Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

== פוטנציאל חשמלי סקלרי ==
שיטת הסופרפוזיציה מצריכה שנדע בדיוק את פילוג המטענים בכל מקום במרחב.
על מנת להקל על מציאת פיתרון כללי לבעיה אלקטרומגנטית בכלל, ואלקטרוסטטית בפרט, נהוג לבצע "סקלריזציה" של הבעיה
כלומר, למצוא דרך לפתור בעיה סקלרית שקולה, שפתרונה יוביל לפתרון הבעיה הוקטורית.

מתוך חוק פאראדיי:

<math display="block">\nabla \times \vec E = -\mu_0 \frac{\partial \vec H}{\partial t}
\underbrace{=}_{\text{static}} 0\Leftrightarrow
\oint \vec E \cdot \vec {dl}= -\mu_0\frac{\partial}{\partial t} 
\iint \hat H \cdot \hat n dS = 0
</math>ולכן השדה החשמלי הוא שדה משמר:

<math display="block">\vec E = -\nabla \phi
</math>כאשר <math>\phi
</math> הוא הפוטנציאל החשמלי.

<math display="block">\int_{r_1}^{r_2}\vec E \cdot \vec{dl} = 
\int_{r_1}^{r_2} -\nabla \phi \cdot \vec{dl} = -[\phi(r_2)-\phi(r_1)]
</math>אינטגרציה אינה תלויה בצורת המסלול, אלא רק בערכי הפוטנציאל בנק' הקצה

משמעות האינטגרציה היא - מה העבודה שיש להשקיע על מנת להביא מטען מ r1 ל r2.

=== פוטנציאל חשמלי סקלרי - מטען נקודתי ===
נקודה חשובה נוספת - הפוטנציאל מוגדר עד כדי קבוע:

<math display="block">\vec E_1 = -\nabla \phi
</math><math display="block">\vec E_2 = -\nabla (\phi+C)= -\nabla \phi =\vec E_1
</math>מכאן - יש חשיבות פיזיקאלית רק להפרשי הפוטנציאל בין נקודות, ולא לערך עצמו, ויש לנו חופש בבחירת ערך הייחוס.

נגדיר לפי כך את נקודת הייחוס של הפוטנציאל באינסוף (הגדרה זו טובה ושימושית עבור כל מערכת בעלת גודל סופי):

<math display="block">\phi(r) = -\int_{r_1\rightarrow\infty}^r \vec E \cdot \vec{dl}
</math>
לדוגמא, אם ניקח שדה של מטען נקודתי בראשית:

<math display="block">\vec E = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r
</math><math display="block">\phi(r_s)= -\int_\infty^{r_s} \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{r^2} \hat r =
\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r_s}
</math>

=== סופרפוזיציה ===
ניתן לבצע סופרפוזיציה גם לפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">\phi = \int \frac{dq}{4\pi\epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} =
\iiint \frac{\rho(r') dV'}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} + \phi_{\text{point potential}} 
</math>גם כאן, בבעיות שהן space invariant, נקבל שהסופרפוזיציה מקבלת צורה של אינטגרל קונבולוציה:

<math display="block">\phi = \rho \circledast \frac{1}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}</math>אם המטען הוא מטען נקודתי:

<math display="block">\rho = Q\cdot \delta(\vec r - \vec r')</math>

גם כאן, אנו חייבים לדעת מפורשות את פילוג המקורות בכל המרחב על מנת לחשב את הפוטנציאל, כך שאם המקורות נוצרים כתגובה להפעלת שדה חיצוני, זוהי שיטה לא שימושית לחישוב הפוטנציאל.

=== דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן ===
באיור (3) נתון מבנה של דיפול חשמלי. שני מטענים נקודתיים בעלי גודל זהה וסימנים מנוגדים, ממוקמים במרחק <math>d</math> זה מזה.
[[File:Pic503.png|200px|thumb|left|איור 3]]
[[File:Pic504.png|200px|thumb|left|איור 4]]

# חשבו את הפוטנציאל
# מה התוצאה בגבול <math>\vec d \rightarrow 0</math>, אבל <math>q |\vec d|</math> קבוע ידוע.

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec r^+|} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot
\frac{1}{|\vec r^-|}</math>נגדיר:

<math display="block">\text{The place of the positive charge: } \vec r'^+ \equiv \vec r' + \vec d/2</math><math display="block">\text{The place of the negative charge: } \vec r'^- \equiv \vec r' - \vec d/2</math>לכן:

<math display="block">
\vec r ^+ = \vec r - \vec r'^+ = \vec r - (\vec r' + \vec d/2)
</math>
<math display="block">
\vec r ^- = \vec r - \vec r'^- = \vec r - (\vec r' - \vec d/2)
</math>
<math display="block">
|\vec r^+ | =
\sqrt{[\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]\cdot [\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{[(\vec r - \vec r') - \vec d/2] \cdot [(\vec r - \vec r') - \vec d/2]}= 
</math>
<math display="block">
\sqrt{|\vec r - \vec r'|^2 - 2 (\vec r - \vec r') \cdot \frac{\vec d}{2} + \left|\frac{\vec d}{2}\right|^2} =...
</math>
<math display="block">
... \underbrace{=}_{|\vec d| << |\vec r - \vec r'|} 
|\vec r - \vec r'| \sqrt{(1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
+\underbrace{1/4 \frac{|\vec d|^2}{|\vec r - \vec r'|^2 }}_{
    \text{second order in: } \frac{|\vec d|}{|\vec r - \vec r'| }
})}
</math>
לבסוף:
[[File:Pic505.png|300px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">|\vec r ^+| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot  \vec d }</math>כאשר השתמשנו בקירוב טיילור:

