Editing פרק 0 - מבוא מתמטי (section)

== הגדרות האופרטורים הדיפרנציאליים ==

=== הגדרת הדיברגנץ ===
[[File:C0f2.jpg|left|thumb|תרשים 2]]
על מנת לקבל אינטואיציה לגבי הגדרת הדיברגנץ של שדה וקטורי בנקודה מסוימת, אינטואיטיבי להתחיל ממשפט הדיברגנץ. אמנם יש כאן שאלה של "ביצה ותרנגולת", אך בשל ההיכרות של רבים עם המשפט, והשלכותיו, זה אינטואיטיבי מאוד להתחיל ממנו (תרשים 2)
<math>
\iiint_V div(\vec{F})dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
כלומר, סכימת הדיברגנץ בנפח נתון שקולה לחישוב שטף השדה החוצה את המעטפת. מכאן, אם ניקח נפח קטן מאוד <math> dV </math>, ונניח שדיברגנץ השדה הוא פונקציה "חלקה" שלא משתנה משמעותית אם הנפח קטן מאוד, נקבל <math> div(\vec{F})_{\vec{r}}dV=\iint_{S=\partial V} \vec{F}\cdot\vec{da} </math> ומכאן נוכל לקבל את ההגדרה הפורמלית
<div id="def_div" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left. div(\vec{F})\right|_{\vec{r}}=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{1}{V}\iint_{S=\partial V}\vec{F}\cdot\vec{da}
</math>
</div>
מעבר לחשיבות שבהגדרה הפורמלית, הגדרה זו תהיה שימושית עבורנו כאשר נרצה לקבל את הייצוג הדיפרנציאלי למשוואות מקסוול מתוך הייצוג האינטגרלי. אם נרצה לקבל ביטויים ספציפיים למערכת קורדינטות מסוימת, עלינו לבחור את הקורדינטות ולחשב את האינטגרל המופיע בהגדרה, בקירוב של אינטגרציה על אלמנט נפח קטן מאוד סביב הנקודה. בתרשים 2, מימין, מתואר אלמנט נפח כללי במערכת קורדינטות. אם נסתכל על הדופן ה"קדמית" וה"אחורית" ונניח שהן נמצאות בקורדינטות <math> u_1,u_1+du_1 </math> בהתאמה, התרומה שלהן לאגף ימין בהגדרת הדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\left.\vec{F}(u_1)\cdot(-\widehat{u_1})d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1}+\left.\vec{F}(u_1+du_1)\cdot\widehat{u_1}d\ell_2d\ell_3\right|_{u_1+du_1}
</math>
</div>
בנוסף, נזכור שנפח האלמנט הוא <math> dV=d\ell_1d\ell_2d\ell_3 </math>, ולכן, לאחר מספר צעדים אלגבריים פשוטים, התרומה לדיברגנץ תהיה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\frac{1}{h_1h_2h_3}\frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)
</math>
</div>
ובאופן דומה ניתן לחשב את התרומה מכל שאר הפאות. פעמים רבות רישום הדיברגנץ מבוצע על ידי אופרטור הנבלה הוקטורי. סה"כ נקבל
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
div\left(\vec{F}\right)=\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1}\left(h_2h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_1}\right)+\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_1h_3\vec{F}\cdot\widehat{u_2}\right)+\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_1h_2\vec{F}\cdot\widehat{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
בדף הנוסחאות של הקורס (שגם יחולק בבחינה) ניתן למצוא ביטויים אלו רשומים עבור שלוש מערכות הקורדינטות הנפוצות ביותר - קרטזית, גלילית, וכדורית.

=== הגדרת הרוטור (Curl) ===
נתחיל גם כאן במשפט האינטגרלי המתאים - משפט סטוקס. לצורך כך נגדיר משטח <math> S </math>, ואת שפתו של המשטח <math> C=\partial S </math> (תרשים 3 משמאל)
[[File:C0f3b.jpg|left|thumb|תרשים 3]]
<div id="def_rot" class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\iint_S curl\left(\vec{F}\right)\cdot\hat{n}da
</math>
</div>
נשים לב כי כאן ההגדרה תהיה מעט יותר עדינה, שכן המשפט האינטגרלי קושר בין השדה ובין '''ההיטל''' של הרוטור בכיוון הניצב למשטח. אם נניח כי המשטח שנבחר הוא אלמנט שטח קטן מאוד סביב נקודה מסוימת, נוכל לפשט את אגף ימין של משפט סטוקס
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\hat{n}\cdot curl(\vec{F})da
</math>
</div>
כיצד לבחור את <math> \hat{n} </math> בצורה נכונה? כיצד לבחור את הלולאה?

אם אנחנו רוצים הגדרה כללית, שאינה קשורה לבחירה מסוימת של מערכת הקורדינטות, אז מהביטוי ניתן לראות שכאשר <math> \hat{n} </math> הוא בדיוק בכיוון הרוטור, ההיטל הוא בעל גודל מקסימלי, ולכן נוכל לרשום את ההגדרה
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
curl(\vec{F})=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{1}{S}\hat{n}\left[\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}\right]_{max}
</math>
</div>
אם בחרנו מערכת קורדינטות כללית כלשהי, <math> u_1,u_2,u_3 </math> אז ניתן לבצע את האינטגרציה באופן מפורש (תרשים 3, ימין), עבור כל אחד מרכיבי <math> \widehat{u_1},\widehat{u_2},\widehat{u_3} </math>. לדוגמא, עבור הרכיב <math> \widehat{u_1} </math>
<div class="center" style="width: auto; margin-left: auto; margin-right: auto;">
<math>
\oint_{C=\partial S}\vec{F}\cdot\vec{d\ell}=\left[ \int_{AB}+\int_{CD} \right]+\left[ \int_{BC}+\int_{DA} \right]...=\frac{1}{h_2h_3}\left[-\frac{\partial}{\partial u_3}\left(h_2F_{u_2}\right) +\frac{\partial}{\partial u_2}\left(h_3F_{u_3}\right) \right]
</math>
</div>
באופן דומה ניתן לבצע את האינטגרציה עבור רכיבים הרוטור האחרים. בדף הנוסחאות של הקורס ביטויים אלו נתונים עבור שלוש מערכת הקורדינטות הנפוצות. גם פעולה זו נהוג להציג באמצעות אופרטור הנבלה - <math> curl(\vec{F})=\nabla\times\vec{F} </math>.