Editing פרק 10 - שדות חשמליים בחומר (section)

=== דוגמא - כדור דיאלקטרי בשדה אחיד ===
[[File:Pic1012.png|200px|thumb|left|איור 12]]

נתון כדור בעל מקדם דיאלקטרי <math>\epsilon</math>, מוקף בריק, כמוראה באיור 12. הכדור מוכנס לשדה אחיד. מצאו את השדות בכל המרחב.

הבעיה סטטית ולכן ניתן לרשום את השדה החשמלי בתור גרדיאנט של פונקציה סקלרית:
<math display="block">\nabla \times \vec E = 0 \Rightarrow \vec E = -\nabla \phi </math>
בהצבה בחוק גאוס נקבל:
<math display="block">\nabla \cdot (\epsilon E) = 0 \Rightarrow \nabla \cdot (\epsilon \cdot (-\nabla \phi)) = 0 </math>
מאחר ו-<math>\epsilon </math> הומוגני נקבל:
<math display="block">\epsilon \nabla ^2 \phi = 0 </math>
וזוהי משוואת לפלס.

תנאי השפה בבעיה:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out}(r>>a) = -E_0z= -E_0r\cos\theta \\
\hat r \cdot (\epsilon_0 \vec E_{out} - \epsilon \vec E_{in})|_{\text{r=a}} = 0 \Rightarrow \hat r \cdot [-\epsilon_0 \frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} - (-\epsilon \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r})]_{\text{r=a}} = 0 \\
\phi_{out}(r=a) = \phi_{in}(r=a) \\
\phi_{in}(r\rightarrow0) < \ ''\infty''
\end{cases}</math>נבחר פוטנציאל:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (Ar + \frac{B}{r^2})\cos\theta \\
\phi_{in} = Cr\cos\theta 
\end{cases}</math>כאשר זרקנו את התלות ב-<math>\frac{1}{r^2}</math> בפוטנציאל הפנימי כדי לקיים את תנאי השפה הרביעי.

מתנאי השפה השלישי והראשון בהתאמה נקבל:<math display="block">\begin{cases}
Aa + \frac{B}{a^2} = Ca \\
\phi_{out}(r>>a) = Ar\cos\theta = -E_0r\cos\theta \Rightarrow A = -E_0 
\end{cases}</math>נציב בתנאי השפה השני את הנגזרות של הפוטנציאל:<math display="block">\frac{\partial \phi_{out}}{\partial r} = (A - \frac{2B}{r^3})\cos\theta\qquad ,\qquad \frac{\partial \phi_{in}}{\partial r} = C\cos\theta</math>ונקבל:<math display="block">\epsilon_0(A - \frac{2B}{a^3}) = \epsilon C</math>בסך הכל, המקדמים אשר נקבל עבור הפוטנציאל הם:<math display="block">\begin{cases}
A = -E_0 \\
B = -a^3\cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} E_0 \\ 
C = a^3\cdot \frac{3}{\epsilon_r + 2} E_0
\end{cases}</math>כאשר <math>\epsilon_r = \frac{\epsilon}{\epsilon_0}</math>. לכן, הפוטנציאל והשדה החשמלי מחוץ לכדור:<math display="block">\begin{cases}
\phi_{out} = (-E_0r + E_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2}\frac{1}{r^2})\cos\theta \\
\vec E_{out} = E_0\hat z + \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \cdot E_0 \cdot \frac{a^3}{r^3} \cdot (2\cos\theta\hat r + \sin\theta\hat\theta)
\end{cases}</math>
נשים לב כי השדה שהתקבל מחוץ לכדור הוא סכום של השדה האחיד החיצוני, ושדה דיפולי. כלומר, השדה החיצוני "מעורר" בכדור הדיאלקטרי דיפול, שבתורו יוצר את שדהה תגובה. על מנת לקבל את הקיטוביות, נחשב ראשית את מומנט הדיפול האפקטיבי המתעורר בכדור. פוטנציאל שנוצר על ידי דיפול בכיוון z:
<math display="block">\phi_{dipole} = \frac{p}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^2}\cos\theta</math>
נשווה מקדמים על מנת למצוא את מומנט הדיפול בבעיה שלנו
<math display="block">\frac{p}{4\pi\epsilon_0}=E_0\cdot a^3 \cdot \frac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r + 2} \Rightarrow p=4\pi\epsilon_0a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0</math>
הקיטוביות מוגדרת על ידי <math>\vec p = \epsilon_0\alpha\vec E</math> ולכן נוכל לרשום:
<math display="block">\alpha=4\pi a^3\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2} = 3V\cdot\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}</math>
כעת נסתכל על השדה והפוטנציאל בתוך הכדור:
<math display="block">\begin{cases}
\phi_{in} = -\frac{3E_0}{2+\epsilon_r}\cdot r\cos\theta \\
\vec E_{in} = \frac{3}{2+\epsilon_r}\hat z
\end{cases}</math>
מתקיים <math>\vec E _{in} = \vec E_{out} + \vec E_{respond}</math> ולכן שדה התגובה:
<math display="block">\vec E _{respond} = -\frac{\epsilon_r-1}{\epsilon_r+2}E_0\hat z</math>
כלומר שדה התגובה בתוך הכדור הוא שדה אחיד.

[[File:Pic1013.png|400px|thumb|center|איור 13 - שרטוט הפיתרון]]