Editing פרק 2 - תנאי שפה (section)

== לוקליזציה סביב שפה - חוק שימור המטען ==
טיפול בחוק שימור מטען הינו דומה לטיפול שביצענו לתנאי השפה עם חוק גאוס. הגאומטריה זהה לזו המוצגת בתרשים 1,  רק שכאן נצטרך להתחשב בצפיפות הזרם המשטחית (<math>\vec K</math>) וגם צפיפות המטען המשטחית (<math>\eta</math>).

נישאר עם ההנחה כי

<math display="block">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math>
משוואת שימור מטען

<math display="block">\underset{S=\partial V} {\oint} \vec J \cdot \hat n da = -\frac{\partial}{\partial t} 
\underset{V}{\iiint} \rho dV</math>

נתחיל מחישוב אגף שמאל. תרומת הזרם הנפחי

<math display="block">\vec J_2 \cdot \hat n da - \vec J_1 \cdot \hat n da + I_{cylindrical\;shell} </math>


האיבר <math>I_{cylindrical\;shell}</math> מייצג את סך הזרם היוצא דרך מעטפת הגליל, ללא המכסים. איבר זה הוא פרופורציונלי ל-<math>\delta</math>, ומההנחה כי:<math display="inline">\delta << R << \text{every other dimension in the problem}</math> ניתן להזניחו בגבול של מטעפת קטנה מאוד.

תרומת הזרם המשטחי:

<math display="block">\underset{L} {\oint} \vec K \cdot (\hat n \times \vec{dl}) = 
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl</math>

כאשר <math>\hat n_L</math> הוא וקטור המוכל במשטח וניצב לעקום שלאורכו מחושב האינטגרל.

כעת, נמצא את תרומת אגף ימין. תרומת הצפיפות הנפחית:

<math display="block">\iiint \rho dV \propto\delta \cdot \frac{\rho_1 da + \rho_2 da}{2}=0</math>

תרומת הצפיפות המשטחית:

<math display="block">\underset{S}{\iint} \eta \cdot da=Q_{in} = \eta da</math>

בסופו של דבר נקבל:

<math display="block">(\vec J_2 \cdot \hat n - \vec J_1 \cdot \hat n) da +
\oint \vec K \cdot \hat n_L dl = 
-\frac{\partial}{\partial t} (\eta da)</math>

לאחר חלוקה ב <math>da</math> :

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) +
\frac{1}{da}\oint \vec K \cdot \hat n_L dl = 
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>

כאשר האיבר השני מייצג את סך השטף שיוצא דרך העקום שנמצא במשטח אי - הרציפות. בדומה להגדרת הדיברגנץ התלת ממדי שראינו ב[[פרק 0 - מבוא מתמטי#def_div|הגדרת הדיברגנץ]], איבר זה הוא למעשה דיברגנץ משטחי - דיברגנץ המוגדר עבור שדה המוכל במשטח מסוים, ולכן ניתן לרשום את חוק שימור המטען על ידי

<math display="block">\hat n \cdot (\vec J_2 - \vec J_1) + \nabla_{2D}\cdot \vec K  = 
-\frac{\partial \eta}{\partial t}</math>