Editing פרק 2 - תנאי שפה (section)

== לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס ==

נתון משטח כלשהו עליו יכול להיות מטען שצפיפותו המשטחית <math>\eta</math>. השדה החשמלי, וצפיפות המטען הנפחית, עשויים להיות לא רציפים משני צידי המשטח. נרצה לראות כיצד נראה מתנהג השדה החשמלי, מעל ומתחת למשטח.

כרגיל, נבנה מעטפת גאוסית ברדיוס <math>R</math>, וגובה <math>\delta</math>. ראו תרשים 1.
[[File:c2f1.jpg|left|thumbnail|תרשים 1: תנאי שפה לחוק גאוס]]

נניח כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>

מתחת המשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_1</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_1</math>

מעל למשטח S קיים שדה חשמלי <math>E_2</math> עם צפיפות מטען <math>\rho_2</math>.

כעת, נחשב את השטף דרך הבסיס העליון של הגליל (S1), הבסיס התחתון שלו (S2), ומעטפת הגליל (S3), ונציב את התוצאה בחוק גאוס

<math display="block">\underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds = \iiint \rho dV = Q_{in}</math>
נפעיל את אגף שמאל של חוק גאוס על אחד מהמשטחים S1,S2,S3:
<math display="block">
S1: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S1} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{1} \cdot (-\hat n) da = -\epsilon_0 \vec E_{1} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S2: \underset{S = \partial V} {\oint} \epsilon_0 \vec E \cdot \hat n ds =\underset{S2} {\oint} \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \hat n da = \epsilon_0 \vec E_{2} \cdot \vec n da</math>
<math display="block">
S3: \int \epsilon_1 \cdot \tilde{\hat n} ds + \int \epsilon_2 \cdot \tilde{\hat n} ds = F(\vec{E}_1 , \vec{E}_2) \cdot \delta</math>
החישובים באגף ימין מניחים שהמעטפת הגלילית כולה קטנה מאוד, ולכן ניתן להניח בקירוב שעל "מכסי" הגליל (משטחים <math>S_1,S_2</math>) ניתן להניח שהשדה החשמלי קבוע בקירוב. הפונקציה F היא פונקציה סופית כלשהי של השדות, הנובעת מאינטגרציה על היקף המעטפת (משטח <math>S_3</math>. 
כעת, סכום כל התרומות הינו

<math display="block">
S1+S2+S3: (\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da + F(\vec{E}_1, \vec{E}_2) \cdot \delta
</math>

כאשר, מההנחה כי '''<math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>''' נסיק כי ניתן להזניח את תרומת S3 (כלומר <math>F(\vec{E}_{1},\vec{E}_2)</math>).

סה"כ עד כה קיבלנו שתרומת אגף שמאל של חוק גאוס הינה:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da</math>

נמשיך עם אגף ימין של חוק גאוס (<math>Q_{in}</math>). המטען שכלוא במעטפת הגליל כולל את צפיפות המטען המשטחית <math>\eta</math>, ואת צפיפויות המטען הנפחיות <math>\rho_1,\rho_2</math>

<math display="block">Q_{in} = \eta da + (\iiint\rho_1 dV + \iiint \rho_2 dV) = \eta da + G(\rho_1,\rho_2)\delta \cdot da</math>
כאשר תוצאת האינטגרציה על הצפיפויות הנפחיות מתוארת על ידי פונקציה כללית כלשהי, <math>G</math>. גם פה נזניח את תרומת הצפיפויות הנפחות מהטיעון של <math>\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>.
לכן תרומת אגף ימין של חוק גאוס הינה

<math display="block">\eta da</math>. 

כעת, אם נשווה את שני האגפים, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n da = \eta da</math>

ואחרי חלוקה ב <math>da</math>, נקבל:

<math display="block">(\epsilon_0 \vec E_{2} - \epsilon_0 \vec E_{1}) \cdot \hat n  = \eta </math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות.
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות.
* <math>\vec E_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשים לב כי כל עוד <math>\eta \neq 0</math> ישנה קפיצה לא רציפה ברכיב השדה החשמלי הניצב.

=== לוקליזציה של חוק גאוס עבור שדה מגנטי ===
ניתן לבצע את אותו התהליך, גם עבור השדה המגנטי ( חוג גאוס המגנטי: <math>\oint \mu_0 \vec H \cdot \hat n dS=0</math>), שלאחריו נקבל:

<math display="block">\hat n\cdot (\mu_0 \vec H_{2} - \mu_0 \vec H_1) = 0</math>

כאשר:

* <math>\eta</math> - צפיפות המטען של משטח אי הרציפות
* <math>\hat n</math> - נורמל למשטח אי הרציפות
* <math>\vec H_{2}</math> - השדה בתחום שאליו פונה <math>\hat n</math>.

נשיב לב, שבניגוד לתוצאה הקודמת (עבוד השדה החשמלי), קיבלנו כי אגף שמאל מתאפס. תוצאה זו לא אמור להפתיע אותנו, שכן לא קיימים מונופולים מגנטיים בטבע.

ניתן להסיק מכך, כי רכיב השדה המגנטי הניצב לשפה '''בהכרח רציף (<math>\vec H_{1} = \vec H_{2}</math>).'''