Editing פרק 0 - מבוא מתמטי (section)

== דיברגנץ משטחי ==
נגדיר משטח באמצעות הפרמטריזציה הבאה:

<math display="block">S=[X(u,v),Y(u,v),Z(u,v)]</math>המקדמים המטריים של המשטח יכולים להיות מוגדרים ע"י:

<math display="block">\begin{cases} 
S+dS_u = [X(u+du,v),Y(u+du,v),Z(u+du,v)]
\\ 
S+dS_v = [X(u,v+dv),Y(u,v+dv),Z(u,v+dv)]
\end{cases}</math><math display="block">\Rightarrow

\begin{cases} 
dS_u = [X(u+du,v) - X(u,v),Y(u+du,v) - Y(u,v),Z(u+du,v) - Z(u,v)]

\\ 
dS_v = [X(u,v+dv) - X(u,v),Y(u,v+dv) - Y(u,v),Z(u,v+dv) - Z(u,v)]
\end{cases}</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\begin{cases} 
dS_u = [\frac{\partial X}{\partial u},\frac{\partial Y}{\partial u},\frac{\partial Z}{\partial u}] du
\\
dS_v = [\frac{\partial X}{\partial v},\frac{\partial Y}{\partial v},\frac{\partial Z}{\partial v}] dv
\end{cases}
</math>כעת נגדיר את הפרמטרים המטריים:

<math display="block">\begin{cases} 
||dS_u||=h_u du 
\\
||dS_v||=h_v dv 
\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases} 
h_u = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial u})^2 }
\\ 
h_v = \sqrt{(\frac{\partial X}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial Z}{\partial v})^2 }

\end{cases}

</math>כעת, נגדיר את השדה הוקטורי על השפה:

<math display="block">F=F_u(u,v) \hat u + F_v(u,v) \hat v</math>
[[File:Wiki0New.png|500px|thumb|center|תרשים 4 - השטח האינפיטיסימלי הנוצר ע"י du,dv]]
כעת נחשב את השטף העובר דרך משטח סופי:

<math display="block">\psi = \oint_l F \cdot \hat n_l dl = </math><math display="block">=F_u(u+du,v)h_v(u+du,v)dv - F_u(u,v)h_v(u,v)dv + 
F_v(u,v+dv)h_u(u,v+dv)du - F_v - F_v(u,v)h_u(u,v)du</math>אם נשאיף את <math>du,dv</math> לאפס, נקבל:

<math display="block">\psi = \oint_l F\cdot \hat n_l dl = 
\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) dudv + 
\frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v) dudv =</math><math display="block">=
\underbrace{
\frac{1}{h_u h_v} [\frac{\partial}{\partial u}(h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)] h_u
}_{\equiv \nabla_s \cdot F}
\underbrace{du h_v dv}_{ds}</math>כעת, נסתכל על משטחים בעלי קורדינטה שווה <math>w=const</math>, בהשוואה לדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">\begin{cases} 
\nabla_s \cdot F = 
\frac{1}{h_u h_v}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_v)]
\\ 
\nabla \cdot F = \frac{1}{h_u h_v h_w}
[\frac{\partial}{\partial u} (h_v h_w F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_w F_v)
+ \frac{\partial}{\partial w}(h_u h_v F_w)]
\end{cases}</math>כעת נוכל לראות כי התנאי ההכרחי לחישוב הדיברגנט המשטחי הוא "איפוס" את הקורדינטה השווה בדיברגנט התלת מימדי:

<math display="block">h_w=const</math>תנאי זה מתקיים, למשל על המשטח של ספרה, אך לא על חרוט.
</div>