Editing פרק 6 - משוואת לפלאס (section)

=== משפט הערך הממוצע ===
משפט הערך הממוצע אומר שכל פתרון למשוואת לפלס בנקודה מסוימת שווה לממוצע ערכי הפתרון על כדור שהנקודה נמצאת במרכזו (איור 2).
[[File:Pic602.png|200px|thumb|left|איור 2]]
<math display="block">\phi(r) =\frac{1}{4\pi a^2}
\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS'</math>

את הפוטנציאל על שפת הכדור ניתן לרשום ע"י
<math display="block">
\phi(r')=\phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right)
</math>
כאשר את האינטגרציה בחרנו לעשות בכיוון הרדיאלי. מאחר והשדה משמר, אנו רשאים לבחור את מסלול האינטגרציה כרצוננו.
כעת, נציב בחישוב הערך הממוצע

<math display="block">
\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}} \phi(r') dS' =
</math>
<math display="block">
=\frac{1}{4\pi a^2}\iint_{\text{sphere}}\left[ \phi(r)+\left(-\int_r^{r'}\vec{E}\cdot\hat{R}dR\right) \right]dS'=
</math>
נחליף את סדר האינטגרציה
<math display="block">=
\phi(r) - \int_r^{r'}dR\left[\underbrace{\iint_{\text{Sphere}} \vec E \cdot \hat{R} dS'}_{=0 \text{ propotional to the flux of the field}}\right]
 = \phi(r)</math>