Editing פרק 6 - משוואת לפלאס (section)

== תכונות הפתרון ==
=== עקרון המינימום / מקסימום ===
עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת '''לפלאס''' אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} = 
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>
<br>
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.


=== יחידות הפתרון (פואסון) ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>
ולכן:

<math display="block">
\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 = 
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0
</math>
מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">
\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,1}) - \phi_1(r_{B,1}) = 0
\\
\left.\frac{\partial \phi_3}{\partial n}\right|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}
</math>
המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת נוכל להסיק ש-<math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום. 
האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

<math display="block">u_E = \iiint_D \frac{\epsilon_0}{2}|\vec E_3|^2 dV</math>

נרצה לקשר את הביטוי ל <math>u_E</math> לערכי <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:
<math display="block">
\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F
</math>
ונקבל:

<math display="block">
\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) = \underbrace{\phi_3 (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0} 
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}
</math>
כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה
<math display="block">\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\frac{\epsilon_0}{2} \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS
</math>
בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">
\Rightarrow
\int \frac{\epsilon_0}{2} |E_3|^2 dV=0 \;\Rightarrow\;
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0
</math>
בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח <math> \mathcal{D} </math> אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \frac{\epsilon_0}{2}|E|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} -\frac{\epsilon_0}{2} 
\underbrace{\oint_{\partial \mathcal{D}} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as }  V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{1}{2} \iiint \rho dV 
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math>
<br>
<math display="block">\Rightarrow\;u_E = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} 
\iiint\iiint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>

=== משפט הערך הממוצע ===
משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).
[[File:Pic602.png|200px|thumb|left|איור 2]]
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י
<math display="block">
\phi(r')=\phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right)
</math>
כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו.
כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

<math display="block">
\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' =
</math>
<math display="block">
=\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}}\left[ \phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right) \right]dS'=
</math>
נחליף את סדר האינטגרציה
<math display="block">=
\phi(r) - \int_r^{r'}dR\left[\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E \cdot \hat{R} dS'}_{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}\right]
 = \phi(r)</math>

=== ייצוג נומרי מקורב למשוואת לפלאס ===
משוואת לפלס בקורדינטות קרטזיות היא
<math display="block">\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz}=0
</math>
אם נסתכל על נקודה ספציפית <math> (x,y,z) </math>, נוכל לרשום את ערכי הפוטנציאל בסביבתה ע"י פיתוח של הפוטנציאל לטור טיילור
<br>
<math display="block">
\begin{cases} 
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x+\Delta x,y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta x\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{1}{2}\Delta x ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +... \\
\phi(x,y+\Delta y,z)=\phi(x,y,z)+ \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y-\Delta y,z)=\phi(x,y,z)- \Delta y\frac{\partial \phi}{\partial y}+\frac{1}{2}\Delta y ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} +... \\
\phi(x,y,z+\Delta z)=\phi(x,y,z)+ \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... \\
\phi(x,y,z-\Delta z)=\phi(x,y,z)- \Delta z\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{1}{2}\Delta z ^2\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} +... 
\end{cases}
</math>
נניח ש <math>\Delta x = \Delta y = \Delta z \equiv \Delta</math>. בנוסף נניח ש <math>\Delta</math> הוא ממש קטן, כך שקירוב סדר שני הוא מספיק.
נסכום את כל המשוואות:

<math display="block">
\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta) = 
6 \phi(x,y,z) + \Delta^2 \underbrace{\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)}_{=0}
</math>
נחלק ב - 6 ונקבל
<math display="block">\phi(x,y,z) = \frac{1}{6} [\phi(x+\Delta) + \phi(x-\Delta) + \phi(y+\Delta) + \phi(y-\Delta)+\phi(z+\Delta)+\phi(z-\Delta)]
</math>
כלומר, 
<math>\phi
</math> בנקודה x,y,z שווה לממוצע של הערכים בנקודת הסריג שמקיפות את הנקודה.