<math display="block">(1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x</math>באופן דומה:

<math display="block">|\vec r ^-| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \vec d }</math>
נציב לביטוי של הפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">
\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
[ \frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \underbrace{\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }}
_{\ll 1}
\cdot \vec d}}
-
\frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d}}
]
=...
</math>
<math display="block">
...=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} \cdot 
[1 + 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
-
(1 - 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d)
] =
</math>
<math display="block">
=\frac{q \vec d \cdot (\vec r - \vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
נהוג להגדיר <math>\vec  p \equiv q \vec d </math> מומנט הדיפול, ולקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot (\vec r - \vec r' ) }{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
כאשר עבור דיפול בראשית מתקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot \hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}
</math>
באיור (5) ניתן לראות בצבע אדום את האיזורים בהם הפוטנציאל חיובי (קרובים יותר למטען החיובי) ובכחול את האיזורים בהם הפוטנציאל שלילי.

נשים לב שהפוטנציאל בראשית (ועל כל המישור העובר במרכז הדיפול ומאונך ל-<math>\vec p</math>) הוא אפס, וזאת משום שמומנט הדיפול מאונך ל <math>\vec r</math> על מישור זה, כך שהמכפלה הסקלארית ביניהם מתאפסת.

השדה המתקבל:

<math display="block">\vec E = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3 }[2 \cos \theta \hat r + \sin \theta \hat \theta]</math>

=== דוגמא 2 - דיסקה טעונה בצפיפות אחידה ===
[[File:Pic506.png|170px|thumb|right|איור 6]]

באיור 6 נתונה דיסקה טעונה בצפיפות מטען משטחי אחידה <math> \eta </math>, ורדיוסה <math> R </math>. חשבו את הפוטנציאל הנוצר על ציר <math> z </math>.

<math display="block">
\vec r' = x' \hat x + y' \hat y = r' \cos \varphi' \hat x + r' \sin \varphi' \hat y,
\vec r = z \hat z,
dq = \eta dS' = \eta r' dr' d\varphi'
</math>
<math display="block">
\phi = \iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta dS'}{|\vec r - \vec r'|} =
\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 \cos^2 \varphi'
    + r'^2 \sin^2 \varphi' + z^2
}} = 
</math>
<math display="block">
=\iint \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\eta r' dr' d \varphi'}{\sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\underbrace{2\pi}_{\int_0^{2\pi} d\varphi'} 
\int \frac{\eta r'}{4\pi \epsilon_0 \cdot \sqrt{r'^2 + z'^2}} =

\frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2 + z^2}- |z|)

</math>

ניתן לראות [https://www.desmos.com/calculator/wu0yj0bmjh/ תרשים של הפונקציה] באיור (7).

* מקרה 1 - <math>|z| \gg R</math> (איור 8)
עבור מקרה זה נרשום:

<math display="block">\phi = \frac{\eta}{2\epsilon_0} (\sqrt{R^2+z^2} - |z|) = 
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| (\sqrt{1+ \frac{R^2}{z^2}} - 1)
\approx
\frac{\eta}{2\epsilon_0} |z| \cdot (1 + 1/2 \frac{R^2}{|z|^2} - 1) = 
\frac{\eta R^2 }{\epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} = 
\frac{\overbrace{\eta (\pi R^2)}^{Q_{disk}}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|} = 
\frac{Q_{disk}}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|z|}</math>
רחוק מאוד מהדיסקה, היא נראית כמטען נקודתי, ולכן גם הפוטנציאל נראה כך. הפוטנציאל של מטען נקודתי נתון על ידי הקו השחור באיור 8.

* מקרה 2 - <math>|z| \ll R</math> (איור 9)
<math display="block">\eta = \frac{\eta}{2\epsilon_0} [\sqrt{R^2+z^2} - |z|] \approx 
\frac{\eta R}{2\epsilon_0} [\sqrt{1+(\frac{z}{R} } )^2 - \frac{|z|}{R}]
\approx \frac{\eta R}{2\epsilon_0} [1+1/2 \frac{z^2}{R^2} - \frac{|z|}{R}] \approx
\underbrace{\frac{\eta R}{2\epsilon_0}}_{Constant} -
\frac{\eta |z|}{2\epsilon_0}</math><math display="block">\Rightarrow
\phi= \begin{cases} -\frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ \frac{\eta z}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}
\Rightarrow
E_z = - \frac{\partial \phi}{\partial z} =
\begin{cases} \frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z>0 \\ -\frac{\eta}{2\epsilon_0}, & z<0 \end{cases}</math>
קרוב מאוד לדיסקה (ביחס לרדיוסה), הדיסקה נראית כמשטח אינסופי, ולכן מתקבל פוטנציאל שמשתנה לינארית בקירוב, השתנות המתאימה לשדה האחיד שיוצר לוח אינסופי.
<gallery widths=300px heights=200px mode="packed">
File:Pic507.png|איור 7
File:Pic508.png|איור 8
File:Pic509.png|איור 9
</gallery>