Editing פרק 10 - שדות חשמליים בחומר (section)

==== מודל מקרוסקופי ====
[[File:Pic1006.png|300px|thumb|left|איור 6]]
המודל המיקרוסקופי (כלומר מודל המתאר תגובה של אטום או מולקולה בודדים לשדה בסביבתם) אותו תארנו אינו קשור באופן ישיר למשוואות מקסוול. המטרה שלנו, כעת, היא למצוא פרמטרים '''מקרוסקופיים''' ממוצעים, שאותם נוכל להציב במשוואות מקסוול ולפתור את השדות בנוכחות חומרים.

כבר ציינו, שעל מנת להבין טוב את האינטראקציה בין החומר לשדה עלינו לקבל את פילוג המטען שנוצר בחומר בתגובה להפעלת השדה החיצוני וממנו ניתן יהיה לחשב את השדה '''המלא''' כשדה שנוצר ע"י המקורות החיצוניים + פילוג המטען בחומר.

נניח כי קיים חומר כלשהו שהפעלת שדה חיצוני גרמה להתקטבות המטען בתוכו, וליצירת מוומנט דיפול כלשהו באטומים המרכיבים אותו (איור 6). נביט בתיבה קטנה מתוך החומר.

אם נניח שמומנט הדיפול של כל אטום או מולקולה הוא <math>\vec p_{atom}</math>, ובתיבה יש <math>N</math> דיפולים, נקבל שמומנט הדיפול השקול של החומר בתיבה הוא <math>\vec P = N \cdot \vec p_{atom}</math>. נוכל להגדיר את צפיפות הדיפולים הנפחית בתור היחס בין מומנט הדיפול לנפח:

<math display="block">\vec P = \frac{\vec p}{\delta v} = \frac{\vec p}{\delta \vec A \cdot \delta \vec l}</math>

בהינתן <math>\vec P</math>, אפשר לרשום:

<math display="block">
\vec p = \vec P \cdot \delta v = (\vec P \cdot \delta \vec A) \delta \vec l = \delta Q \cdot \delta \vec l
</math>
 
מאחר ו[[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|מומנט דיפול]] מוגדר על ידי <math>\vec p=Q\vec d</math>, נסיק כי את הפולריזציה ניתן לייצג כאילו על פאה יש מטען <math>\delta Q = \vec P \cdot \delta \vec A</math> והם מופרדים זה מזה במרחק של <math>\delta \vec l </math>.
באופן דומה, אם היינו עושים את החישוב על הפאה התחתונה, היינו מקבלים <math>\delta Q = -\vec P \cdot \delta \vec A</math>/

בעצם מה שקיבלנו הוא שכדי ליצור את תגובת החומר שבתיבה לשדה החשמלי, באופן אפקטיבי "הועתקה" כמות מטען של <math>\delta q </math> מהדופן התחתונה לעליונה, למרחק של <math>\delta \vec l </math> בין פילוגי המטען.

אם נכליל את התוצאה, כדי לחשב את סך מטען הפולריזציה המשטחי על דפנות התיבה, עלינו לסכם ולקבל
<math display="block">Q_{p,surface} = \oint \vec P \cdot \vec {\delta a}</math>

מאחר והחומר הוא ניטרלי מבחינת סך המטען שבו (נזכור כי המודל שלנו עבור הפולריזציה הוא דיפולים שנוצרים בתגובה לשדה, וסך המטען בכל דיפול הוא אפס), ברור כי סך המטען בכל נפח שנבחר חייב להתאפס, ולכן 
<math display="block">Q_{p,volume} = -\oint \vec P \cdot \vec {da}</math>
נביט בקשר הזה, עבור נפח קטן <math>\Delta v</math>:

<math display="block">
\rho_p = \frac{Q_{p,volume}}{\Delta v}= -\frac{1}{\Delta v} \oint \vec P \cdot \vec {da} \overset{\underset{\mathrm{\Delta v \rightarrow 0}}{}}{=} -\nabla\cdot\vec P
</math>

<math display="block">
\Rightarrow \rho_p = -\nabla\cdot\vec P
</math>
כאשר השתמשנו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#הגדרת הדיברגנץ|הגדרת הדיברגנץ]].

נשים לב לכך שאם <math>\vec P</math> אחיד, אז <math>\rho_p = 0</math>.