Editing פרק 5 - אלקטרוסטטיקה (section)

=== דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן ===
באיור (3) נתון מבנה של דיפול חשמלי. שני מטענים נקודתיים בעלי גודל זהה וסימנים מנוגדים, ממוקמים במרחק <math>d</math> זה מזה.
[[File:Pic503.png|200px|thumb|left|איור 3]]
[[File:Pic504.png|200px|thumb|left|איור 4]]

# חשבו את הפוטנציאל
# מה התוצאה בגבול <math>\vec d \rightarrow 0</math>, אבל <math>q |\vec d|</math> קבוע ידוע.

<math display="block">\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{1}{|\vec r^+|} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0}\cdot
\frac{1}{|\vec r^-|}</math>נגדיר:

<math display="block">\text{The place of the positive charge: } \vec r'^+ \equiv \vec r' + \vec d/2</math><math display="block">\text{The place of the negative charge: } \vec r'^- \equiv \vec r' - \vec d/2</math>לכן:

<math display="block">
\vec r ^+ = \vec r - \vec r'^+ = \vec r - (\vec r' + \vec d/2)
</math>
<math display="block">
\vec r ^- = \vec r - \vec r'^- = \vec r - (\vec r' - \vec d/2)
</math>
<math display="block">
|\vec r^+ | =
\sqrt{[\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]\cdot [\vec r - (\vec r' + \vec d/2)]}=
</math>
<math display="block">
\sqrt{[(\vec r - \vec r') - \vec d/2] \cdot [(\vec r - \vec r') - \vec d/2]}= 
</math>
<math display="block">
\sqrt{|\vec r - \vec r'|^2 - 2 (\vec r - \vec r') \cdot \frac{\vec d}{2} + \left|\frac{\vec d}{2}\right|^2} =...
</math>
<math display="block">
... \underbrace{=}_{|\vec d| << |\vec r - \vec r'|} 
|\vec r - \vec r'| \sqrt{(1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
+\underbrace{1/4 \frac{|\vec d|^2}{|\vec r - \vec r'|^2 }}_{
    \text{second order in: } \frac{|\vec d|}{|\vec r - \vec r'| }
})}
</math>
לבסוף:
[[File:Pic505.png|300px|thumb|left|איור 5]]
<math display="block">|\vec r ^+| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot  \vec d }</math>כאשר השתמשנו בקירוב טיילור:

<math display="block">(1+x)^\alpha \approx 1+ \alpha x</math>באופן דומה:

<math display="block">|\vec r ^-| \approx |\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2} \cdot \vec d }</math>
נציב לביטוי של הפוטנציאל החשמלי:

<math display="block">
\phi = \frac{q}{4\pi \epsilon_0}
[ \frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 - \underbrace{\frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }}
_{\ll 1}
\cdot \vec d}}
-
\frac{1}{|\vec r - \vec r'| \sqrt{1 + \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2 }\cdot \vec d}}
]
=...
</math>
<math display="block">
...=
\frac{q}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|} \cdot 
[1 + 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d
-
(1 - 1/2 \frac{\vec r - \vec r'}{|\vec r - \vec r'|^2}\cdot \vec d)
] =
</math>
<math display="block">
=\frac{q \vec d \cdot (\vec r - \vec r')}{4\pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
נהוג להגדיר <math>\vec  p \equiv q \vec d </math> מומנט הדיפול, ולקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot (\vec r - \vec r' ) }{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}
</math>
כאשר עבור דיפול בראשית מתקבל:

<math display="block">
\phi = \frac{\vec p \cdot \hat r}{4\pi \epsilon_0 r^2}
</math>
באיור (5) ניתן לראות בצבע אדום את האיזורים בהם הפוטנציאל חיובי (קרובים יותר למטען החיובי) ובכחול את האיזורים בהם הפוטנציאל שלילי.

נשים לב שהפוטנציאל בראשית (ועל כל המישור העובר במרכז הדיפול ומאונך ל-<math>\vec p</math>) הוא אפס, וזאת משום שמומנט הדיפול מאונך ל <math>\vec r</math> על מישור זה, כך שהמכפלה הסקלארית ביניהם מתאפסת.

השדה המתקבל:

<math display="block">\vec E = \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3 }[2 \cos \theta \hat r + \sin \theta \hat \theta]</math>