השני. אפקט זה מתווסף להשפעה העצמית שאותה כבר ניתחנו. כעת, שכבר מובן לנו שאנו עוסקים בבעיות שבהן השדה המגנטי לינארי לזרמים הנוצרים, ניתן לרשום באופן כללי את השטף דרך כל משרן באופן הבא:

<math display="block">\begin{cases} 
\psi_1 = L_{\text{1,1}} \cdot I_1 + L_{1,2} \cdot I_2 \\ 
\psi_2 = L_{2,1} \cdot I_1 + L_{2,2} \cdot I_2
\end{cases}  </math>

או בצורה מטריצית
<math display="block">\begin{pmatrix} V_1\\ V_2 \end{pmatrix} = 
\underbrace{\begin{pmatrix} L_{11} & L_{12} \\ L_{21} & L_{22}  \end{pmatrix}}_{\underline{\underline{L}}}
\cdot 
\begin{pmatrix} \frac{\partial I_1}{\partial t} \\ \frac{\partial I_2}{\partial t} \end{pmatrix}  </math>
איברי האלכסון הן ההשראויות העצמיות עליהן כבר דיברנו. האיברים מחוץ לאלכסון <math> L_{i,j} </math> מציינים השראויות הדדיות - כיצד זרם שזורם במשרן ה-<math> j </math> תורם לשטף המגנטי דרך המשרן ה-<math> i </math>. המטריצה <math> \underline{\underline{L}} </math> חייבת להיות סימטרית, והאיברים מחוץ לאלכסון יכולים להיות גם שליליים, וסימנם לוי בכיוון השדה המגנטי שיוצר רכיב <math> i </math> על רכיב <math> j </math>.

=== דוגמא ===
[[File:Pic0915.png|200px|thumb|left|איור 15]]
באיור 15 נתונות נתונות שתי טבעות בעלות רדיוסים <math>R_1 \gg R_2  </math>. הטבעות נמצאות באותו מישור.

מה ההשראות ההדדית?

מאחר והטבעת הפנימית קטנה מאוד, נניח כי השדה היוצרת עליה הטבעת החיצונית אחיד בקירוב, ושווה לשדה במרכזה. נקבל:
<math display="block">\psi_2 = \mu_0 \frac{I_1}{2R_1}\cdot \pi R_2^2 = 
\underbrace{\mu_0 \frac{\pi R_2^2 }{2R_1}}_{\equiv L_{21}}
\cdot I   </math>

נשים לב כי יכלנו גם לעשות את החישוב ההפוך - לחשב את השדה שיוצרת הטבעת הפנימית על פני המישור במכיל את הטבעות בכל נקודה, ואז לבצע אינטגרציה. חישוב כזה היה מאתגר הרבה יותר וכלל לא בטוח שהיינו מצליחים לבצע אותו, העובדה שמטריצת ההשראות חייבת להיות סימטרית, מאפשרת לנו לבצע את החישוב בצורה פשוטה הרבה יותר.
</div>