Editing פרק 6 - משוואת לפלאס (section)

=== עקרון המינימום / מקסימום ===
עקרון זה קובע כי לפתרונות משוואת '''לפלאס''' אין נקודות קיצון מקומיות בתוך התחום.

'''אינטואיטיבית:''' אם קיים למשל מינימום, אז השדה בסביבה כלשהו של נקודת המינימום בפוטנציאל יהיה מכוון אל המינימום. במקרה כזה, אם נבנה מעטפת קטנה סביב הנקודה, ונשתמש בחוק גאוס

<math display="block">\iint \vec E \cdot \hat n dS = Q_{in}</math>

ולכן חייב להיות מטען בנקודה. אבל <math>\phi</math> מקיים את משוואת לפלאס, כלומר הפוטנציאל הוא ללא מטענים בתחום, ולכן, לא יתכן שיש קיצון מקומי. (הטיעון תקף גם לנקודת מקסימום).

באופן ריגורוזי יותר, בנק' קיצון מקומית <math>\nabla \phi = 0</math>. כדי שזה אכן יהיה קיצון, נרשום את מטריצת ההסיאן:

<math display="block">\bar{\bar{H}} = 
\begin{pmatrix} \phi_{xx} & \phi_{xy} & \phi_{xz} \\ \phi_{yx} & \phi_{yy} & \phi_{yz}\\
\phi_{zx} & \phi_{zy} & \phi_{zz} \end{pmatrix}</math>
<br>
ולהאסיאן זה צריכים להיות ערכים עצמיים שהם כולם חיוביים (נקודת מינימום) או כולם שליליים (נקודת מקסימום):

<math display="block">\sum_i \lambda_i = tr({\bar{\bar{H}}}) =
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 x} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 y}+
\frac{\partial^2 \phi}{\partial^2 z} \underbrace{=}_{\text{Laplace}}0</math>ולכן לא יכולות להיות נקודות קיצון.

מכאן נובע ש <math>\phi</math> מקבלת את ערכי הקיצון שלה על השפה. אחת המסקנות מכאן היא שאם <math>\phi</math> קבועה על השפה, אז היא חייבת להיות קבועה בכל התחום ומכך נבין כי השדה בתוך התחום יהיה אפס.