Editing פרק 2 - תנאי שפה (section)

== לוקליזציה סביב שפה - חוק אמפר ==
עד כה, השתמשנו בחוקי גאוס כדי למצוא קשר על השדה בין רכיבי השדה החשמלי והמגנטי הניצבים לפני המשטח, כעת נשתמש בחוק אמפר על מנת למצוא קשר בין הרכיבים המשיקים למשטח של השדה המגנטי.

נתון לנו משטח כלשהו, עליו זורם זרם בעל צפיפות משטחית <math>\vec K</math>. (תרשים 2)
[[File:c2f2.jpg|left|thumbnail|תרשים 2: תנאי שפה למשוואות הסיבוביות - חוק אמפר וחוק פאראדיי]]

נבנה לולאת אמפר - לולאה מלבנית עם גובה <math>\delta</math> ואורך <math>dL</math>' ונניח כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>

בנוסף, נניח כי השדות מתחת למשטח הינם

<math display="block">\vec E_{1} , \vec H_{1}, \vec J_{1}</math>

ומעל למשטח

<math display="block">\vec E_{2} , \vec H_{2}, \vec J_{2}</math>

נרשום את חוק אמפר

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da
+
\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>

כאשר האיבר <math>\epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} \underset{S} {\iint} \vec E \cdot \hat n da</math> נופל, כי הוא פרופורציוני ל <math>\delta</math>.

נתחיל מאגף שמאל. בגלל ההנחה כי

<math display="block">\delta << dL << \text{every other dimension in the problem}</math>
נזניח את תרומת הצלעות הקצרות (<math>\delta</math>) של הלולאה, ולכן נקבל

<math display="block">\underset{C=\partial S}{\oint} \vec H \cdot dl = \vec H_{2} \cdot \vec {dL} - \vec H_{1} \cdot \vec {dL}</math>.

אגף ימין
<math display="block">\underset{S} {\iint } \vec J \cdot \hat n da</math>לאיבר קיימות שתי תרומות: תרומה מהזרם המשטחי, ותרומה נוספת מהזרם הנפחי.

באופן דומה למה שראינו בחוק גאוס, נקבל שתרומת הזרם הנפחי, וגם זרם ההעתקה פרופורציוניות ל-<math>\delta</math>, ומאחר ומימד זה זניח ביחס לשאר המימדים הגאומטריים בבעיה, תרומה זו תהיה זניחה.

נמשיך לתרומת הזרם המשטחי
<math display="block">\int \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL} ) = \int \vec K \cdot \hat n_{l} dl = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dl})
 = \vec K \cdot (\hat n \times \vec {dL})
= \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>
כאשר <math>\hat n_{l}</math> הוא וקטור שמוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל (עקום בחיתוך בין המשטח שהלולאה האמפרית היא שפתו, ובין משטח אי הרציפות הנתון). המעבר האחרון נובע מזהות וקטורית

<math display="block">\vec a \cdot (\vec b \times \vec c) = \vec b \cdot (\vec c \times \vec a) = \vec c \cdot (\vec a \times \vec b)</math>

בסופו של דבר, נקבל

<math display="block">(\vec H_{2} - \vec H_{1} ) \vec {dL} = \vec {dL} \cdot (\vec K \times \hat n)</math>

נשים לב, כי בניגוד למעטפת הגאוסית, כאן קיים חופש בחירה ללולאה האמפרית, כלומר כל עוד הנקודה, שסביבה אנו מבצעים את האינטגרציה, נמצאת במרכז הלולאה, מסלול האינטגרציה עצמו לא ישפיע על תנאי השפה שנקבל.

נסיק מכך, כי המשוואה מתקיימת תמיד, ללא תלות ב <math>\vec {dL}</math>, ולכן 

<math display="block">\vec H_{2} - \vec H_{1} =  \vec K \times \hat n</math>

נכפול את המשוואה שקיבלנו, ב <math>\hat n \times</math> משמאל

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} )
=  \hat n \times (\vec k \times \hat n)
=(\hat n \cdot \hat n)\vec K - (\hat n \cdot \vec K) \hat n=\vec K</math> 

כאשר המעבר השני נובע מהזהות הבאה:

<math display="block">\vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \cdot \vec c)\cdot \vec b - (\vec a \cdot \vec b)\cdot \vec c</math>
ובמעבר האחרון איפסנו את האיבר <math>(\hat n \cdot \vec K) \hat n</math> מפני ש <math>\vec K</math> מוכל במשטח S, ו <math>\hat n</math> ניצב ל S.


בסופו של דבר, קיבלנו:

<math display="block">\hat n \times (\vec H_{2} - \vec H_{1} ) = \vec K</math>

נסיק מכך, כי קיימת קפיצה ברכיב השדה המגנטי המקביל למשטח.

=== לוקליזציה סביב שפה - חוק פאראדיי ===
אם נבצע פיתוח דומה, עבור חוק פארדיי, נקבל את תנאי השפה הבא עבור הרכיב המקביל למשטח של השדה:

<math display="block">\hat n \times (\vec E_{2} - \vec E_{1}) = 0</math>