Editing פרק 9 - מגנטוסטטיקה (section)

=== דוגמא - טבעת זרם  ===

[[File:Pic0901.png|200px|thumb|left|איור 1]]

באיור 1 נתונה טבעת זרם מעגלית שרדיוסה <math>a</math> ,ונושאת זרם <math>I</math>. נרצה לחשב את <math>\vec A</math>, ומתוכו את <math>\vec H</math>.

<math display="block">
\vec r' = a \cos \varphi' \hat x + a \sin\varphi' \hat y, 
dl'=a d\varphi',
\vec r = x \hat x + y \hat y + z \hat z
</math>
<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi}  \int
\frac{Ia d\varphi' 
\overbrace{\hat \varphi}^{=-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi'}
    
}
{|(x-a\cos\varphi')\hat x + (y - a \sin\varphi' ) \hat y + z \hat z |}=...
</math>
<math display="block">... = \frac{\mu_0}{4\pi}  \int
\frac{Ia d\varphi' (
-\hat x \sin \varphi'+ \hat y \cos \varphi')
    
}
{\sqrt{(x-a\cos\varphi')^2 + (y - a \sin\varphi' )^2 + z^2 }}
</math>
את האינטגרל הנ"ל ניתן להעריך באופן אנליטי באמצעות פונקציות הנקראות [https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral complete elliptic integrals], אך אלו אינן פונקציות אלמנטריות. עם זאת, אם נניח כי <math>r \gg a</math>

<math display="block">r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}</math> נציב באינטגרל ונקבל:

<math display="block">\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} \int 
\frac{...}
{r[1- \frac{2a}{r^2}(x \cos\varphi' + y \sin\varphi') + \frac{a^2}{r^2}]^{1/2}}</math>נשתמש בקירוב:

<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+\frac{a}{r}}}
\overbrace{\approx}^{\frac{a}{r}\ll 1}
1 - \frac{1}{2} \frac{a}{r}</math><math display="block">\vec A =\frac{\mu_0 Ia}{4\pi}
\int_{\varphi'=0}^{2\pi} \frac{d\varphi' [-\hat x \sin\varphi' + \hat y \cos \varphi']}{r} 
\cdot 
(1 - \frac{a}{r^2} (x \cos \varphi' + y \sin\varphi' ))</math><math display="block">\Rightarrow
\vec A = \frac{\mu_0}{4\pi} I S \cdot \frac{1}{\gamma^2} \hat \varphi</math>כאשר הגדרנו <math>S \equiv \pi a^2</math>.

<math display="block">\vec H = \frac{1}{\mu_0}\nabla \times \vec A =
\frac{m}{4\pi r^3}
(2 \cos\theta \hat r + \sin\theta \hat \theta)</math>
כלומר, קיבלנו שדה שמתנהג, רחוק מאוד מהטבעת, כשדה של דיפול, בעל מומנט דיפול מגנטי <math>m\equiv I_0 S</math>.

[[File:Pic0902b.png|500px|thumb|center|איור 2 - השוואה בין דיפול חשמלי למגנטי]]

באיור 2 מצוירים לצורך השוואה תרשימי השדה ה"אמיתי" עבור [[פרק 5 - אלקטרוסטטיקה#דוגמא חשובה - דיפול חשמלי קטן|דיפול חשמלי]] ומגנטי (כלומר סופרפוזיציה של מקורות בגודל סופי - טבעת זרם ברדיוס סופי עבור הדיפול המגנטי, ומטענים נקודתיים הפוכים בסימנם ומרוחקים זה מזה מרחק סופי עבור הדיפול החשמלי). ניתן לראות שרחוק מהמקורות, היכן שהקירוב הדיפולי תקף, השדות מתנהגים באופן זהה. לעומת זאת, השדות הקרובים למקורות, בנקודות קרובות ביחס למימדי המקור, מתנהגים באופן הפוך, מאחר ולשדה החשמלי והשדה המגנטי מאפיינים שונים. החשמלי  - אלקטרוסטטי וחסר רוטור, אך בעל דיברגנץ שונה מאפס בנקודות המקור. המגנטי - חסר דיברגנץ ולכן קווי השדה חייבים להיות סגורים.