Editing פרק 10 - שדות חשמליים בחומר (section)

=== פולריזציה ===
[[File:Pic1004.png|400px|thumb|center|איור 4 - פולריזציה]]
לא תמיד יש אלקטרונים שחופשיים לנוע, לפעמים האלקטרונים "קשורים" אבל יכולה להיות סטייה במיקומם ביחס לגרעין.
[[File:Pic1005.png|100px|thumb|left|איור 5]]
אין זה המקום להכנס למודלים מדויקים של פילוג המטען סביב אטום, אך באופן כללי מיקום האלקטרון מתואר ע"י פונקציית גל קוונטית <math>\Psi</math>, כאשר<math>|\Psi|^2</math> מתארת לנו את ההסתברות למצוא את האלקטרון במיקום מסוים סביב הגרעין.

כאשר מופעל שדה חיצוני, הוא "מעוות" את ענן האלקטרונים (פונקציית הגלת איור 4), והמיקום הממוצע של האלקטרונים נתון על ידי הביטוי:

<math display="block">\int \vec r \psi(r,t)\cdot \psi^*(r,t)dr</math>

ללא שדה, צפוי שמרכז הכובד של של ההסתברות יהיה במרכז האטום, אך בהפעלת השדה, המיקום הממוצע של האלקטרונים כבר לא יהיה במרכז וייווצר דיפול שקול בחומר.

בחומרים מסוימים, לדוגמא מים (איור 5), למולקולות המרכיבות אותם קיים מומנט דיפול באופן טבעי, ואז הפעלה של שדה חשמלי חיצוני גם נוטה "ליישר" את כל הדיפולים בכיוון השדה. 

כמובן, שקיימים מקרים רבים בהם שני מנגנוני קיטוב אלו תורמים לתגובת החומר.

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>
 
מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן 
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.

==== צפיפות משטחית של מטעני הפולריזציה ====
כעת, כשיש לנו חוקים אינטגרלים הקושרים את מטעני הפולריזציה לוקטור הפולריזציה בחומר, נוכל לבצע [[פרק 2 - תנאי שפה|לוקליזציה של הביטויים האינטגרלים]] סביב שפות, על מנת לקבל את צפיפות מטען הפולריזציה המשטחית. 
למעשה, אין צורך לחזור על התהליך, וניתן להשתמש בדמיון ה"ויזואלי" לחוק גאוס ה[[פרק 2 - תנאי שפה#לוקליזציה סביב שפה - חוקי גאוס|קשר]] בין חוק גאוס האינטגרלי, לתנאי השפה לחוק גאוס הוא
<math display="block">Q_{in} = \oint \epsilon_0 \vec E \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta = \hat n \cdot (\epsilon_0 \vec E_2 - \epsilon_0 \vec E_1)</math>
ולכן, באופן אנלוגי לחלוטין נקבל את הקשר בין אי רציפות בוקטור הפולריזציה לצפיפות משטחית של מטען הפולריזציה
<math display="block">Q_{p} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}\;\;\Longrightarrow\;\;\eta_p = -\hat n \cdot(\vec P _2 - \vec P_1)</math>

==== זרמי פולריזציה ====
נסתכל על השינוי בזמן באלמנט קטן של מטען פולריזציה משטחי <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A </math>. הזרם ה"נכנס" לשפה, קשור לשינוי זה על ידי

<math display="block">I = \frac{d(\delta Q)}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec P \cdot \delta \vec A) = 

\underbrace{\frac{d\vec P}{dt}}_{\equiv \vec J_p} \cdot \delta \vec A =
\vec J_p \cdot \delta \vec A</math>
כאשר השינוי בזמן של <math>\vec P</math> הוא למעשה צפיפות נפחית של זרם שחולף בתיבה - זרם פולריזציה <math>\vec J_p</math>.

ביחד עם הקשר <math>\rho_p  = - \nabla \cdot \vec P </math> נקבל את חוק שימור מטען הפולריזציה:<math display="block">\nabla \cdot \vec J_p = - \frac{d\rho_p}{dt}</math>נקבל:
<math display="block">
\eta_p = -\hat n\cdot (\vec P_2 - \vec P_1)
</math>

אם נגזור בזמן את הביטוי שקיבלנו עבור צפיפות המטען המשטחית, נקבל:
<math display="block">
\frac{d\eta_p}{dt} =-\hat n \cdot\left(\frac{\partial \vec P_2}{\partial t} -\frac{\partial \vec P_1}{\partial t}\right)=-\hat n\cdot (\vec J_{2,p}- \vec J_{1,p})
</math>
כלומר, אין זרמי פולריזציה משטחיים! (אלא אם יש תנועה מכנית)