Editing פרק 2 - תנאי שפה (section)

=== המודל לחומר מוליך - חוק אוהם - עירור סטטי ===

מהיכן מגיעה המשוואה <math>\vec J = \sigma \vec E</math>? על מנת לקבל אותה, עלינו להתחיל ממודל '''מיקרוסקופי''' של החומר, כלומר מודל המתאר (לפחות בקירוב כלשהו) את ההתנהגות של נושאי המטען בחומר תחת הפעלה של שדה חשמלי. המודל הפשוט ביותר נקרא מודל Drude (ע"ש הפיסיקאי Paul Drude), ומודל זה מניח שכאשר נושא מטען, או בפרט אלקטרון, נע בחומר, הוא חווה כוח "גרר" בעקבות ההתנגשויות ואינטראקציה שלו עם מרכיבי החומר האחרים, וכוח גרר זה ניתן לתאור פשוט כ <math>\vec{F}_{drag}=-\gamma \vec{v}</math>, כאשר <math>v</math> היא מהירות התנועה, ו-<math>\gamma</math> הוא מקדם חיכוך המאפיין את החומר. אם נכתוב כעת את החוק השני של ניוטון עבור אלקטרון בחומר, נקבל
<math display="block">
\vec{F}=-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=m_e\vec{a}=m_e\dot{\vec{v}}
</math>
כאשר <math> m_e </math> היא מסת האלקטרון (בפועל זו לא בד"כ לא המסה המלאה, אלא גודל שנקרא "מסה אפקטיבית", אבל נניח לזה כרגע). נניח כעת שהשדה החשמלי קבוע בזמן, ונחפש פתרון סטטי לבעיה, כלומר פתרון שבו <math>\dot{\vec{v}}=0</math>. נקבל
<math display="block">
-e\vec{E}-\gamma\vec{v}=0 \Rightarrow \vec{v}=-\frac{e}{\gamma}\vec{E}=\vec{v}_{drift}
</math>
מהירות זו נקראת מהירות הסחיפה, ומסומנת בגודל <math>\vec{v}_{drift}</math> (גודלה תלוי בשדה כמובן, אך גדלים אופייניים במעגלים חשמליים הם בסדר גודל של מ"מ או ס"מ לשניה). מתוך גודל זה, ניתן להשתמש ב[[פרק 1 - משוואות מקסוול (חוקים אינטגרליים, חוקים דיפרנציאליים)|הגדרת הזרם]] ולקבל את צפיפות הזרם בחומר. כבר הנחנו כי נושאי המטען הם אלקטרונים בעלי מטען <math>-e</math>, וכעת נניח גם את צפיפותם בחומר <math>n</math> (היחידות של <math>n</math> הן <math>1/m^3</math> - נושאי מטען ליחידת נפח) נקבל
<math display="block">
\vec{J}=\rho\vec{v}_{drift}=-en\left(-\frac{e}{\gamma}\vec{E}\right)=\frac{e^2n}{\gamma}\vec{E}
</math>
וקיבלנו בדיוק את חוק אוהם! צפיפות הזרם בחומר פרופורציונלית לשדה החשמלי, וקבוע הפרופורציה הוא הקבוע אותו אנו מגדירים כמוליכות הסגולית של החומר
<math display="block">
\sigma=\frac{e^2n}{\gamma}
</math>