Editing פרק 6 - משוואת לפלאס (section)

=== יחידות הפתרון (פואסון) ===
נניח בשלילה שיש 2 פתרונות לבעיה <math>\phi_1</math>, <math>\phi_2</math>. נגדיר:

<math display="block">\phi_3 \equiv \phi_2-\phi_1</math>
ולכן:

<math display="block">
\nabla^2 \phi_3 = \nabla^2\phi_2 - \nabla^2\phi_1 = 
-\frac{\rho}{\epsilon_0} - (-\frac{\rho}{\epsilon_0})=0
</math>
מה לגבי תנאי שפה?

<math display="block">
\begin{cases}
\phi_3(r_{B,1}) = \phi_2(r_{B,1}) - \phi_1(r_{B,1}) = 0
\\
\left.\frac{\partial \phi_3}{\partial n}\right|_{r_{B,2}} = ... = 0
\end{cases}
</math>
המטרה: להראות ש <math>\vec E_3 = -\nabla \phi_3=0</math>, ומכאן ינבע ש <math>\vec E_1 = \vec E_2</math>.

אם נצליח להראות שהאנרגיה האגורה ב <math>\vec E_3</math> מתאפסת נוכל להסיק ש-<math>\vec E_3</math> הוא אפס זהותית בכל התחום. 
האנרגיה החשמלית האגורה בתחום היא:

<math display="block">u_E = \iiint_D \frac{\epsilon_0}{2}|\vec E_3|^2 dV</math>

נרצה לקשר את הביטוי ל <math>u_E</math> לערכי <math>\phi_3</math> או <math>\vec E_3</math> על השפה, על מנת להעזר בתנאי השפה הנתונים לנו.

נשתמש בזהות הוקטורית:
<math display="block">
\nabla \cdot (\psi \vec F) =
\psi(\nabla \cdot \vec F) + \nabla \psi \vec F
</math>
ונקבל:

<math display="block">
\nabla \cdot (\phi_3 \vec E_3) = \underbrace{\phi_3 (\nabla \cdot \vec E_3)}_{=\frac{\rho_3}{\epsilon_0}=0} 
+\underbrace{
\underbrace{\vec \nabla \phi_3}_{-\vec E_3}
\cdot \vec E_3}_{-|\vec E_3|^2}
</math>
כעת נציב זאת בביטוי לאנרגיה האגורה
<math display="block">\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} |\vec E_3|^2 =
\iiint_D \frac{\epsilon_0}{2} (-\nabla \cdot (\phi_3 \cdot \vec E_3 ))dV =
-\frac{\epsilon_0}{2} \iint_{S=\partial D} \phi_3 \vec E_3 \cdot \hat n dS
</math>
בנקודה <math>r_{B,1}</math> מתקיים <math>\phi_3=0</math>

בנקודה <math>r_{B,2}</math> מתקיים <math>\vec E_3 \cdot \hat n=0</math>

ולכן האינטגרנד מתאפס בכל מקום על השפה:

<math display="block">
\Rightarrow
\int \frac{\epsilon_0}{2} |E_3|^2 dV=0 \;\Rightarrow\;
\vec E_3 |_{\text{in all D}}=0
</math>
בעזרת זהות זו ניתן גם לקשור את האנרגיה האגורה לפוטנציאל ולפילוג המטען אם הוא ידוע. נניח <math> \mathcal{D} </math> אינסופי, ואנו יודעים את פילוג המטען בכל מקום, והוא מוגבל לאזור סופי במרחב:

<math display="block">\iiint_{\text{All space}} \frac{\epsilon_0}{2}|E|^2 = \frac{\epsilon_0}{2} \iiint \phi
\underbrace{(\nabla\cdot \vec E)}_{\frac{\rho}{\epsilon_0}}
- \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \nabla\cdot(\phi_3 \vec E_3)</math>ממשפט הדיברגנץ נקבל:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{\epsilon_0}{2}\iiint \phi \frac{\rho}{\epsilon_0} -\frac{\epsilon_0}{2} 
\underbrace{\oint_{\partial \mathcal{D}} \phi_3 \vec E_3 dr}_{\rightarrow 0 \text{ as }  V\rightarrow\infty}</math>ולכן:

<math display="block">\iiint \frac{\epsilon_0}{2} |E|^2 dV = \frac{1}{2} \iiint \rho dV 
\iiint \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{\rho}{|r-r'|} dV'</math>
<br>
<math display="block">\Rightarrow\;u_E = \frac{1}{2} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} 
\iiint\iiint \frac{\rho(r)\rho(r')}{|r-r'|} dV dV'</math>